Funkcionális sor konvergenciatartomány egyenletes konvergencia Weierstrass-jel tulajdonságai egyenletesen konvergens függvénysorok. Funkcionális sorozatok és konvergenciájuk: egységes és nem egységes Funkcionális sorozatok

4.1. Funkcionális sorozatok: alapfogalmak, konvergencia területe

1. definíció. Egy sorozat, amelynek tagjai függvényei egy ill
egy bizonyos halmazon meghatározott több független változót hívunk funkcionális tartomány.

Tekintsünk egy funkcionális sorozatot, amelynek tagjai egy független változó függvényei x. Az első összege n egy sorozat tagjai egy adott funkcionális sorozat részösszege. Általános tag van egy függvény x, meghatározott régióban. Tekintsük a funkcionális sorozatot a ponton . Ha a megfelelő számsorozat konvergál, azaz. ennek a sorozatnak a részösszegei korlátozottak
(Ahol − számsor összege), akkor a pontot nevezzük konvergencia pont funkcionális tartomány . Ha a számsor eltér, akkor a pontot ún eltérési pont funkcionális tartomány.

2. definíció. A konvergencia területe funkcionális tartomány az összes ilyen érték halmazának nevezzük x, amelynél a funkcionális sorozatok konvergálnak. Az összes konvergenciapontból álló konvergencia régiót jelöljük . Vegye figyelembe, hogy R.

A funkcionális sorozat a régióban konvergál , ha van ilyen úgy konvergál, mint egy számsor, és összege valamilyen függvény lesz . Ez az ún limit funkció sorozatok : .

Hogyan találjuk meg egy függvénysorozat konvergenciaterületét ? Használhat d'Alembert táblájához hasonló táblát. Egy sorra összeállít és fontolja meg a korlátot egy fix x:
. Akkor megoldást jelent az egyenlőtlenségre és az egyenlet megoldása (az egyenletnek csak azokat a megoldásait vesszük figyelembe
amelyek megfelelő számsorai konvergálnak).

1. példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét.

Megoldás. Jelöljük , . Állítsuk össze és számoljuk ki a határt, akkor a sorozat konvergencia tartományát az egyenlőtlenség határozza meg és az egyenlet . Vizsgáljuk tovább az eredeti sorozatok konvergenciáját azokban a pontokban, amelyek az egyenlet gyökerei:

és ha , , akkor divergens sorozatot kapunk ;

b) ha , , majd a sorozat feltételesen konvergál (által

Leibniz-kritérium, 1. példa, 3. előadás, szakasz. 3.1).

Így a konvergencia régiója sorozat így néz ki: .

4.2. Hatványsorok: alapfogalmak, Ábel-tétel

Tekintsük egy funkcionális sorozat egy speciális esetét, az ún teljesítmény sorozat , Ahol
.

3. definíció. Teljesítmény sorozat forma funkcionális sorozatának nevezzük,

Ahol − konstans hívott számok sorozat együtthatói.

A hatványsor egy „végtelen polinom”, amely növekvő hatványokba rendeződik . Bármilyen számsorozat van
egy hatványsor speciális esete .

Tekintsük a for hatványsor speciális esetét :
. Nézzük meg, milyen típusról van szó
sorozat konvergencia régiója .

1. tétel (Ábel tétel). 1) Ha a hatványsor egy ponton konvergál , akkor abszolút konvergál bármely x, amelyre az egyenlőtlenség érvényes .

2) Ha a hatványsor eltér a , akkor eltér bármely x, amelyekre .

Bizonyíték. 1) Feltétel szerint a hatványsor a pontban konvergál ,

azaz a számsorok konvergálnak

(1)

és a szükséges konvergenciakritérium szerint közös tagja 0-ra hajlik, azaz. . Ezért van ilyen szám hogy a sorozat összes tagját ez a szám korlátozza:
.

Tekintsük most bármelyiket x, amelyekre , és készítsen abszolút értékek sorozatát: .
Írjuk meg ezt a sorozatot más formában: mivel , majd (2).

Az egyenlőtlenségtől
kapunk, azaz. sor

olyan tagokból áll, amelyek nagyobbak, mint a (2) sorozat megfelelő tagjai. Sor nevezővel rendelkező geometriai haladás konvergens sorozatát ábrázolja , és , mert . Következésképpen a (2) sorozat a . Így a hatványsor abszolút megegyezik.

2) Hagyja, hogy a sorozat at , más szavakkal,

számsorok eltérnek . Bizonyítsuk be ezt bármelyikre x () a sorozat eltér. A bizonyítás ellentmondásos. Legyen néhány

rögzített ( ) a sorozat konvergál, akkor mindenre konvergál (lásd ennek a tételnek az első részét), különösen for , amely ellentmond az 1. Tétel 2. feltételének. A tétel bizonyítva van.

Következmény. Abel tétele lehetővé teszi egy hatványsor konvergenciapontjának megítélését. Ha a lényeg a hatványsorok konvergenciapontja, majd az intervallum tele konvergenciapontokkal; ha az eltérés pontja az a pont , Azt
végtelen intervallumok tele van eltérési pontokkal (1. ábra).

