الرقم كاملا. المضاعف المشترك الأصغر وأكبر القاسم المشترك
1) أقسم على الفور ، لأن كلا الرقمين قابل للقسمة بنسبة 100٪ على:
2) سأقسم على الأعداد (الأعداد) الكبيرة المتبقية ، حيث يتم تقسيمها بدون باقي (في نفس الوقت ، لن أتحلل - إنه بالفعل قاسم مشترك):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) سأرحل وحدي وأبدأ في التفكير في الأرقام و. كلا الرقمين قابلين للقسمة تمامًا على (تنتهي بأرقام زوجية (في هذه الحالة ، نقدمها على أنها ، ولكن يمكن تقسيمها)):
4) نعمل مع الأرقام و. هل لديهم قواسم مشتركة؟ الأمر سهل كما في الخطوات السابقة ، ولا يمكنك القول ، لذلك سنحللها فقط العوامل الأولية:
5) كما نرى ، كنا على حق: وليس لدينا قواسم مشتركة ، والآن نحتاج إلى الضرب.
GCD
رقم المهمة 2. أوجد GCD للأرقام 345 و 324
لا يمكنني العثور بسرعة على قاسم مشترك واحد على الأقل هنا ، لذلك أنا فقط أتحلل إلى عوامل أولية (أقل عدد ممكن):
بالضبط ، GCD ، وأنا لم نتحقق في البداية من معيار القابلية للقسمة ، وربما لن أضطر إلى القيام بالعديد من الإجراءات.
لكنك فحصت ، أليس كذلك؟
كما ترى ، الأمر سهل للغاية.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) - يوفر الوقت ويساعد في حل المشكلات خارج الصندوق
لنفترض أن لديك رقمان - و. ما هو أصغر عدد يقبل القسمة عليه دون أن يترك أثرا(أي تماما)؟ من الصعب تخيل ذلك؟ إليك دليل مرئي لك:
هل تتذكر ما تعنيه هذه الرسالة؟ هذا صحيح ، فقط الأعداد الكلية.إذن ما هو أصغر رقم يناسب س؟ :
في هذه الحالة.
عدة قواعد تتبع من هذا المثال البسيط.
قواعد العثور بسرعة على شهادة عدم الممانعة
القاعدة 1. إذا كان أحد العددين الطبيعيين قابلاً للقسمة على رقم آخر ، فإن أكبر هذين العددين هو المضاعف المشترك الأصغر.
ابحث عن الأرقام التالية:
- شهادة عدم ممانعة (7 ؛ 21)
- شهادة عدم ممانعة (6 ؛ 12)
- شهادة عدم ممانعة (5 ؛ 15)
- شهادة عدم ممانعة (3 ؛ 33)
بالطبع ، لقد تعاملت مع هذه المهمة بسهولة وحصلت على الإجابات - و.
لاحظ أنه في القاعدة نتحدث عن رقمين ، إذا كان هناك المزيد من الأرقام ، فإن القاعدة لا تعمل.
على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (7 ؛ 14 ؛ 21) لا يساوي 21 ، حيث لا يمكن تقسيمه بدون الباقي على.
القاعدة 2. إذا كان رقمان (أو أكثر من رقمين) جريمة مشتركة ، فإن المضاعف المشترك الأصغر يكون مساويًا لمنتجها.
تجد شهادة عدم ممانعةللأرقام التالية:
- شهادة عدم ممانعة (1 ؛ 3 ؛ 7)
- شهادة عدم ممانعة (3 ؛ 7 ؛ 11)
- شهادة عدم ممانعة (2 ؛ 3 ؛ 7)
- شهادة عدم ممانعة (3 ؛ 5 ؛ 2)
هل عدت؟ ها هي الإجابات - ، ؛ .
كما تفهم ، ليس من السهل دائمًا أخذ نفس x والتقاطه ، لذلك بالنسبة للأرقام الأكثر تعقيدًا ، توجد الخوارزمية التالية:
يجب علينا ممارسة؟
أوجد المضاعف المشترك الأصغر - المضاعف المشترك الأصغر (345 ؛ 234)
دعنا نقسم كل رقم:
لماذا كتبت للتو؟
تذكر علامات القابلية للقسمة على: قابلة للقسمة على (الرقم الأخير زوجي) ومجموع الأرقام قابل للقسمة على.
وفقًا لذلك ، يمكننا القسمة على الفور على النحو التالي.
نكتب الآن أطول توسيع في السطر - الثاني:
دعنا نضيف إليها الأرقام من التوسع الأول ، والتي ليست في ما كتبناه:
ملحوظة: لقد كتبنا كل شيء ماعدا ، لأنه لدينا بالفعل.
الآن نحن بحاجة إلى ضرب كل هذه الأرقام!
ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) بنفسك
ما هي الإجابات التي حصلت عليها؟
هذا ما حدث لي:
كم استغرقت من الوقت لتجد شهادة عدم ممانعة؟ وقتي دقيقتان ، وأنا أعلم حقًا خدعة واحدة، الذي أقترح أن تفتحه الآن!
