Egész szám. A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó
1) Azonnal osztom vele, mivel mindkét szám 100%-ban osztható:
2) Osztom a fennmaradó nagy számokkal (k), mivel maradék nélkül vannak osztva (ugyanakkor nem bontom - ez már közös osztó):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) Elmegyek egyedül, és elkezdem mérlegelni a számokat és. Mindkét szám pontosan osztható -val (vége páros számjegyekkel történik (ebben az esetben adjuk meg, de osztható vele)):
4) Számokkal dolgozunk és. Vannak közös osztóik? Ez olyan egyszerű, mint az előző lépésekben, és nem is lehet megmondani, ezért csak egyszerű tényezőkre bontjuk őket:
5) Amint látjuk, igazunk volt: és nincs közös osztójuk, és most szoroznunk kell.
GCD
2. számú feladat. Keresse meg a 345 és 324 számok GCD-jét
Itt nem találok gyorsan legalább egy közös osztót, ezért csak prímtényezőkre bontom (a lehető legkevesebb):
Pontosan, GCD, és kezdetben nem ellenőriztem az oszthatósági kritériumot, és talán nem is kell annyi műveletet megtennem.
De ellenőrizted, ugye?
Amint látja, ez meglehetősen egyszerű.
Least common multiple (LCM) - időt takarít meg, segít a problémák megoldásában
Tegyük fel, hogy két számod van – és. Mi a legkisebb szám, amivel osztható nyom nélkül(azaz teljesen)? Nehéz elképzelni? Íme egy vizuális támpont az Ön számára:
Emlékszel, mit jelent a levél? Így van, csak egész számok. Tehát mi a legkisebb szám, amelyre belefér x? :
Ebben az esetben.
Ebből egyszerű példa több szabály is követi.
Szabályok a NOC gyors megtalálásához
1. szabály: Ha két természetes szám közül az egyik osztható egy másik számmal, akkor e két szám közül a nagyobb a legkisebb közös többszörösük.
Keresse meg a következő számokat:
- NOC (7;21)
- NOC (6;12)
- NOC (5;15)
- NOC (3;33)
Természetesen könnyedén megbirkózott ezzel a feladattal, és megkapta a válaszokat -, és.
Vegye figyelembe, hogy a szabályban KÉT számról beszélünk, ha több szám van, akkor a szabály nem működik.
Például az LCM (7;14;21) nem egyenlő 21-gyel, mivel nem osztható maradék nélkül vele.
2. szabály: Ha két (vagy kettőnél több) szám másodprím, akkor a legkisebb közös többszörös egyenlő a szorzatukkal.
megtalálja NEM C a következő számokhoz:
- NOC (1;3;7)
- NOC (3;7;11)
- NOC (2;3;7)
- NOC (3;5;2)
számoltál? Íme a válaszok - , ; .
Amint érti, nem mindig olyan egyszerű ugyanazt az x-et felvenni, ezért valamivel összetettebb számokhoz a következő algoritmus létezik:
Gyakoroljunk?
Keresse meg a legkisebb közös többszöröst – LCM (345; 234)
Bontsuk fel az egyes számokat:
Miért éppen most írtam?
Emlékezz az oszthatóság jeleire: osztható vele (az utolsó számjegy páros) és a számjegyek összege osztható vele.
Ennek megfelelően azonnal oszthatjuk vele, így írva.
Most a leghosszabb bővítést írjuk ki egy sorban - a másodikat:
Adjuk hozzá az első bővítésből származó számokat, amelyek nem szerepelnek abban, amit kiírtunk:
Megjegyzés: mindent kiírtunk, kivéve, mert már megvan.
Most meg kell szoroznunk ezeket a számokat!
Keresse meg saját maga a legkisebb közös többszöröst (LCM).
Milyen válaszokat kaptál?
Íme, mi történt velem:
Mennyi ideig tartott megtalálni NEM C? Az időm 2 perc, tényleg tudom egy trükk, amelyet javaslok, hogy azonnal nyissa meg!
Ha nagyon figyelmes, akkor valószínűleg észrevette, hogy a megadott számokhoz már kerestünk GCDés ebből a példából átveheti ezeknek a számoknak a faktorizálását, ezzel leegyszerűsítve a feladatot, de ez messze nem minden.
