Fungsi distribusi diskrit. Fungsi distribusi variabel acak
Menemukan:
a) parameter A ;
b) fungsi distribusi F(x) ;
c) probabilitas memukul variabel acak X dalam interval ;
d) ekspektasi matematis MX dan varians DX .
Gambarkan fungsi f(x) dan F(x) .
Tugas 2. Temukan varians dari variabel acak X yang diberikan oleh fungsi integral.
Tugas 3. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X yang diberikan fungsi distribusi.
Tugas 4. Kepadatan probabilitas beberapa variabel acak diberikan sebagai berikut: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Temukan koefisien A , fungsi distribusi F(x) , ekspektasi matematis dan varians, serta probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai dalam interval . Plot grafik f(x) dan F(x).
Sebuah tugas. Fungsi distribusi dari beberapa variabel acak kontinu diberikan sebagai berikut:
Tentukan parameter a dan b , temukan ekspresi untuk kerapatan probabilitas f(x) , ekspektasi matematis dan varians, serta probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai dalam interval . Plot grafik f(x) dan F(x).
Mari kita cari fungsi densitas distribusi sebagai turunan dari fungsi distribusi.
F′=f(x)=a
Mengetahui bahwa kita akan menemukan parameter a:
atau 3a=1, dimana a = 1/3
Kami menemukan parameter b dari properti berikut:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 dari mana b = -1/3
Oleh karena itu, fungsi distribusinya adalah: F(x) = (x-1)/3
Penyebaran.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Temukan probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai dalam interval
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Contoh 1. Kepadatan distribusi probabilitas f(x) dari variabel acak kontinu X diberikan. Yg dibutuhkan:
- Tentukan koefisien A .
- tentukan fungsi distribusi F(x) .
- secara skematis plot F(x) dan f(x) .
- tentukan ekspektasi matematis dan varians dari X .
- temukan probabilitas bahwa X mengambil nilai dari interval (2;3).
Larutan:
Variabel acak X diberikan oleh densitas distribusi f(x):
Temukan parameter A dari kondisi:
atau
14/3*A-1=0
Di mana,
A = 3 / 14
Fungsi distribusi dapat ditemukan dengan rumus.
Untuk menemukan fungsi distribusi variabel acak dan variabelnya, perlu mempelajari semua fitur bidang pengetahuan ini. Ada beberapa metode berbeda untuk menemukan nilai yang dimaksud, termasuk mengubah variabel dan menghasilkan momen. Distribusi adalah konsep yang didasarkan pada elemen-elemen seperti dispersi, variasi. Namun, mereka hanya mencirikan tingkat jangkauan hamburan.
Fungsi yang lebih penting dari variabel acak adalah yang terkait dan independen, dan didistribusikan secara merata. Misalnya, jika X1 adalah bobot individu yang dipilih secara acak dari populasi laki-laki, X2 adalah bobot orang lain, ..., dan Xn adalah bobot orang lain dari populasi laki-laki, maka kita perlu mengetahui bagaimana fungsi acak X terdistribusi. Dalam hal ini berlaku teorema klasik yang disebut teorema limit pusat. Hal ini memungkinkan kita untuk menunjukkan bahwa untuk n besar fungsi mengikuti distribusi standar.
Fungsi dari satu variabel acak
Teorema limit pusat dirancang untuk mendekati nilai-nilai diskrit yang bersangkutan, seperti binomial dan Poisson. Fungsi distribusi variabel acak dipertimbangkan, pertama-tama, pada nilai sederhana dari satu variabel. Misalnya, jika X adalah variabel acak kontinu yang memiliki distribusi probabilitasnya sendiri. Dalam hal ini, kami mengeksplorasi bagaimana mencari fungsi kepadatan Y menggunakan dua pendekatan yang berbeda, yaitu metode fungsi distribusi dan perubahan variabel. Pertama, hanya nilai satu-ke-satu yang dipertimbangkan. Maka Anda perlu memodifikasi teknik mengubah variabel untuk menemukan probabilitasnya. Akhirnya, kita perlu mempelajari bagaimana distribusi kumulatif dapat membantu memodelkan bilangan acak yang mengikuti pola berurutan tertentu.
