സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പുകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും. സൈക്ലിക് ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നമായി പരിമിതമായ അബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ വിഘടനം
പരിമിത ഗ്രൂപ്പുകൾ
ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ (സെമിഗ്രൂപ്പ്) വിളിക്കുന്നു ആത്യന്തികമായ, അത് പരിമിതമായ എണ്ണം മൂലകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ. ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ വിളിക്കുന്നു ക്രമത്തിൽ. ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഏത് ഉപഗ്രൂപ്പും പരിമിതമാണ്. എങ്കിൽ എൻÍ ജി- ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജി, പിന്നെ ഏത് മൂലകത്തിനും എÎ ജിപലതും എൻ എ={എക്സ്: x=എച്ച്◦എ, ഏതിനും എച്ച്Î എച്ച്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഇടത് കോസെറ്റ്വേണ്ടി ജിതാരതമ്യേന എൻ. ഉള്ള മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം വ്യക്തമാണ് എൻ എക്രമത്തിന് തുല്യമാണ് എൻ. (നിർവചനം സമാനമായി രൂപപ്പെടുത്താം ഒരു എൻ- സംബന്ധിച്ച് ശരിയായ കോസെറ്റ് എൻ).
ഏത് ഉപഗ്രൂപ്പിനും എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം എൻഗ്രൂപ്പുകൾ ജിഇതനുസരിച്ച് ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഇടത് (വലത്) കോസെറ്റുകൾ എൻഒന്നുകിൽ ഒത്തുചേരുകയോ വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യരുത്, അതിനാൽ ഏത് ഗ്രൂപ്പിനെയും ഇടത് (വലത്) സംയോജിത സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം എൻ.
തീർച്ചയായും, രണ്ട് ക്ലാസുകളാണെങ്കിൽ എൻ എഒപ്പം Hb, എവിടെ എ, ബിÎ ജി, ഒരു പൊതു ഘടകം ഉണ്ട് എക്സ്, പിന്നെ ഉണ്ട് ടിÎ എച്ച്അത്തരം x = ടി◦എ. പിന്നെ ഇടത് ക്ലാസ് ആണ് എക്സ്: N x={വൈ: വൈ=എച്ച്◦x= എച്ച്◦(ടി◦എ) = (എച്ച്◦ടി)◦എ} Í എച്ച് എ, പക്ഷേ എ=ടി ‑1 ◦xഒപ്പം എൻ എ={വൈ: വൈ=എച്ച്◦എ= എച്ച്◦(ടി ‑1 ◦x) = (എച്ച്◦ടി ‑1)◦x} Í Hx. ഇവിടെ നിന്ന് N x=എൻ എ. അതുപോലെ, അത് കാണിക്കാം N x=എൻ ബി. അതുകൊണ്ട് എൻ എ=എൻ ബി. ക്ലാസുകളാണെങ്കിൽ എൻ എഒപ്പം Hbഇല്ല പൊതു ഘടകങ്ങൾ, അപ്പോൾ അവ വിഭജിക്കുന്നില്ല.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ ഇടത് (വലത്) കോസെറ്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു എച്ച് ഉപഗ്രൂപ്പിലേക്ക് ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ വിഘടനം.
സിദ്ധാന്തം 2.6.1. ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമം അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ ക്രമം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.
തെളിവ്. കാരണം ജിഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പാണ്, പിന്നെ അതിലെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പുകളും എൻപരിമിതമായ ക്രമമുണ്ട്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക എൻ. ഈ വിഘടനത്തിലെ ഓരോ കോസെറ്റിലും മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം ക്രമത്തിന് തുല്യവും തുല്യവുമാണ് എൻ. അതിനാൽ, എങ്കിൽ എൻ- ഗ്രൂപ്പ് ഓർഡർ ജി, എ കെ- ഉപഗ്രൂപ്പ് ക്രമം എൻ, അത് എൻ=എം× കെ, എവിടെ എം- അനുസരിച്ച് കോസെറ്റുകളുടെ എണ്ണം എൻഗ്രൂപ്പ് വിഘടനത്തിൽ ജി.
ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിനാണെങ്കിൽ എÎ ജി Þ എൻ എ=ഒരു എൻ(ഉപഗ്രൂപ്പ് പ്രകാരം ഇടത് വലത് കോസെറ്റുകൾ എൻഒത്തുചേരുന്നു), തുടർന്ന് എൻവിളിച്ചു സാധാരണ വിഭജനംഗ്രൂപ്പുകൾ ജി.
പ്രസ്താവന: എങ്കിൽ ജിഒരു കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ഗ്രൂപ്പാണ്, പിന്നെ അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പ് എൻഒരു സാധാരണ വിഭജനമാണ് ജി.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ (സെമിഗ്രൂപ്പ്) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ സ്വഭാവം കാരണം, നമുക്ക് മൂന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ "ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ച്" സംസാരിക്കാം ( എ◦ബി◦സി) =(എ◦ബി)◦സി = എ◦(ബി◦സി). അതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആശയം എൻഘടകങ്ങൾ: എ 1 ◦എ 2 ◦…◦കൂടാതെ എൻ = ◦ കൂടാതെ എൻ = = ◦.
ജോലി എൻഒരു ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ സമാന ഘടകങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു മൂലക ബിരുദംനിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ഒരു എൻ=. ഈ നിർവചനം ഏതൊരു പ്രകൃതിക്കും അർത്ഥമാക്കുന്നു എൻ. ഏതെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പ് ഘടകത്തിന് എÎ ജിസൂചിപ്പിക്കുക എ 0 =ഇ- ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ നിഷ്പക്ഷ ഘടകം ജി. ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് ശക്തികളും എ ‑ എൻനിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് ( എ ‑1)എൻഅല്ലെങ്കിൽ ( ഒരു എൻ) -1, എവിടെ എ‑1 - വിപരീത ഘടകം എ. രണ്ട് നിർവചനങ്ങളും എ ‑ എൻയോജിക്കുന്നു, കാരണം ഒരു എൻ◦(എ ‑1)എൻ = (എ◦എ◦ ¼◦ എ)◦(എ ‑1 ◦എ‑1◦ ¼◦ എ ‑1) = എ◦എ◦¼◦( എ◦എ ‑1)◦എ‑1 ◦¼◦ എ ‑1 =ഇ എൻ =ഇ. അങ്ങനെ, ( എ ‑1)എൻ = (ഒരു എൻ) ‑1 .