Nézze meg a képet, talán más gondolatok is eszébe jutnak:
Jól? Adok egy tippet: próbálj meg szorozni NEM CÉs GCD egymás között, és írják fel az összes tényezőt, amely a szorzáskor lesz. Sikerült? A végén egy ilyen láncot kell készítenie:
Nézze meg közelebbről: hasonlítsa össze a tényezőket a hogyan és a lebontással.
Milyen következtetést vonhatsz le ebből? Jobb! Ha az értékeket megszorozzuk NEM CÉs GCD egymás között, akkor ezeknek a számoknak a szorzatát kapjuk.
Ennek megfelelően számokkal és jelentéssel bír GCD(vagy NEM C), megtaláljuk NEM C(vagy GCD) a következő módon:
1. Keresse meg a számok szorzatát:
2. A kapott terméket elosztjuk a miénkkel GCD (6240; 6800) = 80:
Ez minden.
Írjuk fel a szabályt általános formában:
Próbáld megtalálni GCD ha ismert, hogy:
Sikerült? .
Negatív számok - "hamis számok" és az emberiség általi felismerésük.
Amint már megértette, ezek a természetes számokkal ellentétes számok, azaz:
Úgy tűnik, annyira különlegesek?
De tény, hogy a negatív számok egészen a 19. századig „elvették” megillető helyüket a matematikában (addig nagy mennyiség viták arról, hogy léteznek-e vagy sem).
Maga a negatív szám egy olyan természetes számokkal végzett művelet miatt keletkezett, mint a "kivonás".
Valóban, vonjon le ebből - ez egy negatív szám. Ezért gyakran nevezik a negatív számok halmazát "a természetes számok halmazának kiterjesztése".
A negatív számokat sokáig nem ismerték fel az emberek.
Tehát az ókori Egyiptom, Babilon és Ókori Görögország- koruk fényei, nem ismerték fel a negatív számokat, és az egyenletben negatív gyökök megszerzése esetén (például, ahogy mi is) a gyököket kizárták, mint lehetetlent.
A negatív számok először Kínában, majd a 7. században Indiában kaptak létjogosultságot.
Mi a véleményed erről a vallomásról?
Így van, negatív számok kezdtek jelölni adósságok (egyébként - hiány).
Úgy gondolták, hogy a negatív számok átmeneti érték, ami ennek eredményeként pozitívra változik (vagyis a pénzt továbbra is visszaadják a hitelezőnek). Brahmagupta indiai matematikus azonban már akkor a negatív számokat egyenrangúnak tekintette a pozitívakkal.
Európában jóval később, vagyis egy évezreddel jelent meg a negatív számok hasznossága, valamint az, hogy adósságot jelölhetnek.
Az első említést 1202-ben láthattuk Pisai Leonárd "Abakusz könyvében" (azonnal mondom, hogy a könyv szerzőjének semmi köze a pisai ferde toronyhoz, de a Fibonacci-számok az ő munkái (a Pisai Leonardo beceneve Fibonacci)).
Tehát a XVII. században Pascal ezt hitte.
Szerinted mivel indokolta?
Így van, "semmi sem lehet kevesebb, mint a SEMMI".
Ezeknek az időknek a visszhangja marad az a tény, hogy a negatív számot és a kivonás műveletét ugyanaz a szimbólum jelöli - mínusz "-". És igaz: . Pozitív a " " szám, amelyet kivonunk, vagy negatív, amelyhez hozzáadunk? ... Valami a sorozatból, hogy "amelyik előbb van: a tyúk vagy a tojás?" Itt van egy ilyen matematikai filozófia.
A negatív számok az analitikus geometria megjelenésével biztosították létjogosultságukat, más szóval, amikor a matematikusok egy ilyen dolgot valós tengelyként vezettek be.
Ettől a pillanattól kezdve jött az egyenlőség. Azonban továbbra is több volt a kérdés, mint a válasz, például:
arány
Ezt az arányt Arno-paradoxonnak nevezik. Gondolj bele, mi a kétséges ebben?