إذا كنت منتبهًا جدًا ، فمن المحتمل أنك لاحظت أنه بالنسبة للأرقام المحددة التي بحثنا عنها بالفعل GCDويمكنك أخذ تحليل هذه الأرقام إلى عوامل من هذا المثال ، وبالتالي تبسيط مهمتك ، لكن هذا أبعد ما يكون عن كل شيء.
انظر إلى الصورة ، ربما تأتيك بعض الأفكار الأخرى:
نحن سوف؟ سأعطيك تلميحًا: حاول الضرب شهادة عدم ممانعةو GCDفيما بينهم واكتب جميع العوامل التي ستكون عند الضرب. هل تستطيع فعلها؟ يجب أن ينتهي بك الأمر بسلسلة مثل هذه:
ألق نظرة فاحصة عليها: قارن العوامل بكيفية تحللها.
ما هو الاستنتاج الذي يمكنك استخلاصه من هذا؟ بشكل صحيح! إذا ضربنا القيم شهادة عدم ممانعةو GCDفيما بينهم ، نحصل على حاصل ضرب هذه الأرقام.
تبعا لذلك ، وجود الأرقام والمعنى GCD(أو شهادة عدم ممانعة)، نستطيع إيجاد شهادة عدم ممانعة(أو GCD) بالطريقة الآتية:
1. ابحث عن ناتج الأرقام:
2. نقسم الناتج الناتج على GCD (6240; 6800) = 80:
هذا كل شئ.
لنكتب القاعدة بشكل عام:
في محاولة لايجاد GCDإذا عُرف أن:
هل تستطيع فعلها؟ .
الأعداد السالبة - "الأعداد الخاطئة" واعتراف الجنس البشري بها.
كما فهمت بالفعل ، هذه أرقام معاكسة للأرقام الطبيعية ، أي:
يبدو أنهم مميزون جدًا؟
لكن الحقيقة هي أن الأرقام السالبة "فازت" بمكانتها الصحيحة في الرياضيات حتى القرن التاسع عشر (حتى تلك اللحظة كانت كمية كبيرةالخلافات سواء كانت موجودة أم لا).
نشأ الرقم السالب نفسه بسبب هذه العملية ذات الأعداد الطبيعية مثل "الطرح".
في الواقع ، اطرح من - هذا رقم سالب. هذا هو السبب وراء استدعاء مجموعة الأرقام السالبة في كثير من الأحيان "امتداد لمجموعة الأعداد الطبيعية".
لم يتم التعرف على الأرقام السلبية من قبل الناس لفترة طويلة.
لذلك ، مصر القديمة وبابل و اليونان القديمة- أنوار زمانهم لم تتعرف على الأعداد السالبة ، وفي حالة الحصول على جذور سالبة في المعادلة (على سبيل المثال ، كما فعلنا) ، تم رفض الجذور باعتبارها مستحيلة.
لأول مرة حصلت الأرقام السالبة على حقها في الوجود في الصين ، ثم في القرن السابع في الهند.
ما رأيك في هذا الاعتراف؟
هذا صحيح ، بدأت الأرقام السالبة في الإشارة الديون (خلاف ذلك - النقص).
كان يعتقد أن الأرقام السالبة هي قيمة مؤقتة ، ونتيجة لذلك ستتغير إلى قيمة موجبة (أي ، ستظل الأموال تُعاد إلى الدائن). ومع ذلك ، فقد نظر عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا بالفعل في الأعداد السالبة على قدم المساواة مع الأرقام الإيجابية.
في أوروبا ، جاءت فائدة الأرقام السالبة ، فضلاً عن حقيقة أنها يمكن أن تشير إلى الديون ، بعد ذلك بكثير ، أي الألفية.
تمت الإشارة لأول مرة في عام 1202 في "كتاب العداد" بواسطة ليونارد بيزا (أقول على الفور أن مؤلف الكتاب لا علاقة له ببرج بيزا المائل ، لكن أرقام فيبوناتشي هي عمله ( لقب ليوناردو بيزا هو فيبوناتشي)).
لذلك ، في القرن السابع عشر ، اعتقد باسكال ذلك.
كيف تعتقد انه برر ذلك؟
هذا صحيح ، "لا شيء يمكن أن يكون أقل من لا شيء".
يبقى صدى تلك الأوقات حقيقة أن الرقم السالب وعملية الطرح يتم الإشارة إليها بنفس الرمز - ناقص "-". و صحيح: . هل الرقم "" موجب يطرح من أم سالب يضاف إليه؟ .. شيء من السلسلة "الذي يأتي أولاً: الدجاجة أم البيضة؟" هنا نوع من هذه الفلسفة الرياضية.
ضمنت الأرقام السالبة حقهم في الوجود مع ظهور الهندسة التحليلية ، بعبارة أخرى ، عندما قدم علماء الرياضيات شيئًا مثل المحور الحقيقي.