ഒരു അഡിറ്റീവ് ഗ്രൂപ്പിൽ, ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രിയുടെ അനലോഗ് ആണ് ഒരു എൻചെയ്യും എൻഅതിൻ്റെ ഒന്നിലധികം, സാധാരണയായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു നാ, ഒരു കൃതിയായി എടുക്കാൻ പാടില്ലാത്തത് എൻഓൺ എ, കാരണം എൻÎℕ ഒരുപക്ഷേ എൻÏ ജി. അത്. നാ⇋, എവിടെ എൻഒℕ, കൂടാതെ 0 എ=ഇ⇋0, കൂടാതെ (‑ എൻ)എ = ‑(നാ) = എൻ(‑എ) ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക് എൻ, എവിടെ (- എ) - വിപരീതം എÎ ജി.
ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായി തിരഞ്ഞെടുത്ത നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അത് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് എംഒപ്പം എൻആർക്കും എÎ ജിനടത്തിവരുന്നു അറിയപ്പെടുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ: എ) ഗുണിത നൊട്ടേഷനിൽ ഒരു എൻ ◦ഒരു എം = a n + mഒപ്പം ( ഒരു എൻ)എം = ഒരു nm; ബി) സങ്കലന നൊട്ടേഷനിൽ നാ+മാ = (എൻ+എം)എഒപ്പം എൻ(മാ)=(nm)എ.
ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഒരു ഉപവിഭാഗം പരിഗണിക്കുക ജി, ഒരു ഏകപക്ഷീയ ഘടകത്തിൻ്റെ എല്ലാ ശക്തികളും ചേർന്നതാണ് ജിÎ ജി. നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കാം ഒരു ജി. അങ്ങനെ, ഒരു ജി ={ജി 0 , ജി 1 , ജി ‑1 , ജി 2 , ജി‑2,¼). വ്യക്തമായും, ഒരു ജിഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ് ജി, കാരണം ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾക്ക് എക്സ്,ചെയ്തത്Î ഒരു ജിഅത് പിന്തുടരുന്നു ( എക്സ്◦ചെയ്തത്)Î ഒരു ജി, കൂടാതെ ഏത് മൂലകത്തിനും എക്സ്Î ഒരു ജിഉണ്ടായിരിക്കും എക്സ്‑1 ഒ ഒരു ജി, കൂടാതെ, ജി 0 =ഇÎ ഒരു ജി.
ഉപഗ്രൂപ്പ് ഒരു ജിവിളിച്ചു ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പ്ഗ്രൂപ്പുകൾ ജി, മൂലകം സൃഷ്ടിച്ചത് ജി. ഈ ഉപഗ്രൂപ്പ് എല്ലായ്പ്പോഴും കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്, അത് തന്നെയാണെങ്കിലും ജികമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല. ഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ ജിഅതിൻ്റെ ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പുകളിൽ ഒന്നുമായി യോജിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അതിനെ വിളിക്കുന്നു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ്, മൂലകം സൃഷ്ടിച്ചത് ജി.
ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ എല്ലാ ശക്തികളും ആണെങ്കിൽ ജിവ്യത്യസ്തമാണ്, പിന്നെ ഗ്രൂപ്പ് ജിവിളിച്ചു അനന്തമായചാക്രിക ഗ്രൂപ്പും മൂലകവും ജി- ഘടകം അനന്തമായ ക്രമം.
ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിൽ തുല്യമായവ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ജി കെ=ഗ്രാം എംചെയ്തത് കെ>എം, അത് g k‑m=ഇ; കൂടാതെ, നിയോഗിക്കുന്നു കെ-എംവഴി എൻ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ജി എൻ=ഇ, എൻÎℕ.
ഏറ്റവും താഴ്ന്ന സ്വാഭാവിക സൂചകം എൻഅത്തരം ജി എൻ=ഇ, വിളിച്ചു മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമം g, മൂലകം തന്നെ ജിവിളിച്ചു പരിമിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ ഘടകം.
അത്തരമൊരു ഘടകം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൽ കാണപ്പെടും, എന്നാൽ അത് അനന്തമായ ഗ്രൂപ്പിലും ആകാം.
എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പരിമിതമായ ക്രമമുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെ വിളിക്കുന്നു ആനുകാലികം.
ഒരു പരിമിതഗ്രൂപ്പിലെ ഏതൊരു ഘടകത്തിനും പരിമിതമായ ക്രമം ഉള്ളതിനാൽ, എല്ലാ പരിമിത ഗ്രൂപ്പുകളും ആനുകാലികമാണ്. കൂടാതെ, ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ എല്ലാ ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പുകളും ആനുകാലികമാണ്, കാരണം അവ പരിമിതമാണ്, കൂടാതെ പരിമിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും എൻഒരേ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു എൻ, ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ( ജി 0 , ജി 1 , ജി 2 ¼, ജി എൻ-1). തീർച്ചയായും, മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം ചിലതിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ കെ<എൻ, പിന്നെ ജി കെ=ഇ=ജി എൻ, അത് തിരഞ്ഞെടുപ്പിന് വിരുദ്ധമാണ് എൻ, അത്തരം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ബിരുദം ജി എൻ=ഇ; മറുവശത്ത്, കെ>എൻഅസാധ്യമാണ്, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.
പ്രസ്താവന: 1) എല്ലാ ഡിഗ്രികളും ജി 0 , ജി 1 , ജി 2 ¼, ജി എൻ-1 വ്യത്യസ്തമാണ്, കാരണം തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ജി ഐ=ജി ജെ (ഐ>ജെ), അത് g i - j=ഇ, പക്ഷേ ( ഐ‑ജെ)<എൻ, കൂടാതെ നിർവചനം പ്രകാരം n -ഏറ്റവും ചെറിയ ബിരുദം അങ്ങനെയാണ് ജി എൻ=ഇ.
2) മറ്റേതെങ്കിലും ബിരുദം ജി, പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ്, മൂലകങ്ങളിൽ ഒന്നിന് തുല്യമാണ് ജി 0 , ജി 1 , ജി 2 ¼, ജി എൻ-1, കാരണം ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ കെപദപ്രയോഗത്താൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: കെ=nq+ആർ, എവിടെ q,ആർÎℤ കൂടാതെ 0£ ആർ<എൻ, ആർ- ബാക്കി ഒപ്പം ജി കെ=g nq + r= g nq° ജി ആർ= (ജി എൻ)q° ജി ആർ= ഇ ക്യു° ജി ആർ= ജി ആർ.