Metode distribusi nilai yang dipertimbangkan
Metode fungsi distribusi probabilitas dari variabel acak dapat diterapkan untuk menemukan kerapatannya. Saat menggunakan metode ini, nilai kumulatif dihitung. Kemudian, dengan membedakannya, Anda bisa mendapatkan kepadatan probabilitas. Sekarang kita memiliki metode fungsi distribusi, kita dapat melihat beberapa contoh lagi. Biarkan X menjadi variabel acak kontinu dengan kerapatan probabilitas tertentu.
Berapakah fungsi kerapatan peluang dari x2? Jika Anda melihat atau membuat grafik fungsi (atas dan kanan) y \u003d x2, Anda dapat mencatat bahwa itu adalah peningkatan X dan 0 Dalam contoh terakhir, perhatian besar digunakan untuk mengindeks fungsi kumulatif dan kepadatan probabilitas dengan X atau Y untuk menunjukkan variabel acak mana yang mereka miliki. Misalnya, ketika mencari fungsi distribusi kumulatif Y, kita mendapatkan X. Jika Anda perlu mencari variabel acak X dan kerapatannya, Anda hanya perlu membedakannya. Misalkan X adalah variabel acak kontinu yang diberikan oleh fungsi distribusi dengan penyebut yang sama f(x). Dalam hal ini, jika Anda memasukkan nilai y ke dalam X = v (Y), maka Anda mendapatkan nilai x, misalnya v (y). Sekarang, kita perlu mendapatkan fungsi distribusi dari variabel acak kontinu Y. Dimana persamaan pertama dan kedua terjadi dari definisi kumulatif Y. Persamaan ketiga berlaku karena bagian dari fungsi yang u (X) y adalah juga benar bahwa X v (Y ). Dan yang terakhir dilakukan untuk menentukan probabilitas dalam variabel acak kontinu X. Sekarang kita perlu mengambil turunan dari FY (y), fungsi distribusi kumulatif Y, untuk mendapatkan kerapatan probabilitas Y. Biarkan X menjadi variabel acak kontinu dengan f(x) umum yang didefinisikan di atas c1 Untuk mengatasi masalah ini, data kuantitatif dapat dikumpulkan dan fungsi distribusi kumulatif empiris dapat digunakan. Dengan informasi ini dan menariknya, Anda perlu menggabungkan sampel sarana, standar deviasi, data media, dan sebagainya. Demikian pula, bahkan model probabilistik yang cukup sederhana dapat memiliki banyak hasil. Misalnya, jika Anda melempar koin 332 kali. Kemudian jumlah hasil yang diperoleh dari membalik lebih besar dari google (10100) - angka, tetapi tidak kurang dari 100 triliun kali lebih tinggi dari partikel dasar di alam semesta yang dikenal. Tidak tertarik pada analisis yang memberikan jawaban untuk setiap kemungkinan hasil. Konsep yang lebih sederhana akan dibutuhkan, seperti jumlah kepala, atau guratan ekor terpanjang. Untuk fokus pada isu-isu yang menarik, hasil tertentu diterima. Definisi dalam hal ini adalah sebagai berikut: variabel acak adalah fungsi nyata dengan ruang probabilitas. Rentang S dari variabel acak kadang-kadang disebut ruang keadaan. Jadi, jika X adalah nilai yang dimaksud, maka N = X2, exp X, X2 + 1, tan2 X, bXc, dan seterusnya. Yang terakhir, membulatkan X ke bilangan bulat terdekat, disebut fungsi lantai. Setelah fungsi distribusi yang diinginkan untuk variabel acak x ditentukan, pertanyaannya biasanya menjadi: "Berapa peluang X jatuh ke dalam beberapa himpunan bagian dari nilai-nilai B?". Misalnya, B = (angka ganjil), B = (lebih besar dari 1), atau B = (antara 2 dan 7) untuk menunjukkan hasil yang memiliki X, nilai variabel acak, dalam himpunan bagian A. Jadi di atas contoh, Anda dapat menggambarkan peristiwa sebagai berikut. (X bilangan ganjil), (X lebih besar dari 1) = (X > 1), (X antara 2 dan 7) = (2 Dengan demikian, dimungkinkan untuk menghitung probabilitas bahwa fungsi distribusi dari variabel acak x akan mengambil nilai dalam interval dengan mengurangkan. Pertimbangan