من هذه اللحظة جاءت المساواة. ومع ذلك ، لا تزال هناك أسئلة أكثر من الإجابات ، على سبيل المثال:
نسبة
هذه النسبة تسمى مفارقة أرنو. فكر في الأمر ، ما المشكوك فيه؟
لنتحدث سويًا "" أكثر من "" ، أليس كذلك؟ وبالتالي ، وفقًا للمنطق ، يجب أن يكون الجانب الأيسر من النسبة أكبر من الجانب الأيمن ، لكنهما متساويان ... هنا هو التناقض.
نتيجة لذلك ، اتفق علماء الرياضيات على أن كارل غاوس (نعم ، نعم ، هذا هو الشخص الذي اعتبر مجموع (أو) الأرقام) في عام 1831 قد وضع حدًا لها.
قال إن الأعداد السالبة لها نفس حقوق الأعداد الموجبة ، وحقيقة أنها لا تنطبق على كل الأشياء لا تعني شيئًا ، لأن الكسور لا تنطبق على أشياء كثيرة أيضًا (لا يحدث أن يحفر الحفار حفرة ، لا يمكنك شراء تذكرة دخول إلى السينما وما إلى ذلك).
هدأ علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر فقط ، عندما ابتكر ويليام هاملتون وهيرمان جراسمان نظرية الأعداد السالبة.
هذا هو مدى جدلهم ، هذه الأرقام السلبية.
ظهور "الفراغ" ، أو سيرة الصفر.
في الرياضيات ، رقم خاص.
للوهلة الأولى ، هذا ليس شيئًا: أضف ، اطرح - لن يتغير شيء ، لكن عليك فقط أن تنسبه إلى "" ، وسيكون الرقم الناتج أكبر بعدة مرات من الرقم الأصلي.
بالضرب في الصفر ، نحول كل شيء إلى لا شيء ، لكن لا يمكننا القسمة على "لا شيء". في كلمة ، الرقم السحري)
تاريخ الصفر طويل ومعقد.
تم العثور على أثر للصفر في كتابات الصينيين في عام 2000 م. وحتى في وقت سابق مع المايا. شوهد أول استخدام لرمز الصفر ، كما هو الحال اليوم ، بين علماء الفلك اليونانيين.
هناك إصدارات عديدة من سبب اختيار مثل هذا التعيين "لا شيء".
يميل بعض المؤرخين إلى الاعتقاد بأن هذا هو omicron ، أي الحرف الأول من الكلمة اليونانية التي تعني لا شيء هو ouden. وفقًا لإصدار آخر ، فإن كلمة "obol" (عملة معدنية بلا قيمة تقريبًا) أعطت الحياة لرمز الصفر.
يظهر الصفر (أو الصفر) كرمز رياضي لأول مرة بين الهنود(لاحظ أن الأرقام السالبة بدأت "تتطور" هناك).
يعود أول دليل موثوق على كتابة الصفر إلى 876 ، وفيها "" هو أحد مكونات العدد.
جاء الصفر أيضًا إلى أوروبا متأخرًا - فقط في عام 1600 ، وواجه مقاومة تمامًا مثل الأرقام السالبة (ما الذي يمكنك فعله ، فهم أوروبيون).
"غالبًا ما كان الصفر مكروهًا ، ويخشى لفترة طويلة ، وحتى تم حظره"- يكتب عالم الرياضيات الأمريكي تشارلز سيف.
إذن ، السلطان التركي عبد الحميد الثاني في نهاية القرن التاسع عشر. أمر مراقبيه بحذف صيغة الماء H2O من جميع كتب الكيمياء ، مع أخذ الحرف "O" للصفر وعدم الرغبة في تشويه الأحرف الأولى من اسمه بقربها من الصفر الحقير.
يمكنك العثور على العبارة على الإنترنت: "الصفر هو أقوى قوة في الكون ، ويمكنه فعل أي شيء! يُنشئ الصفر نظامًا في الرياضيات ، كما أنه يُدخل الفوضى فيه. نقطة صحيحة تمامًا :)
ملخص القسم والصيغ الأساسية
تتكون مجموعة الأعداد الصحيحة من 3 أجزاء:
- الأعداد الطبيعية (سننظر فيها بمزيد من التفصيل أدناه) ؛
- أرقام معاكسة للأرقام الطبيعية ؛
- صفر - ""
يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الحرف Z.
1. الأعداد الطبيعية
الأعداد الطبيعية هي الأرقام التي نستخدمها لحساب عدد الكائنات.
يشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية الحرف ن.
في العمليات ذات الأعداد الصحيحة ، ستحتاج إلى القدرة على إيجاد GCD و LCM.
أكبر قواسم مشتركة (GCD)
للعثور على NOD الذي تحتاجه:
- حلل الأرقام إلى عوامل أولية (إلى أرقام لا يمكن تقسيمها بأي شيء آخر غير نفسها أو على سبيل المثال ، إلخ).
- اكتب العوامل التي تشكل جزءًا من كلا العددين.
- اضربهم.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM)
للعثور على شهادة عدم الممانعة التي تحتاجها:
- حلل الأعداد إلى عوامل أولية (أنت تعرف بالفعل كيفية القيام بذلك جيدًا).
- اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام (من الأفضل أن تأخذ أطول سلسلة).
- أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية.