1) ഓരോ ഗ്രൂപ്പിനും ഫസ്റ്റ് ഓർഡറിൻ്റെ അദ്വിതീയ ഘടകമുണ്ട് ( ഇ), ഒരു ഘടകം അടങ്ങുന്ന ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സൈക്ലിക് ഉപഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു ഇ.
2) പകരക്കാരുടെ ഗ്രൂപ്പ് പരിഗണിക്കുക എസ് 3, ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: , , , , , . ഓർഡർ ചെയ്യുക എസ് 3 =6. എലമെൻ്റ് ഓർഡർ എ 2 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം . എലമെൻ്റ് ഓർഡർ ബി 2 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം . എലമെൻ്റ് ഓർഡർ കൂടെ 3 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം ഒപ്പം . എലമെൻ്റ് ഓർഡർ എഫ് 3 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം ഒപ്പം . ഒടുവിൽ, ഓർഡർ ഡി 2 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം . അങ്ങനെ, ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ എസ് 3 മൂലകങ്ങളാൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടതാണ് ഇ, എ, ബി, ഡി, സിഒപ്പം എഫ്, യഥാക്രമം തുല്യം: ( ഇ}, {ഇ, എ}, {ഇ, ബി}, {ഇ, ഡി}, {ഇ, സി, എഫ്) ഒപ്പം ( ഇ, എഫ്, സി), ഇവിടെ അവസാനത്തെ രണ്ടെണ്ണം ഒത്തുചേരുന്നു. ഓരോ ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെയും ക്രമം ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമത്തെ ബാക്കിയില്ലാതെ വിഭജിക്കുന്നു എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.
സിദ്ധാന്തം 2.7.1. (Lagrange) ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമം അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു (ഘടകത്തിൻ്റെ ക്രമവും അത് സൃഷ്ടിച്ച ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമവും ഒത്തുചേരുന്നതിനാൽ).
ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകം, ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമത്തിൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ യൂണിറ്റ് നൽകുന്നു. (കാരണം ഗ്രാം എം=g nk=ഇ കെ=ഇ, എവിടെ എം- ഗ്രൂപ്പ് ഓർഡർ, എൻ- ഘടകം ക്രമം ജി, കെ- പൂർണ്ണസംഖ്യ).
എസ് ഗ്രൂപ്പിൽ 3 ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ട് എൻ={ഇ, സി, എഫ്) ഒരു സാധാരണ വിഭജനമാണ്, എന്നാൽ 2nd ഓർഡർ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ സാധാരണ വിഭജനങ്ങളല്ല. ഇടത് വലത് കോസെറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഇത് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ് എൻഓരോ ഗ്രൂപ്പ് ഘടകത്തിനും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മൂലകത്തിന് എഇടത് കോസെറ്റ് എൻ എ={ഇ ◦ എ, കൂടെ◦ എ, എഫ്◦ എ} = {എ, ബി, ഡി) വലത് കോസെറ്റ് ഒരു എൻ={a ◦ ഇ, എ◦ സി, എ◦ എഫ്} = {എ, ഡി, ബി) പൊരുത്തം. അതുപോലെ മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളും എസ് 3 .
3) സങ്കലനത്തോടുകൂടിയ എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടേയും ഗണം 1 (അല്ലെങ്കിൽ –1) എന്ന മൂലകം ഉള്ള ഒരു അനന്ത ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു, കാരണം ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും 1 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്.
4) ഒരു കൂട്ടം വേരുകൾ പരിഗണിക്കുക എൻഐക്യത്തിൻ്റെ ശക്തി: ഇ എൻ=. ഈ സെറ്റ് ഗുണിത വേരുകളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്. തീർച്ചയായും, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഇ കെഒപ്പം ഇ എംനിന്ന് ഇ എൻ, എവിടെ കെ, എം £ എൻ-1 ഒരു മൂലകവും ആയിരിക്കും ഇ എൻ, മുതൽ = = , എവിടെ ആർ=(k+m) മോഡ് എൻഒപ്പം ആർ £ എൻ-1; ഗുണനം അസോസിയേറ്റീവ്, ന്യൂട്രൽ ഘടകം ഇ=ഇ 0 =1 കൂടാതെ ഏത് മൂലകത്തിനും ഇ കെറിവേഴ്സ് ഉണ്ട്. ഈ ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികമാണ്, അതിൻ്റെ ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം ഒരു പ്രാകൃത റൂട്ടാണ്. എല്ലാ ശക്തികളും വ്യതിരിക്തമാണെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: , കൂടുതൽ വേണ്ടി കെ³ എൻവേരുകൾ സ്വയം ആവർത്തിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ, വേരുകൾ യൂണിറ്റ് റേഡിയസിൻ്റെ ഒരു സർക്കിളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുകയും അതിനെ വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എൻചിത്രം 11 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ തുല്യ ആർക്കുകൾ.
അവസാനത്തെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ എല്ലാ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളെയും തളർത്തുന്നു. താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം സത്യമായതിനാൽ.
സിദ്ധാന്തം 2.7.2. എല്ലാ അനന്തമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളും പരസ്പരം ഐസോമോഫിക് ആണ്. ക്രമത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിമിത ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളും എൻപരസ്പരം ഐസോമോഫിക് ആകുന്നു.
തെളിവ്. അനുവദിക്കുക ( ജി, ∘) ഒരു ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന മൂലകമുള്ള അനന്തമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ് ജി. പിന്നെ ഒരു ബിജക്റ്റീവ് മാപ്പിംഗ് ഉണ്ട് എഫ്: ℤ ® ജിഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായി കെഒപ്പം എംഅവരുടെ ചിത്രങ്ങൾ എഫ്(കെ) ഒപ്പം എഫ്(എം), യഥാക്രമം തുല്യം ജി കെഒപ്പം ഗ്രാം എം, ഘടകങ്ങളാണ് ജി. അതേ സമയം എഫ്(കെ+എം)=എഫ്(കെ)∘എഫ്(എം), കാരണം ജി കെ + എം=ജി കെ∘ ഗ്രാം എം.
