Funkcija diskretne distribucije. Funkcija distribucije slučajne varijable

Vježba 1. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X ima oblik:
Nađi:
a) parametar A;
b) funkcija raspodjele F(x) ;
c) vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu;
G) očekivanu vrijednost MX i varijansa DX .
Nacrtajte funkcije f(x) i F(x) .

Zadatak 2. Pronađite varijansu slučajne varijable X datu integralnom funkcijom.

Zadatak 3. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X datu funkciju distribucija.

Zadatak 4. Gustoća vjerovatnoće neke slučajne varijable je data na sljedeći način: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Odrediti koeficijent A, funkciju raspodjele F(x), matematičko očekivanje i varijansu, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu. Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Zadatak. Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable data je na sljedeći način:

Odrediti parametre a i b , pronaći izraz za gustinu vjerovatnoće f(x), matematičko očekivanje i varijansu, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu . Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Nađimo funkciju gustine distribucije kao derivaciju funkcije distribucije.
F′=f(x)=a
Znajući da ćemo pronaći parametar a:

ili 3a=1, odakle je a = 1/3
Parametar b nalazimo iz sljedećih svojstava:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Dakle, funkcija distribucije je: F(x) = (x-1)/3

Očekivana vrijednost.


Disperzija.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Primjer #1. Zadana je gustina raspodjele vjerovatnoće f(x) kontinuirane slučajne varijable X. Obavezno:

1. Odrediti koeficijent A.
2. naći funkciju distribucije F(x) .
3. shematski nacrtajte F(x) i f(x) .
4. naći matematičko očekivanje i varijansu X .
5. naći vjerovatnoću da X uzme vrijednost iz intervala (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Rješenje:

Slučajna varijabla X je data gustinom distribucije f(x):

Nađite parametar A iz uslova:



ili
14/3*A-1=0
gdje,
A = 3 / 14

Funkcija distribucije se može naći po formuli.

Za pronalaženje funkcija distribucije slučajnih varijabli i njihovih varijabli potrebno je proučiti sve karakteristike ove oblasti znanja. Postoji nekoliko različitih metoda za pronalaženje dotičnih vrijednosti, uključujući promjenu varijable i generiranje trenutka. Distribucija je koncept zasnovan na elementima kao što su disperzija, varijacije. Međutim, oni karakterišu samo stepen dometa raspršenja.

Važnije funkcije slučajnih varijabli su one koje su povezane i nezavisne i jednako raspoređene. Na primjer, ako je X1 težina nasumično odabrane osobe iz muške populacije, X2 je težina druge, ..., a Xn je težina još jedne osobe iz muške populacije, onda moramo znati kako slučajna funkcija X je distribuirana. U ovom slučaju se primjenjuje klasična teorema koja se zove središnja granična teorema. To nam omogućava da pokažemo da za veliko n funkcija slijedi standardne distribucije.

Funkcije jedne slučajne varijable

Centralna granična teorema je dizajnirana da aproksimira diskretne vrijednosti u pitanju, kao što su binom i Poisson. Funkcije distribucije slučajnih varijabli razmatraju se, prije svega, na jednostavnim vrijednostima jedne varijable. Na primjer, ako je X kontinuirana slučajna varijabla koja ima vlastitu distribuciju vjerovatnoće. U ovom slučaju istražujemo kako pronaći funkciju gustoće Y koristeći dva različita pristupa, odnosno metodu funkcije distribucije i promjenu varijable. Prvo, uzimaju se u obzir samo vrijednosti jedan na jedan. Zatim morate modifikovati tehniku ​​promene varijable da biste pronašli njenu verovatnoću. Konačno, potrebno je naučiti kako kumulativna distribucija može pomoći modeliranju slučajnih brojeva koji slijede određene sekvencijalne obrasce.

Način raspodjele razmatranih vrijednosti

Metoda funkcije raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable je primjenjiva za pronalaženje njene gustine. Kada se koristi ova metoda, izračunava se kumulativna vrijednost. Zatim, diferenciranjem, možete dobiti gustinu vjerovatnoće. Sada kada imamo metodu funkcije distribucije, možemo pogledati još nekoliko primjera. Neka je X kontinuirana slučajna varijabla sa određenom gustinom vjerovatnoće.