Beszéljünk együtt " " több mint " ", igaz? Tehát a logika szerint az arány bal oldalának nagyobbnak kell lennie, mint a jobb oldalnak, de egyenlők... Itt van a paradoxon.
Ennek eredményeként a matematikusok egyetértettek abban, hogy Karl Gauss (igen, igen, ez az, aki a számok összegét (vagy) figyelembe vette) 1831-ben véget vetett ennek.
Elmondta, hogy a negatív számoknak ugyanazok a jogai, mint a pozitívaknak, és az, hogy nem vonatkoznak mindenre, nem jelent semmit, hiszen a törtek sem vonatkoznak sok mindenre (nem történik meg, hogy ásó kátyút, nem vásárolhat jegyet a moziba stb.).
A matematikusok csak a 19. században nyugszanak meg, amikor William Hamilton és Hermann Grassmann megalkotta a negatív számok elméletét.
Ennyire ellentmondásosak ezek, ezek a negatív számok.
Az „üresség” megjelenése, vagy a nulla életrajza.
A matematikában egy speciális szám.
Első pillantásra ez semmi: összeadás, kivonás - semmi sem fog változni, de csak a ""-hez kell rendelnie, és a kapott szám sokszorosa lesz az eredetinek.
A nullával való szorzással mindent semmivé változtatunk, de osztani nem tudunk "semmivel". Egyszóval a mágikus szám)
A nulla története hosszú és bonyolult.
A nulla nyomát megtalálják a kínaiak írásaiban i.sz. 2000-ben. és még korábban a majákkal. A nulla szimbólum első használatát, ahogyan ma is, a görög csillagászok körében tapasztalták.
Számos változat létezik arra vonatkozóan, hogy miért választották ezt a „semmi” megjelölést.
Egyes történészek hajlamosak azt hinni, hogy ez egy omikron, i.e. A semmit jelző görög szó első betűje az ouden. Egy másik változat szerint az „obol” szó (szinte értéktelen érme) adott életet a nulla szimbólumnak.
A nulla (vagy nulla) mint matematikai szimbólum először az indiánoknál jelenik meg(megjegyezzük, hogy a negatív számok ott kezdtek „fejlődni”).
A nulla írásának első megbízható bizonyítéka 876-ból származik, és bennük a "" a szám összetevője.
A nulla is megkésve érkezett Európába - csak 1600-ban, és akárcsak a negatív számok, ellenállásba ütközött (mit tehetsz, ők európaiak).
"Zero-t gyakran utálták, sokáig tartottak tőle, sőt betiltották"— írja Charles Seif amerikai matematikus.
Tehát a török szultán Abdul-Hamid II a 19. század végén. megparancsolta a cenzorainak, hogy töröljék ki a H2O vízképletet az összes kémia tankönyvből, az "O" betűt nullának véve, és nem akarták, hogy kezdőbetűit rágalmazzák az aljas nullához való közelség miatt.
Az interneten megtalálható a következő mondat: „A nulla a legerősebb erő az Univerzumban, bármire képes! A nulla rendet teremt a matematikában, és káoszt is hoz benne. Teljesen korrekt álláspont :)
A szakasz összefoglalása és az alapképletek
Az egész számok halmaza 3 részből áll:
- természetes számok (az alábbiakban részletesebben foglalkozunk velük);
- a természetesekkel ellentétes számok;
- nulla - " "
Az egész számok halmazát jelöljük Z betű.
1. Természetes számok
A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok számlálására használunk.
A természetes számok halmazát jelöljük N betű.
Az egész számokkal végzett műveleteknél meg kell találnia a GCD-t és az LCM-et.
Legnagyobb közös osztó (GCD)
A NOD megtalálásához szüksége lesz:
- Bontsd fel a számokat prímtényezőkre (olyan számokra, amelyek nem oszthatók mással, mint önmagával vagy pl. stb.).
- Írja le azokat a tényezőket, amelyek mindkét szám részét képezik!
- Szorozd meg őket.
Legkevésbé közös többszörös (LCM)
A NOC megtalálásához szüksége lesz:
- Faktorizálja a számokat prímtényezőkké (ezt már nagyon jól tudja).
- Írja ki az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket (jobb a leghosszabb láncot venni).
- Adjuk hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből.
