Diszkrét eloszlási függvény. Véletlenváltozós eloszlási függvény
Megtalálja:
a) A paraméter;
b) F(x) eloszlásfüggvény;
c) annak a valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó az intervallumba esik;
G) várható érték MX és DX variancia.
Rajzolja fel az f(x) és F(x) függvények grafikonját!
2. feladat. Határozzuk meg az X valószínűségi változó integrálfüggvény által adott szórását!
3. feladat. Határozzuk meg egy X valószínűségi változó matematikai elvárását! adott funkciót disztribúciók.
4. feladat. Valamely valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét a következőképpen adjuk meg: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Határozzuk meg az A együtthatót, az F(x) eloszlásfüggvényt, a matematikai elvárásokat és a szórást, valamint annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumban. Rajzolj f(x) és F(x) grafikont!
Feladat. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő:
Határozza meg az a és b paramétereket, keressen kifejezést az f(x) valószínűségi sűrűségre, a matematikai elvárásra és szórásra, valamint annak valószínűségére, hogy a valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumban. Rajzolja meg f(x) és F(x) grafikonját!
Keressük az eloszlási sűrűségfüggvényt az eloszlásfüggvény deriváltjaként.
F′=f(x)=a
Tudva, hogy megtaláljuk a paramétert:
vagy 3a=1, ahol a = 1/3
A b paramétert a következő tulajdonságokból találjuk meg:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, ahol b = -1/3
Ezért az eloszlásfüggvény alakja: F(x) = (x-1)/3
![](https://i2.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp1_image009.gif)
![](https://i0.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp1_image010.gif)
Diszperzió.
![](https://i1.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp1_image011.gif)
![](https://i0.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp1_image012.gif)
Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumban
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
1. számú példa. Adott egy X folytonos valószínűségi változó f(x) valószínűségi eloszlási sűrűsége. Kívánt:
- Határozzuk meg az A együtthatót.
- keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt.
- Szerkessze meg sematikusan F(x) és f(x) gráfját.
- keresse meg X matematikai elvárását és varianciáját.
- keresse meg annak valószínűségét, hogy X értéket vesz fel a (2;3) intervallumból.
Megoldás:
Az X valószínűségi változót az f(x) eloszlássűrűség adja meg:
Keressük az A paramétert a feltételből:
![](https://i0.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp4-image004.gif)
vagy
14/3*A-1 = 0
Ahol,
A = 3/14
Az eloszlásfüggvényt a képlet segítségével találhatjuk meg.
![](https://i2.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp4-image006.gif)
![](https://i1.wp.com/semestr.ru/images/math/math/exp4-image007.gif)
A valószínűségi változók és változóik eloszlásfüggvényeinek megtalálásához tanulmányozni kell ennek a tudásterületnek az összes jellemzőjét. Több is van különféle módszerek a kérdéses értékek megtalálásához, beleértve a változó változást és a nyomaték generálást. Az eloszlás egy olyan fogalom, amely olyan elemeken alapul, mint a diszperzió és a variációk. Ezek azonban csak a szórási tartomány mértékét jellemzik.
A valószínűségi változók fontosabb függvényei azok, amelyek kapcsolatban állnak egymással, függetlenek és azonos eloszlásúak. Például, ha X1 egy véletlenszerűen kiválasztott egyed súlya a férfi populációból, X2 egy másik, ... és Xn egy másik egyed súlya a férfi populációból, akkor tudnunk kell, hogyan Az X függvény eloszlik. Ebben az esetben a centrális határtételnek nevezett klasszikus tétel érvényes. Lehetővé teszi, hogy megmutassuk, hogy nagy n esetén a függvény szabványos eloszlásokat követ.
