Példák egy ívelt trapéz területének kiszámítására. Adott vonalak által határolt ábrák területének kiszámítása
Kész munkák
FOKOZAT MUNKÁK
Már sok minden eltelt, és most már végzett, ha természetesen időben megírja a szakdolgozatát. De az élet olyan, hogy csak most válik világossá számodra, hogy miután megszűnt diáknak lenni, elveszíted az összes diákörömöt, amelyek közül sokat soha nem próbáltál ki, mindent elhalasztasz, és későbbre halasztasz. És most ahelyett, hogy felzárkózna, a szakdolgozatán dolgozik? Van egy kiváló megoldás: töltse le weboldalunkról a szükséges szakdolgozatot - és azonnal sok szabadideje lesz!
A szakdolgozatokat sikeresen megvédték a Kazah Köztársaság vezető egyetemein.
Munka költsége 20.000 tenge-től
TANFOLYAMOK
A tanfolyami projekt az első komoly gyakorlati munka. A kurzusok megírásával kezdődik a diplomatervek kidolgozására való felkészülés. Ha egy hallgató megtanulja egy kurzusban egy téma tartalmát helyesen bemutatni és hozzáértően formázni, akkor a jövőben nem lesz gondja sem a beszámolók, sem a szakdolgozatok elkészítésével, sem egyéb gyakorlati feladatok elvégzésével. Az ilyen típusú diákmunka megírásának segítése és az elkészítése során felmerülő kérdések tisztázása érdekében valójában ez az információs rész készült.
Munka költsége 2500 tenge-től
MESTER ÉRTEKEZÉSEK
Jelenleg a kazahsztáni és a FÁK-országok felsőoktatási intézményeiben nagyon elterjedt az alapképzést követő felsőfokú szakmai végzettség - a mesterképzés. A mesterképzésben a hallgatók mesterképzés megszerzésének céljával tanulnak, amelyet a világ legtöbb országában jobban elismernek, mint egy alapképzést, és a külföldi munkaadók is elismerik. A mesterképzés eredménye a szakdolgozat megvédése.
Naprakész elemző és szöveges anyagot biztosítunk, az ár 2 tudományos cikket és egy absztraktot tartalmaz.
Munka költsége 35.000 tenge-től
GYAKORLATI JELENTÉSEK
Bármilyen típusú hallgatói gyakorlat (oktatási, ipari, érettségi előtti) teljesítése után jelentés szükséges. Ez a dokumentum a hallgató gyakorlati munkájának megerősítése és a gyakorlat értékelésének alapja. Általában a gyakorlatról szóló jelentés elkészítéséhez információkat kell gyűjtenie és elemeznie kell a vállalkozásról, figyelembe kell vennie annak a szervezetnek a felépítését és munkarutinját, amelyben a gyakorlat zajlik, naptári tervet kell készítenie és le kell írnia gyakorlati tapasztalatait. tevékenységek.
Egy-egy vállalkozás tevékenységének sajátosságait figyelembe véve segítünk a szakmai gyakorlatról szóló beszámoló megírásában.
A 4.3 azt már feljegyezték határozott integrálja () of
a nem negatív függvény numerikusan egyenlő a görbe vonalú trapéz területével, amelyet az = (), egyenesek = , = és = 0 függvény grafikonja határol.
4.24. példa. Számítsa ki a tengely és a szinusz közé zárt ábra területét = sin (4.6. ábra).
sin = − cos 0 |
= −(cos − cos 0) = 2. |
|||
Ha az ábra nem görbe vonalú trapéz, akkor a területét a görbe trapéz alakzatok területének összegeként vagy különbségeként próbálják ábrázolni. Konkrétan a tétel igaz.
4.13. Tétel. Ha egy ábrát alul és felül a folytonos függvények grafikonjai határolnak = 1 (), = 2 () (nem feltétlenül nem negatív, ( 4.7. ábra ), akkor területe a képlet segítségével megkereshető
2 () − 1 () .