- Keresse meg a kapott tényezők szorzatát!
2. Negatív számok
Ezek olyan számok, amelyek ellentétesek a természetes számokkal, azaz:
Most hallani akarok rólad...
Remélem, értékelte ennek a résznek a rendkívül hasznos "trükkjeit", és megértette, hogyan segítenek a vizsgán.
És ami még fontosabb, az életben. Nem erről beszélek, de hidd el, ez az. A gyors és hibamentes számolás képessége sok élethelyzetben megment.
Most rajtad a sor!
Írd, használsz majd csoportosítási módszereket, oszthatósági kritériumokat, GCD-t és LCM-et a számításoknál?
Esetleg használtad már őket? Hol és hogyan?
Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.
Írd meg kommentben, hogy tetszett a cikk.
És sok sikert a vizsgákhoz!
Egész számok - ezek természetes számok, valamint ellentétes számok és nulla.
Egész számok— a természetes számok halmazának kiterjesztése N, amelyet úgy kapunk, hogy hozzáadjuk N 0 és negatív számok, mint a − n. Az egész számok halmaza jelöli Z.
Az egész számok összege, különbsége és szorzata ismét egész számokat ad, i.e. az egész számok gyűrűt alkotnak az összeadás és szorzás műveleteihez képest.
Egész számok a számegyenesen:
Hány egész szám? Hány egész szám? Nincs legnagyobb vagy legkisebb egész szám. Ez a sorozat végtelen. A legnagyobb és a legkisebb egész szám nem létezik.
A természetes számokat is nevezik pozitív egész számok, azaz kifejezés" természetes szám" és a "pozitív egész szám" ugyanaz.
Sem a közönséges, sem a tizedes törtek nem egész számok. De vannak egész számokat tartalmazó törtek.
Példák egész számokra: -8, 111, 0, 1285642, -20051 stb.
Egyszerűen fogalmazva, egész számok (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) egész számok sorozata. Vagyis azok, amelyeknek a tört része (()) egyenlő nullával. Nincs részvényük.
A természetes számok egész, pozitív számok. Egész számok, példák: (1,2,3,4...+ ∞).
Műveletek egész számokkal.
1. Egész számok összege.
Két azonos előjelű egész szám összeadásához össze kell adni e számok moduljait, és a végső jelet az összeg elé kell tenni.
Példa:
(+2) + (+5) = +7.
2. Egész számok kivonása.
Két egész szám hozzáadásához különböző jelek, ki kell vonni egy kisebb szám modulusát egy nagyobb szám modulusából, és a válasz elé kell tenni egy nagyobb modulusszám előjelét.
Példa:
(-2) + (+5) = +3.
3. Egész számok szorzása.
Két egész szám szorzásához meg kell szorozni ezeknek a számoknak a moduljait, és plusz (+) jelet kell tenni a szorzat elé, ha az eredeti számok azonos előjelűek voltak, és mínusz (-), ha különböztek.
Példa:
(+2) ∙ (-3) = -6.
Több szám szorzásakor a szorzat előjele pozitív lesz, ha a nem pozitív tényezők száma páros, és negatív, ha páratlan.
Példa:
(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 nem pozitív tényező).
4. Egész számok felosztása.
Egész számok osztásához el kell osztani az egyik modulját a másik modulusával, és az eredmény elé egy „+” jelet kell tenni, ha a számok előjele azonos, és mínusz, ha különbözik.
Példa:
(-12) : (+6) = -2.
Egész számok tulajdonságai.
Z nem zárt 2 egész szám osztása alatt ( például 1/2). Az alábbi táblázat az összeadás és szorzás néhány alapvető tulajdonságát mutatja bármely egész szám esetén. a, bÉs c.
Ingatlan |
kiegészítés |
szorzás |
elkülönítés |
a + b- egész |
a × b- egész |
asszociativitás |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a × ( b × c) = (a × b) × c |
kommutativitás |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
létezés semleges elem |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
létezés ellentétes elem |
a + (−a) = 0 |
a ≠ ± 1 ⇒ 1/a nem egész |
disztributivitás tekintetében szorzás kiegészítéseket |
a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) |
A táblázatból arra lehet következtetni Z egy kommutatív gyűrű, amelynek egysége összeadás és szorzás alatt van.