ഇപ്പോൾ അനുവദിക്കുക ( ജി, ∘) ക്രമത്തിൻ്റെ പരിമിതമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ് എൻഒരു ജനറേറ്റിംഗ് ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് ജി. പിന്നെ ഓരോ മൂലകവും ജി കെÎ ജിഒരു ഘടകം പൊരുത്തപ്പെടുത്താനുള്ള ഒരേയൊരു മാർഗ്ഗം ഇ കെÎ ഇ എൻ(0£ കെ<എൻ), ചട്ടം അനുസരിച്ച് എഫ്(ജി കെ)=ഇ കെ. അതേ സമയം ഏതിനും ജി കെഒപ്പം ഗ്രാം എംÎ ജിഅത് പിന്തുടരുന്നു എഫ്(ജി കെ∘ ഗ്രാം എം)=എഫ്(ജി കെ) ∘എഫ്(ഗ്രാം എം), കാരണം എഫ്(ജി കെ∘ ഗ്രാം എം)=എഫ്(ജി കെ + എം)=എഫ്(ജി ആർ), എവിടെ ആർ=(കെ+എം) മോഡ് എൻ, ഒപ്പം എഫ്(ജി ആർ)=ഇ ആർ=ഇ കെ× ഇ എം. അത്തരമൊരു മാപ്പിംഗ് ഒരു ബിജക്റ്റീവ് മാപ്പിംഗ് ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒരേ മൂലകത്തിൻ്റെ ശക്തികളാണെങ്കിൽ അതിനെ സൈക്ലിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഈ മൂലകത്തെ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പായ O യുടെ ജനറേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏതൊരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പും വ്യക്തമായും അബെലിയൻ ആണ്.
ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ്, ഉദാഹരണത്തിന്, സങ്കലനം വഴിയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പാണ്. ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ നമ്മൾ ചിഹ്നം 2 ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കും. അതിൻ്റെ ജനറേറ്റർ നമ്പർ 1 ആണ് (അതുപോലെ നമ്പർ - 1). ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് എന്നത് ഒരു മൂലകം (ഒന്ന്) മാത്രമുള്ള ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്.
ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഗ്രൂപ്പ് O-ൽ, ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിൻ്റെ ശക്തികൾ g ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമം വ്യക്തമായും g എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന്, ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (പേജ് 32 കാണുക), ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തിൻ്റെ ക്രമം ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമത്തെ വിഭജിക്കുന്നു (ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പരിമിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക).
അതിനാൽ, പരിമിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ ഗ്രൂപ്പിലെ ഏതെങ്കിലും മൂലകം g ന് തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു
ഈ ലളിതമായ നിരീക്ഷണം പലപ്പോഴും സഹായകരമാണ്.
തീർച്ചയായും, ഗ്രൂപ്പ് O ചാക്രികവും അതിൻ്റെ ജനറേറ്ററും ആണെങ്കിൽ, മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമം തുല്യമാണ്. നേരെമറിച്ച്, ഒരു ഗ്രൂപ്പിന് ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ഘടകമുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ മൂലകത്തിൻ്റെ ശക്തികൾക്കിടയിൽ വ്യത്യസ്തമായവയുണ്ട്, അതിനാൽ ഈ ശക്തികൾ O ഗ്രൂപ്പിനെ മുഴുവൻ ക്ഷീണിപ്പിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിന് നിരവധി വ്യത്യസ്ത ജനറേറ്ററുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു (അതായത്, ഓർഡറിലെ ഏത് ഘടകവും ഒരു ജനറേറ്ററാണ്).
ടാസ്ക്. പ്രൈം ഓർഡറിൻ്റെ ഏത് ഗ്രൂപ്പും ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ടാസ്ക്. ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിന് കൃത്യമായി ജനറേറ്ററുകൾ ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുക, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ഇതിൽ കുറവും കോപ്രൈം ആണ്.
ഓർഡറിനൊപ്പം, ഏതൊരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പും ഒരു സംഖ്യയ്ക്ക് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാം - അതിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഓർഡറുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം.
ടാസ്ക്. ഏതെങ്കിലും പരിമിത ഗ്രൂപ്പായ O യുടെ സംഖ്യ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമത്തെ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.
വ്യക്തമായും, ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിന്, സംഖ്യ ക്രമവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. വിപരീതം, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ശരിയല്ല. എന്നിരുന്നാലും, പരിമിതമായ ആബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ക്ലാസിലെ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയുണ്ട്:
സംഖ്യ അതിൻ്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമായ ഒരു പരിമിതമായ അബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് O ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ്.
തീർച്ചയായും, അനുവദിക്കുക
പരിമിതമായ Abelian ഗ്രൂപ്പ് O-യുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ നോൺ-യൂണിറ്റ് ഘടകങ്ങളുടെയും ഓർഡറുകൾ ക്രമത്തിലാണ്, അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതമാകട്ടെ.
വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ശക്തികളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക് സംഖ്യയെ വികസിപ്പിക്കാം:
ഒരു സംഖ്യ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം (1) ആയതിനാൽ, ഈ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ കൃത്യമായി ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയെങ്കിലും ഉണ്ട്, അതായത്, ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ b എന്നത് കോപ്രൈം ആണ്. ഈ സംഖ്യ g എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ മൂലകത്തിന് 29-ാം പേജിൽ ക്രമമുണ്ട് (കൊറോലറി 1 കാണുക).
അതിനാൽ, ഒ ഗ്രൂപ്പിലെ ഏതൊരാൾക്കും ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ഘടകമെങ്കിലും ഉണ്ട്, ഓരോന്നിനും അത്തരം ഒരു ഘടകം തിരഞ്ഞെടുത്ത ശേഷം, ഞങ്ങൾ അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം പരിഗണിക്കുന്നു. 29-30 പേജുകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രസ്താവന പ്രകാരം, ഈ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഓർഡർ ഓർഡറുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം അവസാനത്തെ സംഖ്യ ന് തുല്യമായതിനാൽ, O ഗ്രൂപ്പിൽ n എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെന്ന് അതുവഴി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. തൽഫലമായി, ഈ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ്.
ഇപ്പോൾ O ഒരു ജനറേറ്ററുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പും H അതിൻ്റെ ചില ഉപഗ്രൂപ്പുകളും ആയിരിക്കട്ടെ. H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകം O ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഒരു ഘടകമായതിനാൽ, അതിനെ ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇവിടെ d എന്നത് ചില പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് (സാധാരണയായി പറഞ്ഞാൽ, ഇത് അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല). എച്ച് എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന എല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം മൂലകത്തിൻ്റെ ശക്തി. തീർച്ചയായും, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, d എന്ന സംഖ്യയുണ്ട് (ഡി നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആകാം). സംഖ്യയെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (ബാക്കിയുള്ളത്).
