A numerikus halmazok bővítésének fogalma. Számkészletek bővítése középiskolai kurzusban a számok tanulmányozása során
Ahhoz, hogy a pozitív racionális számok Q+ halmaza a természetes számok N halmazának kiterjesztése legyen, számos feltételnek teljesülnie kell.
Az első feltétel az N és Q+ közötti befogadási reláció megléte. Bizonyítsuk be, hogy N Q+.
Legyen a szegmens hossza x egyetlen szegmenssel e természetes számként kifejezve T. Osszuk fel az egységszegmenst P egyenlő részek. Akkor n az egységszegmens edik része belefér a szegmensbe x pontosan annyiszor, azaz a szakasz hossza x törtként lesz kifejezve. Tehát a szakasz hossza x természetes számként is kifejezhető T,és egy pozitív racionális szám. De kellene P ugyanaz a szám legyen.
Így például a 6-os természetes szám a következő törtekkel ábrázolható: stb.
Az N és Q+ halmazok kapcsolatát a 28. ábra mutatja .
Azokat a számokat, amelyek a természetes számok halmazát kiegészítik a pozitív racionális számok halmazával, nevezzük töredékes.
A második feltétel, amelyet a természetes számok halmazának bővítésekor teljesíteni kell, a műveletek konzisztenciája, azaz a természetes számokra létező szabályok szerint végrehajtott aritmetikai műveletek eredményeinek egybe kell esnie a rajtuk végzett, de a szerint végrehajtott műveletek eredményeivel. a pozitív racionális számokra megfogalmazott szabályokat. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a feltétel is teljesül-e.
Hadd AÉs b- egész számok, - az N-beli összeadás szabályai szerint kapott összegüket. Számítsuk ki a számok összegét! AÉs bösszeadás szabálya szerint Q+-ban.
Azóta
A harmadik feltétel, amelyet a természetes számok halmazának bővítésekor teljesíteni kell, egy olyan művelet megvalósíthatósága Q+-ban, amely nem mindig kivitelezhető N-ben. És ez a feltétel teljesül: az N halmazban nem mindig végrehajtott osztást mindig meg kell valósítani. elégedett a Q+ halmazban.
Tegyünk még néhány kiegészítést, amelyek feltárják a természetes és a pozitív racionális számok közötti kapcsolatokat.
1. A törtben lévő sort osztásjelnek tekinthetjük.
Valóban, vegyünk két természetes számot TÉs PÉs Keressük meg a hányadosukat a (4) szabály segítségével pozitív racionális számok osztására:
Ezzel szemben, ha egy tört adott, akkor azt természetes számok hányadosának tekinthetjük TÉs P.
2. Bármely helytelen tört természetes számként vagy vegyes törtként is ábrázolható.
Legyen helytelen tört. Akkor t > p. Ha T többszörös P, akkor ebben az esetben a tört egy természetes szám reprezentációja. Ha a szám T nem többszörös P, akkor szétosztjuk T tovább P maradékkal: , hol. Cseréljük ahelyett T a jelölésben, és alkalmazza az (1) szabályt a pozitív racionális számok összeadásához:
Mert , akkor a tört helyes. Következésképpen kiderült, hogy a helytelen tört egy természetes szám összegeként van ábrázolva qés megfelelő tört. Ezt a műveletet az egész rész és a nem megfelelő tört elválasztásának nevezzük. Például,.
Szokás a természetes szám és a megfelelő tört összegét összeadásjel nélkül felírni: vagyis ahelyett, hogy írnánk és hívnánk egy ilyen jelölést. vegyes frakció.
A következő állítás is igaz: minden kevert tört felírható helytelen törtnek. Például:
Ősidők óta a fő matematikai objektumok a számok, halmazok és halmazelemek, valamint ezek tulajdonságai. A szám az objektumok számszerűsítésére használt absztrakció. A primitív társadalomban a számolás szükségleteiből adódóan a szám fogalma megváltozott, gazdagodott és a legfontosabb matematikai fogalommá vált. A számok rögzítésére szolgáló írott jelek (szimbólumok). számok. Modern matematika kissé eltérő matematikai fogalmakkal operál. Ha alaposan elemezzük a lényegüket, akkor általában egyenértékűek vagy izomorfak a „szám”, „halmaz”, „térkép”, „tulajdonság” fogalmakkal.
Halmazelméleti értelemben a számok bizonyos tulajdonságokkal rendelkező halmazok osztályát jelentik. Ezeket a tulajdonságokat az ezeken alapuló halmazok rendezési típusa, mérete, topológiai és metrikus tulajdonságai fejezik ki. A számok fő tulajdonsága a erejük, amely lehet véges, megszámlálható vagy folytonos. Ennek megfelelően a számok a halmazok bármely osztályának megfelelő számosságú képviselői lehetnek. Még a kontinuumnál nagyobb számosságú halmazok is ábrázolhatók egy numerikus halmazon meghatározott összes függvény halmazaként. Ez bizonyítja a „szám” fogalmának egyetemességét.
A számok másik fontos tulajdonsága a mérete. A számoknak több osztálya is eltérő tulajdonságokkal rendelkezik. Vannak lineáris (egydimenziós) számok - ezek természetes N, pozitív N +, egész Z, racionális R és valós Q számok. Vannak összetett többdimenziós vagy hiperkomplex számok – ezek C komplex számok, H kvaterniók, biquaterniók B, nem szinguláris négyzetmátrixok M, Clifford-számok K és mások. A tenzor (beleértve a vektort is) a szokásos értelemben nem szám.
A számok egy érdekes típusa a hiperreális számok. Megjelennek a nem szabványos elemzésben, a "végtelenül kicsi" és a "végtelenül nagy" számok fogalmát használva a valós halmaz kiterjesztéseként ezekre a "végtelen" számokra.
Próbáljuk meg meghatározni, mi az a „szám”. Pontosabban a számfajták.
A legegyszerűbb számok az egész számok, a racionális számok, a valós számok és a komplex számok. Kommutatívak, asszociatívak és elosztóak.
A hasonló tulajdonságokkal rendelkező számok fő típusa négyféle szám. Ezek valós számok, komplex számok, kvaterniók és oktávok. A szorzás kommutativitása az utolsó két típusú számra nem állja meg a helyét. De mindegyiknek van algebrák nulla osztó nélkül.
Előfordulhat, hogy a számok további kiterjesztései nem rendelkeznek az asszociativitás tulajdonsággal. A disztribúciót tiszteletben tartják.