perlu diberikan untuk memasukkan atau mengecualikan titik akhir. Kami akan memanggil variabel acak diskrit jika memiliki ruang keadaan terbatas atau tak terbatas. Jadi, X adalah jumlah kepala pada tiga pelemparan bebas dari sebuah koin bias yang naik dengan probabilitas p. Kita perlu menemukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskrit FX untuk X. Misalkan X adalah jumlah puncak dalam kumpulan tiga kartu. Kemudian Y = X3 melalui FX. FX dimulai pada 0, berakhir pada 1, dan tidak berkurang saat nilai x meningkat. Fungsi distribusi FX kumulatif dari variabel acak diskrit X adalah konstan, kecuali untuk lompatan. Saat melompat, FX terus menerus. Dimungkinkan untuk membuktikan pernyataan tentang kontinuitas yang benar dari fungsi distribusi dari properti probabilitas menggunakan definisi. Kedengarannya seperti ini: variabel acak konstan memiliki FX kumulatif yang dapat dibedakan. Untuk menunjukkan bagaimana ini bisa terjadi, kita dapat memberikan contoh: target dengan radius satuan. Agaknya. anak panah didistribusikan secara merata di atas area yang ditentukan. Untuk beberapa > 0. Dengan demikian, fungsi distribusi variabel acak kontinu meningkat dengan lancar. FX memiliki sifat-sifat fungsi distribusi. Seorang pria menunggu di halte bus sampai bus tiba. Setelah memutuskan sendiri bahwa dia akan menolak ketika menunggu mencapai 20 menit. Di sini perlu dicari fungsi distribusi kumulatif untuk T. Waktu ketika seseorang masih berada di terminal bus atau tidak akan berangkat. Terlepas dari kenyataan bahwa fungsi distribusi kumulatif didefinisikan untuk setiap variabel acak. Meskipun demikian, karakteristik lain akan sering digunakan: massa untuk variabel diskrit dan fungsi densitas distribusi dari variabel acak. Biasanya nilai dikeluarkan melalui salah satu dari dua nilai ini. Nilai-nilai ini dipertimbangkan oleh sifat-sifat berikut, yang bersifat umum (massa). Yang pertama didasarkan pada fakta bahwa probabilitasnya tidak negatif. Yang kedua mengikuti dari pengamatan bahwa himpunan untuk semua x=2S, ruang keadaan untuk X, membentuk partisi dari kebebasan probabilistik X. Contoh: melempar koin bias yang hasilnya independen. Anda dapat terus melakukan tindakan tertentu sampai Anda mendapatkan lemparan kepala. Biarkan X menunjukkan variabel acak yang memberikan jumlah ekor di depan kepala pertama. Dan p menunjukkan probabilitas dalam setiap tindakan yang diberikan. Jadi, fungsi probabilitas massa memiliki fitur karakteristik berikut. Karena suku-suku tersebut membentuk barisan numerik, X disebut variabel acak geometrik. Skema geometri c, cr, cr2,. , crn memiliki jumlah. Dan, oleh karena itu, sn memiliki limit sebagai n 1. Dalam hal ini, jumlah tak hingga adalah limitnya. Fungsi massa di atas membentuk barisan geometri dengan rasio. Jadi, bilangan asli a dan b. Selisih nilai pada fungsi distribusi sama dengan nilai fungsi massa. Nilai kerapatan yang dipertimbangkan memiliki definisi sebagai berikut: X adalah variabel acak yang distribusinya FX memiliki turunan. FX yang memenuhi Z xFX (x) = fX (t) dt-1 disebut fungsi densitas probabilitas. Dan X disebut variabel acak kontinu. Dalam teorema dasar kalkulus, fungsi kerapatan adalah turunan dari distribusi. Anda dapat menghitung probabilitas dengan menghitung integral tertentu. Karena data dikumpulkan dari beberapa pengamatan, lebih dari satu variabel acak pada satu waktu harus dipertimbangkan untuk memodelkan prosedur eksperimental. Oleh karena itu, himpunan nilai-nilai ini dan distribusi gabungannya untuk dua variabel X1 dan X2 berarti melihat peristiwa. Untuk variabel acak diskrit, fungsi