- أوجد ناتج العوامل الناتجة.
2. الأعداد السالبة
هذه أرقام معاكسة للأعداد الطبيعية ، أي:
الآن أريد أن أسمع منك ...
أتمنى أن تكون قد قدّرت "الحيل" المفيدة للغاية في هذا القسم وفهمت كيف ستساعدك في الامتحان.
والأهم من ذلك ، في الحياة. أنا لا أتحدث عن ذلك ، لكن صدقوني ، هذا هو. القدرة على العد بسرعة وبدون أخطاء تحفظ في كثير من مواقف الحياة.
الان حان دورك!
اكتب ، هل ستستخدم طرق التجميع ومعايير القسمة و GCD و LCM في الحسابات؟
ربما كنت قد استخدمتها من قبل؟ أين وكيف؟
ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.
اكتب في التعليقات كيف تحب المقال.
ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!
الأعداد الكلية -هذه هي الأعداد الطبيعية ، وكذلك الأعداد المقابلة لها والصفر.
الأعداد الكلية- تمديد مجموعة الأعداد الطبيعية ن، والتي يتم الحصول عليها عن طريق الإضافة إلى ن 0 والأرقام السالبة مثل - ن. تشير مجموعة الأعداد الصحيحة ض.
يعطي مجموع الأعداد الصحيحة وفرقها وحاصل ضربها الأعداد الصحيحة مرة أخرى ، أي تشكل الأعداد الصحيحة حلقة فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب.
الأعداد الصحيحة على خط الأعداد:
كم عدد الاعداد الصحيحة؟ كم عدد الاعداد الصحيحة؟ لا يوجد أكبر أو أصغر عدد صحيح. هذه السلسلة لا تنتهي. أكبر وأصغر عدد صحيح غير موجود.
تسمى الأعداد الطبيعية أيضًا إيجابي الأعداد الكلية، بمعنى آخر. العبارة " عدد طبيعي"و" عدد صحيح موجب "هي نفسها.
لا تعتبر الكسور الشائعة ولا العشرية أعدادًا صحيحة. لكن هناك كسور بها أعداد صحيحة.
أمثلة عدد صحيح: -8, 111, 0, 1285642, -20051 وهلم جرا.
بعبارات بسيطة ، الأعداد الصحيحة هي (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) هو سلسلة من الأعداد الصحيحة. أي ، تلك التي الجزء الكسري (()) يساوي الصفر. ليس لديهم مشاركات.
الأعداد الطبيعية هي أرقام صحيحة وموجبة. الأعداد الكلية، أمثلة: (1,2,3,4...+ ∞).
عمليات على الأعداد الصحيحة.
1. مجموع الأعداد الصحيحة.
لإضافة عددين صحيحين بنفس العلامة ، تحتاج إلى إضافة وحدات هذه الأرقام ووضع العلامة النهائية أمام المجموع.
مثال:
(+2) + (+5) = +7.
2. طرح الأعداد الصحيحة.
لإضافة عددين صحيحين مع علامات مختلفة، من الضروري طرح مقياس العدد الأقل من مقياس العدد الأكبر ووضع علامة رقم المقياس الأكبر قبل الإجابة.
مثال:
(-2) + (+5) = +3.
3. مضاعفة الأعداد الصحيحة.
لضرب عددين صحيحين ، من الضروري ضرب الوحدات النمطية لهذه الأرقام ووضع علامة الجمع (+) أمام المنتج إذا كانت الأرقام الأصلية من نفس العلامة ، وسالب (-) إذا كانت مختلفة.
مثال:
(+2) ∙ (-3) = -6.
عند ضرب عدة أرقام ، ستكون علامة المنتج موجبة إذا كان عدد العوامل غير الموجبة زوجيًا وسالب إذا كان فرديًا.
مثال:
(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 عوامل غير إيجابية).
4. تقسيم الأعداد الصحيحة.
لتقسيم الأعداد الصحيحة ، من الضروري قسمة مقياس أحدهما على معامل الآخر ووضع علامة "+" أمام النتيجة إذا كانت علامات الأرقام هي نفسها ، وناقصًا إذا كانت مختلفة.
مثال:
(-12) : (+6) = -2.
خصائص الأعداد الصحيحة.
Z غير مغلق تحت قسمة 2 أعداد صحيحة ( على سبيل المثال ، 1/2). يوضح الجدول أدناه بعض الخصائص الأساسية للجمع والضرب لأي أعداد صحيحة. أ ، بو ج.
ملكية |
إضافة |
عمليه الضرب |
عزل |
أ + ب- كامل |
أ × ب- كامل |
الترابطية |
أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج |
أ × ( ب × ج) = (أ × ب) × ج |
التبديل |
أ + ب = ب + أ |
أ × ب = ب × أ |
وجود عنصر محايد |
أ + 0 = أ |
أ × 1 = أ |
وجود العنصر المعاكس |
أ + (−أ) = 0 |
أ ≠ ± 1 ⇒ 1 / أليس كله |
التوزيعية الضرب بالنسبة ل الاضافات |
أ × ( ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج) |
من الجدول يمكن استنتاج أن ضهي حلقة تبادلية بوحدة تحت الجمع والضرب.