Egy valószínűségi változó függvényei
A központi határérték tétel célja a diszkrét érdekes értékek, például a binomiális és a Poisson-érték közelítése. A valószínűségi változók eloszlási függvényeit mindenekelőtt egy változó egyszerű értékein vizsgáljuk. Például, ha X egy folytonos valószínűségi változó, amelynek saját valószínűségi eloszlása van. Ez az eset azt vizsgálja, hogyan lehet megtalálni az Y sűrűségfüggvényt két különböző megközelítéssel, nevezetesen az eloszlásfüggvény módszerrel és a változó változás módszerével. Először is csak az egy az egyhez értékeket veszik figyelembe. A változó megváltoztatásának technikáját ezután módosítani kell, hogy megtaláljuk a valószínűségét. Végül meg kell tanulnia, hogyan segíthet a kumulatív eloszlás olyan véletlen számok modellezésében, amelyek bizonyos szekvenciális mintákat követnek.
A figyelembe vett értékek eloszlásának módja
Egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvényének módszerét használjuk a sűrűségének meghatározására. Ez a módszer a kumulatív értéket számítja ki. Ezután differenciálásával megkaphatjuk a valószínűségi sűrűséget. Most, hogy megvan a disztribúciós függvény módszere, nézhetünk még néhány példát. Legyen X folytonos valószínűségi változó bizonyos valószínűségi sűrűséggel.
Mi az x2 valószínűségi sűrűségfüggvénye? Ha megnézi vagy grafikonon ábrázolja az y = x2 függvényt (felül és jobbra), akkor észreveheti, hogy az X-et és 0-t növekszik. Az utolsó példában nagy gondot fordítottunk arra, hogy a kumulatív függvényeket és a valószínűségi sűrűségeket X-szel vagy Y-vel indexeljük, hogy jelezzük, melyik valószínűségi változóhoz tartoznak. Például Y kumulatív eloszlásfüggvényének megtalálásakor X-et kaptunk. Ha meg kell találni az X valószínűségi változót és annak sűrűségét, akkor csak meg kell különböztetni. Legyen X egy f (x) közös nevezőjű eloszlásfüggvénnyel meghatározott folytonos valószínűségi változó. Ebben az esetben, ha y értékét X = v(Y)-be teszed, akkor x értékét kapod, például v(y). Most meg kell kapnunk egy Y folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ahol az első és a második egyenlőség a kumulatív Y definíciójából következik. A harmadik egyenlőség teljesül, mert a függvény azon része, amelyre u (X) ≤ y az is igaz, hogy X ≤ v (Y ). Utóbbit pedig az X folytonos valószínűségi változó valószínűségének meghatározására végezzük. Most vegyük FY(y) deriváltját, Y kumulatív eloszlásfüggvényét, hogy megkapjuk Y valószínűségi sűrűségét. Legyen X egy folytonos valószínűségi változó, amelynek közös f(x) értéke c1 felett van definiálva A probléma megoldásához mennyiségi adatok gyűjthetők, és empirikus kumulatív eloszlásfüggvény használható. Ezeknek az információknak a birtoklása és a hozzájuk való vonzódás a mintaátlagok, a szórások, a médiaadatok és így tovább kombinációját igényli. Hasonlóképpen, még egy meglehetősen egyszerű valószínűségi modellnek is rengeteg eredménye lehet. Például, ha 332-szer feldob egy érmét. Ekkor a forradalmakból kapott eredmények száma nagyobb, mint a google-é (10100) – ez a szám, de nem kevesebb, mint 100 kvintimilliószorosa az ismert univerzum elemi részecskéinek. Nem érdekli az elemzés, amely minden lehetséges eredményre választ ad. Egyszerűbb fogalomra lesz szükség, mint például a fejek száma vagy a farok leghosszabb ütése. Az érdeklődésre számot tartó kérdésekre való összpontosításhoz egy konkrét eredményt fogadnak el. A definíció ebben az esetben a következő: a valószínűségi változó egy valós függvény valószínűségi térrel. Egy valószínűségi változó S tartományát néha állapottérnek