massa probabilistik gabungan didefinisikan. Untuk yang kontinu, fX1, X2 dipertimbangkan, di mana kepadatan probabilitas gabungan terpenuhi. Dua variabel acak X1 dan X2 adalah independen jika ada dua kejadian yang terkait dengannya adalah sama. Dengan kata lain, peluang dua kejadian (X1 2 B1) dan (X2 2 B2) terjadi pada saat yang sama, y, sama dengan hasil kali variabel-variabel di atas, yang masing-masing terjadi secara individual. Untuk variabel acak diskrit independen, ada fungsi massa probabilistik gabungan, yang merupakan produk dari volume ion yang membatasi. Untuk variabel acak kontinu yang independen, fungsi kepadatan probabilitas gabungan adalah produk dari nilai kepadatan marjinal. Akhirnya, n pengamatan independen x1, x2, dipertimbangkan. , xn yang timbul dari massa jenis atau fungsi massa yang tidak diketahui f. Misalnya, parameter yang tidak diketahui dalam fungsi untuk variabel acak eksponensial yang menggambarkan waktu tunggu bus. Tujuan utama dari bidang teoretis ini adalah untuk menyediakan alat yang dibutuhkan untuk mengembangkan prosedur inferensial berdasarkan prinsip-prinsip ilmu statistik. Jadi, satu kasus penggunaan yang sangat penting untuk perangkat lunak adalah kemampuan untuk menghasilkan data semu untuk meniru informasi aktual. Hal ini memungkinkan untuk menguji dan meningkatkan metode analisis sebelum harus menggunakannya dalam database nyata. Ini diperlukan untuk mengeksplorasi properti data melalui pemodelan. Untuk banyak keluarga variabel acak yang umum digunakan, R menyediakan perintah untuk menghasilkannya. Untuk keadaan lain, metode untuk memodelkan urutan variabel acak independen yang memiliki distribusi umum akan diperlukan. Variabel Acak Diskrit dan Perintah Sampel. Perintah sampel digunakan untuk membuat sampel acak sederhana dan bertingkat. Akibatnya, jika urutan x dimasukkan, sampel (x, 40) memilih 40 catatan dari x sedemikian rupa sehingga semua pilihan ukuran 40 memiliki probabilitas yang sama. Ini menggunakan perintah R default untuk mengambil tanpa penggantian. Dapat juga digunakan untuk memodelkan variabel acak diskrit. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyediakan ruang keadaan dalam vektor x dan fungsi massa f. Panggilan untuk mengganti = TRUE menunjukkan bahwa pengambilan sampel terjadi dengan penggantian. Kemudian, untuk memberikan sampel n variabel acak independen yang memiliki fungsi massa yang sama f, sampel (x, n, replace = TRUE, prob = f) digunakan. Ditentukan bahwa 1 adalah nilai terkecil yang diwakili, dan 4 adalah yang terbesar dari semuanya. Jika perintah prob = f dihilangkan, maka sampel akan mengambil sampel secara seragam dari nilai-nilai dalam vektor x. Anda dapat memeriksa simulasi terhadap fungsi massa yang menghasilkan data dengan melihat tanda sama dengan ganda, ==. Dan menghitung ulang pengamatan yang mengambil setiap nilai yang mungkin untuk x. Anda bisa membuat tabel. Ulangi ini untuk 1000 dan bandingkan simulasi dengan fungsi massa yang sesuai. Pertama, simulasikan fungsi distribusi homogen dari variabel acak u1, u2,. , un pada interval . Sekitar 10% dari angka harus berada di dalam . Ini sesuai dengan simulasi 10% pada interval untuk variabel acak dengan fungsi distribusi FX yang ditampilkan. Demikian pula, sekitar 10% dari angka acak harus berada dalam interval . Ini sesuai dengan simulasi 10% pada interval variabel acak dengan fungsi distribusi FX. Nilai-nilai pada sumbu x ini dapat diperoleh dengan mengambil kebalikan dari FX. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan kerapatan fX positif di mana-mana dalam domainnya, maka fungsi distribusi meningkat secara ketat. Dalam hal ini, FX memiliki fungsi invers FX-1 yang dikenal sebagai fungsi kuantil. FX (x) u hanya jika x FX-1 (u). Transformasi probabilitas mengikuti dari analisis variabel acak U = FX(X). FX memiliki range 0 sampai 1. Tidak dapat mengambil nilai di bawah 0 atau di atas 1. Untuk nilai u antara 0 dan 1. Jika U dapat dimodelkan, maka perlu dilakukan simulasi variabel acak dengan distribusi FX melalui fungsi kuantil. Ambil turunannya untuk melihat bahwa kerapatan u bervariasi dalam 1. Karena variabel acak U memiliki kerapatan konstan selama interval nilai yang mungkin, variabel ini disebut seragam pada interval. Itu dimodelkan dalam R dengan perintah runif. Identitas tersebut disebut transformasi probabilistik. Anda dapat melihat cara kerjanya dalam contoh papan dart. X antara 0 dan 1, fungsi distribusi u = FX(x) = x2, dan karenanya fungsi kuantil x = FX-1(u). Dimungkinkan untuk memodelkan pengamatan independen dari jarak dari pusat panel panah, sambil menghasilkan variabel acak seragam U1, U2,. , Un. Fungsi distribusi dan fungsi empiris didasarkan pada 100 simulasi distribusi papan dart. Untuk variabel acak eksponensial, mungkin u = FX (x) = 1 - exp (- x), dan karenanya x = - 1 ln (1 - u). Terkadang logika terdiri dari pernyataan yang setara. Dalam hal ini, Anda perlu menggabungkan dua bagian argumen. Identitas persimpangan serupa untuk semua 2 (S i i) S, bukan beberapa nilai. Serikat Ci sama dengan ruang keadaan S dan setiap pasangan saling eksklusif. Sejak Bi - dibagi menjadi tiga aksioma. Setiap pemeriksaan didasarkan pada probabilitas yang sesuai P. Untuk setiap subset. Menggunakan identitas untuk memastikan jawabannya tidak bergantung pada apakah titik akhir interval disertakan. Untuk setiap hasil di semua peristiwa, properti kedua dari kontinuitas probabilitas akhirnya digunakan, yang dianggap aksiomatik. Hukum distribusi fungsi variabel acak di sini menunjukkan bahwa masing-masing memiliki solusi dan jawabannya sendiri. Hasil dari setiap percobaan acak dapat dicirikan secara kualitatif dan kuantitatif. Kualitatif hasil percobaan acak - acak
peristiwa. Setiap karakteristik kuantitatif, yang sebagai hasil dari eksperimen acak dapat mengambil salah satu dari sekumpulan nilai tertentu, - nilai acak. Nilai acak
adalah salah satu konsep sentral dari teori probabilitas. Membiarkan menjadi ruang probabilitas sewenang-wenang. Variabel acak adalah fungsi numerik nyata x \u003d x (w), w W , sehingga untuk setiap real x . Peristiwa
biasanya ditulis sebagai x< x. Berikut ini, variabel acak akan dilambangkan dengan huruf kecil Yunani huruf x, h, z, …
Variabel acak adalah jumlah poin yang jatuh saat melempar dadu, atau tinggi badan seorang siswa yang dipilih secara acak dari kelompok belajar. Dalam kasus pertama, kita berurusan dengan diskrit variabel acak(dibutuhkan nilai dari set angka diskrit M =(1, 2, 3, 4, 5, 6); dalam kasus kedua, dengan kontinu variabel acak(dibutuhkan nilai dari kumpulan angka kontinu - dari interval garis angka Saya=). Setiap variabel acak sepenuhnya ditentukan oleh fungsi distribusi. Jika x adalah variabel acak, maka fungsi F(x) = Fx(x)
= P(x< x) disebut fungsi distribusi variabel acak x . Di Sini P(x<x) - probabilitas bahwa variabel acak x mengambil nilai lebih kecil dari x. Penting untuk dipahami bahwa fungsi distribusi adalah "paspor" dari variabel acak: ini berisi semua informasi tentang variabel acak dan karenanya studi tentang variabel acak terdiri dari studi tentang fungsi distribusi, sering disebut dengan sederhana distribusi. Fungsi distribusi dari setiap variabel acak memiliki sifat-sifat berikut: Jika x adalah variabel acak diskrit yang mengambil nilai x 1
<x 2 < … <x saya < … с
вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида ditelepon distribusi variabel acak diskrit. Fungsi distribusi dari variabel acak dengan distribusi seperti itu memiliki bentuk Sebuah variabel acak diskrit memiliki fungsi distribusi bertahap. Misalnya, untuk sejumlah titik acak yang jatuh dalam satu pelemparan dadu, grafik distribusi, fungsi distribusi, dan fungsi distribusi terlihat seperti: Jika fungsi distribusi Fx(x) kontinu, maka variabel acak x disebut variabel acak kontinu. Jika fungsi distribusi dari variabel acak kontinu dapat dibedakan, maka representasi yang lebih visual dari variabel acak memberikan kepadatan probabilitas variabel acak p x(x),
yang berhubungan dengan fungsi distribusi Fx(x) rumus dan . Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap variabel acak . Saat memecahkan masalah praktis, seringkali perlu untuk menemukan nilainya x, di mana fungsi distribusi Fx(x) variabel acak x mengambil nilai yang diberikan p, yaitu kamu harus menyelesaikan persamaan Fx(x) = p. Solusi untuk persamaan seperti itu (nilai yang sesuai x) dalam teori probabilitas disebut kuantil. Kuantil x p ( p-kuantil, kuantil tingkat p) variabel acak yang memiliki fungsi distribusi Fx(x), disebut solusi xp persamaan Fx(x) = p,
p(0, 1). Untuk beberapa p persamaan Fx(x) = p mungkin memiliki beberapa solusi, untuk beberapa - tidak ada. Ini berarti bahwa untuk variabel acak yang sesuai, beberapa kuantil tidak didefinisikan secara unik, dan beberapa kuantil tidak ada. Fungsi distribusi variabel acak X adalah fungsi F(x), menyatakan untuk setiap x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai, lebih kecil x
Contoh 2.5. Diberikan serangkaian distribusi variabel acak Temukan dan gambarkan secara grafis fungsi distribusinya. Larutan. Menurut definisi F(jc) = 0 untuk X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 pada 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pada X > 5. Jadi (lihat Gambar 2.1): Properti fungsi distribusi: 1. Fungsi distribusi dari variabel acak adalah fungsi non-negatif yang diapit antara nol dan satu: 2. Fungsi distribusi variabel acak adalah fungsi tak turun pada seluruh sumbu bilangan, yaitu pada X 2
>x 3. Pada minus tak terhingga, fungsi distribusi sama dengan nol, pada plus tak terhingga, sama dengan satu, yaitu. 4. Probabilitas memukul variabel acak X dalam interval sama dengan integral tertentu dari kerapatan peluangnya mulai dari sebuah sebelum b(lihat Gambar 2.2), yaitu Beras. 2.2 3. Fungsi distribusi variabel acak kontinu (lihat Gambar 2.3) dapat dinyatakan dalam kerapatan probabilitas menggunakan rumus: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Integral tak wajar dalam batas tak hingga dari kerapatan probabilitas variabel acak kontinu sama dengan satu: Sifat geometris / dan 4
kepadatan probabilitas berarti plotnya adalah kurva distribusi - terletak tidak di bawah sumbu x, dan luas total gambar, kurva distribusi terbatas dan sumbu x, adalah sama dengan satu. Untuk variabel acak kontinu X nilai yang diharapkan M(X) dan varians D(X) ditentukan dengan rumus: (jika integral konvergen mutlak); atau (jika integral tereduksi konvergen). Seiring dengan karakteristik numerik yang disebutkan di atas, konsep kuantil dan poin persentase digunakan untuk menggambarkan variabel acak. kuantil tingkat q(atau q-quantile) adalah nilai seperti itux qvariabel acak, di mana fungsi distribusinya mengambil nilai, sama dengan q, yaitu Menurut contoh 2.6 temukan kuantil xqj dan 30% titik variabel acak x.
Larutan. Menurut definisi (2,16) F(xo t3)= 0,3, mis. ~Y~ = 0,3, dari mana kuantil x 0 3 = 0,6. 30% titik variabel acak X, atau kuantil )_о,з = xojo» ditemukan dengan cara yang sama dari persamaan ^ = 0,7. dari mana *,= 1.4. ? Di antara karakteristik numerik dari variabel acak, ada: awal v* dan pusat R* momen orde ke-k, ditentukan untuk variabel acak diskrit dan kontinu dengan rumus: Fungsi distribusi peluang dan sifat-sifatnya. Fungsi distribusi probabilitas F(x) dari variabel acak X pada titik x adalah probabilitas bahwa, sebagai hasil dari percobaan, variabel acak akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x)=P(X< х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Memang, menurut definisi, F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, karena, menurut definisi, F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai dari interval [Α ] sama dengan kenaikan fungsi distribusi probabilitas pada interval ini. P(Α X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), jika x 2, > x 1, mis. fungsi distribusi probabilitas adalah fungsi tak menurun. 5. Fungsi distribusi probabilitas kontinu di sebelah kiri. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) untuk x→ x o Perbedaan antara fungsi distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit dan kontinu diilustrasikan dengan baik oleh grafik. Misalkan, sebuah variabel acak diskrit memiliki n nilai yang mungkin, probabilitasnya adalah P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Jika x x 1, maka F(X)=0, karena tidak ada nilai yang mungkin dari variabel acak di sebelah kiri x. Jika x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Jadi, F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Ketika x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Pertimbangkan probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval , x>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Jika F(x) memiliki diskontinuitas di titik x, maka peluang P(X=x) akan sama dengan lompatan fungsi di titik tersebut. Dengan demikian, probabilitas kemunculan nilai yang mungkin untuk kuantitas kontinu adalah nol. Ekspresi P(X=x)=0 harus dipahami sebagai batas probabilitas bahwa variabel acak akan jatuh ke lingkungan yang sangat kecil dari titik x untuk P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Untuk variabel diskrit, probabilitas ini tidak sama dalam kasus ketika batas interval dan (atau) bertepatan dengan nilai yang mungkin dari variabel acak. Untuk variabel acak diskrit, jenis pertidaksamaan harus benar-benar diperhitungkan dalam rumus P(Α X<Β}=F(Β)-F(Α).Teknik Mengubah Variabel
Generalisasi untuk fungsi reduksi
Fungsi distribusi
Variabel acak dan fungsi distribusi
Fungsi Massal
Variabel acak independen
Simulasi variabel acak
Mengilustrasikan Transformasi Probabilitas
Fungsi eksponensial dan variabelnya
x 1
x 2
…
x saya
…
p 1
p 2
…
pi
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Pertimbangkan sifat-sifat fungsi F(x).
- Mengapa bermimpi geranium mekar
- Bagaimana memahami apakah akan menceraikan suami atau tidak - Saran Psikolog Istilah untuk mengajukan banding atas keputusan pihak yang berbeda pendapat
- Mengapa bermimpi buang air besar menurut buku mimpi Interpretasi menurut buku mimpi Maya
- Synastry - Matahari Jupiter