Szabványos osztás nem létezik az egész számok halmazán, de létezik ún osztás maradékkal: bármilyen egész számra aÉs b, b≠0, van egy egész számkészlet qÉs r, Mit a = bq + rÉs 0≤r<|b| , Ahol |b| a szám abszolút értéke (modulja). b. Itt a- osztható b- elválasztó, q- magán, r- maradék.
A negatív számokat először az ókori Kínában és Indiában kezdték használni, Európában Nicolas Shuquet (1484) és Michael Stiefel (1544) vezette be őket a matematikai használatba.
Algebrai tulajdonságok
nem záródik két egész szám osztása alatt (például 1/2). Az alábbi táblázat az összeadás és szorzás néhány alapvető tulajdonságát szemlélteti bármely egész szám esetén. a, bÉs c.
kiegészítés | szorzás | |
bezárás : | a + b- egész | a × b- egész |
asszociativitás: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × ( b × c) = (a × b) × c |
kommutativitás: | a + b = b + a | a × b = b × a |
semleges elem létezése: | a + 0 = a | a× 1 = a |
ellentétes elem létezése: | a + (−a) = 0 | a≠ ±1 ⇒ 1/ a nem egész |
a szorzás eloszlása az összeadás tekintetében: | a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) |
számrendszerek |heading4= Számok hierarchiája |lista4=
|
|||||||||||||
Komplex számok |
számrendszerek
|list5=Bíboros számok - Mindenképpen ágyba kell feküdni, itt nem lesz lehetőség ...
A pácienst annyira körülvették az orvosok, hercegnők és szolgálók, hogy Pierre már nem látta azt a vörös-sárga, szürke sörényű fejét, amely annak ellenére, hogy más arcokat is látott, egy pillanatra sem tűnt el a szem elől az egész szolgálat alatt. . Pierre a széket körülvevő emberek óvatos mozgásából sejtette, hogy a haldoklót felemelték és hordozzák.
– Kapaszkodj a kezembe, úgy elejted – hallotta az egyik szolga ijedt suttogását –, alulról... egy másik – szóltak a hangok, és az emberek nehéz légzése és léptei sietősebbek, mintha a teher, amit cipeltek, meghaladja erejüket.
A hordozók, köztük Anna Mihajlovna, egy szintre húzódtak a fiatalemberrel, és egy pillanatra az emberek háta és feje mögül egy magas, kövér, nyitott mellkast, a beteg kövér vállát emelte felfelé. a hóna alatt tartó emberek és egy ősz hajú göndör, oroszlánfej. Ezt a szokatlanul széles homlokú és arccsontú, gyönyörű érzéki szájú és fenségesen hideg tekintetű fejet nem csúfította el a halál közelsége. Ugyanaz volt, mint akit Pierre ismerte három hónappal ezelőtt, amikor a gróf elengedte őt Pétervárra. De ez a fej tehetetlenül himbálózott a hordozók egyenetlen lépéseitől, és a hideg, közömbös tekintet nem tudta, hol álljon meg.