لا يوجد قسمة قياسية على مجموعة الأعداد الصحيحة ، ولكن هناك ما يسمى ب قسمة مع الباقي: لأي أعداد صحيحة أو ب, ب ≠ 0، هناك مجموعة واحدة من الأعداد الصحيحة فو ص، ماذا او ما أ = بك + صو 0≤r<|b| ، أين | ب |هي القيمة المطلقة (الوحدة النمطية) للرقم ب. هنا أ- قابل للقسمة ب- مقسم ف- خاص، ص- بقية.
لأول مرة بدأ استخدام الأرقام السالبة في الصين والهند القديمة ، وفي أوروبا تم إدخالها في الاستخدام الرياضي من قبل نيكولاس شوكيه (1484) ومايكل ستيفل (1544).
الخصائص الجبرية
لم يتم إغلاقها تحت قسمة عددين صحيحين (على سبيل المثال ، 1/2). يوضح الجدول التالي العديد من الخصائص الأساسية للجمع والضرب لأي أعداد صحيحة. أ, بو ج.
إضافة | عمليه الضرب | |
إنهاء : | أ + ب- كامل | أ × ب- كامل |
الارتباط: | أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج | أ × ( ب × ج) = (أ × ب) × ج |
التبادلية: | أ + ب = ب + أ | أ × ب = ب × أ |
وجود عنصر محايد: | أ + 0 = أ | أ× 1 = أ |
وجود عنصر معاكس: | أ + (−أ) = 0 | أ≠ ± 1 1 / أليس كله |
توزيعية الضرب بالنسبة إلى الإضافة: | أ × ( ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج) |
أنظمة الأرقام | العنوان 4 = التسلسل الهرمي للأرقام | القائمة 4 =
|
|||||||||||||
ارقام مركبة |
أنظمة الأرقام
| list5 = الأرقام الأساسية - يجب عليك بالتأكيد الانتقال إلى السرير ، لن يكون ذلك ممكنًا هنا ...
كان المريض محاطًا بالأطباء والأميرات والخدم لدرجة أن بيير لم يعد يرى ذلك الرأس الأحمر والأصفر مع بدة رمادية ، والتي ، على الرغم من حقيقة أنه رأى وجوهًا أخرى ، لم يغيب عن الأنظار للحظة أثناء الخدمة بأكملها . خمن بيير من الحركة الحذرة للأشخاص المحيطين بالكرسي أن الرجل المحتضر قد تم رفعه وحمله.
"تمسك بيدي ، سوف تسقطها هكذا ،" سمع الهمس الخائف لأحد الخدم ، "من الأسفل ... واحد آخر" ، وأصوات التنفس الثقيل وخطوات أقدام الناس أسرع ، وكأن العبء الذي كانوا يتحملونه كان يفوق قوتهم.
قام حاملو الحمل ، ومن بينهم آنا ميخائيلوفنا ، بالتساوي مع الشاب ، وللحظة ، من خلف ظهور وظهر رؤوس الناس ، صدر مرتفع ، سمين ، مفتوح ، أكتاف المريض السمينة ، مرفوعة للأعلى من قبل الناس يمسكونه تحت الإبطين ، ورأس أسد مجعد أشيب الشعر. هذا الرأس ، بجبهة ووجنتين عريضتين بشكل غير عادي ، وفم حسي جميل ونظرة باردة مهيبة ، لم يتشوه قرب الموت. كانت هي نفسها التي عرفها بيير قبل ثلاثة أشهر ، عندما سمح له الكونت بالذهاب إلى بطرسبورغ. لكن هذا الرأس تمايل بلا حول ولا قوة عن الدرجات غير المستوية لحامله ، ولم تعرف النظرة الباردة غير المبالية أين تتوقف.