Rizs. 1. A sorozatok konvergenciájának és divergenciájának intervallumai

Kimutatható, hogy van ilyen szám hogy mindenki előtt
teljesítmény sorozat teljesen konvergál, és mikor − eltér. Feltételezzük, hogy ha a sorozat csak egy 0 pontban konvergál, akkor , és ha a sorozat mindenki számára konvergál , Azt .

4. definíció. Konvergencia intervallum teljesítmény sorozat egy ilyen intervallumot nevezünk hogy mindenki előtt ez a sorozat konvergál, ráadásul abszolút, és mindenért x, amely ezen az intervallumon kívül esik, a sorozat eltér. Szám R hívott konvergencia sugár teljesítmény sorozat.

Megjegyzés. Az intervallum végén egy hatványsor konvergenciájának vagy divergenciájának kérdését minden egyes sorozatra külön-külön oldjuk meg.

Mutassuk meg a hatványsorok intervallumának és konvergencia sugarának meghatározásának egyik módját.

Tekintsük a hatványsorokat és jelöljük .

Készítsünk egy sorozatot a tagjainak abszolút értékéből:

és alkalmazza rá d'Alembert tesztjét.

Hadd létezzen

.

D'Alembert tesztje szerint egy sorozat konvergál, ha , és eltér, ha . Ezért a sorozat a -ban konvergál, akkor a konvergencia intervalluma: . Amikor a sorozat szétválik, mivel .
A jelölés használata , kapunk egy képletet egy hatványsor konvergencia sugarának meghatározására:

,

Ahol − hatványsoros együtthatók.

Ha kiderül, hogy a határ , akkor feltételezzük .

Egy hatványsor intervallumának és konvergencia sugarának meghatározásához használhatjuk a radikális Cauchy-próbát is, a sorozat konvergencia sugarát a reláció határozza meg. .

5. definíció. Általánosított hatványsor forma sorozatának nevezzük

. Erős sorozatnak is nevezik .
Egy ilyen sorozat esetében a konvergencia intervallum a következő formában van: , Ahol − konvergencia sugár.

Mutassuk meg, hogyan találjuk meg a konvergencia sugarát egy általánosított hatványsorhoz.

azok. , Ahol .

Ha , Azt és a konvergencia régió R; Ha , Azt és konvergencia régió .

2. példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét .

Megoldás. Jelöljük . Kössünk határt

Az egyenlőtlenség megoldása: , , ezért az intervallum

A konvergenciának a következő formája van: , és R= 5. Ezenkívül megvizsgáljuk a konvergencia intervallum végeit:
A) , , megkapjuk a sorozatot , amely eltér;
b) , , megkapjuk a sorozatot , ami konvergál
feltételesen. Így a konvergencia területe: , .

Válasz: konvergencia régióban .

3. példa Sor mindenkinek más , mert nál nél , konvergencia sugár .

4. példa A sorozat minden R, konvergenciasugárra konvergál .

Lukhov Yu.P. Előadásjegyzet a felsőbb matematikáról. 42. sz. előadás 5

42. előadás

TANTÁRGY: Funkcionális sorozat

Terv.

1. Funkcionális sorozat. Konvergencia régió.
2. Egységes konvergencia. Weierstrass jel.
3. Az egyenletesen konvergens sorozatok tulajdonságai: a sorozat összegének folytonossága, tagonkénti integráció és differenciálás.
4. Teljesítmény sorozat. Ábel tétele. A hatványsorok konvergencia tartománya. Konvergencia sugár.
5. A hatványsorok alapvető tulajdonságai: az összeg egyenletes konvergenciája, folytonossága és végtelen differenciálhatósága. Hatványsorok távonkénti integrációja és differenciálása.

Funkcionális sorozat. Konvergencia régió

Meghatározás 40.1. Végtelen számú függvény

u 1 (x) + u 2 (x) +…+ u n (x) +…, (40.1)

ahol u n (x) = f (x, n), nevezzük funkcionális tartomány.

Ha konkrét számértéket ad meg x , sorozat (40.1) számsorrá alakul, és az értékválasztástól függően x egy ilyen sorozat konvergálhat vagy divergálhat. Csak a konvergens sorozatok bírnak gyakorlati értékkel, ezért fontos ezeket az értékeket meghatározni x , amelynél a funkcionális sorozatból konvergens számsor lesz.

Meghatározás 40.2. Többféle jelentés x , ha behelyettesítjük őket a (40.1) függvénysorba egy konvergens numerikus sorozatot kapunk, az ún.konvergencia területefunkcionális tartomány.

Meghatározás 40.3. s(x) függvény, a sorozat konvergencia tartományában definiált, amely minden értékre x a konvergencia tartományból egyenlő a (40.1)-ből kapott megfelelő numerikus sorozat összegével egy adott értékre x-et hívják a funkcionális sorozat összege.

Példa. Határozzuk meg a konvergencia tartományát és a függvénysorok összegét

1 + x + x² +…+ x n +…

Mikor | x | ≥ 1, ezért a megfelelő számsorok eltérnek. Ha

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Következésképpen a sorozat konvergencia tartománya a (-1, 1) intervallum, összege pedig a jelzett alakú.