മുതൽ, സംഖ്യയുടെ മിനിമലിറ്റി കാരണം, ബാക്കിയുള്ളത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം. അങ്ങനെ, .
മൂലകം എച്ച് ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ജനറേറ്ററാണെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു, അതായത്, ഗ്രൂപ്പ് എച്ച് ചാക്രികമാണെന്ന്. അതിനാൽ, ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഏത് ഉപഗ്രൂപ്പും ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ്.
ടാസ്ക്. സംഖ്യ ഉപഗ്രൂപ്പ് H ൻ്റെ സൂചികയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്നും അതിനാൽ, ഗ്രൂപ്പ് O യുടെ ക്രമം വിഭജിക്കുന്നുവെന്നും തെളിയിക്കുക (ഗ്രൂപ്പ് O പരിമിതമാണെങ്കിൽ).
O ഗ്രൂപ്പിലെ പരിമിതമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പായ Q യുടെ ഏതൊരു ഓർഡർ ഡിവൈസറിനും ഒരേ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് H ക്രമം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക (അതായത്, ജനറേറ്ററുള്ള ഉപഗ്രൂപ്പ്
പരിമിതമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ് ലളിതമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ക്രമം പ്രൈം (അല്ലെങ്കിൽ ഏകത്വം) ആണെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പായ Q യുടെ ഏതെങ്കിലും ഘടകഗ്രൂപ്പും (അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും ഹോമോമോർഫിക് ഇമേജും) ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് നമുക്ക് ഒടുവിൽ ശ്രദ്ധിക്കാം.
ഇത് തെളിയിക്കാൻ, ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ജനറേറ്റർ ഒ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ജനറേറ്റർ അടങ്ങുന്ന കോസെറ്റാണെന്ന് ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി.
പ്രത്യേകിച്ചും, Z എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പിലെ ഏതെങ്കിലും ഘടകഗ്രൂപ്പും ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ്. ഈ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളെ നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി പഠിക്കാം.
Z ഗ്രൂപ്പ് അബെലിയൻ ആയതിനാൽ, അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പായ H ഒരു സാധാരണ വിഭജനമാണ്. മറുവശത്ത്, മുകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതനുസരിച്ച്, H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ്. നിസ്സാരമായ ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ ക്വട്ടേഷൻ ഗ്രൂപ്പുകൾ നമുക്ക് അറിയാവുന്നതിനാൽ, ഉപഗ്രൂപ്പ് H നോൺട്രിവിയൽ ആയി കണക്കാക്കാം. സംഖ്യ എച്ച് എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ജനറേറ്ററായിരിക്കട്ടെ. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയി കണക്കാക്കാം (എന്തുകൊണ്ട്?), അതിനാൽ, ഒന്നിൽ കൂടുതൽ.
N. എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പ് വ്യക്തമായും കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അതിനാൽ, രണ്ട് സംഖ്യകൾ H എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിലെ ഒരേ കോസെറ്റിലേതാണ്, അവയുടെ വ്യത്യാസം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം, അതായത്, അവ മൊഡ്യൂളിൽ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (കോഴ്സ്, പേജ് 277 കാണുക). അങ്ങനെ, ഉപഗ്രൂപ്പ് H ലെ കോസെറ്റുകൾ മൊഡ്യൂളിൽ പരസ്പരം താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ക്ലാസുകളല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഉപഗ്രൂപ്പ് H പ്രകാരമുള്ള Z ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഘടകഗ്രൂപ്പ് എന്നത് മോഡുലസിൽ പരസ്പരം താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ക്ലാസുകളുടെ ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ് (കൂടാതെ). ഞങ്ങൾ ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ അതിൻ്റെ ജനറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കും നമ്പർ 1 അടങ്ങുന്ന ക്ലാസ്.
ഏതൊരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പും Z ഗ്രൂപ്പിന് (അത് അനന്തമാണെങ്കിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പുകളിലൊന്നിന് (അതിൻ്റെ ക്രമം പരിമിതമാണെങ്കിൽ) ഐസോമോഫിക് ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.
തീർച്ചയായും, ഗ്രൂപ്പ് O യുടെ ജനറേറ്റർ ആകട്ടെ. ഗ്രൂപ്പ് 2 മുതൽ ഗ്രൂപ്പ് O വരെയുള്ള ഒരു മാപ്പിംഗ് നിർവചിക്കാം, ക്രമീകരണം
നിർവ്വചനം 1.22. അനുവദിക്കുക ആർ- ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ. ഗ്രൂപ്പ് ജിവിളിച്ചു പി-ഗ്രൂപ്പ്,ഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ മൂലകത്തിൻ്റെയും ക്രമം ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയുടെ കുറച്ച് ശക്തിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ ആർ.
നിർവ്വചനം 1.23. സിലോവ്സ്കി ആർ-ഉപഗ്രൂപ്പ്പരിമിതമായ ഗ്രൂപ്പ് ജിതന്നിരിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഒരു വലിയ p-ഉപഗ്രൂപ്പിൽ അടങ്ങിയിരിക്കാത്ത അതിൻ്റെ p-ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 1.25. ഒരു പരിമിതമായ അബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് അതിൻ്റെ സൈലോ പി-ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
തെളിവ്.ഒരു പരിമിതമായ ആബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് പരിഗണിക്കുക ജിഓർഡർ n, ലെറ്റ് n = r" ! p 2 2 p* 1 k - നമ്പർ വിപുലീകരണം എൻവ്യത്യസ്ത അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ശക്തികളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക്. 1-ന്, 2,..., ലേക്ക്നമുക്ക് I, Sylow r ഉപഗ്രൂപ്പും I എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പും സൂചിപ്പിക്കാം. വേണ്ടി; * ഐ. I, n I, = (e) എന്ന് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. അതുകൊണ്ട് ഐ = (N 1,H 2,...,N k) = N 1 xN 2 x...xN k. g e എന്ന മൂലകം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക ജി, g g Y : |g|. അത് പിന്തുടരുന്നു
|g| = pf"pjf 2 Pk k > g D e Pi - ഒരു ഐഡി ഏതെങ്കിലും i = 1, 2, ലേക്ക്.സിദ്ധാന്തം 1.23 ൻ്റെ അനന്തരഫലമായി, g 1 മൂലകങ്ങളുണ്ട്; g2, ..., gkഇ ജി,അത്തരം = x x... x (ജി കെ) കൂടാതെ | g,-1 = pf 1 for i = 1, 2, ..., /s. ചില g ന് g, g I എന്ന് അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു p-ഉപഗ്രൂപ്പ് ലഭിക്കും (ജി,ഞാൻ,) എഫ്ഐ, സൈലോ പി-ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെ നിർവചനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്. അങ്ങനെ, ഏതെങ്കിലും i = 1, 2,..., /ഉദാ, ഇ ഇഞാൻ എവിടെ നിന്നാണ് ജി ഇ എൻ.അതിനാൽ, എച്ച് = ജിസിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 1.26. ഒരു പരിമിതമായ അബെലിയൻ പി-ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
തെളിവ്.ഒരു പരിമിതമായ Abelian p-ഗ്രൂപ്പ് നൽകട്ടെ ജി.അതിൽ ഒരു ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കാം എപരമാവധി ക്രമം p", കൂടാതെ H (a) n H = (e) ഒരു പരമാവധി ഉപഗ്രൂപ്പായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ (a, R) = (a) x R. നമുക്ക് Gj = (a) x R എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.