Koja je funkcija gustoće vjerovatnoće za x2? Ako pogledate ili nacrtate funkciju (gore i desno) y = x2, možete primijetiti da je to povećanje X i 0

U posljednjem primjeru, velika pažnja je korištena za indeksiranje kumulativnih funkcija i gustoće vjerovatnoće sa X ili Y kako bi se naznačilo kojoj slučajnoj varijabli pripadaju. Na primjer, pri pronalaženju funkcije kumulativne distribucije Y dobili smo X. Ako trebate pronaći slučajnu varijablu X i njenu gustoću, onda je samo trebate razlikovati.

Tehnika promjene varijabli

Neka je X kontinuirana slučajna varijabla data funkcijom distribucije sa zajedničkim nazivnikom f(x). U ovom slučaju, ako stavite vrijednost y u X = v (Y), onda ćete dobiti vrijednost x, na primjer v (y). Sada trebamo dobiti funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable Y. Gdje se prva i druga jednakost odvijaju iz definicije kumulativnog Y. Treća jednakost vrijedi jer je dio funkcije za koji je u (X) ≤ y takođe je tačno da je X ≤ v (Y ). Potonje se radi da bi se odredila vjerovatnoća u kontinuiranoj slučajnoj varijabli X. Sada trebamo uzeti derivat FY (y), kumulativnu funkciju raspodjele Y, da dobijemo gustinu vjerovatnoće za Y.

Generalizacija za funkciju redukcije

Neka je X kontinuirana slučajna varijabla sa zajedničkim f(x) definiranim preko c1

Da bi se riješio ovaj problem, mogu se prikupiti kvantitativni podaci i koristiti empirijska kumulativna funkcija distribucije. Sa ovim informacijama i privlačnim za njih, morate kombinirati uzorke sredstava, standardne devijacije, medijske podatke itd.

Slično tome, čak i prilično jednostavan probabilistički model može imati ogroman broj rezultata. Na primjer, ako bacite novčić 332 puta. Tada je broj rezultata dobivenih okretanjem veći od rezultata google (10100) - broj, ali ne manje od 100 kvintiliona puta veći od elementarnih čestica u poznatom svemiru. Ne zanima me analiza koja daje odgovor na svaki mogući ishod. Potreban bi bio jednostavniji koncept, kao što je broj glava ili najduži potez repa. Da bi se fokusirali na pitanja od interesa, prihvata se određeni rezultat. Definicija u ovom slučaju je sljedeća: slučajna varijabla je realna funkcija sa prostorom vjerovatnoće.

Opseg S slučajne varijable se ponekad naziva prostorom stanja. Dakle, ako je X vrijednost o kojoj je riječ, onda je N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, i tako dalje. Posljednji od njih, zaokružujući X na najbliži cijeli broj, naziva se funkcija poda.

Funkcije distribucije

Nakon što je određena funkcija distribucije od interesa za slučajnu varijablu x, obično se postavlja pitanje: "Koje su šanse da X padne u neki podskup B?" Na primjer, B = (neparni brojevi), B = (veći od 1) ili B = (između 2 i 7) za označavanje onih rezultata koji imaju X, vrijednost slučajne varijable, u podskupu A. Dakle, u gore navedenom Na primjer, događaje možete opisati na sljedeći način.

(X je neparan broj), (X je veći od 1) = (X > 1), (X je između 2 i 7) = (2

Slučajne varijable i funkcije distribucije

Dakle, moguće je izračunati vjerovatnoću da će funkcija distribucije slučajne varijable x poprimiti vrijednosti u intervalu oduzimanjem. Potrebno je razmotriti uključivanje ili isključivanje krajnjih tačaka.

Slučajnu varijablu ćemo nazvati diskretnom ako ima konačan ili prebrojivo beskonačan prostor stanja. Dakle, X je broj glava na tri nezavisna bacanja pristrasnog novčića koji raste sa vjerovatnoćom p. Moramo pronaći kumulativnu funkciju distribucije diskretne slučajne varijable FX za X. Neka je X broj vrhova u kolekciji od tri karte. Tada je Y = X3 preko FX. FX počinje na 0, završava na 1 i ne smanjuje se kako se x vrijednosti povećavaju. Kumulativna funkcija distribucije FX diskretne slučajne varijable X je konstantna, osim za skokove. Prilikom skoka FX je kontinuiran. Tvrdnju o ispravnom kontinuitetu funkcije distribucije moguće je dokazati iz svojstva vjerovatnoće korištenjem definicije. Zvuči ovako: konstantna slučajna varijabla ima kumulativni FX koji se može razlikovati.