A számok alapvető típusai
Egész számok természetes számítással kapott; a természetes számok halmazát jelöljük N. Így. (esetenként a nulla is benne van a természetes számok halmazában, azaz N = (0, 1, 2, 3, ...)). A természetes számok összeadás és szorzás (de kivonás vagy osztás) alatt zárva vannak. A természetes számok kommutatívak és asszociatívak az összeadás és a szorzás tekintetében, a természetes számok szorzása pedig az összeadás tekintetében disztributív.
Egész számok természetes számok halmazzal való kombinálásával kapjuk negatív a számokat és a nullát Z = (-2, -1, 0, 1, 2, ...) jelöli. Az egész számok összeadás, kivonás és szorzás (de nem osztás) alatt zárva vannak.
Racionális számok- törtként ábrázolt számok m/n (n? 0), hol m egy egész szám, és n- természetes szám. A racionális számok esetében mind a négy „klasszikus” aritmetikai művelet meg van határozva: összeadás, kivonás, szorzás és osztás (kivéve a nullával való osztást). A Q jel a racionális számok jelölésére szolgál.
Valós számok a racionális számok halmazának kiterjesztését jelentik, néhány alá zárva (fontos a matematikai elemzés) a határig való áthaladás műveletei. A valós számok halmazát R jelöli. Felfogható úgy feltöltés racionális számok mezője Q segítségével normák, ami gyakori abszolút érték. A racionális számok mellett R tartalmazza a halmazt irracionális számok, amely nem ábrázolható egész számok arányaként. A valós számok azon túl, hogy racionálisra és irracionálisra oszthatók, a következőkre is oszthatók algebraiÉs transzcendentális. Ráadásul minden transzcendentális szám irracionális, minden racionális szám algebrai.
Komplex számok, amelyek a valós számok halmazának kiterjesztései. Formába írhatók z = x + iy, Ahol én- ún képzeletbeli egység, amelyre az egyenlőség érvényes én 2 = -1. A komplex számokat kvantumfeladatok megoldására használják mechanika, hidrodinamika, rugalmasságelmélet stb.
A felsorolt számkészletekre a következő kifejezés érvényes: N ? Z? K? R? C.
Hiperreális számok- ezek a következő számok:
1) a+?, hol a- rendes szám a- végtelenül kicsi szám;
2) ? = 1/? - végtelenül nagy szám.
A hiperreális számok nem a szokásos értelemben vett számok. Számos szekcióban használják őket matematikusok, különösen a differenciál- és integrálszámításban, valamint mindenhol, ahol korlátozó számsorokat használnak, még valós számok meghatározásakor is.
A racionális számok halmaza az egész számok halmazának természetes általánosítása. Könnyen belátható, hogy ha egy racionális szám a = m/n névadó n= 1, akkor a = m egy egész szám. Ez félrevezető feltételezéseket vet fel. Először is, úgy tűnik, hogy több racionális szám van, mint egész, de valójában mindkettő létezik számláló szám. Másodszor, felmerül az a feltevés, hogy az ilyen számok minden térbeli távolságot teljesen pontosan meg tudnak mérni. Valójában erre használják valós számok, a racionális számok ehhez nem elegendőek.
A törtek fajtái
Azt a törtet, amelynek a számláló modulusa kisebb, mint a nevező modulusa, megfelelő törtnek nevezzük. A nem megfelelő törtrészt helytelen törtnek nevezzük.
Például a 3/5, 7/8 és 1/2 törtek megfelelő törtek, míg a 8/3, 9/5, 2/1 és 1/1 nem megfelelő törtek. Minden egész szám 1-es nevezőjű helytelen törtként ábrázolható.
Az egész számként és megfelelő törtként felírt törtet vegyes törtnek nevezzük, és ennek a számnak és a törtnek az összegét értjük. Például, . A szigorú matematikai irodalomban inkább nem használják ezt a jelölést, mivel a vegyes tört jelölése hasonló az egész szám és a tört szorzatának jelöléséhez.
Annak ellenére, hogy végtelen sok racionális szám létezik, és hogy csak nem végtelenül nagy számokat tudunk felírni, feltételezhetjük, hogy bármelyik racionális számot felírhatjuk a fent leírt módon, mert minden racionális szám nyilvánvalóan nem végtelen, és írása véges számú karaktert fog tartalmazni.
Lövés magassága
Egy közönséges tört magassága ennek a törtnek a számlálója és nevezője összegének modulusa. Egy racionális szám magassága az ennek a számnak megfelelő irreducibilis közönséges tört számlálója és nevezője összegének modulusa.
Például a tört magassága (-15/6) 15 + 6 = 21. A megfelelő racionális szám magassága 5 + 2 = 7, mivel a tört 3-mal törlődik.
Ennek következtében a racionális számok halmaza megszámlálható halmaz. Tört racionális szám irracionális szám
Ennek a halmaznak megvan a folytonosság tulajdonsága. Ez azt jelenti, hogy az egymással nem egyenlő számok között találhat egy harmadik számot, amely nem egyenlő az előzővel. Sőt, a racionális számok egy szakasza két felére nyitva lehet ennek a szakasznak az egyik vagy mindkét határa mentén.
A racionális számok halmaza egy Abeli-csoport az „összeadás” és a „szorzás” műveletek külön-külön.
A racionális számok halmaza az „összeadás” és „szorzás” műveletek mezője.
Formális meghatározás
Formálisan a racionális számokat a párok ekvivalenciaosztályainak halmazaként határozzuk meg (( m, n) | m? Z, n? N) által ekvivalencia reláció (m, n) ~ (m", n"), Ha m n" = m" n. Ebben az esetben az összeadás és szorzás műveletei a következők:
- (m 1 , n 1) + (m 2 , n 2) = (m 1 , n 2 + m 2 , n 1 , n 1 n 2),
- (m 1 , n 1) (m 2 , n 2) = (m 1 m 2 , n 1 n 2).
A racionális számok tulajdonságai
A racionális számok tizenhat alapkövetelményt elégítenek ki tulajdonságait, ami könnyen beszerezhető a tulajdonságokból egész számok.
- 1. Rendezettség. Bármely a és b racionális számra van egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyedileg azonosítsa a köztük lévő három reláció közül egyet: "
- ?a, b? K: a b? b a? a = b
- 2. A sorrendi reláció tranzitivitása. Az a, b és c racionális számok bármely hármasánál, ha a kisebb b-nél és b kisebb c-nél, akkor a kisebb c-nél, és ha a egyenlő b-vel és b egyenlő c-vel, akkor a egyenlő hogy c.
