Interpoláció Newton módszerével megadott táblázatos adatok alapján. Newton interpolációs képletei
Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot
Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.
közzétett http://www.allbest.ru/
Moszkva Állami Egyetem műszermérnökség és számítástechnika Sergiev Posad ág
Absztrakt a témában:
Newton interpolációs képletei
Készítette: Brevchik Taisiya Jurjevna
EF-2 csoport 2. éves hallgatója
1. Bemutatkozás
2. Newton első interpolációs képlete
3. Newton második interpolációs képlete
Következtetés
Bibliográfia
Bevezetés
Interpoláció, interpoláció - a számítási matematikában egy mennyiség köztes értékeinek megtalálásának módszere egy létező diszkrét ismert értékkészletből.
A tudományos és mérnöki számításokkal foglalkozók közül sokan gyakran empirikusan vagy véletlenszerű mintavétellel nyert értékkészletekkel dolgoznak. Általában ezekre a halmazokra alapozva meg kell alkotni egy függvényt, amelybe más kapott értékek nagy pontossággal eshetnek. Ezt a problémát közelítésnek nevezzük. Az interpoláció egy olyan közelítés, amelyben a megszerkesztett függvény görbéje pontosan áthalad a rendelkezésre álló adatpontokon.
Van egy interpolációhoz közeli feladat is, amely néhány közelítéséből áll összetett funkció egy másik, egyszerűbb funkció. Ha egy függvény túl bonyolult a produktív számításokhoz, akkor több ponton is megpróbálhatjuk kiszámolni az értékét, és ezekből egyszerűbb függvényt konstruálni, azaz interpolálni.
Természetesen az egyszerűsített függvény használata nem ad olyan pontos eredményeket, mint az eredeti függvény. Egyes problémaosztályokban azonban a számítások egyszerűsége és gyorsasága terén elért javulás meghaladhatja az eredmény hibáját.
Érdemes megemlíteni egy teljesen más típusú matematikai interpolációt is, amelyet operátorinterpolációnak neveznek.
Az operátorinterpolációval foglalkozó klasszikus művek közé tartozik a Riesz-Thorin tétel és a Marcinkiewicz-tétel, amelyek sok más munka alapját képezik.
Tekintsünk egy nem egybeeső pontok () rendszerét egy bizonyos régióból. A függvényértékek csak ezeken a pontokon legyenek ismertek:
Az interpolációs probléma az, hogy egy adott függvényosztályból olyan függvényt találjunk, amelyre
A pontokat interpolációs csomópontoknak, gyűjteményüket pedig interpolációs rácsnak nevezzük.
A párokat adatpontoknak vagy alappontoknak nevezzük.
A „szomszédos” értékek közötti különbség az interpolációs rács lépése. Ez lehet változó vagy állandó.
A függvény egy interpoláló függvény vagy interpoláns.
1. Newton első interpolációs képlete
1. A feladat leírása. Legyen a függvény adott értékek a független változó egyenlő távolságra lévő értékeire: , ahol - interpolációs lépés. Egy nem magasabb fokú polinomot kell kiválasztani, ponton véve az értékeket
Az (1) feltételek egyenértékűek az alábbi feltételekkel.
Newton interpolációs polinomja a következő formában van:
Könnyen belátható, hogy a (2) polinom teljes mértékben kielégíti a feladat követelményeit. Valójában egyrészt a polinom foka nem magasabb, másrészt
Vegye figyelembe, hogy amikor a (2) képlet Taylor-sorozattá változik a függvényhez:
A gyakorlati használatra a Newton-féle interpolációs képletet (2) általában kissé átalakított formában írják fel. Ehhez a képlet segítségével bevezetünk egy új változót; akkor kapjuk:
ahol képviseli lépések száma, szükséges a pont eléréséhez, a pontból kiindulva. Ez a végső megjelenés Newton interpolációs képlete.
A függvény interpolálásához előnyös a (3) képlet használata a kezdeti érték közelében , ahol abszolút értékben kicsi.