Da pokažemo kako se to može dogoditi, možemo dati primjer: cilj sa jediničnim radijusom. Pretpostavljam. strelica je ravnomjerno raspoređena po navedenom području. Za neki λ> 0. Dakle, funkcije distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli raste glatko. FX ima svojstva funkcije distribucije.

Čovjek čeka na autobuskoj stanici dok autobus ne stigne. Odlučivši za sebe da će odbiti kada čekanje dostigne 20 minuta. Ovdje je potrebno pronaći kumulativnu funkciju raspodjele za T. Vrijeme kada će osoba i dalje biti na autobuskoj stanici ili neće otići. Unatoč činjenici da je kumulativna funkcija distribucije definirana za svaku slučajnu varijablu. Ipak, druge karakteristike će se često koristiti: masa za diskretnu varijablu i funkcija gustine raspodjele slučajne varijable. Obično se vrijednost izlazi kroz jednu od ove dvije vrijednosti.

Bulk Funkcije

Ove vrijednosti se smatraju sljedećim svojstvima, koja su opšteg (masovnog) karaktera. Prvi se zasniva na činjenici da vjerovatnoće nisu negativne. Drugi slijedi iz zapažanja da skup za sve x=2S, prostor stanja za X, čini particiju vjerovatnoće slobode X. Primjer: bacanja pristrasnog novčića čiji su rezultati nezavisni. Možete nastaviti izvoditi određene radnje dok ne dobijete bacanje glava. Neka X označava slučajnu varijablu koja daje broj repova ispred prve glave. I p označava vjerovatnoću u bilo kojoj radnji.

Dakle, funkcija vjerovatnoće mase ima sljedeće karakteristične karakteristike. Pošto termini formiraju numerički niz, X se naziva geometrijska slučajna varijabla. Geometrijska shema c, cr, cr2,. , crn ima sumu. I, prema tome, sn ima granicu kao n 1. U ovom slučaju, beskonačni zbir je granica.

Funkcija mase iznad formira geometrijski niz s omjerom. Dakle, prirodni brojevi a i b. Razlika u vrijednostima funkcije raspodjele jednaka je vrijednosti funkcije mase.

Vrijednosti gustoće koje se razmatraju imaju sljedeću definiciju: X je slučajna varijabla čija distribucija FX ima derivat. FX koji zadovoljava Z xFX (x) = fX (t) dt-1 naziva se funkcija gustoće vjerovatnoće. A X se naziva kontinuirana slučajna varijabla. U osnovnoj teoremi računa, funkcija gustoće je derivacija distribucije. Možete izračunati vjerovatnoće tako što ćete izračunati određene integrale.

Budući da se podaci prikupljaju iz višestrukih opservacija, mora se uzeti u obzir više od jedne slučajne varijable u isto vrijeme kako bi se modelirali eksperimentalni postupci. Dakle, skup ovih vrijednosti i njihova zajednička distribucija za dvije varijable X1 i X2 znači gledanje događaja. Za diskretne slučajne varijable, definirane su zajedničke probabilističke funkcije mase. Za kontinualne, razmatraju se fX1, X2, gdje je zadovoljena zajednička gustina vjerovatnoće.

Nezavisne slučajne varijable

Dvije slučajne varijable X1 i X2 su nezavisne ako su bilo koja dva događaja povezana s njima ista. Riječima, vjerovatnoća da se dva događaja (X1 2 B1) i (X2 2 B2) dogode u isto vrijeme, y, jednaka je proizvodu gornjih varijabli, da se svaki od njih dogodi pojedinačno. Za nezavisne diskretne slučajne varijable postoji zajednička probabilistička funkcija mase, koja je proizvod graničnog volumena jona. Za kontinuirane slučajne varijable koje su nezavisne, zajednička funkcija gustoće vjerovatnoće je proizvod vrijednosti granične gustoće. Konačno, razmatraju se n nezavisnih opažanja x1, x2. , xn koji proizlazi iz nepoznate funkcije gustine ili mase f. Na primjer, nepoznati parametar u funkcijama za eksponencijalnu slučajnu varijablu koja opisuje vrijeme čekanja za sabirnicu.