nevezik. Így, ha X a kérdéses érték, akkor N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc és így tovább. Ezek közül az utolsót, X-et a legközelebbi egész számra kerekítve padlófüggvénynek nevezzük. Miután meghatároztuk az x valószínűségi változó érdeklődésére számot tartó eloszlásfüggvényt, általában a következő kérdés merül fel: „Mi az esélye, hogy X beleesik B értékeinek valamelyik részhalmazába?” Például B = (páratlan számok), B = (1-nél nagyobb) vagy B = (2 és 7 között), hogy jelezze azokat az eredményeket, amelyeknél az X, a valószínűségi változó értéke az A részhalmazban szerepel. Így a fentiekben például az eseményeket a következőképpen írhatja le. (X egy páratlan szám), (X nagyobb, mint 1) = (X> 1), (X 2 és 7 között van) = (2 Így kivonással kiszámíthatjuk annak valószínűségét, hogy egy x valószínűségi változó eloszlásfüggvénye értéket vesz fel az intervallumban. Gondolkodnia kell a végpontok felvételén vagy kizárásán. Egy valószínűségi változót akkor nevezünk diszkrétnek, ha véges vagy megszámlálható végtelen állapottere van. Így X a fejek száma egy torzított érme három független feldobásakor, amely p valószínűséggel emelkedik. Meg kell találnunk egy diszkrét FX valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvényét X-re. Legyen X a csúcsok száma egy három lapból álló gyűjteményben. Ekkor Y = X3 FX-en keresztül. Az FX 0-val kezdődik, 1-gyel végződik, és nem csökken az x értékek növekedésével. Egy X diszkrét valószínűségi változó kumulatív FX eloszlásfüggvénye állandó, kivéve az ugrásokat. Ugráskor az FX folyamatos. Az eloszlásfüggvény helyes folytonosságára vonatkozó állítást a valószínűségi tulajdonságból bizonyíthatja a definíció segítségével. Ez így megy: egy állandó valószínűségi változónak kumulatív FX-je van, ami differenciálható. Annak bemutatására, hogy ez hogyan történhet meg, adható egy példa: egységnyi sugarú cél. Feltehetőleg. a dart egyenletesen oszlik el a megadott területen. Néhány λ> 0 esetén. Így a folytonos valószínűségi változók eloszlásfüggvényei simán nőnek. Az FX eloszlásfüggvény tulajdonságaival rendelkezik. Egy férfi a buszmegállóban várja, amíg megérkezik. Miután maga eldöntötte, hogy visszautasítja, amikor a várakozás eléri a 20 percet. Itt meg kell találnia a T kumulatív elosztási függvényét. Az az idő, amikor a személy még a buszpályaudvaron lesz, vagy amikor nem indul el. Annak ellenére, hogy a kumulatív eloszlásfüggvény minden valószínűségi változóhoz definiálva van. Ennek ellenére gyakran használnak más jellemzőket: egy diszkrét változó tömegét és egy valószínűségi változó eloszlási sűrűségfüggvényét. Az érték általában e két érték valamelyikével kerül kiadásra. Ezeket az értékeket a következő tulajdonságok veszik figyelembe, amelyek általános (tömeg) jellegűek. Az első azon a tényen alapul, hogy a valószínűségek nem negatívak. A második abból a megfigyelésből következik, hogy az összes x=2S halmaz, X állapottere az X valószínűségi szabadságának egy partícióját képezi. Példa: egy torzított érme feldobásai, amelyek eredményei függetlenek. Folytathat bizonyos műveletek végrehajtását, amíg nem kap gólt. Jelölje X azt a valószínűségi változót, amely megadja az első fej előtti farok számát. És p jelöli az adott cselekvés valószínűségét. Tehát a tömegvalószínűségi függvény a következő jellemzőkkel rendelkezik. Mivel a kifejezések numerikus sorozatot alkotnak, X-et geometriai valószínűségi változónak nevezzük. Geometriai séma c, cr, cr2,. , crn-nek van egy összege. Ezért sn-nek van határa, amikor n 1. Ebben az esetben a végtelen összeg a határ. A fenti tömegfüggvény