Ha a függvényértékek korlátlan táblázatát adjuk meg, akkor a (3) interpolációs képletben tetszőleges szám lehet. A gyakorlatban ebben az esetben a számot úgy választják meg, hogy a különbség adott pontossággal állandó legyen. Az argumentum bármely táblaértéke kiindulási értéknek tekinthető.
Ha a függvényértékek táblázata véges, akkor a szám korlátozott, nevezetesen: nem lehet több, mint az eggyel csökkentett függvényértékek száma.
Vegye figyelembe, hogy Newton első interpolációs képletének alkalmazásakor célszerű egy vízszintes különbségtáblázatot használni, mivel szükséges értékeket A különbségfüggvények a táblázat megfelelő vízszintes sorában találhatók.
2. Példa. A lépés megtételekor készítse el a Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre
A kapott polinom előrejelzést tesz lehetővé. Megfelelő pontosságot kapunk, ha például egy interpolációs feladatot oldunk meg.. A pontosság csökken, ha például egy extrapolációs feladatot oldunk meg.
2. Newton második interpolációs képlete
Newton első interpolációs képlete gyakorlatilag kényelmetlen a táblázat csomópontjaihoz közeli függvény interpolálásához. Ebben az esetben általában ezt használják .
A feladat leírása . Legyen függvényértékek sorozata
egyenlő távolságú argumentumértékek esetén, ahol az interpolációs lépés. Készítsünk egy polinomot a következő formájú:
vagy az általánosított hatványt használva a következőket kapjuk:
Aztán, ha az egyenlőség fennáll, akkor megkapjuk
Helyettesítsük be ezeket az értékeket az (1) képletbe. Aztán végre, Newton második interpolációs képlete a következő formában van:
Vezessünk be egy kényelmesebb jelölést a (2) képlethez. Akkor legyen
Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (2) képletbe, a következőt kapjuk:
Ez a szokásos nézet Newton második interpolációs képlete. A függvényértékek kiszámításának közelítéséhez tegyük fel:
Newton első és második interpolációs képlete egyaránt használható egy függvény extrapolálására, azaz a táblázaton kívüli argumentumértékek függvényértékeinek megkeresésére.
Ha közel van, akkor célszerű alkalmazni Newton első interpolációs képletét, majd. Ha közel van, akkor még kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni.
Ezért általában Newton első interpolációs képletét használják előre interpolációÉs visszafelé extrapolálva, Newton második interpolációs formulája pedig éppen ellenkezőleg, mert visszafelé interpolálvaÉs előre történő extrapoláció.
Megjegyzendő, hogy az extrapolációs művelet általában kevésbé pontos, mint a szó szűk értelmében vett interpolációs művelet.
Példa. A lépés megtételekor készítse el a Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre
Következtetés
interpoláció newton extrapolációs képlet
A számítási matematikában jelentős szerepet játszik a függvények interpolációja, i. Egy adott függvény felhasználásával egy másik (általában egyszerűbb) függvény összeállítása, amelynek értékei egy bizonyos számú ponton egybeesnek az adott függvény értékeivel. Ráadásul az interpolációnak gyakorlati és elméleti jelentősége is van. A gyakorlatban gyakran felmerül a helyreállítás problémája folyamatos funkció táblázatos értékei szerint, amelyeket például valamilyen kísérlet során kaptunk. Számos függvény kiértékeléséhez célszerű ezeket polinomokkal vagy tört racionális függvényekkel közelíteni. Az interpolációelméletet a numerikus integráló kvadratúra képletek felépítésére és tanulmányozására használják, hogy módszereket kapjanak differenciál- és integrálegyenletek megoldására.
Bibliográfia
1. V.V. Ivanov. Számítógépes számítási módszerek. Használati útmutató. "Naukova Dumka" kiadó. Kijev. 1986.
2. N.S. Bakhvalov, N.P. Zsidkov, G.M. Kobelkov. Numerikus módszerek. Kiadó "Alapismeretek Laboratóriuma". 2003.
3. I.S. Berezin, N.P. Zsidkov. Számítási módszerek. Szerk. PhysMatLit. Moszkva. 1962.
4. K. De Bor. Gyakorlati útmutató spline által. "Rádió és Kommunikáció" kiadó. Moszkva. 1985.
5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Mowler. Matematikai számítások gépi módszerei. "Mir" kiadó. Moszkva. 1980.