4.25. példa. Számítsa ki az ábra területét, amelyet a görbe = 4 és az = és = 4 vonalak határolnak.
y = f2(x) |
|||||||||||
y = f1(x) |
|||||||||||
4.6. ábra |
4.7. ábra |
||||||||||
Megoldás. Építsünk |
repülőgép |
(4.8. ábra). Magától értetődően, |
|||||||||
1 () = 4 , 2 () = , |
|||||||||||
= ∫ |
2 − 4 ln |
2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2). |
|||||||||
I. rész. Elmélet
4. fejezet Integrációelmélet 4.4. Integrált alkalmazások. Nem megfelelő integrálok
4.8. ábra |
4.4.2. Görbe ív hossza
A görbék hosszának kiszámítása szintén integrálokhoz vezet. Legyen az = () függvény folytonos a [ ; ] és a (;) intervallumon differenciálható. Grafikonja egy bizonyos görbét ábrázol, (; ()), (; ()) (4.9. ábra). A görbét elosztjuk a 0 = , 1 , 2 , pontokkal. . . , = tetszőleges részek. Kössünk össze két szomszédos pontot −1 és húrokat = 1, 2, . . . , . A görbébe beírt -link szaggatott vonalat kapunk. Hadd
a húr hossza −1, = 1, 2, . . . , = max16 6 . A szaggatott vonal hosszát a képlet fejezi ki
Természetes, hogy egy görbe hosszát a szaggatott vonalak hosszának határértékeként definiáljuk, ha → 0, azaz.
Legyenek pontok abszcisszái, = 1, 2, . . . , |
||||||||
< < . . . < = . |
||||||||
Ekkor a pontok koordinátái (; ()), és segítségével két pont távolságának képlete, megtaláljuk
Cn-1 |
|||
C k 1C k |
|||
Következésképpen a √ 1 + (′ ())2 függvénynek integrálösszege van a [ ; ]. Ekkor a (4.31) egyenlőségek alapján a következőt kapjuk:
= ∫ |
|||||||
1 + (′ ())2 |
|||||||
4.26. példa. Határozzuk meg a grafikon hosszát = 2 |
= 0 és = 3 között. |
||||||
Megoldás. Készítsük el a megadott függvény grafikonját (4.10. ábra).
y=2 |
√x 3 |
|
4.10. ábra
A (4.33) képlet segítségével a következőket kapjuk: |
|||||||||||||||||||
= ∫ 3 |
= ∫ 3 √ |
= ∫ 3 √ |
|||||||||||||||||
1 + (2 1 )2 |
|||||||||||||||||||
1 + (′ ())2 |
|||||||||||||||||||
(+ 1)2 |
3 (+ 1)2 0 = 3 (8 − 1) = 3 . |
||||||||||||||||||
Tekintsünk egy görbült trapézt, amelyet az Ox tengely határol, az y=f(x) görbét és két egyenest: x=a és x=b (85. ábra). Vegyünk egy tetszőleges x értéket (csak nem a és nem b). Adjunk neki h = dx növekményt, és tekintsünk egy AB és CD egyenesekkel határolt sávot, az Ox tengelyt és a vizsgált görbéhez tartozó BD ívet. Ezt a csíkot nevezzük elemi csíknak. Egy elemi szalag területe eltér az ACQB téglalap területétől a BQD görbe vonalú háromszöggel, és ez utóbbi területe kisebb, mint a BQDM téglalap területe, amelynek oldalai BQ = =h= dx) QD=Ay és terület egyenlő haAy = Ay dx. Ahogy a h oldal csökken, a Du oldal is csökken, és a h-val egyidejűleg nullára hajlik. Ezért a BQDM területe másodrendű végtelenül kicsi. Egy elemi szalag területe a terület növekménye, az ACQB téglalap területe pedig AB-AC ==/(x) dx> a terület differenciálja. Következésképpen magát a területet a differenciáljának integrálásával találjuk meg. A vizsgált ábrán belül az l: független változó a-ról b-re változik, így a szükséges 5-ös terület 5= \f(x) dx lesz. (I) 1. példa Számítsuk ki az y - 1 -x* parabola, az X =--Fj-, x = 1 egyenesek és az O* tengely által határolt területet (86. ábra). ábrán 87. ábra. 86. 