geometriai sorozatot alkot az aránnyal. Ezért vannak a és b természetes számok. Az eloszlásfüggvény értékkülönbsége megegyezik a tömegfüggvény értékével. A szóban forgó sűrűségértékek definíciója a következő: X egy valószínűségi változó, amelynek FX eloszlása deriváltja van. A Z xFX (x) = fX (t) dt-1 FX-et valószínűségi sűrűségfüggvénynek nevezzük. X-et pedig folytonos valószínűségi változónak nevezzük. A számítás alaptételében a sűrűségfüggvény az eloszlás deriváltja. A valószínűségeket határozott integrálok kiszámításával számíthatja ki. Mivel az adatokat több megfigyelésből gyűjtik, egynél több valószínűségi változót kell egyszerre figyelembe venni a kísérleti eljárások modellezéséhez. Ezért ezeknek az értékeknek a halmaza és két X1 és X2 változó együttes eloszlása események megtekintését jelenti. A diszkrét valószínűségi változók esetében közös valószínűségi tömegfüggvényeket kell meghatározni. A folytonosaknál fX1, X2 veszik figyelembe, ahol az együttes valószínűségi sűrűség teljesül. Két X1 és X2 valószínűségi változó független, ha bármely két hozzájuk kapcsolódó esemény azonos. Szavakkal kifejezve annak a valószínűsége, hogy két esemény (X1 2 B1) és (X2 2 B2) egyidejűleg bekövetkezik, y, egyenlő a fenti változók szorzatával, hogy mindegyik egyenként fordul elő. Független diszkrét valószínűségi változókra van egy közös valószínűségi tömegfüggvény, amely a korlátozó iontérfogat szorzata. Független folytonos valószínűségi változók esetén az együttes valószínűségi sűrűségfüggvény a határsűrűség értékek szorzata. Végül n független x1, x2 megfigyelést veszünk figyelembe. , xn ismeretlen sűrűség- vagy tömegfüggvényből fakadó f. Például egy ismeretlen paraméter egy exponenciális valószínűségi változó függvényében, amely leírja a busz várakozási idejét. Ennek az elméleti területnek a fő célja, hogy a statisztikai tudomány szilárd elvein alapuló következtetési eljárások kidolgozásához szükséges eszközöket biztosítson. Így a szoftver egyik nagyon fontos alkalmazása az a képesség, hogy pszeudo adatokat generáljunk a tényleges információk szimulálására. Ez lehetővé teszi az elemzési módszerek tesztelését és fejlesztését, mielőtt azokat valódi adatbázisokban használnák. Erre az adatok tulajdonságainak modellezéssel történő feltárásához van szükség. Számos gyakran használt valószínűségi változócsaládhoz az R parancsokat ad a létrehozásukhoz. Más körülmények között közös eloszlású független valószínűségi változók sorozatának modellezésére lesz szükség. Diszkrét véletlenszerű változók és parancsminta. A minta parancs egyszerű és rétegzett véletlenszerű minták létrehozására szolgál. Ennek eredményeként, ha adott egy x sorozat, a minta(x, 40) 40 bejegyzést választ ki x-ből, így minden 40-es méretű opció egyenlő valószínűséggel rendelkezik. Ez az alapértelmezett R parancsot használja a kiválasztáshoz csere nélkül. Diszkrét valószínűségi változók modellezésére is használható. Ehhez meg kell adni egy állapotteret az x vektorban és az f tömegfüggvényben. A csere = TRUE hívása azt jelzi, hogy a mintavétel a cserével együtt történik. Ezután n független valószínűségi változóból álló minta megadásához, amelyeknek közös f tömegfüggvénye van, mintát (x, n, helyettesít = IGAZ, prob = f) használunk. Megállapítást nyert, hogy az 1 a legkisebb képviselt érték, a 4 pedig a legnagyobb. Ha a prob = f parancsot kihagyjuk, akkor a minta egységesen lesz mintavételezve az x vektor értékeiből. A szimulációt az adatokat generáló tömegfüggvénnyel összevetve ellenőrizheti a kettős egyenlőségjelet, az ==-t. És olyan megfigyelések számolása, amelyek