مرت بضع دقائق من الضجة بجوار السرير المرتفع ؛ تفرق الناس الذين يحملون الرجل المريض. لمست آنا ميخائيلوفنا يد بيير وقالت له: "فنزويلا". [انطلق] صعد بيير ، معها ، إلى السرير ، الذي وضع عليه الرجل المريض ، في وضع احتفالي ، مرتبط على ما يبدو بالسر الذي تم إجراؤه للتو. استلقى ورأسه مرتفعًا على الوسائد. كانت يداه مفرودتان بشكل متماثل على بطانية حريرية خضراء ، وراحتا راحتاه إلى أسفل. عندما اقترب بيير ، نظر الكونت إليه مباشرة ، لكنه نظر بهذه النظرة ، التي لا يمكن لأي شخص أن يفهم معناها ومعناها. إما أن هذه النظرة لم تقل شيئًا على الإطلاق ، فقط أنه ما دامت هناك عيون ، يجب على المرء أن ينظر في مكان ما ، أو أنه قال الكثير. توقف بيير ، دون أن يعرف ماذا يفعل ، ونظر بتساؤل إلى قائده ، آنا ميخائيلوفنا. قامت آنا ميخائيلوفنا بإيماءة مستعجلة بأعينها ، مشيرة إلى يد المريض وقبلتها بشفتيها. قام بيير ، الذي كان يمد رقبته بجد حتى لا يمسك بالبطانية ، بنصائحها ويقبل يدها الضخمة والجسمية. لم ترتعد يد ، ولا عضلة واحدة من وجه الكونت. نظر بيير مرة أخرى مستفسرًا إلى آنا ميخائيلوفنا ، ويسأل الآن عما يجب عليه فعله. أشارت إليه آنا ميخائيلوفنا بعينيها كرسي بجانب السرير. بدأ بيير مطيعًا بالجلوس على كرسي بذراعين ، واستمر في سؤال عينيه عما إذا كان قد فعل ما هو مطلوب. أومأت آنا ميخائيلوفنا برأسها موافقًا. افترض بيير مرة أخرى الموقف الساذج المتماثل للتمثال المصري ، ويبدو أنه يعزي أن جسده الأخرق والدهون احتل مثل هذه المساحة الكبيرة ، واستخدم كل قوته العقلية ليبدو أصغر ما يمكن. نظر إلى العد. نظر الكونت إلى المكان الذي كان فيه وجه بيير ، بينما كان واقفًا. أظهرت آنا ميخائيلوفنا ، في منصبها ، وعيًا بالأهمية المؤثرة لهذه اللحظة الأخيرة من اللقاء بين الأب والابن. استمر هذا لمدة دقيقتين ، والتي بدت لبيير ساعة. فجأة ظهرت قشعريرة في العضلات الكبيرة وتجاعيد وجه العد. اشتد الارتجاف ، والتواء الفم الجميل (عندها فقط أدرك بيير إلى أي مدى كان والده على وشك الموت) ، وسمع صوت أجش غير واضح من الفم الملتوي. نظرت آنا ميخائيلوفنا بجدية في عيون المريض ، وحاولت تخمين ما يحتاجه ، أشارت إما إلى بيير ، ثم إلى المشروب ، ثم في همس اتصلت بالأمير فاسيلي مستفسرة ، ثم أشارت إلى البطانية. أظهرت عيون المريض ووجهه نفاد صبره. لقد بذل جهدًا للنظر إلى الخادم الذي كان يقف على رأس السرير دون أن يغادر.
"إنهم يريدون أن يتدحرجوا على الجانب الآخر" ، همس الخادم ووقف ليقلب جسد الكونت الثقيل المواجه للحائط.
نهض بيير لمساعدة الخادم.
أثناء قلب العد ، تراجعت إحدى ذراعيه إلى الوراء بلا حول ولا قوة ، وبذل جهدًا عبثًا لسحبه. هل لاحظ العد تلك النظرة المرعبة التي نظر بها بيير إلى هذه اليد الميتة ، أو ما ألقى به الفكر الآخر من خلال رأسه المحتضر في تلك اللحظة ، لكنه نظر إلى اليد المتمردة ، في تعبير الرعب في وجه بيير ، مرة أخرى إلى في يده ، وعلى وجهه ابتسامة ضعيفة ، معاناة لا تتماشى مع ملامحه ، معبرة ، كما هي ، عن السخرية من عجزه. فجأة ، عند رؤية هذه الابتسامة ، شعر بيير بقشعريرة في صدره ، وضربة في أنفه ، وغابت الدموع على بصره. تم قلب المريض على جانبه مقابل الحائط. انه تنهد.
- Il est assoupi ، [غفوت] - قالت آنا ميخائيلوفنا ، ولاحظت الأميرة التي جاءت لتحل محلها. - ألونس. [لنذهب إلى.]
غادر بيير.
إلى الأعداد الكليةتشمل الأعداد الطبيعية والصفر والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية.
عدد صحيحهي أعداد صحيحة موجبة.
على سبيل المثال: 1 ، 3 ، 7 ، 19 ، 23 ، إلخ. نستخدم هذه الأرقام للعد (هناك 5 تفاحات على الطاولة ، والسيارة بها 4 عجلات ، وما إلى ذلك).
الحرف اللاتيني \ mathbb (N) - يُشار إليه مجموعة من الأعداد الطبيعية.
لا يمكن أن تتضمن الأرقام الطبيعية سالبة (لا يمكن أن يحتوي الكرسي على عدد سالب من الأرجل) وأرقام كسرية (لم يتمكن إيفان من بيع 3.5 دراجات).
الأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة السالبة: -8 ، -148 ، -981 ، ....
العمليات الحسابية مع الأعداد الصحيحة
ماذا يمكنك ان تفعل مع الاعداد الصحيحه؟ يمكن ضربها وإضافتها وطرحها من بعضها البعض. دعنا نحلل كل عملية على مثال محدد.