- ?x, y, z? K:( x y) ? ( y z)> x z (a sorrend tranzitivitása);
- 3. Összeadás művelet. Bármely a és b racionális számra létezik egy úgynevezett összegzési szabály, amely egy bizonyos c racionális számhoz rendeli őket. Ebben az esetben magát a c számot az a és b számok összegének nevezzük, és jelöljük (a + b), az ilyen szám megtalálásának folyamatát pedig összegzésnek. Az összegzési szabály alakja a következő: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 n2 + m2 n1)/(n1 n2).
- ?a, b? K: ?( a + b) ? K
- 4. Összeadás kommutativitása. A racionális kifejezések helyének megváltoztatása nem változtat az összegen.
- (?x, y? K: ( x + y) = (y + x)
- 5. Az összeadás asszociativitása. A három racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt.
- (?x, y, z? K: ( x + y) + z = x + (y + z)
- 6. Nulla jelenléte. Létezik egy 0 racionális szám, amely összeadáskor minden más racionális számot megtart.
- (?0? K) (? x? K) : ( x + 0 = x)
- 7. Ellentétes számok jelenléte. Bármely racionális számnak van egy ellentétes racionális száma, amelyhez hozzáadva 0-t kapunk.
- (?x, y? K) ?(- x? K: ( x + (-x) = 0).
- 8. A rendelési viszony összekapcsolása az összeadás műveletével. Ugyanaz a racionális szám hozzáadható egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldalához.
- ?x, y, z? K:( x y) > ( x + z) y + z
- 9. Szorzási művelet. Bármely a és b racionális számra létezik egy úgynevezett szorzási szabály, amely egy bizonyos c racionális számhoz rendeli őket. Ebben az esetben magát a c számot az a és b számok szorzatának nevezzük, és (a · b) jelöléssel, az ilyen szám megtalálásának folyamatát pedig szorzásnak is nevezzük. A szorzási szabály a következő:ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.
- ?a, b?K: ?( a · b) ? K
- 10. A szorzás kommutativitása. A racionális tényezők helyének megváltoztatása nem változtatja meg a terméket.
- ?x, y? K:( x y) = (y x);
- 11. A szorzás asszociativitása. A három racionális szám szorzásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt.
- ?x, y, z? K:( x y) z = x (y z);
- 12. Egy egység elérhetősége. Létezik egy racionális 1-es szám, amely minden más racionális számot megszoroz.
- ?1? K(0): ? x? K: x 1 = x;
- 13. Reciprok számok jelenléte. Minden racionális számnak van egy inverz racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk.
- ?x? K(0):? x- 1: x x- 1 = 1.
- 14. A sorrendi reláció összekapcsolása a szorzási művelettel. Egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldala megszorozható ugyanazzal a pozitív racionális számmal.
- ?x, y, z? K:( x y) ? ( z > 0) > y z x z
- 15. A szorzás eloszlása az összeadáshoz viszonyítva. A szorzási műveletet az összeadási művelettel az elosztási törvény összehangolja:
- (?x, y, z? K:( x + y) z = x z + y z
- 16. Arkhimédész axiómája. Bármi legyen is az a racionális szám, annyi egységet vehet fel, hogy azok összege meghaladja az a-t.
?a? K? n? N: > a
További tulajdonságok
A racionális számokban rejlő összes többi tulajdonságot nem különböztetjük meg alaptulajdonságként, mert általánosságban elmondható, hogy ezek már nem közvetlenül az egész számok tulajdonságain alapulnak, hanem az adott alaptulajdonságok alapján, vagy közvetlenül valamilyen matematikai objektum definíciójával igazolhatók. . Nagyon sok ilyen kiegészítő tulajdonság van. Érdemes itt csak néhányat felsorolni.
A másodrendű ">" reláció is tranzitív.
?x, y, z? K:( x > y) ? (y > z)> x > z(a sorrend tranzitivitása);
Bármely racionális szám és nulla szorzata egyenlő nullával.
?x? K: x· 0 = 0;
Nincs nulla osztó.
Az azonos előjelű racionális egyenlőtlenségeket tagonként hozzáadhatjuk.
?a, b, c, d? K: a > b ? c > d > a + c > b + d
A Q racionális számok halmaza az terület(ugyanis, magánterület egész számok gyűrűi Z) a törtek összeadási és szorzási műveletei tekintetében.
Minden racionális szám algebrai.
A matematika sajátosságából adódóan nagy lehetőségeket biztosít a pedagógusok számára a gyermekek gondolkodásának fejlesztése szempontjából. Szinte bármilyen matematikai téma tanulmányozása során fejlesztheti a tanulók gondolkodását. A törtek és a törtek figyelembevétele mellett döntöttünk, és ez határozta meg kutatásunk témájának kiválasztását: „Általános iskolások gondolkodásának fejlesztése a törtek tanulmányozásával foglalkozó propagandamunka folyamatában”.
Az óvodás kortól kezdve a gyermek természetes számokkal operál, vagy tárgyakat számol, vagy sok ujjat számol a kezén. A fő fogalom a természetes számok halmaza fogalmának bevezetésekor N az a hozzáállás , amelyet a következő Peano-axiómák határoznak meg.
1. axióma. Bőségesen N van egy elem, amely nem követi közvetlenül ennek a halmaznak egyik elemét sem, ezt egynek nevezzük, és az 1-es szimbólummal jelöljük.
2. axióma. Minden elemhez P készletek N, csak egy elem van ( n+1), közvetlenül utána P.
3. axióma. Minden elemhez P tól től N legfeljebb egy elem van ( p-1), amit azonnal követ P.
4. axióma. Bármely részhalmaz R készletek N egybeesik N, ha a következő tulajdonságok teljesülnek rá: 1) 1 benne van R; 2) attól, hogy P tartalmazza R, ebből következik, hogy ( n+1) tartalmazza R.
Peano axiómái alapján megfogalmazzuk a természetes számok halmazának definícióját.
Meghatározás. Egy csomó N, melynek elemei kielégítik az 1-4 axiómákat, azaz. kapcsolatban vannak "közvetlenül követni", hívott természetes számok halmaza, elemei pedig természetes számok.
A természetes számok halmazának bővítése N van Z egész számok halmaza, ami a természetes számok, a nulla szám és a természetes számokkal ellentétes számok uniója.
Az egész számok halmazának kiterjesztése a racionális számok halmaza Q, amely egész és tört számok kombinációja. A redukálhatatlan törtként ábrázolható összes szám halmaza m/n, Ahol m tetszőleges egész szám lehet (nulla nélkül), azaz. mÎ Z, A n – természetes szám, azaz. nÎ N, alkotd meg a racionális számok halmazát . Bármely racionális szám felírható végtelen periodikus tizedes törtként, és fordítva, bármely végtelen periodikus tizedes tört racionális szám.
Vannak olyan számok, amelyeket nem lehet redukálhatatlan törtként ábrázolni, pl. nem tartoznak a racionális számok halmazába. Ilyen számok irracionális számok halmaza I, végtelen tizedes törtként ábrázolhatók. Például egy 1-es oldalú négyzet átlós hosszát valamilyen pozitív számmal kell kifejezni r 2=1 2 +1 2 (a Pitagorasz-tétel szerint), i.e. oly módon, hogy r 2=2. Szám r nem lehet egész szám, 1 2 = 1, 2 2 = 4 stb. Szám r nem lehet tört: ha r = m/n irreducibilis tört, ahol n¹1, akkor r 2 =m 2 /n 2 is irreducibilis tört lesz, ahol n 2 ¹ 1; ez azt jelenti, hogy m 2 /n 2 nem egész szám, ezért nem lehet egyenlő 2-vel. Ezért egy négyzet átlójának hosszát egy irracionális számmal fejezzük ki, ezt jelöljük. Hasonlóképpen nincs olyan racionális szám, amelynek négyzete 5, 7, 10. A megfelelő irracionális számokat , , jelöli. Ellentétes számuk is irracionális, jelölésük - , - , - .
Az irracionális számok halmaza végtelen. Például a p szám, amely a kerület és az átmérő arányát fejezi ki, nem ábrázolható közönséges törtként - ez egy irracionális szám.
Olyan halmazt nevezünk, amelynek elemei racionális és irracionális számok valós számok halmazaés a levél jelzi R. Minden valós szám a koordinátaegyenes egyetlen pontjának felel meg. A koordinátavonal minden pontja egyetlen valós számnak felel meg. A valós számok halmazát is nevezik számsor.
Megvizsgáltuk a számfogalom természetesről valósra való kiterjesztésének folyamatát, amely a gyakorlati igényekhez és magának a matematikának az igényeihez kapcsolódott. Az osztás végrehajtásának szükségessége a természetes számoktól a pozitív törtszámok fogalmához vezetett; majd a kivonás művelete a negatív számok és a nulla fogalmához vezetett; továbbá, hogy gyököket kell kivonni a pozitív számokból – az irracionális szám fogalmáig. A halmaz, amelyen ezek a műveletek végrehajthatók, a valós számok halmaza, de nem minden művelet kivitelezhető ezen a halmazon. Például nem lehet kivonni egy negatív szám négyzetgyökét vagy megoldani az x 2 + x + 1 = 0 másodfokú egyenletet. Ez azt jelenti, hogy ki kell bővíteni a valós számok halmazát.
Írjunk be egy számot én, oly módon, hogy én 2= - 1. Ez a szám lehetővé teszi, hogy gyököket vonjon ki a negatív számokból. Tehát a valós számok halmazának kiterjesztése az komplex számok halmaza, amelyet a betű jelöl VAL VEL. A komplex számok halmazával a későbbiekben részletesen megismerkedünk.
A következő jelölést fogjuk használni:
N- természetes számok halmaza;
Z- egész számok halmaza;
K- racionális számok halmaza,
R- valós számok halmaza
VAL VEL- komplex számok halmaza.
A számfogalom első kiterjesztése, amelyet a tanulók megtanulnak, miután megismerkedtek a természetes számokkal, a nulla összeadása. Ez még általános iskolában is előfordul.
Először is, az "O" egy szám hiányát jelző jel. Miért nem lehet nullával osztani?
Osztani annyit jelent, mint ilyet találni x , Mit: x-0 = a. Két eset lehetséges:
1) A* X: dg-0 * 0. Ez lehetetlen;
2) a = 0, ezért meg kell találnunk xg. x-0 = 0. Ilyen x amennyit csak akar, ami ellentmond annak a követelménynek, hogy minden aritmetikai művelet egyedi legyen:
Vannak olyan tankönyvek, ahol a cselekvések alapvető törvényszerűségeit a kellő indoklás nélkül tisztességesnek tartják.
Az 5-6. osztályos matematika szakon a racionális számok halmazának felépítése történik. Meg kell jegyezni, hogy a beállított kiterjesztések sorrendje nem egyedi. Lehetséges opciók:
A törtszám elemi fogalma már az általános iskolában adott egy egység több törtjeként.
Az alapiskolában a törteket és a rájuk vonatkozó műveleteket általában a célszerű feladatok módszerével vezetik be, amelyet például S. I. Shokhor-Trotsky talált ki, amikor a következő problémát vizsgálják.
- 1 kg kristálycukor ára 15 rubel. Mennyibe kerül 4 kg homok? 5 kg?
- - kg?
A tanulók megszorozhatják 15-öt 4-gyel, 5-tel, most meg kell találniuk
15-től. A tanulók oszthatnak 3-mal, ha megtudják, mennyibe kerül a 3-nak egy töredéke.
kilogramm, és szorozzuk meg 2-vel, hogy meghatározzuk, mennyibe kerül két ilyen részvény. Mivel ésszerű ugyanazt a feladatot ugyanazzal az aritmetikai művelettel megoldani, arra a következtetésre jutottak, hogy ez a két egymást követő művelet egyenértékű 15 -vel való szorzással.
A törtszámok bevezetésénél célszerű figyelembe venni a tanulók tapasztalatait, és arra támaszkodni. A tanulók törtekkel találkoznak a zenében. A leggyakoribb törtek benne: kétnegyed, háromnegyed, matematikai nyelvre fordítva: kétnegyed, háromnegyed. A felső szám az ütemenkénti ütemek számát jelzi: kettő vagy három. Az alsó szám az ütem időtartamát jelzi. A mi esetünkben ez egy negyed. A menetek és a polkák kétnegyed idő alatt szólalnak meg. Háromnegyed idő alatt keringő. Ezek az emlékek segítenek a tanulóknak új ismereteket összekapcsolni tapasztalataikkal, ami elengedhetetlen a megértés eléréséhez.
A második szakasz cselekvéseinek tanulmányozásakor ajánlatos a megfelelő törttel való szorzás különböző eseteit a növekvő nehézségi sorrendbe rendezni: 1) egész számmal való szorzás; 2) egész szám szorzása vegyes számmal; 3) tört szorzata vegyes számmal; 4) szorzás megfelelő törttel; 5) szorzás törttel, amelyben a számláló egyenlő a nevezővel.
Megmutatja, hogy egy szám, ha elosztjuk egy megfelelő törttel
meghatározott, a következő helyzetet tekinthetjük: 6: -.
Hat kört négy részre vágtunk, természetesen több rész volt, mint kör.
Bonyolult esetek bevezetéséhez egy téglalap területének kiszámítása javasolt.
A törttanulás bármely sorozatának előnyei és hátrányai vannak.
Ha tizedes törteket vezetünk be a közönséges törtek elé, akkor az a pozitív, hogy:
- a tizedes törtek bevezethetők a pozitív egész számok tizedes számrendszerének figyelembevételével (a tizedesvessző utáni első számjegy egység tizedrésze, a következő pedig századrész...);
- minden aritmetikai művelet könnyebben végrehajtható tizedes törteknél;
- gyakorlati alkalmazásuk nagyobb, mint a közönségeseknek.
A negatívum az, hogy a közönséges törtek esetében minden
a törtek elméletét újra kell építeni, mivel egy konkrét esetből nem lehet általános következtetéseket levonni.
Ha a közönséges törteket tizedesjegyek előtt írjuk be, akkor figyelembe kell venni, hogy:
- a tizedesjegyek a közönségesek speciális esetei, ezért minden cselekvési szabály következmény;
- A második szakasz műveletei a tizedes törteknél, mint új számjegyegységek halmazánál (az első szakasz műveleteinél) lehetetlenek;
- néhány közönséges művelet egyszerűbb (második szakasz);
- a tört fő tulajdonsága csak a tört általános fogalma alapján.
Különféle technikákat alkalmaznak a negatív számok bevitelére.
Így a motiváció biztosítására olyan problémahelyzet használható, amely közel áll a gyermek tapasztalataihoz.
Robin Hood üldözői elől menekülve felúszott a folyón A km-re, de egy gázló előtt találta magát, kénytelen volt leúszni a folyón és úszni b km. Hova jutott útja kezdetétől (milyen távolságra a folyó bejáratától)? Kiírva egy kifejezést az ismeretlen megtalálására: x = a - b y között minden lehetséges kapcsolatot figyelembe kell venni aik
1) a > k, 2) a = b; 3) de lehetetlen.
Negatív számok is beírhatók:
- ellentétes jelentésű mennyiségek figyelembevételével (A.P. Kiselev);
- a mennyiségi változások (növekedés és csökkenés) jellemzőit figyelembe véve;
- grafikus ábrázolások alapján negatív számok a tengelyen lévő pontok jeleiként (V. L. Goncsarov);
- a folyó vízszintjének két napig tartó változásának problémája miatt (D. K. Faddeev és I. S. Sominsky): heves esőzések idején a folyó vízszintje egy A cm napközben. A következő 24 órában a víz szintje csökkent b cm. Mennyi lesz a vízállás két nap múlva? (a-b);
- a távolságok hőmérsékleti skálán történő ábrázolásakor (A. N. Barsukov).
Ezek a technikák a motiváció egyik aspektusaként is használhatók. Egy másik szempont az, hogy nem tud semmilyen műveletet végrehajtani, mint a fenti feladatnál.
A racionális számokra és a cselekvések tulajdonságaira vonatkozó összehasonlítás és műveletek bevezetésével számmezőt kaptunk. További bővítését már nem diktálhatja az intézkedés elmulasztása. A számfogalom kibővülését geometriai megfontolások okozták, nevezetesen: a racionális számok halmaza és a számegyenesen lévő pontok halmaza között nincs egy-egy megfeleltetés. A geometriához szükséges, hogy a számegyenesen minden pontnak legyen abszcisszán, azaz. hogy minden adott mértékegységű szegmens megfeleljen a hosszának felvehető számnak.
Ennek a kiterjesztésének szükségességét az is okozza, hogy nem lehet kinyerni egy pozitív szám gyökerét, és nem lehet bármely pozitív bázisra bármely pozitív szám logaritmusát megtalálni. Ezt a célt azután érik el, hogy a racionális számok mezője (egy irracionális számrendszer hozzáadásával) a valós számok halmazává való kiterjesztésen esik át.
Pozitív racionális számok.
A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó.
Az oszthatóság jelei.
A különbség halmazelméleti jelentése.
Az összeg halmazelméleti jelentése.
KÉRDÉSEK A KOLLOKVIUMHOZ
1. A természetes szám fogalmának kialakulásának történetéből.
2. Ordinális és kardinális természetes számok. Jelölje be.
3. A kardinális természetes szám és a nulla halmazelméleti jelentése.
4. A „kevesebb”, „egyenlő” reláció halmazelméleti jelentése
6. Összeadás törvényei.
8. Kapcsolatok „több által” és „kevesebb által”.
9. A szám összegből és a számból összeg kivonásának szabályai.
10. A természetes számok és nulla írásmódjainak kialakulásának és fejlődésének történetéből.
11. A számrendszer fogalma.
12. Pozíciós és nem pozíciós számrendszerek.
13. Számok írása, megnevezése decimális számrendszerben.
14. Összeadás tizedes számrendszerben.
15. Szorzás tízes számrendszerben
16. A természetes számok halmazának sorrendje.
17. Kivonás tizedes számrendszerben.
18. Osztás tizedes számrendszerben.
19. A nem negatív egész számok halmaza.
20. Oszthatósági reláció és tulajdonságai.
23. Prímszámok. Módszerek a számok legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének megtalálására.
24. A tört fogalma.
27. Pozitív racionális számok írása tizedesjegyként.
28. Valós számok.
4. MODUL. GEOMETRIAI ÁBRÁK ÉS MENNYISÉGEK
Ismeretes, hogy a számok a számolás és a mérés szükségességéből származnak, de ha a természetes számok elegendőek a számoláshoz, akkor más számok szükségesek a mennyiségek méréséhez. A mennyiségek mérésének eredményeként azonban csak a természetes számokat fogjuk figyelembe venni. Miután meghatároztuk a természetes szám jelentését nagyságmérőként, megtudjuk, hogy az ilyen számokon mit jelentenek az aritmetikai műveletek. Az általános iskolai tanárnak erre az ismeretre nemcsak azért van szüksége, hogy igazolja a cselekvések megválasztását a mennyiségekkel kapcsolatos feladatok megoldása során, hanem ahhoz is, hogy megértse a természetes számok értelmezésének egy másik, az alapfokú matematikatanításban létező megközelítését.