Megjegyzés . Csakúgy, mint a számsorok esetében, bevezetheti a funkcionális sorozatok részösszegének fogalmát:

s n = 1 + x + x² +…+ x n

és a sorozat többi része: r n = s s n .

Egy funkcionális sorozat egységes konvergenciája

Először határozzuk meg egy számsorozat egyenletes konvergenciájának fogalmát.

Meghatározás 40.4. Funkcionális sorrend fn(x)-t hívjuk egyenletesen konvergál egy függvényhez f az X halmazon, ha és

1. megjegyzés. Jelöljük egy funkcionális sorozat szokásos konvergenciáját és az egyenletes konvergenciát.

Jegyzet 2 . Jegyezzük meg még egyszer az egyenletes konvergencia és a közönséges konvergencia közötti alapvető különbséget: közönséges konvergencia esetén egy választott ε értékre mindegyikre van N számod, amihez at n>N az egyenlőtlenség érvényesül:

Ebben az esetben kiderülhet, hogy adott ε esetén az általános szám N, biztosítva ennek az egyenlőtlenségnek a teljesülését bármely x , lehetetlen. Egyenletes konvergencia esetén olyan szám N, amely minden x-ben közös, létezik.

Határozzuk meg most egy funkcionális sorozat egyenletes konvergenciájának fogalmát. Mivel minden sorozat a részösszegeinek sorozatának felel meg, a sorozatok egyenletes konvergenciáját ennek a sorozatnak az egyenletes konvergenciája határozza meg:

Meghatározás 40.5. A funkcionális sorozat az únegyenletesen konvergens az X-en, ha az X-en részösszegeinek sorrendje egyenletesen konvergál.

Weierstrass jel

40.1. Tétel. Ha egy számsor mindenki és mindenki számára összefolyik n = 1, 2,... az egyenlőtlenség teljesül, akkor a sorozat abszolút és egyenletesen konvergál a halmazon X.

Bizonyíték.

Bármely ε > 0 s esetén van ilyen szám N, ezért

A maradékra r n sorozat a becslés igazságos

Ezért a sorozatok egyenletesen konvergálnak.

Megjegyzés. A 40.1. Tétel feltételeinek megfelelő számsor kiválasztásának eljárását általában hívják szakosodás , és maga ez a sorozat majorante adott funkcionális tartományhoz.

Példa. Funkcionális sorozathoz, tetszőleges értékhez x egy pozitív előjelű konvergens sorozat. Ezért az eredeti sorozat egyenletesen konvergál (-∞, +∞).

Egyenletesen konvergens sorozatok tulajdonságai

40.2. Tétel. Ha az u n (x) függvények folyamatosak és a sorozat egyenletesen konvergál a X, akkor annak összege s (x) pontban is folyamatos x 0.

Bizonyíték.

Válasszunk ε > 0-t. Ekkor tehát van egy ilyen szám n 0 hogy

- egy végső szám összege folyamatos funkciók, Ezértfolyamatos egy ponton x 0. Ezért van olyan δ > 0, hogy Akkor kapjuk:

Vagyis az s (x) függvény folytonos az x = x 0 pontban.

40.3. Tétel. Legyen az u n (x) függvények folyamatos az intervallumon [ a, b ] és a sorozat egyenletesen konvergál ezen a szegmensen. Ekkor a sorozat is egységesen konvergál a [ a , b ] és (40.2)

(vagyis a tétel feltételei között a sorozat tagonként integrálható).

Bizonyíték.

A 40.2 tétel szerint a függvény s(x) = folytonos [a, b ], és ezért integrálható rajta, vagyis létezik a (40.2) egyenlőség bal oldalán lévő integrál. Mutassuk meg, hogy a sorozat egyenletesen konvergál a függvényhez

Jelöljük

Ekkor bármely ε-re van egy ilyen szám N , amely n > N esetén

Ez azt jelenti, hogy a sorozat egyenletesen konvergál, és összege egyenlő σ ( x) = .

A tétel bizonyítást nyert.

40.4. Tétel. Legyen az u n (x) függvények folyamatosan differenciálhatók a [ a, b ] és ezek származékaiból álló sorozat:

(40.3)

egységesen konvergál a [ a, b ]. Ekkor, ha egy sorozat legalább egy ponton konvergál, akkor egyenletesen konvergál az egész [ a , b ], összege s (x )= folyamatosan differenciálható függvény és

(a sorozat terminusonként megkülönböztethető).

Bizonyíték.

Határozzuk meg a σ( x ) Hogyan. A 40.3 tétel szerint a (40.3) sorozat tagonként integrálható:

Az egyenlőség jobb oldalán lévő sorozat egyenletesen konvergál a [ a, b ] a 40.3. tétel alapján. De a tétel feltételei szerint a számsorok konvergálnak, ezért a sorozatok is egyenletesen konvergálnak. Ezután a σ( t ) folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának összege [ a, b ] és ezért maga is folytonos. Ekkor a függvény folyamatosan differenciálható [ a, b ], és ezt kellett bizonyítani.

Meghatározás 41.1. Teljesítmény sorozat forma funkcionális sorozatának nevezzük

(41.1)

Megjegyzés. Csere használata x x 0 = t (41.1) sorozat formára redukálható, ezért elegendő a hatványsorok összes tulajdonságát bizonyítani az alaksorokra

(41.2)

41.1. tétel (Ábel 1. tétele).Ha a hatványsor (41.2) ponthoz konvergál x = x 0, akkor bármely x esetén: | x |< | x 0 | sorozat (41.2) abszolút konvergál. Ha a sorozat (41.2) eltér a x = x 0, akkor bármelyikre eltér x: | x | > | x 0 |.

Bizonyíték.

Ha a sorozat konvergál, akkor van egy állandó c > 0:

Következésképpen, és a sorozat | x |<| x 0 | konvergál, mert ez egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege. Ez azt jelenti, hogy a sorozat | x |<| x 0 | abszolút megegyezik.

Ha ismert, hogy a (41.2) sorozat eltér a x = x 0 , akkor nem konvergálhat | x | > | x 0 | , mivel a korábban bizonyítottból az következne, hogy a pontban konvergál x 0.

Így, ha megtalálja a legnagyobb számot x 0 > 0 úgy, hogy (41.2) ehhez konvergál x = x 0, akkor ennek a sorozatnak a konvergencia tartománya, ahogy Ábel tételéből következik, az intervallum (- x 0, x 0 ), adott esetben egy vagy mindkét határt tartalmaz.

Meghatározás 41.2. Az R ≥ 0 számot hívják konvergencia sugárhatványsor (41.2), ha ez a sorozat konvergál és divergál. intervallum (- R, R) hívják konvergencia intervallum sorozat (41,2).

Példák.

1. Egy sorozat abszolút konvergenciájának vizsgálatához a d’Alembert-tesztet alkalmazzuk: . Ezért a sorozat csak akkor konvergál x = 0, a konvergencia sugara pedig 0: R = 0.
2. Ugyanezzel a D'Alembert-teszttel megmutathatjuk, hogy a sorozat bármelyikre konvergál x, vagyis
3. A d'Alembert-kritériumot használó sorozatok esetében a következőket kapjuk:

Ezért az 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 eltér. Nál nél x = 1 egy harmonikus sorozatot kapunk, amely, mint ismeretes, és mikor válik szét x = -1 sorozat feltételesen konvergál a Leibniz-kritérium szerint. Így a vizsgált sorozatok konvergencia sugara R = 1, a konvergencia intervallum pedig [-1, 1).

Képletek egy hatványsor konvergencia sugarának meghatározására.

1. d'Alembert képlete.

Tekintsünk egy hatványsort, és alkalmazzuk rá a d'Alembert-kritériumot: ahhoz, hogy a sorozat konvergáljon, az szükséges, ha létezik, akkor a konvergencia tartományát az egyenlőtlenség határozza meg, azaz

- (41.3)

• d'Alembert képletea konvergencia sugarának kiszámításához.

1. Cauchy-Hadamard képlet.

A radikális Cauchy-próbát és hasonló okfejtést alkalmazva azt találjuk, hogy egy hatványsor konvergencia tartományát az egyenlőtlenség megoldásainak halmazaként definiálhatjuk, ennek a határnak a meglététől függően, és ennek megfelelően kereshetünk egy másik képletet. a konvergencia sugárra:

(41.4)

• Cauchy-Hadamard képlet.

A hatványsorok tulajdonságai.

41.2. tétel (Ábel 2. tétele). Ha R a sorozat (41,2) konvergencia sugara, és ez a sorozat konvergál a x = R , akkor egyenletesen konvergál az intervallumon (- R, R).

Bizonyíték.

Egy pozitív sorozat a 41.1. Tétel szerint konvergál. Következésképpen a (41.2) sorozat egyenletesen konvergál a [-ρ, ρ] intervallumban a 40.1. Tétel szerint. A ρ választásából következik, hogy az egyenletes konvergencia intervallum (- R, R ), amit bizonyítani kellett.

Következmény 1 . Bármely szakaszon, amely teljesen a konvergencia intervallumon belül van, a (41.2) sorozat összege folytonos függvény.

Bizonyíték.

A (41.2) sorozat tagjai folytonos függvények, és a sorozatok egyenletesen konvergálnak a vizsgált intervallumon. Ekkor összegének folytonossága a 40.2. Tételből következik.

Következmény 2. Ha az α, β integráció határai a hatványsorok konvergencia intervallumán belül vannak, akkor a sorozat összegének integrálja egyenlő az összeggel a sorozat kifejezéseinek integráljai:

(41.5)

Ennek az állításnak a bizonyítása a 40.3. Tételből következik.

41.3. Tétel. Ha a (41.2) sorozatnak van egy konvergencia intervalluma (- R, R), majd a sorozat

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

a (41.2) sorozat tagonkénti differenciálásával kapott azonos konvergencia intervallumú (- R, R). Ahol

φ΄(x) = s΄ (x) | x |< R , (41.7)

azaz a konvergencia intervallumán belül egy hatványsor összegének deriváltja egyenlő a tagonkénti differenciálással kapott sorozat összegével.

Bizonyíték.

Válasszunk ρ: 0-t< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Ekkor a sorozat konvergál, tehát, azaz Ha| x | ≤ ρ, akkor

Ahol így a sorozat (41,6) tagjai abszolút értékben kisebbek, mint a pozitív előjelű sorozat tagjai, amelyek a D’Alembert-kritérium szerint konvergálnak:

vagyis a (41.6) sorozat majoránsa ezért a (41.6) sorozat egyenletesen konvergál a [-ρ, ρ]-on. Ezért a 40.4 tétel szerint a (41.7) egyenlőség igaz. A ρ választásából az következik, hogy a (41.6) sorozat a (-) intervallum bármely belső pontjában konvergál R, R).

Bizonyítsuk be, hogy ezen az intervallumon kívül a (41.6) sorozat divergál. Valóban, ha összeállt a x 1 > R , majd terminusonként integrálva a (0, x 2), R< x 2 < x 1 , azt kapnánk, hogy a (41.2) sorozat a pontban konvergál x 2 , ami ellentmond a tétel feltételeinek. Tehát a tétel teljesen bebizonyosodott.

Megjegyzés . A (41.6) sorozat pedig tagonként differenciálható, és ez a művelet tetszőleges számú alkalommal elvégezhető.

Következtetés: ha a hatványsor a (-) intervallumra konvergál R, R ), akkor az összege egy olyan függvény, amelynek a konvergenciaintervallumon belül tetszőleges sorrendű deriváltjai vannak, amelyek mindegyike az eredetiből kapott sorozat összege a megfelelő számú tagonkénti differenciálással; Ezenkívül a konvergencia intervallum bármilyen sorrendű derivált sorozat esetén (- R, R).

KSPU Informatikai és Felsőmatematikai Tanszék

Legyen a függvény definiálva a tartományban

Meghatározás. Kifejezés

Hívott funkcionális közel.

Példa.

Egyes értékeknél a sorozat konvergálhat, más értékeknél eltérhet.

Példa.

Keresse meg a sorozat konvergencia tartományát! Ez a sorozat az értékekhez van definiálva

Ha ekkor , akkor a sorozat divergál, mivel a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül; ha a sorozat eltér; ha egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió.

Ennek a sorozatnak a konvergens sorozatával való összehasonlítása adja meg a vizsgált sorozat konvergenciatartományát.

A funkcionális sorozatból származó értékekkel numerikus sorozatot kapunk

Ha a számsor konvergál, akkor a pontot hívjuk konvergencia pont funkcionális tartomány.

Egy sorozat összes konvergenciapontjának halmaza alkotja a konvergencia tartományát. A konvergencia tartomány általában a tengely valamely intervalluma.

Ha a számsorok minden pontban konvergálnak, akkor a függvénysort hívjuk konvergens területen.

Egy funkcionális sorozat összege a sorozat konvergenciatartományában meghatározott változó valamely függvénye

Milyen tulajdonságaik vannak a függvényeknek, ha a sorozat tagjainak tulajdonságai ismertek, azaz.

A függvények folytonossága nem elegendő ahhoz, hogy következtetést vonjunk le a folytonosságról.

A folytonos függvények sorozatának folytonos függvénnyel való konvergenciáját egy további feltétel biztosítja, amely a függvénysorok konvergenciájának egyik fontos jellemzőjét fejezi ki.

Meghatározás. Egy funkcionális sorozatot akkor nevezünk konvergensnek a tartományban, ha ennek a sorozatnak van egy korlátja a részösszegeknek, azaz.

Meghatározás. Egy funkcionális sorozatot egyenletesen konvergensnek nevezünk egy tartományban, ha bármely pozitív számhoz van olyan szám, amelyre az egyenlőtlenség érvényes.

Az egyenletes konvergencia geometriai jelentése

Ha egy függvény gráfját körbeveszed egy szalaggal”, a reláció határozza meg, akkor a grafikonok mindenki függvények, kellően nagy értéktől kezdve, teljesen a határfüggvény grafikonját körülvevő „- sávban” található.

Egyenletesen konvergens sorozat tulajdonságai .

1. Egy folytonos függvényekből álló tartományban egy egyenletesen konvergens sorozat összege folytonos függvény ebben a tartományban.

2. Egy ilyen sorozat tagonként megkülönböztethető

3. A sorozat tagozatonként integrálható

Annak meghatározásához, hogy egy funkcionális sorozat egyenletesen konvergens-e, az elegendő Weierstrass-konvergencia tesztet kell használni.

Meghatározás. A funkcionális sorozat az ún szakosodott a változás valamely régiójában, ha van olyan pozitív tagú konvergens számsor, amelyre az egyenlőtlenségek teljesülnek ebből a tartományból.

Weierstrass jel(a függvénysorok egységes konvergenciája).

Funkcionális tartomány egységesen konvergál a konvergencia régióban, ha az ebben a régióban majorizálható.

Más szóval, ha egy adott tartomány függvényei abszolút értékben nem haladják meg a megfelelő pozitív számokat, és ha a számsorok konvergálnak, akkor az ebben a tartományban lévő függvénysorok egyenletesen konvergálnak.

Példa. Igazolja a függvénysorok egyenletes konvergenciáját!

Megoldás. . Helyettesítsük ennek a sorozatnak a közös tagját a numerikus sorozat közös tagjára, de abszolút értékben meghaladja a sorozat minden tagját. Ehhez meg kell határozni , amelynél a sorozat teljes időtartama maximális lesz.

Az így kapott számsorok konvergálnak, ami azt jelenti, hogy a függvénysorok egyenletesen konvergálnak a Weierstrass-kritérium szerint.

Példa. Keresse meg a sorozat összegét.

Egy sorozat összegének meghatározásához a jól ismert geometriai haladás összegének képletét használjuk

Az (1) képlet bal és jobb oldalát megkülönböztetve szekvenciálisan kapjuk

Válasszuk ki a kiszámítandó összegből az első és a második deriválttal arányos tagokat:

Számítsuk ki a deriváltokat:

Teljesítmény sorozat.

A funkcionális sorozatok között van a teljesítmény és a trigonometrikus sorozat.

Meghatározás. Az űrlap funkcionális sorozata

hatalom általi hatalomnak nevezik. A kifejezések állandó számok.

Ha a sorozat egy hatványsorozat hatványaiban.

A hatványsorok konvergencia tartománya. Ábel tétele.

Tétel. Ha egy hatványsor egy pontban konvergál, akkor konvergál, ráadásul abszolút minden abszolút értékben, azaz intervallumban kisebb értékre.

Bizonyíték.

A rad konvergenciája miatt a közös tagjának nullára kell irányulnia, ezért ennek a sorozatnak minden tagja egységesen korlátozott: van egy olyan állandó pozitív szám, hogy mindegyikre a . egyenlőtlenség, amely mindenre, amelynek középpontja a pontban van.

– talán a komplexum nem lesz olyan összetett;) És ennek a cikknek a címe is hamis - a ma szóba kerülő sorozatok inkább nem összetettek, hanem „ritkaföldfémek”. Ezek ellen azonban még a részmunkaidős hallgatók sem mentesek, ezért ezt a látszólag kiegészítő leckét a lehető legnagyobb komolysággal kell venni. Hiszen a kidolgozás után szinte bármilyen „vadállattal” megbirkózhatsz majd!

Kezdjük a műfaj klasszikusaival:

1. példa

Először is vegye figyelembe, hogy ez NEM hatványsorozat (Emlékeztetlek, hogy úgy néz ki). Másodszor pedig itt azonnal felkelti a szemet az érték, ami nyilván nem sorolható be a sorozatok konvergencia tartományába. És ez már egy kis sikere a tanulmánynak!

De mégis hogyan lehet nagy sikert elérni? Sietek a kedvedre tenni - az ilyen sorozatokat pontosan ugyanúgy meg lehet oldani, mint erő– d’Alembert jele vagy radikális Cauchy jele alapján!

Megoldás: az érték nincs a sorozat konvergencia tartományán belül. Ez egy jelentős tény, és meg kell jegyezni!

Az alapalgoritmus alapesetben működik. A d'Alembert-kritérium segítségével megtaláljuk a sorozatok konvergencia intervallumát:

A sorozat itt konvergál. Mozgassuk felfelé a modult:

Azonnal ellenőrizzük a „rossz” pontot: az érték nem szerepel a sorozat konvergencia tartományában.

Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját az intervallumok „belső” végén:
ha akkor
ha akkor

Mindkét számsor eltér, mert a a konvergencia szükséges jele.

Válasz: konvergencia területe:

Végezzünk egy kis elemző ellenőrzést. Helyettesítsünk be valamilyen értéket a megfelelő intervallumból a funkcionális sorozatba, például:
– konvergál tovább d'Alembert jele.

Ha a bal oldali intervallumból helyettesítjük az értékeket, akkor konvergens sorozatokat is kapunk:
ha akkor .

És végül, ha , akkor a sorozat – valóban eltér.

Néhány egyszerű példa a bemelegítéshez:

2. példa

Keresse meg a funkcionális sorozatok konvergencia területét

3. példa

Keresse meg a funkcionális sorozatok konvergencia területét

Legyen különösen jó az „új” dolgok kezelésében modul– ma 100 500 alkalommal fog előfordulni!

Rövid megoldások és válaszok a lecke végén.

Az alkalmazott algoritmusok univerzálisnak és problémamentesnek tűnnek, de valójában nem ez a helyzet - sok funkcionális sorozat esetében gyakran „csúsznak”, sőt téves következtetésekhez vezetnek. (Én is megfontolok ilyen példákat).

A durvaságok már az eredmények értelmezésének szintjén kezdődnek: vegyük például a sorozatot. Itt a határ, amit kapunk (nézd meg magad), és elméletileg azt a választ kell adnia, hogy a sorozat egyetlen pontban konvergál. A lényeg azonban „kijátszott”, ami azt jelenti, hogy „betegünk” mindenhol eltér!

Egy sorozat esetében pedig a „nyilvánvaló” Cauchy-megoldás egyáltalán nem ad semmit:
– BÁRMELY „x” értékhez.

És felmerül a kérdés, mit kell tenni? Azt a módszert használjuk, aminek az óra fő része lesz! A következőképpen fogalmazható meg:

Számsorok közvetlen elemzése különböző értékekre

Valójában ezt már elkezdtük az 1. példában. Először egy adott „X”-et és a hozzá tartozó számsorokat vizsgáljuk meg. Az értéket kéri:
– a kapott számsor eltér.

Ez pedig rögtön felvet egy gondolatot: mi van, ha más pontokon is megtörténik ugyanez?
Ellenőrizzük egy sorozat konvergenciájának szükséges jele Mert tetszőleges jelentések:

A lényeget fentebb figyelembe vettük, mindenki másnak "X" Normál módon intézzük második csodálatos határ:

Következtetés: a sorozat a teljes számegyenes mentén eltér

És ez a megoldás a legmegfelelőbb megoldás!

A gyakorlatban gyakran össze kell hasonlítani a funkcionális sorozatokat általánosított harmonikus sorozat :

4. példa

Megoldás: először is foglalkozzunk definíciós tartomány: ebben az esetben a radikális kifejezésnek szigorúan pozitívnak kell lennie, és emellett a sorozat összes tagjának léteznie kell, az 1-től kezdve. Ebből az következik, hogy:
. Ezekkel az értékekkel feltételesen konvergens sorozatokat kapunk:
stb.

Más „x”-ek nem megfelelőek, így például ha olyan illegális esetet kapunk, amikor a sorozat első két tagja nem létezik.

Ez mind jó, mindez világos, de még egy fontos kérdés marad - hogyan kell helyesen formalizálni a döntést? Javaslom egy sémát, amelyet köznyelvben „nyilak fordításának” nevezhetünk számsorokra:

Mérlegeljük tetszőleges jelentése és tanulmányozzuk a számsorok konvergenciáját. Rutin Leibniz jele:

1) Ez a sorozat váltakozó.

2) – a sorozat tagjai modulusban csökkennek. A sorozat minden következő tagja kevésbé modulo, mint az előző: , ami azt jelenti, hogy a csökkenés monoton.

Következtetés: a sorozat Leibniz kritériuma szerint konvergál. Mint már említettük, a konvergencia itt feltételes - azért, mert a sorozat – eltér.

Pont így – ügyesen és korrektül! Mert az „alfa” mögé ügyesen elrejtettük az összes megengedett számsort.

Válasz: a funkcionális sorozat létezik és feltételesen konvergál a -nál.

Hasonló példa egy független megoldásra:

5. példa

Vizsgálja meg egy funkcionális sorozat konvergenciáját!

Hozzávetőleges minta az utolsó feladatból az óra végén.

Ennyit a „munkahipotézisedről”! – a függvénysorok az intervallumra konvergálnak!

2) Szimmetrikus intervallum esetén minden átlátszó, fontolja meg tetszőlegesértékeket és kapjuk: – abszolút konvergens számsorokat.

3) És végül a „közép”. Itt is célszerű két hiányosságot kiemelni.

fontolgatjuk tetszőlegesértéket az intervallumból és kapunk egy számsort:

! Ismét - ha nehéz , helyettesítsen egy adott számot, például . Viszont... nehézségeket akartál =)

Kész az "en" összes értékére , Jelentése:
- így szerint összehasonlítás a sorozat végtelenül csökkenő progresszióval konvergál össze.

A kapott intervallumból származó „x” összes értékére – abszolút konvergens számsorok.

Az összes „X”-t feltártuk, nincs több „X”!

Válasz: a sorozat konvergenciájának tartománya:

Azt kell mondjam, váratlan eredmény! És azt is hozzá kell tenni, hogy a d'Alembert- vagy Cauchy-jelek használata itt mindenképpen félrevezető lesz!

A közvetlen értékelés a matematikai elemzés „műrepülése”, de ehhez persze tapasztalat, sőt esetenként intuíció is kell.

Vagy talán valaki talál egy egyszerűbb utat? Ír! Egyébként vannak előzmények - az olvasók többször javasoltak racionálisabb megoldásokat, én pedig örömmel tettem közzé őket.

Sikeres leszállást :)

11. példa

Keresse meg a funkcionális sorozatok konvergencia területét

Az én verzióm a megoldásról nagyon közel áll hozzá.

További hardcore található itt VI. szakasz (Sorok) Kuznyecov gyűjteménye (11-13. feladat). Vannak kész megoldások az interneten, de itt szükségem van rád figyelmeztet– sok közülük hiányos, hibás, vagy akár teljesen hibás. És mellesleg ez volt az egyik oka annak, hogy ez a cikk megszületett.

Foglaljuk össze a három leckét, és rendszerezzük eszközeinket. Így:

Egy függvénysorozat konvergenciájának intervallumának megkereséséhez használhatja:

1) D'Alembert vagy Cauchy jele. És ha a sor nem nyugodt– fokozott óvatossággal járunk el a különböző értékek közvetlen helyettesítésével kapott eredmény elemzésekor.

2) Weierstrass-teszt az egyenletes konvergenciára. Ne felejtsd el!

3) Összehasonlítás szabványos számsorokkal– szabályok általános esetben.

Akkor vizsgálja meg a talált intervallumok végeit (ha szükséges)és megkapjuk a sorozat konvergenciatartományát.

Most egy meglehetősen komoly arzenál áll rendelkezésére, amely lehetővé teszi, hogy szinte bármilyen tematikus feladattal megbirkózzon.

Sok sikert!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: az érték nincs a sorozat konvergencia tartományán belül.
d'Alembert jelét használjuk:


A sorozat a következő helyen áll:

Így a funkcionális sorozatok konvergencia intervallumai: .
Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját a végpontokban:
ha akkor ;
ha akkor .
Mindkét számsor eltér, mert a szükséges konvergenciakritérium nem teljesül.

Válasz : konvergencia területe:

Funkcionális tartomány formálisan írott kifejezésnek nevezzük

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

Ahol u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - függvénysor a független változóból x.

A szigmával ellátott funkcionális sorozat rövidített jelölése: .

Példák a funkcionális sorozatokra: :

(2)

(3)

A független változó megadása x valamilyen értéket x0 és behelyettesítve az (1) függvénysorba, megkapjuk a numerikus sorozatot

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Ha az eredményül kapott numerikus sorozatok konvergálnak, akkor az (1) függvénysorról azt mondjuk, hogy konvergál x = x0 ; ha eltér, akkor azt mondják, hogy az (1) sorozatnál eltér x = x0 .

1. példa Vizsgálja meg egy funkcionális sorozat konvergenciáját(2) értékeken x= 1 és x = - 1 .
Megoldás. Nál nél x= 1 számsort kapunk

amely Leibniz kritériuma szerint konvergál. Nál nél x= - 1 számsort kapunk

,

amely egy divergens harmonikus sorozat szorzataként divergál – 1-gyel. Tehát a (2) sorozat konvergál x= 1 és eltér a x = - 1 .

Ha az (1) függvénysor konvergenciájának ilyen ellenőrzését a független változó minden értékére vonatkozóan elvégzik a tagok definíciós tartományából, akkor ennek a tartománynak a pontjait két csoportra osztják: az értékekért x, az egyikben véve az (1) sorozat konvergál, a másikban pedig divergál.

Annak a független változónak az értékkészletét, amelynél a funkcionális sorozat konvergál, annak nevezzük konvergencia területe .

2. példa Keresse meg a funkcionális sorozatok konvergencia területét

Megoldás. A sorozat tagjai a teljes számegyenesen vannak definiálva, és egy nevezővel rendelkező geometriai sorozatot alkotnak q= bűn x. Ezért a sorozat konvergál, ha

és eltér ha

(értékek nem lehetségesek). De az értékekért és más értékekért x. Ezért a sorozat minden értékre konvergál x, kivéve . Konvergenciájának tartománya a teljes számegyenes, ezen pontok kivételével.

3. példa Keresse meg a funkcionális sorozatok konvergencia területét

Megoldás. A sorozat tagjai geometriai progressziót alkotnak a nevezővel q=ln x. Ezért a sorozat akkor konvergál, ha , vagy , honnan . Ez a sorozat konvergencia régiója.

4. példa Vizsgálja meg egy funkcionális sorozat konvergenciáját

Megoldás. Vegyünk egy tetszőleges értéket. Ezzel az értékkel egy számsort kapunk

(*)

Keressük a közös tagjának határát

Következésképpen a sorozat (*) eltér egy tetszőlegesen kiválasztott, azaz. bármilyen értékben x. Konvergencia tartománya az üres halmaz.

Funkcionális sorozatok és tulajdonságainak egységes konvergenciája

Térjünk át a koncepcióra a függvénysorok egyenletes konvergenciája . Hadd s(x) ennek a sorozatnak az összege, és sn ( x) - összeg n a sorozat első tagjai. Funkcionális tartomány u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... egyenletesen konvergensnek nevezzük a [ a, b] , ha bármilyen tetszőlegesen kis számra ε > 0 van ilyen szám N hogy mindenki előtt n ≥ N az egyenlőtlenség teljesülni fog

|s(x) − s n ( x)| < ε

bárkinek x szegmensből [ a, b] .

A fenti tulajdonság geometriailag a következőképpen szemléltethető.

Tekintsük a függvény grafikonját y = s(x) . Szerkesszünk egy 2 szélességű csíkot e görbe köré ε n, azaz görbéket fogunk alkotni y = s(x) + ε nÉs y = s(x) − ε n(az alábbi képen zöldek).

Akkor bármelyikhez ε n függvény grafikonja sn ( x) teljes egészében a vizsgált sávban fog feküdni. Ugyanez a sáv tartalmazza az összes későbbi részösszeg grafikonját.

Minden olyan konvergens függvénysor, amely nem rendelkezik a fent leírt jellemzőkkel, egyenetlenül konvergens.

Tekintsük az egyenletesen konvergens függvénysorok másik tulajdonságát:

egy bizonyos intervallumon egyenletesen konvergáló folytonos függvények sorozatának összege [ a, b] , ezen az intervallumon van egy folytonos függvény.

5. példa. Határozza meg, hogy egy függvénysorozat összege folytonos-e

Megoldás. Keressük az összeget n a sorozat első tagjai:

Ha x> 0, akkor

,

Ha x < 0 , то

Ha x= 0, akkor

És ezért .

Kutatásunk kimutatta, hogy ennek a sorozatnak az összege nem folytonos függvény. Ennek grafikonja az alábbi ábrán látható.

Weierstrass teszt a funkcionális sorozatok egyenletes konvergenciájára

A Weierstrass-kritériumhoz a koncepción keresztül közelítünk funkcionális sorozatok majorizálhatósága . Funkcionális tartomány

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...