minden lehetséges értéket felvesznek x-re. Készíthetsz egy asztalt. Ismételje meg ezt 1000-re, és hasonlítsa össze a szimulációt a megfelelő tömegfüggvénnyel. Először szimulálja az u1, u2, valószínűségi változók homogén eloszlásfüggvényeit. , un az intervallumon . A számok körülbelül 10%-ának belül kell lennie. Ez az intervallumonkénti szimulációk 10%-ának felel meg az FX eloszlásfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó esetében. Hasonlóképpen, a véletlen számok körülbelül 10%-ának a tartományban kell lennie. Ez az FX eloszlásfüggvénnyel végzett valószínűségi változó intervallumon végzett szimulációk 10%-ának felel meg. Ezeket az értékeket az x tengelyen az FX inverzével kaphatjuk meg. Ha X egy folytonos valószínűségi változó, amelynek fX sűrűsége a tartományában mindenhol pozitív, akkor az eloszlásfüggvény szigorúan növekszik. Ebben az esetben az FX rendelkezik az FX-1 inverz függvényével, amelyet kvantilis függvényként ismerünk. FX (x) u csak akkor, ha x FX-1 (u). A valószínűségi transzformáció az U = FX (X) valószínűségi változó elemzéséből következik. Az FX tartománya 0 és 1 között van. Nem vehet fel 0-nál kisebb vagy 1-nél nagyobb értékeket. 0 és 1 közötti u értékek esetén. Ha U modellezhető, akkor egy valószínűségi változót kell szimulálni az FX eloszlása kvantilis függvényen keresztül. Vegyük a deriváltot, és nézzük meg, hogy az u sűrűség 1-en belül változik. Mivel az U valószínűségi változó sűrűsége állandó a lehetséges értékeinek intervallumában, ezért az intervallumon egységesnek nevezzük. R-ben van modellezve a runif paranccsal. Az identitást valószínűségi transzformációnak nevezzük. Láthatja, hogyan működik ez a példában a darts táblával. X 0 és 1 között, az eloszlásfüggvény u = FX (x) = x2, ezért a kvantilis függvény x = FX-1 (u). Lehetőség van a dart panel középpontjától való távolság független megfigyelésének szimulálására, miközben egységes U1, U2, valószínűségi változókat generálunk. ,ENSZ. Az eloszlási függvény és az empirikus a darts tábla eloszlásának 100 szimulációján alapul. Exponenciális valószínűségi változó esetén feltehetően u = FX(x) = 1 - exp(- x), és ebből következően x = - 1 ln(1 - u). Néha a logika egyenértékű kijelentésekből áll. Ebben az esetben az érvelés két részét kombinálnia kell. A metszésponttal való azonosság mind a 2 (S i i) S esetében hasonló, valamilyen érték helyett. A Ci unió egyenlő az S állapottérrel, és minden pár kölcsönösen kizárja egymást. Mivel a Bi három axiómára oszlik. Minden teszt a megfelelő P valószínűségen alapul. Bármely részhalmazra. Az identitás használata annak biztosítására, hogy a válasz ne függjön attól, hogy az intervallum végpontjai szerepelnek-e. Az összes esemény minden kimenetelére végül a valószínűségek folytonosságának második tulajdonságát használjuk, amelyet axiomatikusnak tekintünk. Egy valószínűségi változó függvényének eloszlási törvénye itt azt mutatja, hogy mindegyiknek megvan a maga megoldása és válasza. Bármely véletlenszerű kísérlet eredménye minőségileg és mennyiségileg is jellemezhető. Minőségi véletlenszerű kísérlet eredménye - véletlen
esemény. Bármi mennyiségi jellemző, amely egy véletlenszerű kísérlet eredményeként számos érték valamelyikét veheti fel, - véletlenszerű érték. Véletlenszerű érték
a valószínűségszámítás egyik központi fogalma. Legyen tetszőleges valószínűségi tér. Véletlen változó x =x (w), w W valós numerikus függvénynek nevezzük úgy, hogy bármely valós esetén x Esemény
Ezt x alakban szokás írni< x. A következőkben a valószínűségi változókat kis görög betűkkel jelöljük x, h, z, ...