Néhány percnyi felhajtás telt el a magas ágy mellett; a beteget hordozó emberek szétszéledtek. Anna Mihajlovna megérintette Pierre kezét, és így szólt hozzá: – Venez. [Menj.] Pierre vele együtt felment az ágyhoz, amelyre ünnepi pózban, nyilvánvalóan az iménti szentséghez kapcsolódóan fektették a beteget. Fejét magasra támasztva feküdt a párnákon. Kezeit szimmetrikusan egy zöld selyemtakaróra fektették, tenyérrel lefelé. Amikor Pierre közeledett, a gróf egyenesen ránézett, de azzal a pillantással nézett, aminek értelmét és jelentését az ember nem értheti. Vagy ez a pillantás nem mondott semmit, csak azt, hogy amíg van szem, addig valahova nézni kell, vagy túl sokat mondott. Pierre megállt, nem tudta, mit tegyen, és kérdőn nézett vezetőjére, Anna Mihajlovnára. Anna Mihajlovna sietős mozdulatot tett a szemével, a beteg kezére mutatott, és ajkával megcsókolta. Pierre szorgalmasan nyújtogatta a nyakát, nehogy belekapjon a takaróba, megfogadta a tanácsát, és megcsókolta nagy csontú és húsos kezét. A grófnak egyetlen keze, egyetlen izma sem remegett. Pierre ismét kérdőn nézett Anna Mihajlovnára, és most azt kérdezte, mit tegyen. Anna Mihajlovna rámutatott a szemével egy székre, amely az ágy mellett állt. Pierre engedelmesen leült egy karosszékre, és továbbra is a szemével kérdezte, hogy megtette-e, amit kellett. Anna Mihajlovna elismerően bólintott. Pierre ismét felvette az egyiptomi szobor szimmetrikusan naiv helyzetét, nyilvánvalóan együttérzve, hogy esetlen és kövér teste ekkora helyet foglalt el, és minden szellemi erejét bevetette, hogy a lehető legkisebbnek tűnjön. A grófra nézett. A gróf arra a helyre nézett, ahol Pierre arca volt, miközben állt. Anna Mikhailovna a maga pozíciójában tudatában volt annak, hogy apa és fia találkozásának utolsó percében milyen megható fontosságú. Ez két percig tartott, ami Pierre egy órának tűnt. Hirtelen borzongás jelent meg a gróf arcának nagy izmaiban és ráncaiban. A borzongás felerősödött, a gyönyörű száj elcsavarodott (Pierre csak ekkor jött rá, hogy apja milyen mértékben közelít a halálhoz), a kicsavarodott szájból egy homályos rekedt hang hallatszott. Anna Mihajlovna szorgalmasan a beteg szemébe nézett, és megpróbálta kitalálni, mire van szüksége, vagy Pierre-re mutatott, majd az italra, majd suttogva érdeklődve szólította Vaszilij herceget, majd a takaróra mutatott. A beteg szeme és arca türelmetlenséget mutatott. Igyekezett a szolgára nézni, aki az ágy fejénél állt anélkül, hogy elment volna.
– Át akarnak borulni a másik oldalra – suttogta a szolga, és felemelkedett, hogy a gróf nehéz testét a fal felé fordítsa.
Pierre felkelt, hogy segítsen a szolgának.
Miközben a grófot megfordították, az egyik karja tehetetlenül hátraesett, és hiábavaló erőfeszítéseket tett, hogy elvonszolja. Vajon a gróf észrevette-e azt a rémült pillantást, amellyel Pierre ezt az élettelen kezet nézte, vagy milyen más gondolat villant fel haldokló fejében abban a pillanatban, de az engedetlen kezet, Pierre rémült arckifejezését, ismét a kezét, és arcán gyenge, szenvedő mosoly volt, ami nem illett jól vonásaihoz, mintegy gúnyt fejezve ki saját tehetetlenségén. E mosoly láttán Pierre hirtelen borzongást érzett a mellkasában, megcsípte az orrát, és a könnyek elhomályosították a látását. A beteget oldalára fordították a falnak. Sóhajtott.
- Il est assoupi, [Elszunnyadt] - mondta Anna Mihajlovna, és észrevette a hercegnőt, aki helyette jött. - Allons. [Menjünk-hoz.]
Pierre elment.
NAK NEK egész számok tartalmazzák a természetes számokat, a nullát és a természetes számokkal ellentétes számokat.
Egész számok pozitív egész számok.
Például: 1, 3, 7, 19, 23 stb. Ilyen számokat használunk a számoláshoz (5 alma van az asztalon, az autó 4 kerekes, stb.)
Latin betű \mathbb(N) - jelölve természetes számok halmaza.
A természetes számok nem tartalmazhatnak negatívat (egy széknek nem lehet negatív lábaszáma) és törtszámokat (Iván nem tudott eladni 3,5 kerékpárt).
A természetes számokkal ellentétes számok negatív egészek: -8, -148, -981, ....
Aritmetikai műveletek egész számokkal
Mit lehet csinálni egész számokkal? Egymásból szorozhatók, összeadhatók és kivonhatók. Elemezzük az egyes műveleteket egy konkrét példán.