Simulacija slučajnih varijabli

Glavni cilj ove teorijske oblasti je da obezbedi alate potrebne za razvoj inferencijalnih procedura zasnovanih na zdravim principima statističke nauke. Dakle, jedan vrlo važan slučaj upotrebe softvera je sposobnost generiranja pseudo podataka koji oponašaju stvarne informacije. Ovo omogućava da se testiraju i poboljšaju metode analize prije nego što se moraju koristiti u stvarnim bazama podataka. Ovo je potrebno kako bi se istražila svojstva podataka kroz modeliranje. Za mnoge najčešće korišćene porodice slučajnih varijabli, R obezbeđuje komande za njihovo generisanje. Za druge okolnosti, biće potrebne metode za modeliranje niza nezavisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku distribuciju.

Diskretne slučajne varijable i uzorak naredbe. Naredba sample se koristi za kreiranje jednostavnih i stratificiranih nasumičnih uzoraka. Kao rezultat toga, ako je unesena sekvenca x, sample(x, 40) bira 40 zapisa od x tako da svi izbori veličine 40 imaju istu vjerovatnoću. Ovo koristi zadanu R naredbu za preuzimanje bez zamjene. Može se koristiti i za modeliranje diskretnih slučajnih varijabli. Da biste to učinili, morate osigurati prostor stanja u vektoru x i funkciju mase f. Poziv zamjene = TRUE označava da se uzorkovanje događa zamjenom. Zatim, da bi se dao uzorak od n nezavisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku funkciju mase f, koristi se uzorak (x, n, zamijeni = TRUE, prob = f).

Utvrđeno je da je 1 najmanja predstavljena vrijednost, a 4 najveća od svih. Ako je naredba prob = f izostavljena, tada će uzorak ravnomjerno uzorkovati iz vrijednosti u vektoru x. Možete provjeriti simulaciju u odnosu na funkciju mase koja je generirala podatke gledajući dvostruki znak jednakosti, ==. I ponovno izračunavanje zapažanja koja uzimaju svaku moguću vrijednost za x. Možete napraviti sto. Ponovite ovo za 1000 i uporedite simulaciju sa odgovarajućom funkcijom mase.

Ilustriranje transformacije vjerovatnoće

Prvo, simulirati homogene funkcije raspodjele slučajnih varijabli u1, u2,. , un na intervalu . Oko 10% brojeva bi trebalo da bude unutar . Ovo odgovara simulaciji od 10% na intervalu za slučajnu varijablu s prikazanom funkcijom distribucije FX. Slično, oko 10% slučajnih brojeva bi trebalo biti u intervalu . Ovo odgovara simulaciji od 10% na intervalu slučajne varijable sa funkcijom distribucije FX. Ove vrijednosti na x osi mogu se dobiti uzimanjem inverzne od FX. Ako je X kontinuirana slučajna varijabla s gustinom fX pozitivnom svuda u svom domenu, tada je funkcija distribucije striktno rastuća. U ovom slučaju, FX ima inverznu FX-1 funkciju poznatu kao kvantilna funkcija. FX (x) u samo kada je x FX-1 (u). Transformacija vjerovatnoće slijedi iz analize slučajne varijable U = FX(X).

FX ima raspon od 0 do 1. Ne može imati vrijednosti ispod 0 ili iznad 1. Za vrijednosti u između 0 i 1. Ako se U može modelirati, onda je potrebno simulirati slučajnu varijablu sa FX distribucijom preko kvantilne funkcije. Uzmimo izvod da vidimo da gustina u varira unutar 1. Pošto slučajna varijabla U ima konstantnu gustinu u intervalu svojih mogućih vrijednosti, naziva se uniformna na intervalu . Modeliran je u R sa naredbom runif. Identitet se naziva probabilistička transformacija. Možete vidjeti kako to funkcionira u primjeru daske za pikado. X između 0 i 1, funkcija distribucije u = FX(x) = x2, a time i kvantilna funkcija x = FX-1(u). Moguće je modelirati nezavisna opažanja udaljenosti od centra strelice, uz generisanje uniformnih slučajnih varijabli U1, U2,. , Un. Funkcija distribucije i empirijska funkcija zasnovane su na 100 simulacija distribucije daske za pikado. Za eksponencijalnu slučajnu varijablu, pretpostavlja se da je u = FX (x) = 1 - exp (- x), i stoga x = - 1 ln (1 - u). Ponekad se logika sastoji od ekvivalentnih iskaza. U ovom slučaju, morate spojiti dva dijela argumenta. Identitet presjeka je sličan za sva 2 (S i i) S, umjesto neke vrijednosti. Unija Ci je jednaka prostoru stanja S i svaki par se međusobno isključuje. Pošto je Bi - podijeljen na tri aksioma. Svaka provjera je zasnovana na odgovarajućoj vjerovatnoći P. Za bilo koji podskup. Korištenje identiteta da bi se osiguralo da odgovor ne ovisi o tome da li su uključene krajnje točke intervala.

Eksponencijalna funkcija i njene varijable

Za svaki ishod u svim događajima, na kraju se koristi drugo svojstvo kontinuiteta vjerovatnoća, koje se smatra aksiomatičnim. Zakon raspodjele funkcije slučajne varijable ovdje pokazuje da svaka ima svoje rješenje i odgovor.

Rezultat bilo kojeg slučajnog eksperimenta može se okarakterizirati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno rezultat slučajnog eksperimenta - nasumično događaj. Bilo koji kvantitativna karakteristika, koji kao rezultat slučajnog eksperimenta može uzeti jednu od određenog skupa vrijednosti, - slučajna vrijednost. Slučajna vrijednost jedan je od centralnih koncepata teorije vjerovatnoće.

Neka je proizvoljan prostor vjerovatnoće. Slučajna varijabla je realna numerička funkcija x \u003d x (w), w W , takva da je za bilo koju realnu x .

Događaj obično se piše kao x< x. U nastavku, slučajne varijable će biti označene malim grčkim slovima x, h, z, …

Slučajna varijabla je broj bodova koji su pali prilikom bacanja kocke, odnosno visina učenika koji je nasumično odabran iz studijske grupe. U prvom slučaju imamo posla diskretno slučajna varijabla(uzima vrijednosti iz skupa diskretnih brojeva M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; u drugom slučaju, sa kontinuirano slučajna varijabla(uzima vrijednosti iz kontinuiranog skupa brojeva - iz intervala brojevne prave I=).

Svaka slučajna varijabla je u potpunosti određena svojim funkcija distribucije.

Ako je x slučajna varijabla, onda funkcija F(x) = Fx(x) = P(x< x) se zove funkcija distribucije slučajna varijabla x . Evo P(x<x) - vjerovatnoća da slučajna varijabla x poprimi vrijednost manju od x.

Važno je shvatiti da je funkcija distribucije "pasoš" slučajne varijable: sadrži sve informacije o slučajnoj varijabli i stoga proučavanje slučajne varijable sastoji se od proučavanja njene funkcije distribucije,često se naziva jednostavno distribucija.

Funkcija distribucije bilo koje slučajne varijable ima sljedeća svojstva:

Ako je x diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями str 1 <str 2 < … <pi < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	x i	…
str 1	str 2	…	pi	…

pozvao distribucija diskretne slučajne varijable.

Funkcija distribucije slučajne varijable sa takvom distribucijom ima oblik

Diskretna slučajna varijabla ima funkciju postupne raspodjele. Na primjer, za slučajni broj bodova koji su ispali u jednom bacanju kocke, graf raspodjele, funkcije raspodjele i funkcije distribucije izgleda ovako:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Ako je funkcija distribucije Fx(x) je kontinuiran, tada se poziva slučajna varijabla x kontinuirana slučajna varijabla.

Ako je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable diferencibilan, onda daje vizualniji prikaz slučajne varijable gustina vjerovatnoće slučajne varijable p x(x), koja je povezana sa funkcijom distribucije Fx(x) formule

i .

Iz ovoga, posebno, slijedi da za bilo koju slučajnu varijablu .

Prilikom rješavanja praktičnih problema često je potrebno pronaći vrijednost x, pri čemu je funkcija distribucije Fx(x) slučajna varijabla x uzima datu vrijednost str, tj. trebate riješiti jednačinu Fx(x) = str. Rješenja takve jednačine (odgovarajuće vrijednosti x) u teoriji vjerovatnoće se nazivaju kvantili.

Kvantil x p ( str-kvantil, kvantil nivoa str) slučajna varijabla koja ima funkciju distribucije Fx(x), naziva se rješenje xp jednačine Fx(x) = str, str(0, 1). Za neke str jednačina Fx(x) = str može imati nekoliko rješenja, za neke - nijedno. To znači da za odgovarajuću slučajnu varijablu neki kvantili nisu jednoznačno definirani, a neki kvantili ne postoje.

Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F(x), koja izražava za svaki x vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost, manji x

Primjer 2.5. Dat je niz distribucije slučajne varijable

Pronađite i grafički opišite njegovu funkciju distribucije. Rješenje. Prema definiciji

F(jc) = 0 for X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 na 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pri X > 5.

Dakle (vidi sliku 2.1):

Svojstva funkcije distribucije:

1. Funkcija distribucije slučajne varijable je nenegativna funkcija zatvorena između nule i jedan:

2. Funkcija distribucije slučajne varijable je neopadajuća funkcija na cijeloj brojevnoj osi, tj. at X 2 >x

3. Na minus beskonačno, funkcija raspodjele je jednaka nuli, na plus beskonačno, jednaka je jedan, tj.

4. Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu jednak je definitivnom integralu njegove gustine vjerovatnoće u rasponu od a prije b(vidi sliku 2.2), tj.

Rice. 2.2

3. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable (vidi sliku 2.3) može se izraziti u smislu gustine vjerovatnoće koristeći formulu:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Nepravilan integral u beskonačnim granicama gustine vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable jednak je jedan:

Geometrijska svojstva / i 4 gustoće vjerovatnoće znače da je njegov dijagram kriva distribucije - ne leži ispod x-ose, i ukupnu površinu figure, ograničena kriva distribucije i x-osa, je jednako jedan.

Za kontinuiranu slučajnu varijablu X očekivanu vrijednost M(X) i varijansu D(X) određuju se formulama:

(ako integral konvergira apsolutno); ili

(ako se redukovani integrali konvergiraju).

Zajedno sa gore navedenim numeričkim karakteristikama, koncept kvantila i procentnih poena koristi se za opisivanje slučajne varijable.

q kvantil nivoa(ili q-kvantil) je takva vrijednostx qslučajna varijabla, na kojoj njena funkcija distribucije poprima vrijednost, jednako q, tj.

• 100Tačka q%-ou je kvantil X~ q.
• ? Primjer 2.8.

Prema primjeru 2.6 pronađite kvantil xqj i 30% slučajne varijabilne tačke x.

Rješenje. Po definiciji (2.16) F(xo t3)= 0,3, tj.

~Y~ = 0,3, odakle je kvantil x 0 3 = 0,6. 30% slučajne varijabilne tačke X, ili kvantil H)_o,z = xoj» nalazi se na sličan način iz jednačine ^ = 0,7. odakle *,= 1.4. ?

Među numeričkim karakteristikama slučajne varijable, postoje početni v* i centralno R* momenti k-tog reda, određena za diskretne i kontinuirane slučajne varijable po formulama:

Funkcija raspodjele vjerojatnosti i njena svojstva.

Funkcija raspodjele vjerovatnoće F(x) slučajne varijable X u tački x je vjerovatnoća da će, kao rezultat eksperimenta, slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x)=P(X< х}.
Razmotrimo svojstva funkcije F(x).

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Zaista, po definiciji, F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, pošto je, po definiciji, F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala [Α Β] jednaka je inkrementu funkcije raspodjele vjerovatnoće na ovom intervalu. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), ako je x 2, > x 1, tj. funkcija raspodjele vjerovatnoće je neopadajuća funkcija.

5. Funkcija raspodjele vjerovatnoće je kontinuirana na lijevoj strani. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) za x→ x o

Razlike između funkcija raspodjele vjerovatnoće diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli dobro su ilustrovane grafovima. Neka, na primjer, diskretna slučajna varijabla ima n mogućih vrijednosti, čije su vjerovatnoće P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Ako je x ≤ x 1, onda je F(X)=0, jer nema mogućih vrijednosti slučajne varijable lijevo od x. Ako je x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

Dakle, F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Kada je x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Razmotrimo vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Ako F(x) ima diskontinuitet u tački x, tada će vjerovatnoća P(X=x) biti jednaka skoku funkcije u toj tački. Dakle, vjerovatnoća pojave bilo koje moguće vrijednosti za kontinuiranu veličinu je nula. Izraz P(X=x)=0 treba shvatiti kao granicu vjerovatnoće da će slučajna varijabla pasti u beskonačno malu okolinu tačke x za P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Za diskretne varijable ove vjerovatnoće nisu iste u slučaju kada se granice intervala Α i (ili) Β poklapaju sa mogućim vrijednostima slučajnih varijabli. Za diskretnu slučajnu varijablu potrebno je striktno uzeti u obzir vrstu nejednakosti u formuli P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).