A valószínűségi változó a kockadobáskor szerzett pontok száma, vagy egy tanulmányi csoportból véletlenszerűen kiválasztott diák magassága. Az első esetben azzal van dolgunk diszkrét valószínűségi változó(egy diszkrét számkészletből veszi az értékeket M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); a második esetben - azzal folyamatos valószínűségi változó(értékeket vesz egy folyamatos számkészletből - a számsor intervallumából én=). Mindegyik valószínűségi változót teljesen meghatározza elosztási függvény. Ha x egy valószínűségi változó, akkor a függvény F(x) = F x(x)
= P(x< x) nak, nek hívják elosztási függvény x valószínűségi változó. Itt P(x<x) - annak a valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint x. Fontos megérteni, hogy az eloszlásfüggvény egy valószínűségi változó „útlevele”: minden információt tartalmaz a valószínűségi változóról, ezért egy valószínűségi változó tanulmányozása annak tanulmányozásából áll elosztási funkciók, amelyet gyakran egyszerűen úgy hívnak terjesztés. Bármely valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Ha x egy diszkrét valószínűségi változó, amely az értékeket veszi fel x 1
<x 2 < … <x i < … с
вероятностями p 1 <p 2 < … <p i < …, то таблица вида hívott diszkrét valószínűségi változó eloszlása. Az ilyen eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének alakja van A diszkrét valószínűségi változónak lépcsőzetes eloszlásfüggvénye van. Például egy kockadobással kapott véletlen számú pontra az eloszlás, az eloszlási függvény és az eloszlási függvény grafikonja a következő: Ha az elosztási függvény F x(x) folytonos, akkor az x valószínűségi változót hívjuk folytonos valószínűségi változó. Ha egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye megkülönböztethető, akkor a valószínűségi változó vizuálisabb ábrázolását adja meg a p x valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége(x),
ami az eloszlásfüggvénnyel kapcsolatos F x(x) képletek Ebből különösen az következik, hogy bármely valószínűségi változó esetén . Gyakorlati problémák megoldása során gyakran meg kell találni az értéket x, amelynél az eloszlási függvény F x(x) az x valószínűségi változó adott értéket vesz fel p, azaz egyenletet kell megoldani F x(x) = p. Egy ilyen egyenlet megoldásai (megfelelő értékek x) a valószínűségszámításban ún kvantilisek. Kvantilis x p ( p-kvantilis, szintkvantilis p) eloszlásfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó F x(x) nevezi a megoldást xp egyenletek F x(x) = p,
p(0, 1). Néhány p az egyenlet F x(x) = p több megoldás is lehet, egyesek esetében egyik sem. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő valószínűségi változóhoz bizonyos kvantilisek nincsenek egyértelműen definiálva, és néhány kvantilis nem létezik. Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az F(x) függvény, amely minden x esetén kifejezi annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó felveszi az értéket., kisebb x
2.5. példa. Adott egy valószínűségi változó eloszlási sorozata Keresse meg és ábrázolja grafikusan az eloszlási függvényét. Megoldás. A meghatározás szerint F(jc) = 0 at x x F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 4 °C-on F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 °C-on x > 5. Tehát (lásd a 2.1. ábrát): Az elosztási függvény tulajdonságai: 1. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye egy nulla és egy közötti nemnegatív függvény: 2. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a teljes numerikus tengelyen nem csökkenő függvény, azaz. nál nél x 2
>x 3. Mínusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő nullával, plusz végtelennél eggyel, azaz. 4. Egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége x az intervallumban egyenlő valószínűségi sűrűségének egy bizonyos integráljával, amely től kezdve A előtt b(lásd 2.2. ábra), i.e. Rizs. 2.2 3. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye (lásd 2.3. ábra) a valószínűségi sűrűséggel fejezhető ki a következő képlet szerint: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének végtelen határaiban a helytelen integrál egyenlő eggyel: Geometriai tulajdonságok / és 4
a valószínűségi sűrűség azt jelenti, hogy a grafikonja az eloszlási görbe - nem az x tengely alatt van, és az ábra teljes területe, az eloszlási görbe és az x tengely határolja, egyenlő eggyel. Folyamatos valószínűségi változóhoz x várható érték M(X)és variancia D(X) képletek határozzák meg: (ha az integrál abszolút konvergens); vagy (ha a fenti integrálok konvergálnak). A fent említett numerikus jellemzők mellett a kvantilisek és százalékpontok fogalmát használják a valószínűségi változó leírására. Kvantilis szint q(vagy q-kvantilis) olyan értékx qvalószínűségi változó, amelynél az eloszlásfüggvénye felveszi az értéket, egyenlő q-val, azaz A 2.6. példa adatai alapján keresse meg a kvantilist xqj és a 30%-os valószínűségi változó pont X.