إضافة عدد صحيح
يتم إضافة عددين صحيحين لهما نفس العلامات على النحو التالي: يتم إضافة وحدات هذه الأرقام ويسبق المجموع الناتج بعلامة نهائية:
(+11) + (+9) = +20
طرح الأعداد الصحيحة
يُضاف عددين صحيحين بعلامات مختلفة على النحو التالي: يُطرح مقياس العدد الأصغر من مقياس العدد الأكبر ، وتوضع علامة الرقم المعياري الأكبر أمام الإجابة:
(-7) + (+8) = +1
الضرب الصحيح
لضرب عدد صحيح في آخر ، تحتاج إلى ضرب الوحدات النمطية لهذه الأرقام ووضع علامة "+" أمام الإجابة المستلمة إذا كانت الأرقام الأصلية بنفس العلامات ، وعلامة "-" إذا كانت الأرقام الأصلية بعلامات مختلفة:
(-5) \ cdot (+3) = -15
(-3) \ cdot (-4) = +12
يجب أن تتذكر ما يلي قاعدة ضرب العدد الصحيح:
+ \ cdot + = +
+ \ cdot - = -
- \ cdot + = -
- \ cdot - = +
هناك قاعدة لضرب عدة أعداد صحيحة. لنتذكرها:
ستكون علامة المنتج "+" إذا كان عدد العوامل ذات الإشارة السالبة زوجيًا و "-" إذا كان عدد العوامل التي بها علامة سالبة فرديًا.
(-5) \ cdot (-4) \ cdot (+1) \ cdot (+6) \ cdot (+1) = +120
تقسيم الأعداد الصحيحة
تتم عملية قسمة عددين صحيحين على النحو التالي: يُقسم معامل أحد الأرقام على معامل الآخر ، وإذا كانت علامات الأرقام متطابقة ، فسيتم وضع علامة "+" أمام حاصل القسمة الناتج ، وإذا كانت إشارات الأرقام الأصلية مختلفة ، يتم وضع علامة "-".
(-25) : (+5) = -5
خواص جمع وضرب الأعداد الصحيحة
دعنا نحلل الخصائص الأساسية للجمع والضرب لأي أعداد صحيحة a و b و c:
- أ + ب = ب + أ - خاصية تبادلية للإضافة ؛
- (أ + ب) + ج \ u003d أ + (ب + ج) - الخاصية الترابطية للإضافة ؛
- أ \ cdot ب = ب \ cdot أ - خاصية تبادلية للضرب ؛
- (a \ cdot c) \ cdot b = a \ cdot (b \ cdot c)- الخواص الترابطية لعملية الضرب ؛
- أ \ cdot (ب \ cdot ج) = أ \ cdot ب + أ \ cdot جهي خاصية توزيع الضرب.
في هذه المقالة ، سوف نحدد مجموعة من الأعداد الصحيحة ، وننظر في الأعداد الصحيحة التي تسمى موجبة وأيها سالبة. سنبين أيضًا كيفية استخدام الأعداد الصحيحة لوصف التغيير في بعض الكميات. لنبدأ بتعريف وأمثلة الأعداد الصحيحة.
الأعداد الكلية. التعريف والأمثلة
أولًا ، لنتذكر الأعداد الطبيعية ℕ. يشير الاسم نفسه إلى أن هذه هي الأرقام التي تم استخدامها بشكل طبيعي للعد منذ زمن بعيد. من أجل تغطية مفهوم الأعداد الصحيحة ، نحتاج إلى توسيع تعريف الأعداد الطبيعية.
تعريف 1. عدد صحيح
الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية وأضدادها والرقم صفر.
يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف ℤ.
مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ هي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة ℤ. كل عدد طبيعي هو عدد صحيح ، ولكن ليس كل عدد صحيح هو عدد طبيعي.
ويترتب على التعريف أن أيًا من الأرقام 1 ، 2 ، 3 هو عدد صحيح. . ، الرقم 0 ، وكذلك الأرقام - 1 ، - 2 ، - 3 ،. .
وفقا لذلك ، نعطي أمثلة. الأرقام 39 ، - 589 ، 10000000 ، - 1596 ، 0 هي أعداد صحيحة.
دع خط الإحداثيات يتم رسمه أفقيًا وتوجيهه إلى اليمين. دعنا نلقي نظرة عليها لتصور موقع الأعداد الصحيحة على خط مستقيم.
تتوافق النقطة المرجعية على خط الإحداثيات مع الرقم 0 ، وتتوافق النقاط الموجودة على جانبي الصفر مع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. كل نقطة تتوافق مع عدد صحيح واحد.
يمكن الوصول إلى أي نقطة على خط مستقيم يكون إحداثياتها عددًا صحيحًا من خلال تنحية عدد معين من أجزاء الوحدة من الأصل.
الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة
من بين جميع الأعداد الصحيحة ، من المنطقي التمييز بين الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. دعونا نعطي تعريفاتهم.
التعريف 2. الأعداد الصحيحة الموجبة
الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد صحيحة بعلامة الجمع.
على سبيل المثال ، الرقم 7 هو عدد صحيح بعلامة الجمع ، أي عدد صحيح موجب. على خط الإحداثيات ، يقع هذا الرقم على يمين النقطة المرجعية التي تم أخذ الرقم 0 لها. أمثلة أخرى للأعداد الصحيحة الموجبة: 12 ، 502 ، 42 ، 33 ، 100500.