Egész számok összeadása
Két azonos előjelű egész szám összeadódik a következőképpen: ezeknek a számoknak a moduljait összeadjuk, és a kapott összeget megelőzi a végső előjel:
(+11) + (+9) = +20
Egész számok kivonása
Két különböző előjelű egész számot adunk hozzá a következőképpen: a kisebb szám modulusát kivonjuk a nagyobb szám modulusából, és a válasz elé kerül a nagyobb modulusszám előjele:
(-7) + (+8) = +1
Egész szám szorzás
Egy egész szám egy másikkal való szorzásához meg kell szorozni ezeknek a számoknak a moduljait, és a „+” jelet kell a kapott válasz elé tenni, ha az eredeti számok azonos előjelűek voltak, és a „-” jelet, ha az eredeti számok voltak. különböző jelzésekkel:
(-5) \cdot (+3) = -15
(-3) \cdot (-4) = +12
Emlékeznie kell a következőkre egész számszorzási szabály:
+ \cdot + = +
+\cdot-=-
- \cdot += -
-\cdot-=+
Van egy szabály több egész szám szorzására. Emlékezzünk rá:
A szorzat előjele „+” lesz, ha a negatív előjelű tényezők száma páros, és „-”, ha a negatív előjelű tényezők száma páratlan.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
Egész számok felosztása
Két egész szám felosztása a következőképpen történik: az egyik szám modulusát elosztjuk a másik modulusával, és ha a számok előjele megegyezik, akkor a „+” jel kerül a kapott hányados elé. , és ha az eredeti számok előjele eltérő, akkor a „−” jel kerül elhelyezésre.
(-25) : (+5) = -5
Egész számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai
Elemezzük az összeadás és szorzás alapvető tulajdonságait tetszőleges a , b és c egész számokra:
- a + b = b + a - összeadás kommutatív tulajdonsága;
- (a + b) + c \u003d a + (b + c) - az összeadás asszociatív tulajdonsága;
- a \cdot b = b \cdot a - a szorzás kommutatív tulajdonsága;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- a szorzás asszociatív tulajdonságai;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c a szorzás elosztó tulajdonsága.
Ebben a cikkben egész számok halmazát fogjuk meghatározni, és megvizsgáljuk, hogy mely egész számokat nevezzük pozitívnak és melyeket negatívnak. Megmutatjuk azt is, hogyan használjuk az egész számokat egyes mennyiségek változásának leírására. Kezdjük az egész számok meghatározásával és példáival.
Egész számok. Definíció, példák
Először idézzük fel a természetes számokat ℕ. Már maga a név is azt sugallja, hogy ezek olyan számok, amelyeket ősidők óta természetesen számlálásra használnak. Az egész számok fogalmának lefedéséhez ki kell terjesztenünk a természetes számok definícióját.
Definíció 1. Egész számok
Az egész számok a természetes számok, ellentéteik és a nulla szám.
Az egész számok halmazát a ℤ betű jelöli.
A természetes számok halmaza ℕ a ℤ egész számok részhalmaza. Minden természetes szám egész szám, de nem minden egész természetes szám.
A definícióból következik, hogy az 1 , 2 , 3 számok bármelyike egész szám. . , a 0 szám , valamint a - 1 , - 2 , - 3 , számok . .
Ennek megfelelően példákat adunk. A 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 számok egész számok.
Legyen a koordinátavonal vízszintesen megrajzolva és jobbra irányítva. Vessünk egy pillantást rá, hogy megjelenítsük az egész számok helyét egy egyenesen.
A koordinátavonal referenciapontja a 0 számnak felel meg, a nulla mindkét oldalán lévő pontok pedig pozitív és negatív egész számoknak felelnek meg. Minden pont egyetlen egész számnak felel meg.
Az egyenes bármely pontja, amelynek koordinátája egész szám, elérhető, ha az origóból bizonyos számú egységszakaszt félreteszünk.
Pozitív és negatív egész számok
Az összes egész szám közül logikus különbséget tenni pozitív és negatív egész számok között. Adjuk meg a definícióikat.
Definíció 2. Pozitív egész számok
A pozitív egész számok pluszjellel ellátott egész számok.