Megoldás. A (2.16) definíció szerint F(xo t3)= 0,3, azaz. ~I~ = 0.3, honnan származik a kvantilis? x 0 3 = 0,6. 30% valószínűségi változó pont x, vagy X)_o,z = kvantilis xoj" hasonlóképpen megtalálható a ^ = 0,7 egyenletből. ahol *,= 1,4. ? A valószínűségi változó numerikus jellemzői között vannak a kezdeti v* és központi R* k-edik rend pillanatai, amelyet diszkrét és folytonos valószínűségi változókra a következő képletekkel határozunk meg: Valószínűségi eloszlásfüggvény és tulajdonságai. Egy X valószínűségi változó F(x) valószínűségi eloszlásfüggvénye az x pontban annak a valószínűsége, hogy egy kísérlet eredményeként a valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x)=P(X< х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Valójában definíció szerint F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, mivel definíció szerint F(∞)=P(X)< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel a [Α Β] intervallumból, egyenlő a valószínűségi eloszlás függvényének növekedésével ezen az intervallumon. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), ha x 2, > x 1, azaz. A valószínűség-eloszlási függvény egy nem csökkenő függvény. 5. A valószínűségi eloszlási függvényt folytonosnak hagyjuk. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) x→ x o esetén A diszkrét és a folytonos valószínűségi változók valószínűségi eloszlásfüggvényei közötti különbségek jól szemléltethetők grafikonokkal. Legyen például egy diszkrét valószínűségi változónak n lehetséges értéke, amelyek valószínűsége P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Ha x ≤ x 1, akkor F(X)=0, mivel az x-től balra lévő valószínűségi változónak nincsenek lehetséges értékei. Ha x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Ez azt jelenti, hogy F(x)=P(X=x 1 )=p 1 .X 2-nél< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Tekintsük annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó a , Δx>0 intervallumba esik: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Ha F(x)-nek megszakadása van az x pontban, akkor a P(X=x) valószínűség egyenlő lesz a függvényugrással ebben a pontban. Így annak a valószínűsége, hogy egy folytonos mennyiségre bármely lehetséges érték előfordul, nulla. A P(X=x)=0 kifejezést úgy kell érteni, mint annak a valószínűségének korlátját, hogy egy valószínűségi változó az x pont végtelen kicsiny környékére esik P(Α esetén< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Diszkrét változók esetén ezek a valószínűségek nem azonosak abban az esetben, ha az Α és (vagy) Β intervallum határai egybeesnek a valószínűségi változó lehetséges értékeivel. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén szigorúan figyelembe kell venni az egyenlőtlenség típusát a P(Α ≤X) képletben<Β}=F(Β)-F(Α).A változók megváltoztatásának technikája
Általánosítás a redukciós függvényhez
Elosztási funkciók
Véletlen változók és eloszlási függvények
Tömegfüggvények
Független valószínűségi változók
Valószínűségi változók szimulációja
A valószínűségi transzformáció szemléltetése
Exponenciális függvény és változói
.
x 1
x 2
…
x i
…
p 1
p 2
…
p i
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
És
.
Tekintsük az F(x) függvény tulajdonságait.