1 Itt f(x) = 1 - l?, az integrálás határai a = - és £ = 1, ezért J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2. példa Számítsuk ki az y = sinXy szinusz, az Ox tengely és az egyenes által határolt területet (87. ábra). Az (I) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3. példa Számítsa ki a mellékelt ^у = sin jc szinusz íve által határolt területet két szomszédos metszéspont között az Ox tengellyel (például az origó és az i abszcissza pont között). Vegye figyelembe, hogy geometriai megfontolások alapján egyértelmű, hogy ez a terület kétszer akkora lesz, mint az előző példa. Azonban végezzük el a számításokat: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Valóban, a feltevésünk helyesnek bizonyult. 4. példa Számítsa ki a szinusz és az Ox tengely által egy periódusban határolt területet (88. ábra). Az előzetes számítások szerint a terület négyszer nagyobb lesz, mint a 2. példában. Számítások elvégzése után azonban megkapjuk az „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ez az eredmény pontosítást igényel. A dolog lényegének tisztázására kiszámoljuk az azonos szinuszos y = sin l: és az Ox tengely által határolt területet is az l és 2i tartományban. Az (I) képlet alkalmazásával 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 kapjuk. Így azt látjuk, hogy ez a terület negatívnak bizonyult. Összehasonlítva a 3. feladatban kiszámított területtel, azt találjuk, hogy abszolút értékük megegyezik, de az előjelek eltérőek. Ha az V tulajdonságot alkalmazzuk (lásd XI. fejezet, 4. §), akkor 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ami ebben a példában történt, az nem véletlen. Mindig az Ox tengely alatti területet kapjuk, feltéve, hogy a független változó balról jobbra változik, ha integrálok segítségével számítjuk ki. Ezen a tanfolyamon mindig figyelembe vesszük a táblák nélküli területeket. Ezért az imént tárgyalt példában a válasz a következő lesz: a szükséges terület 2 + |-2| = 4. Példa 5. Számítsuk ki az ábrán látható BAB területét! 89. Ezt a területet az Ox tengely, az y = - xr parabola és az y - = -x+\ egyenes korlátozza. A görbe vonalú trapéz területe A szükséges OAB terület két részből áll: OAM és MAV. Mivel az A pont egy parabola és egy egyenes metszéspontja, a koordinátáit a 3 2 Y = mx egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. (csak meg kell találnunk az A pont abszcisszáját). A rendszert megoldva azt találjuk, hogy l; = ~. Ezért a területet részekben, első négyzetben kell kiszámítani. OAM, majd pl. MÁV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. A függvény által alkotott görbe vonalú trapéz QAM-^x területe f, egyenlő e függvény antideriváltjának növekményével:
1. Feladat:
Keresse meg egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet a függvény grafikonja határol: f(x) = x 2és egyenes y = 0, x = 1, x = 2.
Megoldás:( az algoritmus 3. dia szerint)
Rajzoljuk fel a függvény és a vonalak grafikonját
Keressük meg a függvény egyik antideriváltját f(x) = x 2 :
Önteszt a tárgylemezen
Integrál
Tekintsünk a függvény által meghatározott görbe vonalú trapézt f a szegmensen [ a; b]. Bontsuk ezt a szegmenst több részre. A teljes trapéz területe fel lesz osztva a kisebb ívelt trapézok területeinek összegére. ( 5. dia). Mindegyik ilyen trapéz megközelítőleg téglalapnak tekinthető. Ezen téglalapok területének összege hozzávetőleges képet ad az ívelt trapéz teljes területéről. Minél kisebbre osztjuk a szegmenst [ a; b], annál pontosabban számítjuk ki a területet.
Írjuk fel ezeket az argumentumokat képletek formájában.
ossza el a szegmenst [ a; b] n részre pontokkal x 0 =a, x1,...,xn = b. Hossz k- th által jelöljük xk = xk – xk-1. Csináljunk egy összeget
Geometriailag ez az összeg az ábrán árnyékolt alakzat területét jelenti ( sh.m.)
Az űrlap összegeit a függvény integrál összegeinek nevezzük f. (sh.m.)
Az integrál összegek a terület közelítő értékét adják meg. A pontos értéket a határértékhez való átlépéssel kapjuk meg. Képzeljük el, hogy finomítjuk a szegmens [ a; b] úgy, hogy az összes kis szakasz hossza nullára hajlik. Ekkor a megkomponált figura területe megközelíti az ívelt trapéz területét. Azt mondhatjuk, hogy egy ívelt trapéz területe egyenlő az integrálösszegek határával, Sc.t. (sh.m.) vagy integrál, azaz
Meghatározás:
Egy függvény integrálja f(x) tól től a előtt b integrálösszegek határának nevezzük
= (sh.m.)
Newton-Leibniz képlet.
Emlékezzünk arra, hogy az integrál összegek határa megegyezik egy görbe vonalú trapéz területével, ami azt jelenti, hogy felírhatjuk:
Sc.t. = (sh.m.)
Másrészt az ívelt trapéz területét a képlet segítségével számítják ki
S k.t. (sh.m.)
Ezeket a képleteket összehasonlítva a következőket kapjuk:
= (sh.m.)Ezt az egyenlőséget Newton-Leibniz képletnek nevezik.
A számítás megkönnyítése érdekében a képlet a következőképpen írható:
= = (sh.m.)Feladatok: (sh.m.)
1. Számítsa ki az integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével: ( ellenőrizze az 5. dián)
2. Komponálja meg az integrálokat a rajz szerint ( ellenőrizze a 6. dián)
3. Határozza meg az ábra azon területét, amelyet a következő vonalak határolnak: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( 7. dia)
A síkidomok területeinek megkeresése ( 8. dia)
Hogyan lehet megtalálni azoknak a figuráknak a területét, amelyek nem ívelt trapézok?
Legyen két függvény adott, amelyek grafikonjait a dián látod . (sh.m.) Keresse meg az árnyékolt ábra területét . (sh.m.). A kérdéses ábra egy ívelt trapéz? Hogyan találhatja meg a területét a terület additivitásának tulajdonságával? Vegyünk két ívelt trapézt, és vonjuk ki a másik területét az egyik területéből ( sh.m.)
Hozzunk létre egy algoritmust a terület megkereséséhez egy dián animáció segítségével:
- Grafikonfüggvények
- A grafikonok metszéspontjait vetítsük az x tengelyre
- Árnyékolja a grafikonok metszésénél kapott ábrát
- Keress görbe vonalú trapézokat, amelyek metszéspontja vagy egyesítése a megadott ábra.
- Számítsa ki mindegyik területét
- Keresse meg a területek különbségét vagy összegét
Szóbeli feladat: Hogyan szerezzük meg egy árnyékolt figura területét (animáció segítségével mondd el, 8. és 9. dia)
Házi feladat: Dolgozzuk át a jegyzeteket, No. 353 (a), No. 364 (a).
Bibliográfia
- Az algebra és az elemzés kezdetei: tankönyv az esti (műszakos) iskola 9-11. osztályának / szerk. G.D. Glaser. - M: Felvilágosodás, 1983.
- Bashmakov M.I. Az algebra és az elemzés kezdetei: tankönyv a középiskola 10-11 osztályának / Bashmakov M.I. - M: Felvilágosodás, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematika: tankönyv intézményi kezdéshez. és szerda prof. oktatás / M.I. Basmakov. - M: Akadémia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra és az elemzés kezdetei: tankönyv 10-11. oktatási intézmények / A.N. Kolmogorov. - M: Oktatás, 2010.
- Osztrovszkij S.L. Hogyan készítsünk előadást egy órán?/ S.L. Osztrovszkij. – M.: 2010. szeptember elseje.
Egy ívelt trapéz területe
Görbe vonalú trapéz egy ábra, amelyet a [ szakaszon megadott gráf határol a, b] folytonos és nem negatív függvény f(x), pontokba húzott ordináták aÉs b, és tengelyszegmens Ökör pontok között aÉs b(lásd 2. ábra).
Bizonyítsuk be a következő állítást.
Az ívelt trapéz négyzet alakú alak, terület P
Bizonyíték. Mivel folyamatos a szegmensen [ a, b] a függvény integrálható, akkor bármely pozitív számra ε megadhat egy ilyen partíciót T szegmens [ a, b], mi a különbség S - s < ε , Ahol SÉs s- a partíció felső és alsó összege, ill T. De SÉs s rendre egyenlők S dÉs S én, Ahol S dÉs S én- lépcsőzetes alakzatok (sokszögek) területei, amelyek közül az első egy görbe vonalú trapéz, a második egy görbe trapéz (a 2. ábrán is láthatók ezek a lépcsős ábrák). Mert S d - S én < ε , akkor az 1. Tétel értelmében a görbe vonalú trapéz négyzet alakú. Mivel a felső és alsó összegek Δ → 0 határa egyenlő s ≤ P ≤ S, majd a terület Pívelt trapéz az (1) képlet segítségével található.
Megjegyzés. Ha a funkció f(x) folyamatos és nem pozitív a [ szegmensen a, b], akkor az integrál értéke egyenlő a negatív előjellel vett görbe vonalú trapéz területével, amelyet a függvény grafikonja korlátoz f(x), pontokon elrendezik aÉs bés tengelyszegmens Ökör pontok között aÉs b. Ezért ha f(x) előjelet vált, akkor egyenlő a bizonyos előjellel vett tengely felett és alatt elhelyezkedő görbe vonalú trapézok területének összegével Ökör, és az előbbi területeit a +, az utóbbiét pedig a - jellel vesszük.
Egy ívelt szektor területe
Hagyja a görbét L a polárkoordináta-rendszerben az egyenlet adja meg r = r(θ ), α ≤ θ ≤ β (lásd a 3. ábrát), és a függvényt r(θ ) folyamatos és nem negatív a [ szegmensen α , β ]. Görbével határolt lapos alak Lés két, a poláris tengellyel szöget bezáró sugár α És β , hívjuk görbe vonalú szektor.
Bizonyítsuk be a következő állítást. A görbe vonalú szektor egy négyzet alakú ábra, terület P amely a képlet segítségével számítható ki
Bizonyíték. Vegye figyelembe a partíciót T szegmens [ α , β ] pontok α = θ 0 < θ 1 < ... < θ n = β és minden részszakaszra [ θ én -1 , θ én] olyan körszektorokat szerkesztünk, amelyek sugara megegyezik a minimummal r énés maximum R énértékeket r(θ ) a szegmensen [ θ én -1 , θ én]. Ennek eredményeként két legyező alakú figurát kapunk, amelyek közül az első a görbe vonalú szektorban, a második pedig a görbe vonalú szektorban található (ezek a legyező alakú ábrák a 3. ábrán láthatók). A jelzett legyező alakú ábrák területe és területe egyenlő, ill. Vegye figyelembe, hogy ezen összegek közül az első az alsó összeg s egy adott partíció függvényéhez T szegmens [ α , β ], a második összeg pedig a felső összeg S ugyanarra a funkcióra és ugyanarra a partícióra. Mivel a függvény integrálható a [ szegmensbe α , β ], akkor a különbség tetszőleges lehet. Például bármilyen fixhez ε > 0 ez a különbség csökkenthető ε /2. Írjunk most egy sokszöget a belső legyező alakú ábrába K én területtel S én, amelyre , és egy sokszöget írunk le a külső legyező alakú ábra körül K d terület S d, amelyekre * . Nyilvánvaló, hogy ezen sokszögek közül az első egy görbe vonalú szektorba van írva, a második pedig körül van írva. Mivel az egyenlőtlenségek érvényesek