Közzétéve az Allbest.ru oldalon
...Hasonló dokumentumok
Newton első és második interpolációs képlete alkalmazása. Függvényértékek keresése olyan pontokon, amelyek nem táblázatosak. Newton képletének használata egyenlőtlen pontokhoz. Függvény értékének meghatározása az Aitken interpolációs séma segítségével.
laboratóriumi munka, hozzáadva 2013.10.14
Johann Carl Friedrich Gauss minden idők legnagyobb matematikusa. Gauss interpolációs képletek, amelyek az y=f(x) függvény közelítő kifejezését adják meg interpoláció segítségével. A Gauss-képletek alkalmazási területei. A Newton-féle interpolációs képletek fő hátrányai.
teszt, hozzáadva: 2014.12.06
Függvény interpolálása az intervallum közepe közelében fekvő pontban. Gauss interpolációs képletek. Stirling-képlet, mint a Gauss-interpolációs képletek számtani átlaga. A köbös spline úgy működik, mint matematikai modell vékony rúd.
bemutató, hozzáadva 2013.04.18
Folyamatos és pontközelítés. Lagrange és Newton interpolációs polinomok. Globális interpolációs hiba, másodfokú függés. Legkisebb négyzet alakú módszer. Empirikus képletek kiválasztása. Darabonkénti állandó és darabonkénti lineáris interpoláció.
tanfolyami munka, hozzáadva 2014.03.14
Akkordok és iterációk módszerei, Newton-szabály. Lagrange, Newton és Hermite interpolációs képletei. Egy függvény pont másodfokú közelítése. Numerikus differenciálás és integráció. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása.
előadások tanfolyama, hozzáadva 2012.02.11
Interpoláció végrehajtása Newton-polinom segítségével. A gyök értékének finomítása adott intervallumon három iterációban és a számítási hiba megtalálása. Newton, Sampson és Euler módszerek alkalmazása problémamegoldásban. Függvény deriváltjának kiszámítása.
teszt, hozzáadva: 2011.02.06
A számítási matematikában a függvények interpolációja jelentős szerepet játszik. Lagrange képlete. Interpoláció az Aitken-séma szerint. Newton-interpolációs képletek egyenlő távolságú csomópontokhoz. Newton-képlet osztott különbségekkel. Spline interpoláció.
teszt, hozzáadva 2011.01.05
A derivált számítása definíciója alapján, véges különbségek felhasználásával és Newton első interpolációs képlete alapján. Lagrange interpolációs polinomok és alkalmazása a numerikus differenciálásban. Runge-Kutta módszer (negyedrendű).
absztrakt, hozzáadva: 2011.03.06
Különböző rendelések végei. A terminálkülönbségek és a funkciók közötti kapcsolat. Diszkrét és folyamatos elemzés. A megosztottság megértése. Newton interpolációs képlete. Lagrange és Newton képletek frissítése. Interpoláció egyenlő távolságra lévő csomópontokhoz.
teszt, hozzáadva 2014.02.06
Adott függvény négy pontján áthaladó Lagrange és Newton interpolációs polinomok keresése, hatványtörvényes reprezentációik összehasonlítása. Nemlineáris megoldás differenciálegyenlet Euler módszere. Algebrai egyenletrendszerek megoldása.
Meglehetősen elterjedt interpolációs módszer a Newton-módszer. Ennek a módszernek az interpolációs polinomja a következő:
P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0) (x-x 1) + ... + a n (x-x 0) (x-x 1)...(x-x n-1).