التعريف 3. الأعداد الصحيحة السلبية
الأعداد الصحيحة السالبة هي الأعداد الصحيحة مع علامة الطرح.
أمثلة على الأعداد الصحيحة السالبة: - 528 ، - 2568 ، - 1.
الرقم 0 يفصل بين الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة وهو في حد ذاته ليس موجبًا ولا سالبًا.
أي رقم يعاكس عددًا صحيحًا موجبًا هو ، حسب التعريف ، عددًا صحيحًا سالبًا. والعكس صحيح أيضا. مقلوب أي عدد صحيح سالب هو عدد صحيح موجب.
من الممكن إعطاء صيغ أخرى لتعريف الأعداد الصحيحة السالبة والموجبة ، باستخدام مقارنتها مع الصفر.
التعريف 4. الأعداد الصحيحة الموجبة
الأعداد الصحيحة الموجبة هي الأعداد الصحيحة التي تكون أكبر من الصفر.
تعريف 5. الأعداد الصحيحة السلبية
الأعداد الصحيحة السالبة هي الأعداد الصحيحة التي تقل عن الصفر.
وفقًا لذلك ، تقع الأرقام الموجبة على يمين الأصل على خط الإحداثيات ، وتقع الأعداد الصحيحة السالبة على يسار الصفر.
قلنا سابقًا أن الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة. دعنا نوضح هذه النقطة. مجموعة الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة موجبة. في المقابل ، مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة هي مجموعة الأعداد المقابلة للأرقام الطبيعية.
مهم!
يمكن تسمية أي عدد طبيعي بعدد صحيح ، لكن لا يمكن تسمية أي عدد صحيح بعدد طبيعي. للإجابة على سؤال ما إذا كانت الأرقام السالبة طبيعية ، يجب على المرء أن يقول بجرأة - لا ، إنها ليست كذلك.
الأعداد الصحيحة غير الموجبة وغير السالبة
دعونا نعطي تعريفات.
التعريف 6. الأعداد الصحيحة غير السالبة
الأعداد الصحيحة غير السالبة هي أعداد صحيحة موجبة والرقم صفر.
التعريف 7. الأعداد الصحيحة غير الموجبة
الأعداد الصحيحة غير الموجبة هي الأعداد الصحيحة السالبة والرقم صفر.
كما ترى ، الرقم صفر ليس موجبًا ولا سالبًا.
أمثلة على الأعداد الصحيحة غير السالبة: 52 ، 128 ، 0.
أمثلة على الأعداد الصحيحة غير الموجبة: - 52 ، - 128 ، 0.
الرقم غير السالب هو رقم أكبر من أو يساوي الصفر. وفقًا لذلك ، فإن العدد الصحيح غير الموجب هو رقم أصغر من أو يساوي الصفر.
يتم استخدام المصطلحين "رقم غير موجب" و "رقم غير سالب" للإيجاز. على سبيل المثال ، بدلاً من قول أن الرقم أ هو عدد صحيح أكبر من أو يساوي الصفر ، يمكنك أن تقول: أ هو عدد صحيح غير سالب.
استخدام الأعداد الصحيحة عند وصف التغييرات في القيم
ما هي الأعداد الصحيحة المستخدمة؟ بادئ ذي بدء ، من السهل بمساعدتهم وصف وتحديد التغيير في عدد أي كائنات. لنأخذ مثالا.
دع عددًا معينًا من أعمدة الكرنك يتم تخزينها في المستودع. إذا تم إحضار 500 عمود مرفقي آخر إلى المستودع ، سيزداد عددها. الرقم 500 يعبر فقط عن التغيير (الزيادة) في عدد الأجزاء. إذا تم سحب 200 جزء من المستودع ، فإن هذا الرقم سيميز أيضًا التغيير في عدد أعمدة الكرنك. هذه المرة في اتجاه التخفيض.
إذا لم يتم أخذ أي شيء من المستودع ولم يتم إحضار أي شيء ، فسيشير الرقم 0 إلى ثبات عدد الأجزاء.
الراحة الواضحة لاستخدام الأعداد الصحيحة ، على عكس الأرقام الطبيعية ، هي أن علامتها تشير بوضوح إلى اتجاه التغيير في الحجم (زيادة أو نقصان).
يمكن تمييز انخفاض درجة الحرارة بمقدار 30 درجة برقم سالب - 30 ، وزيادة بمقدار درجتين - بعدد صحيح موجب 2.
هنا مثال آخر باستخدام الأعداد الصحيحة. هذه المرة ، لنتخيل أنه يتعين علينا إعطاء 5 عملات معدنية لشخص ما. بعد ذلك ، يمكننا القول أن لدينا - 5 عملات معدنية. يصف الرقم 5 مبلغ الدين ، وتشير علامة الطرح إلى أنه يجب علينا إعادة القطع النقدية.
إذا كنا مدينين بعملة معدنية لشخص واحد و 3 عملات لشخص آخر ، فيمكن حساب إجمالي الدين (5 عملات معدنية) بقاعدة إضافة الأرقام السالبة:
2 + (- 3) = - 5
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter