Műveletek predikátumokon. Műveletek predikátumokkal
Az állítmány fogalma
1. definíció
Állítmány- olyan állítás, amely olyan változókat tartalmaz, amelyek a változók értékétől függően $1$ vagy $0$ (igaz vagy hamis) értéket vesznek fel.
1. példa
Például az $x=x^5$ kifejezés egy predikátum, mert igaz $x=0$ vagy $x=1$ esetén, és hamis az összes többi $x$ értékre.
2. definíció
Egy halmaz, amelyen az állítmány csak elfogad valódi értékeket, hívott az állítmány igazságkészlete$I_p$.
Az állítmányt ún ugyanúgy igaz, ha bármely argumentumkészleten igazra értékeli:
$P (x_1, \pontok, x_n)=1$
Az állítmányt ún egyformán hamis, ha bármely argumentumkészleten hamisra értékeli:
$P (x_1, \pontok, x_0)=0$
Az állítmányt ún megvalósítható, ha legalább egy argumentumkészleten igazra értékeli.
Mert az predikátumok csak két értéket vehetnek fel (igaz/hamis vagy $0/1$), akkor a logikai algebra összes művelete alkalmazható rájuk: negáció, konjunkció, diszjunkció stb.
Példák predikátumokra
Jelölje a $R(x, y)$: $“x = y”$ predikátum az egyenlőségi relációt, ahol $x$ és $y$ az egész számok halmazához tartozik. Ebben az esetben az R predikátum igaz lesz minden egyenlő $x$ és $y$ értékre.
Egy másik példa a predikátumra a WORKS($x, y, z$) az „$x$ működik y városban a $z$ vállalatnál” relációhoz.
Egy másik példa a predikátumra a LIKE($x, y$) az "x likes y" esetén $x$ és $y$ esetén, amelyek a $M$-hoz tartoznak – az összes ember halmazához.
Így az állítmány minden, amit az ítélet tárgyával kapcsolatban megerősítenek vagy tagadnak.
Műveletek predikátumokkal
Tekintsük a logikai algebrai műveletek predikátumokra való alkalmazását.
3. definíció
Két predikátum kötőszava Az $A(x)$ és a $B(x)$ egy predikátum, amely csak azokra a $x$ értékekre vesz fel valódi értéket a $T$-ból, amelyekre mindegyik predikátum valódi értéket vesz fel és mindenkor hamis érték.minden más esetben. Egy predikátum $T$ igazsághalmaza a $A(x)$ és $B(x)$ predikátumok igazsághalmazainak metszéspontja. Például:$A(x)$ predikátum: "$x$ páros szám", $B(x)$ predikátum: "$x$ osztható $5$-tal." Így a predikátum a következő lenne: "$x$ páros szám és osztható $5$-tal" vagy "$x$ osztható $10$-al".
4. definíció
Két predikátum diszjunkciója Az $A(x)$ és a $B(x)$ egy predikátum, amely hamisra értékeli azokat, és csak azokra a $x$-értékekre a $T$-ból, amelyeknél mindegyik predikátum hamisra és igazra értékel az összes többi eset. Egy predikátum igazsághalmaza az $A(x)$ és $B(x)$ predikátum igazságtartományainak uniója.
5. definíció
Predikátum tagadása Az $A(x)$ egy predikátum, amely igazra értékeli a $x$ minden értékét a $T$-ban, amelyre az $A(x)$ hamisra és fordítva. A $A(x)$ predikátum igazsághalmaza a $T"$ kiegészítése a $T$ halmazhoz az $x$ halmazban.
6. definíció
Predikátum implikáció Az $A(x)$ és a $B(x)$ egy predikátum, amely hamis azokra a $x$ értékeire, amelyekre a $T$ értékből csak azokra az értékekre vonatkozik, amelyekre a $A(x)$ igaz és a $B(x) A )$ hamis, és minden más esetben igazra értékeli. Ez így szól: "Ha $A(x)$, akkor $B(x)$."
2. példa
Legyen $A(x)$: „A $x$ természetes szám osztható $3$-al”;
$B(x)$: "A $x$ természetes szám osztható $4$-tal."
Hozzunk létre egy predikátumot: "Ha egy természetes szám $x$ osztható $3$-al, akkor osztható $4$-al is."
Egy predikátum igazsághalmaza a $B(x)$ predikátum igazsághalmazának és a $A(x)$ predikátum igazsághalmazának a kiegészítése.
A logikai műveletek mellett kvantumműveletek végezhetők predikátumokon: az univerzális kvantor használata, a létezés kvantor stb.
Kvantifikátorok
7. definíció
Kvantifikátorok-- logikai operátorok, amelyek predikátumokra történő alkalmazása hamis vagy igaz állításokká változtatja azokat.
8. definíció
Kvantifikátor-- logikai műveletek, amelyek korlátozzák egy predikátum igazságtartományát és állítást hoznak létre.
A leggyakrabban használt kvantorok a következők:
univerzális kvantor (a $\forall x$ szimbólummal jelölve) - "minden $x$-ra" kifejezés ("bármely $x$-ra");
létezés kvantor (a $\exists x$ szimbólummal jelölve) - a „létezik $x$ olyan, hogy...” kifejezés;
egyediség és létezés kvantor (jelölése $\exists !x$) - a „pontosan egy olyan $x$ van, hogy...” kifejezés.
A matematikai logikában van egy fogalom kötözés vagy számszerűsítése, amelyek egy kvantor képlethez való hozzárendelését jelölik.
Példák kvantorok használatára
Legyen az „$x$ a $7$ többszöröse” predikátum.
Az univerzális kvantor használatával a következő hamis állításokat írhatjuk fel:
bármely természetes szám osztható $7$-tal;
minden természetes szám osztható $7$-al;
minden természetes szám osztható $7$-al;
ami így fog kinézni:
1. kép
Igaz állítások írásához használjuk létezés kvantor:
vannak természetes számok, amelyek oszthatók 7 dollárral;
van egy természetes szám, amely osztható $7$-tal;
legalább egy természetes szám osztható 7 dollárral.
A bejegyzés így fog kinézni:
2. ábra.
Legyen a $x$ halmazra prímszámok a predikátum adott: „A prímszám páratlan.” Az „bármely” szót az állítmány elé téve hamis állítást kapunk: „Bármely prímszám páratlan” (például $2$ páros prímszám).
A predikátum elé tesszük a „létezik” szót, és igaz állítást kapunk: „Van egy páratlan prímszám” (például $x=3$).
Így egy állítmányból állítmányt állíthatunk, ha az állítmány elé kvantort teszünk.
Műveletek kvantorokon
A kvantorokat tartalmazó állítások tagadásának megalkotásához használjuk kvantorok tagadásának szabálya:
3. ábra.
Tekintsük a mondatokat, és válasszunk predikátumokat közülük, jelezve mindegyikük igazságtartományát.
Cikk „Logic-predikatov.ru/logik/”
3.1. Az állítmány fogalma
"Állítmány» angolból állítmányként fordítva. Formálisan egy predikátum egy olyan függvény, amelynek argumentumai tetszőleges objektumok lehetnek egy bizonyos halmazból, és a függvényértékek „igaz” vagy „hamis”. Az állítmányt az állítás fogalmának kiterjesztésének tekinthetjük.
A propozicionális logika által biztosított eszközök sok matematikai érvelés elemzéséhez elégtelennek bizonyulnak. A logika algebrájában nem veszik figyelembe sem az állítások szerkezetét, sem különösen azok tartalmát. Ugyanakkor mind a tudományban, mind a gyakorlatban olyan következtetéseket alkalmaznak, amelyek jelentősen függenek mind a bennük használt állítások szerkezetétől, mind tartalmától.
3.2. Predikátum logika
Predikátum logika, a hagyományos formális logikához hasonlóan az elemi állítást a tantárgy ( szó szerint – az alany, bár kiegészítõ szerepét is betöltheti) és állítmány (szó szerint állítmány, bár definíció szerepét is betöltheti).
Tantárgy valami olyasmi, amiről egy nyilatkozatban valamit állítanak, és állítmány– ezt állítják a témáról.
A predikátumlogika a propozíciós logika kiterjesztése, amely a predikátumokat logikai függvényként használja.
Például a „7 egy prímszám” utasításban a „7” az alany, a „prímszám” az állítmány. Ez az állítás kimondja, hogy a "7"-nek az a tulajdonsága, hogy "prímszám".
Ha a vizsgált példában a konkrét 7-es számot a változóval helyettesítjük x sokaktól természetes számok, akkor megkapjuk kifejező forma « x- Prímszám". Ugyanazokkal az értékekkel x(Például, x = 13, x= 17) ez a forma igaz állításokat ad, és más jelentésekkel is x(Például, x = 10, x= 18) ez a forma hamis állításokat állít elő.
1. definíció. Egyhelyű P predikátum(x) egy olyan változó tetszőleges függvénye, amelyben az argumentum x egy bizonyos halmaz értékein fut át M, és a függvény két érték egyikét veszi fel: igaz vagy hamis.
Egy csomó M, amelyen az állítmány adott, meghívásra kerül definíciós tartomány állítmány.
Az a halmaz, amelyre az állítmány veszi csak az igazi értékeket, hívott az igazság tartománya P predikátum(x).
Például az állítmány P(x) – „x egy prímszám” a készleten meghatározott természetes számok, és a készlet I P az összes prímszám halmaza.
2. definíció. Állítmány R(x), meghatározva a készüléken M, hívott ugyanúgy igaz (egyformán hamis), Ha
3. definíció. P bináris predikátum(x, y) két változó függvényének nevezzük xÉs nál nél, a készleten meghatározott M=M 1× M 2 és az értékeket az (1,0) halmazból veszi.
A kéthelyes predikátumok példái a következő predikátumok: K(x, y) – « x = y» egy halmazon meghatározott egyenlőség predikátum R 2 =R× R; F(x, y) – « x || nál nél»egyenes x párhuzamos a vonallal nál nél, egy adott síkon fekvő egyenesek halmazán definiálva.
Azt mondják, hogy az állítmány R(x) van következmény állítmány K(x) , Ha ; és predikátumok R(x) És K (x) egyenértékű , Ha .
1. példa A következő mondatok közül válasszon predikátumokat, és mindegyikhez jelölje meg az igazság tartományát:
- x + 5 = 1
- nál nél x= 2 egyenlőség teljesül x 2 – 1 = 0
- x 2 – 2x + 1 = 0
- van ilyen szám x, Mit x 3 – 2x + 1 = 0
- x + 2 < Зx – 4
- egyjegyű nemnegatív szám x 3 többszöröse
- (x + 2) – (3x – 4)
Megoldás. 1) A mondat egyhelyes állítmány R(x), I P = {– 4};
2) a mondat nem állítmány. Ez hamis állítás;
3) a mondat egyhelyes állítmány R(x), I P = {1};
4) a mondat nem állítmány. Ez igaz kijelentés;
5) a mondat egyhelyes állítmány R(x), I P = (3; +∞);
6) a mondat egyhelyes állítmány R(x), I P = {0; 3; 6; 9};
7) a mondat nem állítmány;
2. példa Rajzolja le az állítmány igazságtartományát a derékszögű síkon .
Megoldás. Az eredeti predikátumot alkotó egyenlőtlenség a parabola ágai közé zárt síkrészt korlátozza, az ábra szürke részében van ábrázolva:
3.3. Logikai műveletek predikátumokon
A predikátumok, csakúgy, mint az állítások, két jelentést kapnak És És l (1, 0), ezért a propozicionális logika minden művelete alkalmazható rájuk.
Tekintsük a propozíciós logikai műveletek predikátumokra történő alkalmazását unáris predikátumok példái segítségével.
Legyen valami szett M két predikátum van definiálva R(x) És K(x).
4. definíció. Konjunkció két predikátum R(x) És K(x) új predikátumnak nevezzük R(x)&K(x), amely az „igaz” értéket veszi fel azokra és csak azokra az értékekre, amelyekre az egyes predikátumok vonatkoznak R(x) És K(x) igazra, minden más esetben hamisra értékel. Nyilvánvaló, hogy az állítmány igazságának tartománya R(x)&K(x) a predikátumok igazságtartományának általános része R(x) És K(x), azaz útkereszteződés .
Így például az állítmányokhoz R(x): « x – páros szám"És K(x): « x 3" együttállás többszöröse R(x)&K(x) a " predikátum x– páros szám és x osztható 3-mal", azaz a " predikátum x osztható 6-tal."
5. definíció. Diszjunkció d két predikátum R(x) És K(x) egy új predikátum, amely csak azokra az értékekre veszi fel a „false” értéket, amelyeknél mindegyik predikátum „false” értéket vesz fel, és minden más esetben „igaz” értéket vesz fel. Nyilvánvaló, hogy egy predikátum igazságtartománya az állítmányok igazságtartományainak egyesülése R(x) És K(x), azaz egy szakszervezet.
6. definíció. Tagadás állítmány R(x) egy új predikátum, amely az „igaz” értéket veszi fel minden olyan értékre, amelyre az állítmány vonatkozik R(x) a „false” értéket veszi fel, és a „false” értéket veszi fel azoknál az értékeknél, amelyekre az állítmány vonatkozik R(x) az „igaz” értéket veszi fel. Nyilvánvaló, hogy .
7. definíció. Értelemszerűen állítmányok R(x) És K(x) egy új predikátum, amely hamis azokra, és csak azokra az értékekre, amelyekre egyszerre R(x) az „igaz” értéket veszi fel, és K(x) – a „false” érték, és minden más esetben az „igaz” értéket veszi fel.
Nyilvánvaló, hogy predikátumokon végzett logikai műveletek végrehajtása során a logikai algebra ekvivalenciái rájuk is vonatkoznak. A téma részletes tanulmányozásához „Diszkrét matematika” tanfolyam szükséges.
Műveletek predikátumokkal. Matematikai fogalmak leírása predikátumlogikával.
§3. Logikai műveletek predikátumokon.
A predikátumoknak az állításokhoz hasonlóan két jelentése is lehet: „igaz” (1) és „hamis” (0), ezért a propozíciós logika minden művelete alkalmazható rájuk, aminek következtében az elemi predikátumokból összetett predikátumok jönnek létre (mint pl. propozíciós logika , ahol összetett, összetett állításokat képeztek elemi állításokból). Tekintsük a propozíciós logikai műveletek predikátumokra történő alkalmazását unáris predikátumok példái segítségével. Ezek a predikátumlogikai műveletek megtartják ugyanazt a jelentést, amelyet a propozíciós logikában rendeltek hozzájuk.
Legyen két predikátum és legyen valamilyen halmazon definiálva.
7. definíció. Két predikátum kötőszava https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif" width="36" height="21 src=">egy új (összetett) predikátumot hívunk meg, amely az „igaz” értéket veszi fel, ha és csak ezek az értékek>https://pandia.ru/text/80/323/images/image004_23.gif" width="83" height="21 src="> a predikátumok igazságtartományának közös része és , azaz a kereszteződés.
8. példa. A https://pandia.ru/text/80/323/images/image007_16.gif predikátumok esetén a kötőszó: "13" height="15 src="> páros szám" és: "osztható 3-mal" a „ – páros szám és a három többszöröse” predikátum, azaz az „osztható 6-tal”.
8. definíció. Két predikátum diszjunkciója A https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif" width="36" height="21 src="> új predikátumnak nevezik, amely a „false” értéket veszi fel azokra és csak azokra DIV_ADBLOCK29 "> értékei
Nyilvánvaló, hogy az állítmány igazságtartománya a https://pandia.ru/text/80/323/images/image009_18.gif" width="55" height="25 src=">.
9. definíció. A P(x) predikátum tagadása egy új vagy predikátumot hívnak meg, amely az összes értékre „true” értéket vesz fel https://pandia.ru/text/80/323/images/image002_38.gif" width="35" height="21"> a „false” értéket veszi fel, és a „false” értéket veszi fel azon értékek esetében, amelyeknél az állítmány „igaz” értéket vesz fel.
Nyilvánvaló, hogy a .gif" width="35" height="21 src=">.gif" width="88" height="21">.gif" width="35" height="21 "> értéket veszi fel „igaz” és a „false” értéket veszi fel, és minden más esetben az „igaz” értéket veszi fel.
Mivel minden rögzítettre igaz az ekvivalencia , Azt .
11. definíció. Predikátumok ekvivalenciája https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif" width="36" height="21 src=">egy új predikátumot hívnak meg, amely „igazsággá” válik mindazok és csak ezek a https://pandia.ru/text/80/323/images/image002_38.gif" width="35 height=21" height="21"> és mindkettő igaz vagy hamis kijelentéssé válik.
Az igazságkészlethez a következőket találjuk:
4. §. P A PREDIKÁTLOGIKA NYELVE HASZNÁLATA MATEMATIKAI MONDATOK, DEFINÍCIÓK RÖGZÍTÉSÉRE, MONDATOK TAGADÁSÁNAK KÉPÍTÉSÉRE.
1. Matematikai mondatok és definíciók írása predikátum logikai formulák formájában.
A predikátum logikai nyelv kényelmes matematikai mondatok és definíciók írásához. Lehetővé teszi a fogalmak közötti logikai összefüggések kifejezését, definíciók, tételek, bizonyítások feljegyzését. Íme néhány példa az ilyen rekordokra.
1. példa Számsorozat határának meghatározása.
https://pandia.ru/text/80/323/images/image019_9.gif" width="211" height="21 src=">, írja be:
https://pandia.ru/text/80/323/images/image021_9.gif" width="13" height="19">" függvény ƒ(x), definiálva az E régióban, az x0 pontban:
https://pandia.ru/text/80/323/images/image023_7.gif" width="285" height="27">.
3. példa Egy függvény folytonosságának meghatározása egy pontban.
Függvény https://pandia.ru/text/80/323/images/image025_6.gif" width="48 height=24" height="24">, ha , hol .
4. példa Növekvő függvény definíciója.
Az E halmazon definiált függvény növekszik ezen a halmazon, ha
https://pandia.ru/text/80/323/images/image029_5.gif" width="72" height="23 src=">.gif" width="16" height="21">. A predikátumlogika lehetővé teszi, hogy egy képletnek ekvivalens transzformációkkal jól látható formát adjunk.
A korlátlan függvény definícióját úgy kapjuk meg, hogy felvesszük ennek a képletnek a tagadását, és ekvivalens transzformációkat hajtunk végre:
Az utolsó képlet nem negatív, hanem pozitív definíciót ad egy korlátlan függvénynek.
A fenti definícióból világos, hogy az állítással ellentétes állítás megalkotásához, képlet adja meg predikátum logika, amely az összes kvantort tartalmazza, minden kvantort le kell cserélni azok ellentétére, és a predikátum tagadását a kvantorok jele alá kell venni.
Mint tudják, sok matematikai tétel megfogalmazható feltételes mondatok formájában. Vegyük például a következő tételt: "Ha egy pont egy szög felezőjén fekszik, akkor egyenlő távolságra van ennek a szögnek az oldalaitól". Ennek a tételnek a feltétele a tétel "A pont a szögfelezőn van" , és a következtetés egy javaslat "A pont egyenlő távolságra van a szög oldalaitól" . Látjuk, hogy a tétel feltétele és következtetése is az R2 halmazon meghatározott predikátum . Ezeket a predikátumokat rendre jelöli P(x)És K(x), Ahol xОR2, a tételt felírhatjuk képletként:
Ebben a tekintetben, ha a tétel szerkezetéről beszélünk, három részt különböztetünk meg benne:
1) a tétel feltétele: állítmány P(x), az R2 halmazon definiált;
2) a tétel következtetése: állítmány K(x), az R2 halmazon definiált;
3) magyarázó rész: számos, a tételben tárgyalt objektumot ír le.
Különösen érdekes egy olyan állítás megalkotása, amely tagadja egy bizonyos tétel érvényességét: https://pandia.ru/text/80/323/images/image035_5.gif" width="411 height=32" height="32" ">.
Ezért annak bizonyítására, hogy a https://pandia.ru/text/80/323/images/image036_4.gif" width="37" height="17"> tétel, amelyre - igaz, a - hazugság, vagyis ólom ellenpélda.
Ezzel a technikával bebizonyítjuk az állítások igazságtalanságát:
1) "Ha a differenciálható függvény nullával egyenlő deriváltja az x0 pontban https://pandia.ru/text/80/323/images/image041_3.gif" width="41" height="24"> az x=0 pontban, deriváltja 0 " style= "border-collapse:collapse;border:none">
1. definíció: Azt a tételpárt, amelyben az egyik feltétele a második következtetése, a másodiké pedig az első következtetése, az ún. kölcsönösen inverz egymás.
Így az (1) és (2), valamint a (3) és (4) tétel kölcsönösen inverz tételek. Sőt, ha az egyiket direkt tételnek nevezzük, akkor a másodikat inverz tételnek.
2. definíció: Egy olyan tételpárt, amelyben az egyik feltétele és következtetése a másik feltételének és következtetésének tagadása, az ún. kölcsönösen ellentétes .
Így az (1) és (3), valamint a (2) és (4) tétel egymással ellentétes tételek.
Például a tételhez
"Ha egy négyszög átlói egyenlőek, akkor a négyszög téglalap” (1) fordítva a tétel
"Ha egy négyszög téglalap, akkor az átlói egyenlőek"(2).
Az (1) tétel ellentéte a tétel
„Ha egy négyszög átlói nem egyenlőek, akkor a négyszög nem téglalap” (3),
és a (2) tétel ellentéte a tétel
"Ha egy négyszög nem téglalap, akkor az átlói nem egyenlőek"(4).
A vizsgált példában az (1) és (4) tétel egyidejűleg hamis, a (2) és (3) tétel pedig egyidejűleg igaz. Az (1) tétel ellenpéldája egy egyenlő szárú trapéz.
Nyilvánvaló, hogy a közvetlen és a fordított tétel általában véve nem ekvivalens, azaz az egyik lehet igaz, a másik pedig hamis. Könnyen kimutatható azonban, hogy az (1) és (4), valamint a (2) és (3) tétel mindig ekvivalens.
Igazán:
Ezekből az ekvivalenciákból az következik, hogy ha az (1) Tétel bizonyítást nyer, akkor a (4) Tétel is bizonyítást nyer, ha pedig a (2) Tétel, akkor a (3) Tétel is bizonyítást nyer.
4. Szükséges és elégséges feltételek.
Tekintsük a tételt
(1)
Mint megjegyeztük, egy predikátum igazsághalmaza a ..gif" width="55" height="25"> halmaz (lásd az ábrát).
Tehát a https://pandia.ru/text/80/323/images/image052_4.gif" width="40" height="19"> predikátum akkor és csak akkor, ha a P(x) predikátum igazsághalmaza a Q(x) predikátum igazsághalmaza tartalmazza. Ugyanakkor azt mondják, hogy a Q(x) predikátum logikailag következik a P(x) predikátumból, és a Q(x) predikátum szükséges feltételének nevezik. a P(x) predikátum és a P(x ) predikátum – elégséges feltétele Q(x)-nek.
Tehát a tételben "Ha x természetes szám, akkor egész szám" a Q(x): „x egy egész szám” a P(x) predikátumból logikusan következik: „x természetes szám”, és az „x természetes szám” predikátum elégséges feltétele az „x” predikátumnak. egy egész szám."
Gyakran előfordul olyan helyzet, amikor a kölcsönösen fordított tételek igazak
Ez nyilvánvalóan lehetséges, feltéve, hogy.
Ebben az esetben az (1) Tételből következik, hogy a P(x) feltételek elegendőek Q(x)-hez, a (2) Tételből pedig az, hogy a P(x) feltétel szükséges Q(x)-hez.
Így, ha az (1) és (2) tétel igaz, akkor a P(x) feltétel szükséges és elegendő is Q(x)-hez. Hasonlóképpen, ebben az esetben a Q(x) feltétel szükséges és elegendő P(x)-hez.
Néha a „szükséges és elégséges” logikai kötőszó helyett az „akkor és csak akkor” logikai kötőszót használják.
Mivel az (1) és (2) állítás itt igaz, akkor az állítás igaz
Példák:
1) Tétel „Ha a számlosztható 12-vel, akkor osztható 3-mal." igaz. Ezért itt a szám oszthatósága l 12-vel elégséges feltétele egy szám oszthatóságának l 3-mal, és a szám oszthatósága l 3-mal a szám oszthatóságának szükséges feltétele láltal 12. Ugyanakkor a fordított tétel „Ha a számlosztható 3-mal, akkor osztható 12"-vel nem igaz. Ezért egy szám oszthatósága l 3-mal nem elégséges feltétele egy szám oszthatóságának l 12-vel, és a szám oszthatósága l 12-vel nem szükséges feltétele egy szám oszthatóságának l 3-ig..
Az egyenlőtlenséget átírjuk a formába , az ő megoldása az .
a) elégséges feltétele az egyenlőtlenség teljesülésének, hiszen 0О[-2, 4].
b) [-1, 3]М [-2, 4]. Ez azt jelenti, hogy ez elégséges feltétel.
c) [-3, +¥)É[-2, 4] tehát szükséges feltétel.
d) (-2, +¥)Ë[-2, 4] és [-2, 4]Ë(2, +¥), ezért sem nem szükséges, sem nem elégséges feltétel.
e) [-1, 10] Ë[-2, 4] és [-2, 4]Ë [-1, 10], ami azt jelenti, hogy nem szükséges és nem is elégséges feltétel.
f) [-2, 4]=[-2, 4] tehát szükséges és elégséges feltétel is.
5. Tételek ellentmondásos bizonyítása.
A tételek ellentmondásos bizonyítása általában a következő séma szerint történik: feltételezzük, hogy a tétel
nem igaz, azaz van olyan x objektum, amelyre a P(x) feltétel igaz, a Q(x) következtetés pedig hamis. Ha ezekből a mondatokból logikai érveléssel ellentmondásos állításra jutnak, akkor arra a következtetésre jutnak, hogy az eredeti feltevés hamis, és az (1) tétel igaz.
Mutassuk meg, hogy ez a megközelítés bizonyítja az (1) Tétel igazságát.
Valójában az a feltevés, hogy az (1) tétel nem igaz, tagadásának, azaz a képletnek az igazságát jelenti. . Kimutatható, hogy egy feltételezett feltevésből eredő ellentmondásos állítás, amint azt a korábban tárgyalt példákból láttuk, kötőszóként írható fel https://pandia.ru/text/80/323/images/image039_3.gif" width="57 "height="20 src="> egy második deriváltja nullával egyenlő az x0 pontban, akkor az x0 pont a függvénygráf inflexiós pontja."
b) "Ha egy számsorozat korlátozott, akkor van határa."
c) "Ha egy függvény folytonos egy x0 pontban, akkor ebben a pontban van deriváltja."
e) Ahhoz, hogy egy halmaz megszámlálható legyen... hogy elemei számozott sorozat formájában felírhatók legyenek;
f) Hogy egy numerikus sorozatnak legyen határa... hogy korlátos legyen.
5. Fogalmazd meg:
a) A paralelogramma szükséges, de elégtelen jele;
b) A paralelogramma szükséges és elégséges jele;
c) Elégséges, de nem szükséges feltétele annak, hogy a sinx = a egyenletnek megoldása legyen.
d) Szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy a sinx = a egyenletnek megoldása legyen.
1 . Negációs művelet.
Tagadásállítmány P(x), adott a forgatáson X, egy ugyanazon halmazon definiált predikátum, amely csak azokra az értékekre igaz xX, amely alatt az állítmány P(x) hazugság értelmét veszi fel.
2 . A konjunkció művelete.
Konjunkcióállítmányok P(x)És Q(x), a készleten meghatározott x, állítmánynak nevezzük P(x)Q(x). xX, amelyben mindkét predikátum igazságértékeket vesz fel.
Ha kijelöljük TR P(x), TK- az állítmány igazságkészlete Q(x), és kötőszójuk igazságkészlete TPÙQ, akkor láthatóan TPÙQ = TP Ç T.Q.
Bizonyítsuk be ezt az egyenlőséget.
1. Hagyjuk A xés ez köztudott AÎ TPÙQ . Az igazsághalmaz definíciója szerint ez azt jelenti, hogy az állítmány P(x)Q(x) igaz kijelentéssé válik, amikor x = a, azaz nyilatkozat R(a)Q(a) igaz. Mivel ez az állítás egy kötőszó, ezért a kötőszó definíciójával azt kapjuk, hogy minden állítás R(a)És Q(a) is igaz. Ez azt jelenti ATRÉs ATQ.Így ezt megmutattuk TPÙQ Ì TRÇ TQ.
2. Bizonyítsuk be a fordított állítást. Hadd A- a halmaz tetszőleges eleme xés ez köztudott AÎ TP Ç TQ. A halmazok metszetének definíciója szerint ez azt jelenti ATRÉs ATQ, honnan vettük ezt R(a)És Q(a)- igaz állítások, tehát az állítások kötőszava R(a)Q(a) is igaz lesz. Ez azt jelenti, hogy az elem A az állítmány igazságkészletéhez tartozik P(x)Q(x), azaz AÎ TPÙQ .
1-ből és 2-ből az egyenlő halmazok definíciója alapján az következik, hogy az egyenlőség TPÙQ =TRÇ TQ, amit bizonyítani kellett.
Ez vizuálisan a következőképpen ábrázolható.
3. A diszjunkció működése.
Diszjunkcióállítmányok P(x)És Q(x) predikátumnak nevezzük P(x)Q(x xés igaz kijelentéssé válva azoknak és csakis azoknak az értékeknek xX, amelyre legalább az egyik predikátum felveszi az igazság értékét P(x) vagy Q(x).
Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy TPÚQ = TP È T.Q.
4 .Az implikáció művelete.
Értelemszerűenállítmányok P(x)És Q(x), a készleten meghatározott x, állítmánynak nevezzük P(x)Q(x), ugyanazon a halmazon van meghatározva xés hamis kijelentéssé változva azokra és csak azokra az értékekre xX, amelynél P(x) felveszi az igazság értékét, és Q(x)- a hazugság jelentése.
5 .Ekvivalencia művelet.
Egyenértékűségállítmányok P(x)És Q(x), a készleten meghatározott x, állítmánynak nevezzük P(x)Q(x), ugyanazon a halmazon van meghatározva xés az igazság értékének elfogadása azokért és csakis azon értékekért xX, amelyekre az egyes predikátumok értéke igaz vagy hamis. Az igazságkészlet ebben az esetben így néz ki:
TPÛQ = .
Példa. Fellépő M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} predikátumok vannak megadva: Ó)- "szám x-vel nem osztható 5 », B(x) - « x- a szám páros", C(x) - « x- a szám prím", D(x)- "szám x többszörös 3 " Keresse meg a következő predikátumok igazságkészletét:
a) Ó)B(x); b) Fejsze); c) C(x)A(x); d) B(x)D(x)és ábrázolja őket Euler-Venn diagramok segítségével.
Megoldás: a) Keresse meg a predikátumok igazsághalmazát!
A(x): T = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19);
B(x): T = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
Egy kötőszó igazsághalmaza Ó)B(x) vannak igazságok T És T .
A logika algebrájában az állításokat oszthatatlan egésznek tekintjük, és csak igazságuk vagy hamisságuk szempontjából. Sem a kijelentések szerkezete, sem különösen a tartalmuk nincs hatással. Ugyanakkor mind a tudomány, mind a gyakorlat következtetéseket használ. jelentősen függenek mind a bennük használt állítások szerkezetétől, mind tartalmától.
Például a „Minden rombusz paralelogramma; ABCD – rombusz; ezért az ABCD egy paralelogramma, a premisszák és a következtetés a propozíciós logika elemi állításai, és e logika szempontjából teljesnek, oszthatatlannak tekinthetők, anélkül, hogy figyelembe vennénk belső szerkezetüket. Ezért a logika algebrája, a lét fontos rész A logika sok okfejtés elemzéséhez elégtelennek bizonyul.
Ebben a vonatkozásban szükség van a kijelentések logikájának bővítésére, egy olyan logikai rendszer felépítésére, amelynek segítségével a propozíciós logika keretein belül eleminek tekintett állítások szerkezetét lehetne tanulmányozni.
Az ilyen logikai rendszer a predikátumlogika, amely részeként tartalmazza az összes propozíciós logikát.
A predikátumlogika a hagyományos formális logikához hasonlóan az elemi állítást alanyra (szó szerint alanyra, bár kiegészítheti) és állítmányra (szó szerint állítmányra, bár definíció szerepét is betöltheti).
Az alany az, amelyről a kijelentésben valamit állítanak; állítmány az, amit az alanyról állítanak.
Például a „7 egy prímszám” utasításban a „7” az alany, a „prímszám” az állítmány. Ez az állítás kimondja, hogy a "7"-nek az a tulajdonsága, hogy "prímszám"
Ha a vizsgált példában a konkrét 7-es számot helyettesítjük a természetes számok halmazából származó x változóval, akkor az „x prímszám” kifejező alakot kapjuk. Az x egyes értékeire (például x = 13, x = 17) ez az űrlap igaz állításokat ad, míg más x értékekre (például x = 10, x = 18) ez az űrlap hamis állításokat ad. .
Nyilvánvaló, hogy ez az expresszív forma egy x változó függvényét határozza meg, amely az N halmazon van definiálva, és értékeket vesz az (1,0) halmazból. Itt az állítmány az alany függvényévé válik, és az alany egy tulajdonságát fejezi ki.
Meghatározás. A P(x) unáris predikátum az x változó tetszőleges függvénye, amely az M halmazon van definiálva, és értéket vesz az (1,0) halmazból.
Azt az M halmazt, amelyen a P(x) predikátum definiálva van, a predikátum definíciós tartományának nevezzük.
Az összes elem halmazát, amelyre a predikátum „igaz” értéket vesz fel, a P(x) predikátum igazsághalmazának nevezzük, vagyis a P(x) predikátum igazsághalmaza egy halmaz.
Így. a P(x) - „x egy prímszám” predikátum az N halmazon van definiálva, a hozzá tartozó halmaz pedig az összes prímszám halmaza. A Q(x) – „” predikátum az R halmazon és annak igazsághalmazán van definiálva . Az F(x) „Az x paralelogramma átlói merőlegesek” predikátum az összes paralelogramma halmazán definiálva van, igazsághalmaza pedig az összes rombusz halmaza.
Az egyhelyes predikátumokra adott példák az objektumok tulajdonságait fejezik ki.
Meghatározás. Az M halmazon definiált P(x) predikátumot azonosan igaznak (azonosan hamisnak) nevezzük, ha .
Az egyhelyes predikátum fogalmának természetes általánosítása a többhelyes predikátum fogalma, amelynek segítségével az objektumok közötti kapcsolatokat fejezik ki.
Példa bináris reláció(két dolog kapcsolata) a „kevesebb, mint” reláció. Vezessük be ezt az összefüggést az egész számok Z halmazán. Az „x” kifejező formával jellemezhető<у », где, то есть является функцией двух переменных Р(х,у), определенной на множествес множеством значений {1,0}.
Meghatározás. A P(x, y) kéthelyes predikátum két x és y változó függvénye, amelyek a halmazon vannak definiálva, és értékeket vesznek az (1,0) halmazból.
Hasonlóképpen definiálunk egy n-áris predikátumot is.
- Egyéni vállalkozó: minden az egyéni vállalkozóról, érthető nyelven
- Sinkwine Szinkwin összeállítása általános iskolai oktatási és módszertani anyagban (3. osztály) Sinkwine témában iskola témában
- Szergej Rodin "Senki nem látja a világot rajtad kívül, senki sem látja a világot a te szemeden keresztül"
- Robert Kiyosaki kulcsmondatai