A feladat a P n (x) polinom a i együtthatóinak megkeresése. Az együtthatók a következő egyenletből származnak:
P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,
lehetővé teszi a rendszer írását:
a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1;
a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2 ;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a 0 +... + a n (x n - x 0) (x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;
A véges különbség módszerét használjuk. Ha az x i csomópontokat egyenlő időközönként adjuk meg h, azaz.
x i+1 - x i = h,
akkor általános esetben x i = x 0 + i×h, ahol i = 1, 2, ..., n. Az utolsó kifejezés lehetővé teszi, hogy a megoldandó egyenletet a formára redukáljuk
y 1 = a 0 + a 1 × h;
y 2 = a 0 + a 1 (2 óra) + a 2 (2 óra) óra;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y i = a 0 + a 1 × i × h + a 2 × i × h [(i-1) h] + ... + a i × i! × h i ,
honnan kapjuk az együtthatókat
ahol Dу 0 az első véges különbség.
Folytatva a számításokat, a következőket kapjuk:
ahol D 2 y 0 a második véges különbség, ami a különbségek különbsége. Az a i együttható a következőképpen ábrázolható:
Az a i együtthatók talált értékeit P n (x) értékeibe helyezve megkapjuk a Newton-interpolációs polinomot:
Alakítsuk át a képletet, amelyhez bevezetünk egy új változót, ahol q az x pont eléréséhez szükséges lépések száma, az x 0 pontból elmozdulva. Az átalakítások után a következőket kapjuk:
Az eredményül kapott képlet Newton első interpolációs képleteként vagy Newton előremutató interpolációs képleteként ismert. Előnyös, ha az y = f(x) függvényt az x – x 0 kezdeti érték közelében interpoláljuk, ahol q abszolút értékben kicsi.
Ha az interpolációs polinomot a következő formában írjuk fel:
akkor hasonló módon megkaphatjuk Newton második interpolációs képletét, vagy Newton képletét a „visszafelé” interpolációhoz:
Általában egy táblázat végéhez közeli függvény interpolálására használják.
A téma tanulmányozásakor fontos emlékezni erre interpolációs polinomok egybeesik adott funkciót f(x) az interpolációs csomópontokon és más pontokon általános esetben eltérő lesz. Ez a hiba megadja nekünk a módszer hibáját. Az interpolációs módszer hibáját a maradék tag határozza meg, amely megegyezik a Lagrange- és Newton-képletekkel, és lehetővé teszi, hogy az abszolút hibára a következő becslést kapjuk:
|
Ha az interpolációt ugyanazzal a lépéssel hajtjuk végre, akkor a maradék tag képlete módosul. Különösen, ha az „előre” és „hátra” interpolációt Newton képletével használjuk, az R(x) kifejezései kissé eltérnek egymástól.
A kapott képletet elemezve egyértelmű, hogy az R(x) hiba egy állandóig két tényező szorzata, amelyek közül az egyik, az f (n+1) (x), ahol x belül van, függ a az f(x) és függvény tulajdonságai nem szabályozhatók, de egy másik függvény nagysága,
kizárólag az interpolációs csomópontok megválasztása határozza meg.
Ha ezeknek a csomópontoknak a helymeghatározása sikertelen, a modul felső korlátja |R(x)| elég nagy lehet. Emiatt felmerül a probléma az x i interpolációs csomópontok legracionálisabb megválasztásával (adott számú n csomópont esetén), hogy az П n+1 (x) polinom legyen a legkisebb értékű.
Adjuk meg az y=f(x) függvényt azon a szegmensen, amely n azonos szegmensre van felosztva (egyenlő távolságú argumentumértékek esete). x=h=állandó. Minden x 0, x 1 =x 0 +h,..., x n =x 0 +n h csomópontra a függvényértékek a következő formában vannak megadva: f(x 0)=y 0, f(x 1)= y 1,... ., f(x n)=y n.
Elsőrendű véges különbségek y 0 = y 1 – y 0 y 1 = y 2 – y y n-1 = y n – y n-1. Másodrendű véges különbségek 2 y 0 = y 1 – y 0 2 y 1 = y 2 – y y n-2 = y n-1 – y n-2 A magasabb rendű véges különbségeket hasonlóan definiáljuk: k y 0 = k- 1 y 1 – k-1 y 0 k y 1 = k-1 y 2 – k-1 y k y i = k-1 y i+1 – k-1 y i, i = 0,1,...,n-k.
Adjuk meg az y = f(x) függvénynek az y i = f(x i) értékeket a független változók egyenlő értékeire: x n = x 0 +nh, ahol h az interpolációs lépés. Meg kell találni egy n-nél nem magasabb fokú P n (x) polinomot, az x i pontokban (csomópontokban) a következő értékeket véve: P n (x i) = y i, i=0,...,n. Írjuk fel az interpoláló polinomot a következő formában:
A polinom megalkotásának problémája az a i együtthatók meghatározása a feltételekből: P n (x 0)=y 0 P n (x 1)=y P n (x n)=y n
Hasonlóképpen más együtthatók is megtalálhatók. Az általános képlet a következő: Ezeket a kifejezéseket a polinomiális képletbe behelyettesítve kapjuk: ahol x i,y i – interpolációs csomópontok; x – aktuális változó; h – két interpolációs csomópont különbsége h – állandó érték, azaz. Az interpolációs csomópontok egyenlő távolságra vannak egymástól.
Az interpoláció sajátossága, hogy az interpolációs függvény szigorúan áthalad a táblázat csomópontjain, azaz a számított értékek egybeestek a táblázatban szereplőkkel: y i =f(x i). Ez a jellemző annak a ténynek köszönhető, hogy az interpolációs függvényben az együtthatók száma (m) megegyezett a táblázatos értékek számával (n).
4. Lehetetlen olyan táblázatos adatot leírni, amelyben több pont van azonos argumentumértékkel interpolációs függvény segítségével. Ez a helyzet akkor lehetséges, ha ugyanazt a kísérletet többször elvégzik ugyanazokkal a kiindulási adatokkal. Ez azonban nem korlátozza a közelítés alkalmazását, ahol az egyes pontokon áthaladó függvénygráf feltétele nincs beállítva.
Newton második képlete hasonló tulajdonságokkal rendelkezik a táblázat bal oldalához képest. A létrehozásához használjon polinomot a következő formában:
P n (x)=a 0 + a 1 (x-x n) + a 2 (x-x n) (x-x n-1) + …+ a n (x-x n) (x-x n-1)… (x-x 1), (6.3. .3-8)
ahol a i, i = 0, 1, 2, …, n olyan együtthatók, amelyek nem függnek az interpolációs csomópontoktól.
Az együtthatók meghatározásához a én Felváltva helyettesítjük az interpolációs csomópontokat (6.3.3-8). Ha x = x n P n (x n) = y n, ezért a 0 = y n.
x = x n -1 esetén P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), innen
Folytatva a helyettesítést, megkapjuk a polinom (6.3.3-8) összes együtthatójának kifejezését, és felírjuk Newton második interpolációs képletét:
A megnevezés megadásával:
és x-et (6.3.3-8) behelyettesítve megkapjuk Newton képletét a visszafelé interpolációhoz:
Ezzel a képlettel számítsuk ki a 6.3.3-1 táblázatban megadott függvény értékét az x = 1.7 pontban.
Az x=1,7 pont a táblázat végén található. Interpolációs csomópontként választjuk : x 3 = 1,8, x 2 = 1,6 és x 1 = 1,4 :
A Newton-féle interpolációs képletek hibáiösszefüggés határozza meg:
· Newton első képletéhez:
(6.3.3-11)
· Newton második képletéhez:
(6.3.3-12)
ahol az interpolációs csomópontok közötti köztes érték.
A gyakorlatban, ha az y = f(x) interpolált függvény adott táblázatos, feltételezve, hogy D n +1 = const és h meglehetősen kicsi, használjon közelítő egyenlőségeket:
(6.3.3-13)
Példa 6.3.3-1. Newton 1. és 2. képletével számítsuk ki az egyenlő távolságú csomópontok táblázata által megadott függvény értékét az x=1,23 pontban.
A gyakorlati hibát a következő összefüggéssel becsüljük meg:
e 1 = |P 2 (x) - P 1 (x)|=|0,206958-0,206335|=0,000623.
Oldjuk meg ugyanezt a problémát Newton 2. képletével. Legyen x n = 1,3; x n-1 = 1,2; x n-2 = 1,1.
A véges különbség táblázat így néz ki:
x | y | Dy | D2y |
1.1 1.2 1.3 | 0.095310 0.182322 0.262364 | 0.087012 0.080042 | -0.006970 |
Akkor:
6.3.4. Spline – interpoláció
BAN BEN utóbbi évek intenzíven fejlődik a modern számítási matematika új ága - az elmélet spline. A spline-ok lehetővé teszik a meglehetősen bonyolult szerkezetű paraméterek közötti kísérleti függőségek feldolgozásával kapcsolatos problémák hatékony megoldását.
A fentebb tárgyalt lokális interpolációs módszerek lényegében az elsőfokú (lineáris interpoláció) és a másodfokú (másodfokú interpoláció) legegyszerűbb spline-jai.
Legszélesebb gyakorlati használat, egyszerűségük miatt köbös spline-eket találtak. A köbös spline elméletének alapgondolatai a rugalmas anyagból készült rugalmas lécek (mechanikus spline) matematikai leírására tett kísérletek eredményeként alakultak ki, amelyeket a rajzolók régóta használnak olyan esetekben, amikor meglehetősen sima görbét kellett rajzolni. megadott pontokon keresztül. Ismeretes, hogy egy bizonyos pontokon rögzített és egyensúlyi helyzetben lévő rugalmas anyagcsík olyan formát ölt, amelyben az energiája minimális. Ez az alapvető tulajdonság lehetővé teszi a spline-ok hatékony használatát a kísérleti információfeldolgozás gyakorlati problémáinak megoldásában.
Általános esetben az y = f(x) függvényre meg kell találni az y = S(x) közelítést oly módon, hogy f(x i) = S(x i) az x = x i pontokban és más pontokban. a szakasz pontjai az f(x) és S(x) függvények értékei ) közel voltak egymáshoz. Kis számú kísérleti ponttal az interpolációs polinomok megalkotásának egyik módszere használható az interpolációs probléma megoldására. Nagy számú csomópont esetén azonban az interpolációs polinomok gyakorlatilag használhatatlanná válnak. Ennek az az oka, hogy az interpolációs polinom foka csak egy kevesebb szám függvények kísérleti értékei. Természetesen lehetőség van arra, hogy a függvényt definiáló szakaszt kis számú kísérleti pontot tartalmazó szakaszokra bontsuk, és mindegyikhez interpolációs polinomokat készítsünk. Ebben az esetben azonban a közelítő függvénynek lesznek olyan pontjai, ahol a derivált nem folytonos, vagyis a függvény grafikonja „törési” pontokat fog tartalmazni.
A köbös spline-eknek nincs ilyen hátránya. Kutatások kimutatták, hogy egy rugalmas vékony vonalzót két csomópont között elég jól leír egy köbös polinom, és mivel nem esik össze, a közelítő függvénynek legalább folyamatosan differenciálhatónak kell lennie.
És így, spline egy olyan függvény, amely minden parciális interpolációs szegmensen algebrai polinom, és több deriváltjával együtt folytonos a teljes adott szakaszon.
Adjuk meg az f(x) interpolált függvényt y i értékeivel, az x i csomópontokban,
(i = 0, 1,...,n). Jelöljük a részszakasz hosszát h i =x i -x i-1,
(i = 1, 2,...,n) .
Minden egyes [x i-1;x i] részszakaszon köbös spline-t fogunk keresni a következő formában:
Ahol - négy ismeretlen együttható. Bizonyítható, hogy a köbös spline megtalálásának problémája egyedi megoldást kínál.
Tegyük fel, hogy az S(x) értékei a csomópontokban egyezzenek meg az f(x) függvény táblázati értékeivel:
(6.3.4-2)
Ezen egyenletek száma (2n) fele az ismeretlen együtthatók számának. A további feltételek megszerzéséhez megköveteljük a spline első és második deriváltjának folytonosságát is minden ponton, beleértve a csomópontokat is. Ehhez egyenlőségjelet kell tenni az S"(x–0), S"(x+0), S"(x–0), S"(x+0) bal és jobb származékokkal az x i belső csomóponton. .
Számítsuk ki az S"(x), S"(x) deriváltak kifejezéseit egymást követő differenciálással (6.3.4-1):
S"(x) = b i + 2c i (x–x i-1) + 3d i (x–x i - l) 2, (6.3.4-4)
S""(x) = 2c i + 6d i (x–x i - l),(6.3.4-5)
Keressük meg a jobb és bal származékokat a csomóponton:
S"(x i –0) = b i + 2сh i + 2d i h i,
S"(x i +0) = b i+1, ahol i = 1,2,..., n -1 .
Ugyanezt tesszük a második származékkal is:
S"(x–0) = 2c i + 6d i h i ,
S"(x+0) = 2c i+1.
A bal és a jobb származékokat egyenlővé téve a következőket kapjuk:
b i +1 = b i +2c i h i +2d i h i 2 (6.3.4-6)
i+1 = i - + 3d i h i-vel, ahol i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)
A (6.3.4-6), (6.3.4-7) egyenletek további 2(n-1) feltételt adnak. A hiányzó egyenletek megszerzéséhez követelményeket támasztunk az interpolációs szegmens végén lévő spline viselkedésére. Ha az interpolációs szegmens végein a spline nulla görbületét kívánjuk meg (vagyis a második derivált nullával egyenlő), akkor a következőt kapjuk:
i = 0, c n +3d n h n = 0. (6.3.4-8)
Miután kizártuk az a i ismeretleneket a (6.3.4-2) – (6.3.4-3) egyenletekből, megkapjuk az egyenletrendszert:
(6.3.4-9)
ahol i=0, 1,..., n - 1.
A (6.3.4-9) rendszer 3(n-1) egyenletből áll. A (6.3.4-9) rendszer megoldása után megkapjuk a b i, c i, d i ismeretlenek értékeit, amelyek meghatározzák a kívánt interpolációs spline összes képletének halmazát:
ahol i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)
A spline interpolációs módszert megvalósító program meglehetősen körülményes, ezért a szinusz-interpoláció probléma megoldásának tárgyalására szorítkozunk spline segítségével, a pp. csomagok függvényei segítségével. 6.3.6.
Newton első interpolációs képlete gyakorlatilag kényelmetlen a táblázat csomópontjaihoz közeli függvény interpolálásához. Ebben az esetben általában ezt használják .
A feladat leírása . Legyen függvényértékek sorozata
egyenlő távolságú argumentumértékek esetén, ahol az interpolációs lépés. Készítsünk egy polinomot a következő formájú:
vagy az általánosított hatványt használva a következőket kapjuk:
Aztán, ha az egyenlőség fennáll, akkor megkapjuk
Helyettesítsük be ezeket az értékeket az (1) képletbe. Aztán végre, Newton második interpolációs képlete a következő formában van:
Vezessünk be egy kényelmesebb jelölést a (2) képlethez. Akkor legyen
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/174417/image023.png)
Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (2) képletbe, a következőt kapjuk:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/174417/image026.png)
Ez a szokásos nézet Newton második interpolációs képlete. A függvényértékek kiszámításának közelítéséhez tegyük fel:
Newton első és második interpolációs képlete egyaránt használható egy függvény extrapolálására, azaz a táblázaton kívüli argumentumértékek függvényértékeinek megkeresésére.
Ha közel van, akkor célszerű alkalmazni Newton első interpolációs képletét, majd. Ha közel van, akkor még kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni.
Ezért általában Newton első interpolációs képletét használják előre interpolációÉs visszafelé extrapolálva, Newton második interpolációs formulája pedig éppen ellenkezőleg, mert visszafelé interpolálvaÉs előre történő extrapoláció.
Megjegyzendő, hogy az extrapolációs művelet általában kevésbé pontos, mint a szó szűk értelmében vett interpolációs művelet.
Példa. A lépés megtételekor készítse el a Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre
![]() |
|||||||
Megoldás. Összeállítunk egy táblázatot a különbségekről (1. táblázat). Mivel a harmadrendű különbségek gyakorlatilag állandóak, a (3) képletben feltételezzük. Az elfogadás után a következőkkel rendelkezünk:
Ez a kívánt Newton-interpolációs polinom.
Asztal 1
![]() |
|
|
|
|