A természetes számot a pozitív skaláris mennyiségek - hosszúság, terület, tömeg, idő stb. - mérése kapcsán fogjuk figyelembe venni, ezért mielőtt a mennyiségek és a természetes számok kapcsolatáról beszélnénk, emlékezzünk meg néhány nagysággal és méréssel kapcsolatos tényt. , különösen mivel a mennyiség fogalma a számmal együtt alapvető fontosságú a kezdeti matematika kurzusban.
Az utóbbi években tendencia volt arra, hogy a kezdeti matematika kurzusba jelentős mennyiségű geometriai anyagot vonjanak be. De ahhoz, hogy a tanár megismertesse a diákokat a különböző geometriai alakzatokkal (síkkal és térrel egyaránt), és megtanítsa őket a geometriai alakzatok helyes ábrázolására, megfelelő matematikai képzésre van szüksége. Természetesen szükség van a geometria kialakulásának és fejlődésének történetére vonatkozó ismeretekre, hiszen a hallgató a geometriai fogalmak kidolgozása során sűrített formában végigmegy a geometriatudomány létrejöttének fő állomásain. A tanárnak ismernie kell a geometria tantárgy vezető gondolatait, ismernie kell a geometriai alakzatok alapvető tulajdonságait, és tudnia kell megkonstruálni azokat.
A modul anyaga segít a tanárnak az anyag elsajátításában. Figyelembe véve a hallgatók iskolai matematika szakon kapott felkészültségét, bemutatja az általános iskolásoknak a geometria elemeinek megtanításához szükséges geometriai anyagot.
A tanulónak képesnek kell lennie:
Szemléltesse általános iskolai matematika tankönyvekből vett példákkal a természetes szám meghatározását és a számokkal végzett műveleteket a mennyiségek mérése eredményeként;
Elemi konstrukciós feladatok megoldása iránytű és vonalzó segítségével a képzés tartalma által meghatározott mértékben;
Egyszerű problémák megoldása, amelyek a geometriai alakzatok számértékeinek bizonyításával és kiszámításával járnak;
Rajzolj egy síkra prizmát, téglalap alakú paralelepipedont, gúlát, hengert, kúpot, golyót tervezési szabályok segítségével.
19. sz. előadás
Matematika
Bevezetés
2. A tört fogalma
6. Valós számok
Bevezetés
Frakció fogalma
Tört jelöléssel
Frakció – ún helyes , ha a számlálója kisebb, mint a nevezője, és rossz , ha a számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.
Térjünk vissza a 2. ábrához, ahol látható, hogy az e szakasz negyedik része pontosan 14-szer illeszkedik az x szakaszba. Nyilvánvalóan nem ez az egyetlen lehetőség az e szegmens d szegmensbe illeszkedő részének kiválasztására: egész számú alkalommal. Felveheti az e szakasz nyolcadik részét, ekkor a d: szakasz 28-ból fog állni
28 ilyen rész van, és a hossza törtként lesz kifejezve.
Felveheti az e szakasz tizenhatodik részét, ekkor az x szakasz 56 ilyen részből áll majd, és a hossza törtben lesz kifejezve.
Általánosságban elmondható, hogy ugyanazon x szakasz hossza egy adott e egységszegmenshez különböző törtekben fejezhető ki, és ha a hosszt törtben fejezzük ki , akkor az alak bármely törtével kifejezhető, ahol k természetes szám.
Tétel. Törteket készíteni és ugyanazon szakasz hosszát fejeztük ki, szükséges és elegendő az mq = nр egyenlőség teljesüléséhez.
Ennek a tételnek a bizonyítását mellőzzük.
Meghatározás. Két frakció és egyenlőnek nevezzük, ha mq = np.
Ha a törtek egyenlőek, akkor írjuk = .
Például = , mivel 17 21 = 119 3 = 357 és ≠ , mert 17 27 = 459, 19 23 = 437 és 459 ≠ 437.
A fenti tételből és definícióból az következik, hogy két tört akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazon szakasz hosszát fejezik ki.
Tudjuk, hogy a törtek egyenlőségének relációja reflexív, szimmetrikus és tranzitív, azaz. egy ekvivalencia reláció. Most, az egyenlő törtek definíciójával, ez bizonyítható.
Tétel. A törtek egyenlősége egy ekvivalencia reláció.
Bizonyíték. Valójában a törtek egyenlősége reflexív: = , mivel az mn = mn egyenlőség bármely természetes számtípusra igaz. A törtek egyenlősége szimmetrikus: ha = , majd = , mivel mq = nр-ből az következik, hogy р n = qm (m, n, p, q N). Ez tranzitív: ha = és = , akkor = . Sőt, mióta =, akkor mq = nр, és mivel =, akkor ps = qr. Ha az mq = nр egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk s-vel, és az рs = qr egyenlőséget n-nel, akkor mqs = nps és nps = qrs kapjuk. Ahol mqs = qrn vagy ms = nr. Az utolsó egyenlőség azt jelenti = . Tehát a törtek egyenlősége reflexív, szimmetrikus és tranzitív, tehát ekvivalencia reláció.
A tört alapvető tulajdonsága az egyenlő törtek definíciójából következik. Emlékeztessük őt.
Ha egy tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor az adott törtszámot kapjuk.
Ez a tulajdonság a törtek csökkentésén és a törtek közös nevezőre hozásán alapul.
A törtek redukálása azt jelenti, hogy egy adott törtet egy másik törtre cserélünk, amely megegyezik az adott törttel, de kisebb számlálóval és nevezővel.
Ha egy tört számlálója és nevezője egyszerre csak eggyel osztható, akkor a törtet irreducibilisnek nevezzük. Például - irreducibilis tört, mivel számlálója és nevezője egyszerre csak eggyel osztható, azaz. D(5, 17) =1.
