Формулы для дифференцирования неявно заданных функций. Дифференцирование неявной функции
Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.
В этих примерах в левой части равенства находится y , а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x . Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y . Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде ). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.
Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y , причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного .
В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных . В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести или .
Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.
Может неявно определять закон соответствия между величинами x и y , причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .
Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, - не преобразовывается к явному виду, а - преобразовывается.
Теперь к делу.
Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x , считая y – функцией от x , и после этого выразить .
Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x) , проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции . Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.
Пример.
Продифференцировать выражения по x
, считая y
функцией от x
.
Решение.
Так как y
– это функция от x
, то - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x))
, где f
– функция возведения в куб, а g(x) = y
. Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: .
При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f
– функция синуса, g(x) = y
):
Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:
Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:
Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.
Пример.
Найти производную неявной функции .
Решение.
Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x
и y
: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
Разрешим полученное уравнение относительно производной:
Ответ:
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Для закрепления материала решим еще пример.
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.
Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:
Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:
,
Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.
Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.
Пример 1.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:
После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:
.
Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.
Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию
то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:
Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.
Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).
Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:
То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:
Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если
В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":
Эта же формула "полной производной" в случае:
примет вид:
Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).
Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.
Пример 1.10. Дано:
Согласно (1.31):
§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z" x , z" y .
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
§8 Частные производные второго и более высоких порядков
Определение 1.9 Частные производные второго порядка функции z=z(x,y) определяются так:
Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y) выполняется равенство:
Замечание. Частные производные второго порядка могут обозначаться и так:
Определение 1.10 Частных производных третьего порядка - восемь (2 3).
Известно, что функция y= f(x)может быть задана неявно с помощью уравнения, связывающем переменные х и у:
F(x,y) =0.
Сформулируем условия, при которых уравнение F(x,y )=0 определяет одну из переменных как функция другой. Справедлива следующая
Теорема (существования неявной функции) Пусть функция F(x,y )=0 удовлетворяет следующим условиям:
1) существует точка P˳(х˳,у˳), в которой F(x˳,y˳)=0
2) F’y(x˳,y˳)≠ 0
3) функции F’x (x ,y )и F’y (x ,y ) непрерывны в некоторой окрестности точки
P 0 (x 0 ,y 0).
Тогда существует единственная функция y =f (x), определенная на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющая при любом х из этого интервала уравнениюF(x,y)=0 , такая что f(x 0)= y0
Если у есть неявная функция от х , то есть она определяется из уравнения F (х , у ) = 0, то, предполагая, что у есть функция от х , мы получаем тождество F (х , у (х )) = 0, которое можно рассматривать как константу-функцию. Дифференцируя эту константу-функцию, получим:
Если в этом соотношении , то можно найти .
Дифференцируя соотношение (1) ещё раз, получим:
Соотношение (2) можно рассматривать как уравнение для определения второй производной. Дифференцируя соотношение (2) ещё раз, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.
Производная по направлению. Вектор направления для случая двух и трех переменных (направляющие косинусы). Приращение функции по заданному направлению. Определение производной по направлению, ее выражение через частные производные. Градиент функции. Взаимное положение градиента и линии уровня в данной точке для функции двух переменных.
Производной z’I по направлению I функции двух переменных z=f(x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆I при стремлении последней к 0: z’i=lim∆iz /∆I
Производная z’ I характеризует скорость изменения функции в направлении i.
Если функция z=f(x;y) имеет в точке М(x;y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению, исходящему из точки М(x;y), которая вычисляется по формуле z’i=z’xˑcosα+z"yˑcosβ,где cosα, cosβ- направляющие к4осинусы вектора .
Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами f’x, f’y. Обозначается z=(f’x,f’y) или .
Производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора, задающего направление I.
Вектор z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.
Частные производные f’x и f’y представляют собой производные функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей Ox и Oу.
Пусть z=f(x,y)- дифференцируемая функция в некоторой области D, M(x,y) . Пусть I – некоторое направление (вектор с началом в точке М),а =(cosα;cosβ).
При перемещении в данном направлении I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функция z получит приращение ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) называемое приращением функции z в данном направлении I.
Если MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следовательно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).