എന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം G Ф G y G x-ൽ ഉൾപ്പെടാത്ത എല്ലാ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്നും, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ക്രമം рР ൻ്റെ ഒരു ഘടകം ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ജി.പി.ജി ജിബിഅപ്പോൾ മുതൽ |gp| = рР- 1, മൂലകത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പുമായി ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു. തത്ഫലമായി, gP e G x = (a) x I കൂടാതെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ /c, ഒരു മൂലകം എന്നിവയുണ്ട് എച്ച് e I, അതായത് gP = a fc /i. ഇവിടെ നിന്ന് ഒരു കെ= gp/i -1. gcd(/c, p) = 1 ആണെങ്കിൽ, gcd(/c, p°9 = 1, കൂടാതെ u, v എന്നിങ്ങനെയുള്ള /c + എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ നിലവിലുണ്ട്. p a v = 1. പിന്നെ
പരമാവധി കാരണം | a = p aഞങ്ങൾക്ക് gP“ = ഉണ്ട് ഇകൂടാതെ ഇ F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u പി a ~ 1 =/i _u p““ 1 e I, അത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ് (a) p I = (e). അതിനാൽ, /s: ആർ.
അനുവദിക്കുക ലേക്ക്= r/s x. പിന്നെ aP fc i = a k =gPh~ 1 ,എവിടെ h = a~P k igP == (a_fc ig) പി. നമുക്ക് gj=a _/c ig എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. പിന്നെ gf -ഹെഎച്ച്. gj =ar fc "geG] എന്ന് കരുതുക =(a)xN,പിന്നെ g е G x, അത് g എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിന് വിരുദ്ധമാണ്. തൽഫലമായി, g x g G x, അതിനാൽ gj g I. ഞാൻ വ്യവസ്ഥയുള്ള ഒരു പരമാവധി ഉപഗ്രൂപ്പ് ആയതിനാൽ (എ) n I = (e), പിന്നെ (a) n (g x , I) ^ (e). അതിനാൽ, ഉണ്ട് ടി, പിഇ Zകൂടാതെ hj e I എന്ന ഘടകം, e * ഒരു ടി= gf
എന്നു കരുതി p:p,top=pp 1ചിലതിൽ n,eZകൂടാതെ e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, ഇത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ് (a) n I = = (e). അതിനാൽ, GCD(n,p) = 1 Hgf =a m /if 1 . എങ്കിൽ |g x | =pY, തുടർന്ന് GCD(n, p'O = 1 കൂടാതെ u x , v x g നിലവിലുണ്ട് Z, gsh x -t-pYv x = 1. അതിനാൽ g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തി. അതിനാൽ, അത് അംഗീകരിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു G - (a)x R. ഇപ്പോൾ R എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിൽ നമ്മൾ ഒരു ഡയറക്ട് ഫാക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് പരമാവധി ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പിനെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. എൻഞങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ വിഘടനം ലഭിക്കുന്നതുവരെ ഓർഡർ മുതലായവ ജിചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
സിദ്ധാന്തം 1.27. പരിമിതമായ അബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് സൈക്ലിക് പി-ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ 1.25, 1.26 എന്നിവയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.
ഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അധ്യായം അവസാനിപ്പിക്കാൻ, ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ ഒരു ബൈനറി ഓപ്പറേഷൻ ഉള്ള ഒരു സെറ്റായി കണക്കാക്കാമെന്നത് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അത് അനുബന്ധവും ഏത് ഘടകങ്ങളും ആണ്. എഒപ്പം കൊമ്മേഴ്സൻ്റ്സമവാക്യങ്ങൾ അദ്വിതീയമായി പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ് കോടാലി = b uua-b.ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഈ കാഴ്ചപ്പാട് രണ്ട് പൊതുവൽക്കരണങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഒരു വശത്ത്, ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റിയുടെ അർത്ഥം പഠിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് ഒരു അസോസിയേറ്റീവ് ഓപ്പറേഷൻ ഉള്ള ഒരു സെറ്റ് എന്ന സെമിഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (ജോലി കാണുക). മറുവശത്ത്, ഒരാൾക്ക് അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ആവശ്യകത അവഗണിക്കാം, ഇത് ഒരു ബൈനറി ഓപ്പറേഷനുള്ള ഒരു സെറ്റ് എന്ന നിലയിൽ ഒരു ക്വാസിഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, പേരുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ അദ്വിതീയമായി പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ്. ഐഡൻ്റിറ്റി ഉള്ള ഒരു ക്വാസിഗ്രൂപ്പിനെ ലൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ജോലി കാണുക). അർദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ സിദ്ധാന്തവും അർദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ സിദ്ധാന്തവും സ്വതന്ത്രമായി വികസിക്കുന്ന രണ്ട് അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളായി മാറിയിരിക്കുന്നു. "സാധ്യമായ പരമാവധി" വോളിയത്തിൻ്റെ കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ അവയെ പ്രധാന വാചകത്തിൽ പരാമർശിക്കുന്നില്ല.
- 1. ഗ്രൂപ്പ് Zകൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനത്തോടുകൂടിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ.
- 2. ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ വേരുകളുടെയും ഗ്രൂപ്പ് എൻഗുണന പ്രവർത്തനമുള്ള ഒന്നിൽ നിന്ന്. ചാക്രിക സംഖ്യ ഐസോമോർഫിസം ആയതിനാൽ
ഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികവും മൂലകം ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നതുമാണ്.
ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകൾ പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയിരിക്കാമെന്ന് നാം കാണുന്നു.
3. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഗ്രൂപ്പും അനിയന്ത്രിതമായ ഘടകവും ആയിരിക്കട്ടെ. ജനറേറ്റർ ഘടകം g ഉള്ള ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണ് സെറ്റ്. g മൂലകം സൃഷ്ടിച്ച ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ക്രമം g മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമമാണ്. ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമം ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമത്തിൻ്റെ വിഭജനമാണ്. പ്രദർശിപ്പിക്കുക
ഫോർമുല അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:
പ്രത്യക്ഷത്തിൽ ഒരു ഹോമോമോർഫിസമാണ്, അതിൻ്റെ ചിത്രം യോജിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് ആണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു മാപ്പിംഗ് സർജക്റ്റീവ് ആണ് ജി- ചാക്രികവും ജിഅതിൻ്റെ ഘടക ഘടകം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഹോമോമോർഫിസത്തെ വിളിക്കും ജിതിരഞ്ഞെടുത്ത generatrix ഉപയോഗിച്ച് ജി.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഹോമോമോർഫിസം സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഒരു പ്രധാന സ്വത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും: ഓരോ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പും ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഒരു ഹോമോമോഫിക് ഇമേജാണ്. Z .
ഏതെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പിൽ ജിനിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും ഡിഗ്രികൾപൂർണ്ണസംഖ്യ സൂചകങ്ങളുള്ള ഘടകം:
സ്വത്ത് കൈവശം വയ്ക്കുന്നു
എങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ് . എപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കാം . പിന്നെ
ബാക്കിയുള്ള കേസുകൾ സമാനമായി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു.
(6) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു
മാത്രമല്ല, നിർവചനം പ്രകാരം. അങ്ങനെ, ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ ശക്തികൾ ഗ്രൂപ്പിൽ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു ജി.അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു മൂലകം സൃഷ്ടിച്ച ഒരു ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പ്,എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു .
അടിസ്ഥാനപരമായി രണ്ട് വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ സാധ്യമാണ്: ഒന്നുകിൽ ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളും വ്യത്യസ്തമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ അല്ല. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ഉപഗ്രൂപ്പ് അനന്തമാണ്. രണ്ടാമത്തെ കേസ് നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി പരിഗണിക്കാം.
അനുവദിക്കുക ,; പിന്നെ. ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ടി,ഇതിനായി, ഈ കേസിൽ വിളിക്കുന്നു ക്രമത്തിൽമൂലകവും സൂചിപ്പിക്കുന്നു .
വാചകം 1. എങ്കിൽ , അത്
തെളിവ്. 1) വിഭജിക്കുക എംഓൺ എൻബാക്കി കൂടെ:
പിന്നെ, ക്രമത്തിൻ്റെ നിർവചനപ്രകാരം
മുൻ കാരണം
അനന്തരഫലം. മോ ഉപഗ്രൂപ്പിൽ n ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ.
തെളിവ്.ശരിക്കും,
കൂടാതെ ലിസ്റ്റുചെയ്ത എല്ലാ ഘടകങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്.
അത്തരം സ്വാഭാവികത ഇല്ലെങ്കിൽ ടി,(അതായത്, മുകളിൽ വിവരിച്ച കേസുകളിൽ ആദ്യത്തേത് സംഭവിക്കുന്നു), അത് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു . അതല്ല; ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഓർഡറുകൾ 1 നേക്കാൾ വലുതാണ്.
അഡിറ്റീവ് ഗ്രൂപ്പിൽ നമ്മൾ ഒരു മൂലകത്തിൻ്റെ ശക്തികളെക്കുറിച്ചല്ല സംസാരിക്കുന്നത് , അവനെ കുറിച്ചും ഗുണിതങ്ങൾ,സൂചിപ്പിക്കുന്നത് . ഇതിന് അനുസൃതമായി, അഡിറ്റീവ് ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമം ജി-- ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് ടി(അത്തരം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) അതിനായി
ഉദാഹരണം 1.ഒരു ഫീൽഡിൻ്റെ സവിശേഷത അതിൻ്റെ അഡിറ്റീവ് ഗ്രൂപ്പിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഘടകത്തിൻ്റെ ക്രമമാണ്.
ഉദാഹരണം 2. ഒരു പരിമിത ഗ്രൂപ്പിൽ ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമം പരിമിതമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് കണക്കാക്കുന്നത് എന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം ചക്രംനീളം, അത് ചാക്രികമായി പുനഃക്രമീകരിച്ചാൽ സൂചിപ്പിക്കും
കൂടാതെ മറ്റെല്ലാ നമ്പറുകളും സ്ഥാനത്ത് അവശേഷിപ്പിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, സൈക്കിൾ ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ക്രമം തുല്യമാണ് ആർ.ചക്രങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്രമായ,അവർ യഥാർത്ഥത്തിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ പൊതുവായവ ഇല്ലെങ്കിൽ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ . ഓരോ പകരക്കാരനും സ്വതന്ത്രമായ സൈക്കിളുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അദ്വിതീയമായി വിഘടിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്,
അത് ചിത്രത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ പകരം വയ്ക്കൽ പ്രവർത്തനം അമ്പുകളാൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. പകരം വയ്ക്കുന്നത് ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര ചക്രങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വിഘടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ , അത്
ഉദാഹരണം 3.ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ c യുടെ ക്രമം പരിമിതമാണ്, ഈ സംഖ്യ ചില ഏകത്വ ശക്തിയുടെ മൂലമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അത് c ന് ആനുപാതികമാണെങ്കിൽ മാത്രം സംഭവിക്കുന്നു, അതായത്. .
ഉദാഹരണം 4.വിമാനത്തിൻ്റെ ചലനങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിൽ പരിമിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. അങ്ങനെ സംഭവിക്കട്ടെ. ഏത് പോയിൻ്റിനും
ചലനത്തിലൂടെ ചാക്രികമായി പുനഃക്രമീകരിച്ചു , അതിനാൽ അവരുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം ഒതാരതമ്യേന ചലനരഹിതം. അതിനാൽ, - ഒന്നുകിൽ പോയിൻ്റിന് ചുറ്റുമുള്ള വ്യൂ ആംഗിൾ വഴി ഒരു ഭ്രമണം ഒ, അല്ലെങ്കിൽ കടന്നുപോകുന്ന ചില നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രതിഫലനം ഒ.
ഉദാഹരണം 5. നമുക്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം കണ്ടെത്താം
ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഒരു ഘടകമായി. നമുക്ക് ഉണ്ട്
അങ്ങനെ. തീർച്ചയായും, ഈ ഉദാഹരണം പ്രത്യേകം തിരഞ്ഞെടുത്തതാണ്: ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം പരിമിതമായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത പൂജ്യമാണ്.
നിർദ്ദേശം 2. എങ്കിൽ , അത്
തെളിവ്.അനുവദിക്കുക
അങ്ങനെ. നമുക്ക് ഉണ്ട്
അതിനാൽ, .
നിർവ്വചനം 1 . ഗ്രൂപ്പ് ജിവിളിച്ചു ചാക്രികമായ,അത്തരമൊരു ഘടകം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ , എന്ത് . അത്തരം ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തെ വിളിക്കുന്നു സൃഷ്ടിക്കുന്ന ഘടകംഗ്രൂപ്പുകൾ ജി.
ഉദാഹരണം 6.പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികമാണ്, കാരണം അത് മൂലകം 1-ൽ നിന്ന് സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു.
ഉദാഹരണം 7.മൊഡ്യൂളോ ഡിഡക്ഷനുകളുടെ അഡിറ്റീവ് ഗ്രൂപ്പ് എൻമൂലകത്താൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടതിനാൽ ചാക്രികമാണ്.
ഉദാഹരണം 8. 1 ൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ nth വേരുകളുടെ ഗുണനഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ വേരുകൾ സംഖ്യകളാണ്
അത് വ്യക്തമാണ് . അതിനാൽ, ഘടകം മൂലമാണ് ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നത്.
അനന്തമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ മാത്രമാണെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. അങ്ങനെ, Z ഗ്രൂപ്പിൽ 1 ഉം -- 1 ഉം മാത്രമാണ് സൃഷ്ടിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ.
അവസാന ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം ജിഅവളെ വിളിച്ചു ക്രമത്തിൽഎന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു പരിമിത ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമം അതിൻ്റെ ജനറേറ്റിംഗ് മൂലകത്തിൻ്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, പ്രൊപ്പോസിഷൻ 2 ൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു
വാക്യം 3 . സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടകം n എന്ന ക്രമം എങ്കിലും എങ്കിലും മാത്രം സൃഷ്ടിക്കുന്നു
ഉദാഹരണം 9.ഒരു ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ജനറേറ്റിംഗ് ഘടകങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാകൃത വേരുകൾ എൻ th power of 1. ഇവയാണ് സ്പീഷിസിൻ്റെ വേരുകൾ , എവിടെ. ഉദാഹരണത്തിന്, 1 മുതൽ 12 ഡിഗ്രിയുടെ പ്രാകൃത വേരുകൾ.
സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പുകൾ. (പ്രത്യേകിച്ച്, അവർ ആബെലിയൻ ആണ്.) ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം അവയുടെ പൂർണ്ണമായ വിവരണം നൽകുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 1. എല്ലാ അനന്ത ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പുകളും ഒരു ഗ്രൂപ്പിന് ഐസോമോഫിക് ആണ്. n എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിമിത ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പും ഒരു ഗ്രൂപ്പിന് ഐസോമോഫിക് ആണ്.
തെളിവ്. അനന്തമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ, ഫോർമുല (4) പ്രകാരം മാപ്പിംഗ് ഒരു ഐസോമോർഫിസമാണ്.
ക്രമത്തിൻ്റെ പരിമിതമായ ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പായിരിക്കട്ടെ പി.മാപ്പിംഗ് പരിഗണിക്കുക
അപ്പോൾ മാപ്പിംഗ് നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ബിജക്റ്റീവുമാണ്. സ്വത്ത്
അതേ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (1). അതിനാൽ, ഇത് ഒരു ഐസോമോർഫിസമാണ്.
സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ഘടന മനസ്സിലാക്കാൻ, അതിൻ്റെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ എല്ലാ ഉപഗ്രൂപ്പുകളും എളുപ്പത്തിൽ വിവരിക്കാം.
സിദ്ധാന്തം 2. 1) ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ എല്ലാ ഉപഗ്രൂപ്പുകളും ചാക്രികമാണ്.
2) ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൽ എൻ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ക്രമം വിഭജിക്കുന്നു എൻ കൂടാതെ സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും വിഭജനം q എൻ q എന്ന ക്രമത്തിൽ കൃത്യമായി ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ട്.
തെളിവ്. 1) ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പായിരിക്കട്ടെ എൻ-- അതിൻ്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ്, ഇതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് (യൂണിറ്റ് ഉപഗ്രൂപ്പ് വ്യക്തമായും ചാക്രികമാണ്.) എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, പിന്നെ ഒപ്പം . അനുവദിക്കുക ടി-- സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് . അത് തെളിയിക്കട്ടെ . അനുവദിക്കുക . നമുക്ക് വിഭജിക്കാം ലേക്ക്ഓൺ ടിബാക്കി കൂടെ:
സംഖ്യയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ടിഅത് പിന്തുടരുന്നു, അതിനാൽ, .
2) എങ്കിൽ , തുടർന്ന് മുമ്പത്തെ ന്യായവാദം (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ), എന്ന് കാണിക്കുന്നു . അതേസമയത്ത്
ഒപ്പം എൻക്രമത്തിൻ്റെ ഒരേയൊരു ഉപഗ്രൂപ്പ് ആണ് qകൂട്ടത്തിൽ ജി.എങ്കിൽ തിരികെ q-- ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ വിഭജനം എൻഒപ്പം , പിന്നെ ഒരു ഉപവിഭാഗം എൻ,സമത്വത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടത് (9), ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ് q. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
അനന്തരഫലം . പ്രൈം ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പിൽ, നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഏത് ഉപഗ്രൂപ്പും മുഴുവൻ ഗ്രൂപ്പുമായും യോജിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 10.ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ, എല്ലാ ഉപഗ്രൂപ്പിനും ഫോം ഉണ്ട്.
ഉദാഹരണം 11. 1 ൻ്റെ nth റൂട്ടുകളുടെ ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ, ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പ് വേരുകളുടെ ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ് q- 1-ൻ്റെ ഡിഗ്രി, എവിടെ.