A törtek közös nevezőre való redukálása azt jelenti, hogy adott törteket egyenlő törtekkel helyettesítünk, amelyeknek azonos a nevezője. Két tört közös nevezője és n és q közös többszöröse, a legkisebb közös nevező pedig K(n, q) legkisebb többszöröse.
Feladat. Csökkentse a legkisebb közös nevezőre és .
Megoldás. Tekintsük a 15-ös és 35-ös számokat prímtényezőkbe: 15 = 3·5, 35 = 5,7. Ekkor K(15, 35) = 3·5·7 = 105. Mivel 105= 15·7 = 35·3, akkor = = , = = .
Valós számok
A tizedes törtek megjelenésének egyik forrása a természetes számok osztása, másik a mennyiségek mérése. Nézzük meg például, hogyan kaphatunk tizedes törteket egy szakasz hosszának mérésekor.
Legyen x az a szakasz, amelynek hosszát mérni kell, és e az egységszakasz. Jelölje az x szakasz hosszát X, az e szakasz hosszát pedig E betű. Legyen az x szakasz n darab e-vel egyenlő szakaszból és egy x 1 szakaszból, amely rövidebb az e szakasznál (3. ábra), azaz.
n·E< X < (n + 1) ·Е. Числа n и n+ 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.
A pontosabb válasz érdekében vegyük az e 1 szakaszt - az e szakasz tizedét, és helyezzük az x 1 szakaszba. Ebben az esetben két eset lehetséges.
1) Az e 1 szakasz pontosan n-szer illeszkedik az x 1 szakaszba. Ekkor az x szakasz hosszát véges tizedes törtként fejezzük ki:
X = ·E= ·E. Például X = 3,4 E.
2) Az x 1 szakasz n darab e 1-gyel egyenlő szakaszból és egy x 2 szakaszból áll, amely rövidebb, mint az e 1 szakasz. Aztán E<Х ·Е, где и
Az x szegmens hosszának hozzávetőleges értékei hiányos és többlet esetén 0,1 pontossággal.
Nyilvánvaló, hogy a második esetben az x szakasz hosszának mérési folyamata folytatható egy új egységnyi e 2 - az e szakasz századrészének - felvételével.
A gyakorlatban egy szakasz hosszának mérése egy bizonyos szakaszban véget ér. És akkor a szakasz hosszának mérésének eredménye vagy természetes szám vagy véges tizedes tört lesz. Ha ezt a folyamatot ideálisan elképzeljük egy szakasz hosszának mérésére (ahogyan a matematikában teszik), akkor két eredmény lehetséges:
1) A k-edik lépésnél a mérési folyamat véget ér. Ekkor az x szakasz hosszát a forma véges tizedes törtrészeként fejezzük ki.
2) Az x szakasz hosszának mérésének leírt folyamata a végtelenségig folytatódik. Ekkor az erről szóló jelentést a szimbólummal ábrázolhatjuk, amelyet végtelen tizedes törtnek nevezünk.
Hogyan lehet biztos abban, hogy a második eredmény lehetséges? Ehhez elegendő megmérni egy olyan szakasz hosszát, amelyről ismert, hogy a hossza például az 5- racionális számmal van kifejezve. Ha kiderülne, hogy egy ilyen szakasz hosszának mérése eredményeként véges tizedes törtet kapunk, akkor ez azt jelentené, hogy az 5-ös szám véges tizedes törtként ábrázolható, ami lehetetlen: 5 = 5,666. ..
Így a szakaszok hosszának mérése során végtelen tizedes törteket kaphatunk. De vajon ezek a törtek mindig periodikusak? A válasz erre a kérdésre nemleges, vannak olyan szegmensek, amelyek hosszát nem lehet végtelen periodikus törtként (azaz pozitív racionális számként) kifejezni a választott hosszegységgel. Ez jelentős felfedezés volt a matematikában, amiből az következett, hogy a racionális számok nem elegendőek a szakaszok hosszának mérésére.
Tétel. Ha a hossz mértékegysége egy négyzet oldalának hossza, akkor a négyzet átlójának hossza nem fejezhető ki pozitív racionális számként.
Bizonyíték. A négyzet oldalának hosszát fejezzük ki 1-gyel. Tegyük fel a bizonyítandónak az ellenkezőjét, vagyis hogy az ABCD négyzet AC átlójának hosszát egy irreducibilis tört fejezi ki. . Ekkor a Pitagorasz-tétel szerint az 1 2 +1 2 = egyenlőség teljesülne. Ebből az következik, hogy m 2 = 2п 2. Ez azt jelenti, hogy m 2 páros szám, akkor m páros (a páratlan szám négyzete nem lehet páros). Tehát m = 2p. Az m 2 = 2n 2 egyenlőségben szereplő m számot 2p-re cserélve azt kapjuk, hogy 4p 2 = 2n 2, azaz. 2p 2 = n 2. Ebből következik, hogy n 2 páros, ezért n páros szám. Így az m és n számok párosak, ami a törtet jelenti csökkenthető 2-vel, ami ellentmond az irreducibilitás feltételezésének. A megállapított ellentmondás azt bizonyítja, hogy ha a hossz mértékegysége egy négyzet oldalának hossza, akkor ennek a négyzetnek az átlójának hossza nem fejezhető ki racionális számként.
A bizonyított tételből az következik, hogy vannak olyan szegmensek, amelyek hosszát nem lehet pozitív számként kifejezni (a választott hosszegységgel), vagy más szóval végtelen periodikus tört alakjában felírni. Ez azt jelenti, hogy a szakaszok hosszának mérésekor kapott végtelen tizedes törtek lehetnek nem periodikusak.
Úgy gondolják, hogy a végtelen, nem periodikus tizedes törtek új számok – pozitív irracionális számok – reprezentációi. Mivel a szám fogalmát és jelölését gyakran azonosítják, azt mondják, hogy a végtelen nem periodikus tizedes törtek pozitív irracionális számok.
A pozitív irracionális szám fogalmához a szakaszok hosszának mérése során jutottunk el. De irracionális számokat úgy is kaphatunk, hogy néhány racionális szám gyökét felvesszük. Tehát, , , irracionális számok. Tan5, sin 31, számok π = 3,14..., e = 2,7828... és mások is irracionálisak
A pozitív irracionális számok halmazát a J + szimbólum jelöli.
Két számhalmaz: a pozitív racionális és a pozitív irracionális számok unióját pozitív valós számok halmazának nevezzük, és az R + szimbólummal jelöljük. Így Q + J + = R + . Euler-köröket használva ezeket a halmazokat a 4. ábra mutatja.
Bármely pozitív valós szám ábrázolható végtelen tizedes törttel - periodikus (ha racionális) vagy nem periodikus (ha irracionális).
A pozitív valós számokkal végzett műveletek pozitív racionális számokkal végzett műveletekre redukálódnak.
A pozitív valós számok összeadása és szorzása kommutativitás és asszociativitás, a szorzás pedig az összeadás és a kivonás tekintetében disztributív.
Pozitív valós számok segítségével bármilyen skaláris mennyiség mérésének eredményét kifejezheti: hosszúság, terület, tömeg stb. De a gyakorlatban sokszor nem egy mennyiség mérésének eredményét, hanem annak változását kell számban kifejezni. Sőt, változása többféleképpen történhet - növekedhet, csökkenhet vagy változatlan maradhat. Ezért a mennyiségi változás kifejezéséhez a pozitív valós számokon kívül más számokra is szükség van, ehhez pedig ki kell bővíteni az R + halmazt úgy, hogy hozzáadjuk a 0 (nulla) számot és a negatív számokat.
19. sz. előadás
Matematika
Téma: „A természetes számok halmazának bővítéséről”
Bevezetés
2. A tört fogalma
3. Pozitív racionális számok
4. A pozitív racionális számok halmaza a természetes számok halmazának kiterjesztéseként
5. Pozitív racionális számok írása tizedesjegyként
6. Valós számok
Bevezetés
A matematika legtöbb alkalmazása mennyiségek mérését foglalja magában. Azonban ezekre a célokra a természetes számok nem elegendőek: egy mennyiségi egység nem mindig fér bele egész számú alkalommal a mérendő mennyiségbe. Ahhoz, hogy ilyen helyzetben pontosan kifejezzük a mérési eredményt, szükséges a számállomány bővítése a természetestől eltérő számok bevezetésével. Az ókorban erre a következtetésre jutottak az emberek: a hosszúságok, területek, tömegek és egyéb mennyiségek mérése vezetett először a törtszámok megjelenéséhez - racionális számokat kaptak, majd a Kr.e. V. században. a Pythagoreus iskola matematikusai megállapították, hogy vannak olyan szakaszok, amelyek hossza a választott hosszegység ismeretében nem fejezhető ki racionális számként. Később ennek a feladatnak a megoldása kapcsán megjelentek az irracionális számok. A racionális és irracionális számokat valós számoknak nevezzük. A valós szám szigorú meghatározását és tulajdonságainak indoklását a XIX.
A különböző számhalmazok (N, Z, Q és R) közötti kapcsolatok Euler-körök segítségével jeleníthetők meg (1. ábra).
A valós számok nem az utolsók a különböző számokból álló sorozatban. Az a folyamat, amely a természetes számok halmazának bővítésével kezdődött, ma is tart – ezt maga a különböző tudományok és a matematika fejlődése is megköveteli.
A törtszámokkal általában az elemi osztályokban ismerkednek meg a tanulók. A tört fogalmát ezután finomítják és kibővítik a középiskolában. Ebben a tekintetben a tanárnak el kell sajátítania a törtek és a racionális számok fogalmát, ismernie kell a racionális számokkal végzett műveletek végrehajtásának szabályait és ezen műveletek tulajdonságait. Minderre nemcsak azért van szükség, hogy matematikailag helyesen bemutassuk a törtek fogalmát, és megtanítsuk a fiatalabb iskolásokat a velük végzett műveletekre, hanem – és nem kevésbé fontos – a racionális és valós számok halmazai, valamint a természetes számok halmaza közötti összefüggések megismeréséhez is. . Megértésük nélkül lehetetlen megoldani a folytonosság problémáját a matematikatanításban az általános és az azt követő iskolai osztályokban.
Vegyük észre az anyag e bekezdésben való bemutatásának sajátosságát, amely egyrészt az általános iskolai tanárok számára készült matematika-tanfolyam csekély terjedelméből, másrészt annak céljából adódik: az anyag nagyrészt összefoglaló formában kerül bemutatásra, gyakran szigorú bizonyítékok nélkül; A racionális számokkal kapcsolatos anyagokat részletesebben is bemutatjuk.
A természetes számok N halmazának bővítése a következő sorrendben fog megtörténni: először megszerkesztjük a pozitív racionális számok Q + halmazát, majd bemutatjuk, hogyan bővíthető a pozitív valós számok R+ halmazára, és végül , nagyon röviden leírjuk az R+ halmaz kiterjesztését az összes valós szám R halmazára.
Frakció fogalma
Legyen szükség az x szakasz hosszának mérésére egy e egységszakasszal (2. ábra). A mérés során kiderült, hogy az x szakasz három e-vel egyenlő szakaszból és egy az e-nél rövidebb szakaszból áll, ebben az esetben az x szakasz hossza nem fejezhető ki természetes számként. Ha azonban az e szakaszt 4 egyenlő részre osztjuk, akkor az x szakasz 14 szegmensből áll, amelyek megegyeznek az e szakasz negyedik részével.
És akkor, ha az x szakasz hosszáról beszélünk, két 4-es és 14-es számot kell megadnunk: az e szakasz negyedik része pontosan 14-szer illeszkedik a szakaszba. Ezért megállapodtunk abban, hogy az x szakasz hosszát ·E formában írjuk, ahol E az e egységnyi szegmens hossza, és a szimbólumot törtnek nevezzük.
Általában a tört fogalmát a következőképpen határozzuk meg.
Legyen adott egy x szakasz és egy e egységszakasz, melynek hossza E. Ha az x szakasz m darab szegmensből áll, amely egyenlő az e szakasz n-edik részével, akkor az x szakasz hosszát ábrázolhatjuk a ·E alakú, ahol a - szimbólumot törtnek nevezik (és olvassa az „ um n-edikeket”).
Tört jelöléssel az m és n számok természetes számok, m-t számlálónak, n a tört nevezőjét nevezzük.
- Pavel Gavrilovich Vinogradov: életrajz
- Rzeczpospolita – mit jelent?
- Filozófia az ember életéről, haláláról és halhatatlanságáról Az élet, a halál és a halhatatlanság fogalma
- Kolbász és kimchi, gofri és morel, acai és szendvicsek – szinte versben beszélnek hozzánk azok a szakácsok, akik eredeti nyári reggelit készítettek.