Például a 7-es szám egy egész szám pluszjellel, azaz pozitív egész szám. A koordinátaegyenesben ez a szám a referenciaponttól jobbra található, amelyhez a 0-t vettük. További példák pozitív egész számokra: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .
Definíció 3. Negatív egész számok
A negatív egész számok mínuszjellel rendelkező egész számok.
Példák negatív egész számokra: - 528 , - 2568 , - 1 .
A 0 elválasztja a pozitív és negatív egész számokat, és maga sem nem pozitív, sem nem negatív.
Minden olyan szám, amely a pozitív egész szám ellentéte, definíció szerint negatív egész szám. Ennek a fordítottja is igaz. Bármely negatív egész szám reciproka pozitív egész szám.
A negatív és pozitív egész számok definícióinak más megfogalmazásai is megadhatók, nullával való összehasonlításukkal.
Definíció 4. Pozitív egész számok
A pozitív egész számok olyan egész számok, amelyek nagyobbak nullánál.
Definíció 5. Negatív egész számok
A negatív egész számok olyan egész számok, amelyek nullánál kisebbek.
Ennek megfelelően a pozitív számok a koordinátaegyenes origójától jobbra, a negatív egészek pedig a nullától balra.
Korábban azt mondtuk, hogy a természetes számok egész számok részhalmaza. Tisztázzuk ezt a pontot. A természetes számok halmaza pozitív egész számok. A negatív egész számok halmaza viszont a természetesekkel ellentétes számok halmaza.
Fontos!
Bármely természetes szám nevezhető egész számnak, de egyetlen egész nem nevezhető természetes számnak. Arra a kérdésre válaszolva, hogy a negatív számok természetesek-e, bátran ki kell mondani – nem, nem azok.
Nem pozitív és nem negatív egész számok
Adjunk definíciókat.
6. definíció. Nem negatív egész számok
A nem negatív egész számok pozitív egészek és a szám nulla.
7. definíció. Nem pozitív egész számok
A nem pozitív egész számok negatív egész számok és a nulla szám.
Mint látható, a nulla szám nem pozitív és nem negatív.
Példák nemnegatív egész számokra: 52 , 128 , 0 .
Példák nem pozitív egész számokra: - 52 , - 128 , 0 .
A nem negatív szám nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő szám. Ennek megfelelően a nem pozitív egész szám nullánál kisebb vagy azzal egyenlő.
A "nem pozitív szám" és a "nem negatív szám" kifejezéseket a rövidség kedvéért használjuk. Például ahelyett, hogy azt mondaná, hogy az a szám nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő egész szám, azt mondhatja: a nemnegatív egész szám.
Egész számok használata az értékek változásainak leírásánál
Mire használják az egész számokat? Először is, segítségükkel kényelmes leírni és meghatározni az objektumok számának változását. Vegyünk egy példát.
Legyen bizonyos számú főtengely tárolva a raktárban. Ha további 500 főtengely kerül a raktárba, ezek száma megnő. Az 500-as szám csak az alkatrészek számának változását (növekedését) fejezi ki. Ha ezután 200 alkatrészt visznek el a raktárból, akkor ez a szám fogja jellemezni a főtengelyek számának változását is. Ezúttal a csökkentés irányába.
Ha semmit nem visznek el a raktárból, és nem hoznak semmit, akkor a 0 szám jelzi az alkatrészszám invarianciáját.
Az egész számok használatának nyilvánvaló kényelme a természetes számokkal ellentétben, hogy előjelük egyértelműen jelzi a nagyságváltozás (növekedés vagy csökkenés) irányát.
A hőmérséklet 30 fokos csökkenése negatív számmal - 30 , a 2 fokos növekedés - pozitív egész számmal 2 jellemezhető .
Íme egy másik példa egész számok használatára. Ezúttal képzeljük el, hogy 5 érmét kell adnunk valakinek. Akkor azt mondhatjuk, hogy van - 5 érménk. Az 5-ös szám a tartozás összegét írja le, a mínusz jel pedig azt, hogy vissza kell adnunk az érméket.
Ha egy személynek 2 érmével tartozunk, a másiknak 3 érmével, akkor a teljes tartozás (5 érme) a negatív számok összeadásának szabályával számítható ki:
2 + (- 3) = - 5
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt