ഒരു പരാമീറ്റർ ഉള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ. ഗണിതത്തിലെ ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു നൽകിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
1. സിസ്റ്റങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾപരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്
ഒരു പാരാമീറ്ററുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ അതേ അടിസ്ഥാന രീതികളാൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു: പകരം വയ്ക്കൽ രീതി, സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്ന രീതി, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി. ലീനിയർ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് വേരുകളുടെ എണ്ണത്തെയും അവയുടെ നിലനിൽപ്പിനെയും കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 1.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത പരാമീറ്ററിനുള്ള എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
പരിഹാരം.
ഈ ടാസ്ക് പരിഹരിക്കാനുള്ള നിരവധി വഴികൾ നോക്കാം.
1 വഴി.ഞങ്ങൾ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു: x ന് മുന്നിലുള്ള ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം y ന് മുന്നിലുള്ള ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, എന്നാൽ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ (a/a 1 = b) അനുപാതത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. /b 1 ≠ c/c 1). അപ്പോൾ നമുക്ക് ഉണ്ട്:
1/1 = (a 2 - 3)/1 ≠ a/2 അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റം
(ഒപ്പം 2 – 3 = 1,
(a≠ 2.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് a 2 = 4, അതിനാൽ, a ≠ 2 എന്ന വ്യവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും.
ഉത്തരം: a = -2.
രീതി 2.പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 - y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 - y.
ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതു ഘടകം y എടുത്ത ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 - y.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല, അതായത്
(ഒപ്പം 2 – 4 = 0,
(എ - 2 ≠ 0.
വ്യക്തമായും, a = ± 2, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഉത്തരം ഒരു മൈനസ് ഉത്തരത്തിൽ മാത്രമേ വരുന്നുള്ളൂ.
ഉത്തരം: a = -2.
ഉദാഹരണം 2.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള പരാമീറ്ററിനായുള്ള എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.
(8x + ay = 2,
(കോടാലി + 2y = 1.
പരിഹാരം.
പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, x, y എന്നിവയുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിലെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് (അതായത് a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). അതിനാൽ 8/a = a/2 = 2/1. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ ഉദാഹരണത്തിലെ ഉത്തരം a = 4 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
ഉത്തരം: a = 4.
2. ഒരു പരാമീറ്റർ ഉള്ള യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ
ഉദാഹരണം 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = എ.
പരിഹാരം.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = എ.
ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കുറച്ചാൽ നമുക്ക് 5|x| ലഭിക്കും = 4 - എ. ഈ സമവാക്യത്തിന് a = 4 എന്നതിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കും. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും (ഒരു< 4) или ни одного (при а > 4).
ഉത്തരം: a = 4.
ഉദാഹരണം 4.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുള്ള പരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
പരിഹാരം.
ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കും. അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ്, Oy അക്ഷത്തിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റ് മുകളിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഒരു പരവലയമാണ്. ആദ്യ സമവാക്യം y = -x എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായ ഒരു കൂട്ടം വരികൾ വ്യക്തമാക്കുന്നു (ചിത്രം 1). കോർഡിനേറ്റുകൾ (-0.5, 1.25) ഉള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ y = -x + a എന്ന നേർരേഖ പരവലയത്തോട് സ്പർശിക്കുന്നതാണെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമായി കാണാം. ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ x, y എന്നിവയ്ക്ക് പകരം നേർരേഖ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, പാരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
1.25 = 0.5 + എ;
ഉത്തരം: a = 0.75.
ഉദാഹരണം 5.
സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, a പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുക, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ട്.
(കോടാലി – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
പരിഹാരം.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ y പ്രകടിപ്പിക്കുകയും രണ്ടാമത്തേതിന് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
(y = കോടാലി – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.
kx = b എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കാം, അതിന് k ≠ 0 ന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടാകും.
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
2 + 3a + 2 എന്ന സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിനെ ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
(a + 2)(a + 1), ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x എടുക്കുന്നു:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).
വ്യക്തമായും, ഒരു 2 + 3a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, അതിനാൽ,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, അതായത് ≠ 0, ≠ -3.
ഉത്തരം: a ≠ 0; ≠ -3.
ഉദാഹരണം 6.
ഗ്രാഫിക്കൽ സൊല്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉള്ള പാരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുക.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = എ.
പരിഹാരം.
വ്യവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ഒരു കേന്ദ്രവും 3 യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ ആരവും ഉള്ള ഒരു സർക്കിൾ നിർമ്മിക്കുന്നു;
x 2 + y 2 = 9. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം (y = |x| + a) ഒരു തകർന്ന വരയാണ്. ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രം 2സർക്കിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ കേസുകളും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. a = 3 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.
ഉത്തരം: a = 3.
ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ? സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് അറിയില്ലേ?
ഒരു അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ, രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.
ആദ്യ പാഠം സൗജന്യമാണ്!
വെബ്സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.
TO പാരാമീറ്റർ ഉള്ള ജോലികൾഉദാഹരണത്തിന്, ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയൽ ഉൾപ്പെടുത്താം പൊതുവായ കാഴ്ച, പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച് ലഭ്യമായ വേരുകളുടെ എണ്ണത്തിനായുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ പഠനം.
വിശദമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകാതെ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങളായി പരിഗണിക്കുക:
y = kx, ഇവിടെ x, y വേരിയബിളുകൾ, k എന്നത് ഒരു പരാമീറ്ററാണ്;
y = kx + b, ഇവിടെ x, y വേരിയബിളുകൾ, k, b എന്നിവ പരാമീറ്ററുകളാണ്;
ax 2 + bx + c = 0, ഇവിടെ x എന്നത് വേരിയബിളുകളാണ്, a, b, c എന്നിവ ഒരു പരാമീറ്ററാണ്.
ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം (അസമത്വം, സിസ്റ്റം) പരിഹരിക്കുന്നത്, ചട്ടം പോലെ, അനന്തമായ സമവാക്യങ്ങൾ (അസമത്വങ്ങൾ, സിസ്റ്റങ്ങൾ) പരിഹരിക്കുന്നു.
ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉള്ള ജോലികളെ രണ്ട് തരങ്ങളായി തിരിക്കാം:
എ)വ്യവസ്ഥ പറയുന്നു: സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക (അസമത്വം, സിസ്റ്റം) - ഇതിനർത്ഥം, പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും, എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. കുറഞ്ഞത് ഒരു കേസെങ്കിലും അന്വേഷിക്കപ്പെടാതെ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പരിഹാരം തൃപ്തികരമാണെന്ന് കണക്കാക്കാനാവില്ല.
b)സമവാക്യത്തിന് (അസമത്വം, സിസ്റ്റം) ചില ഗുണങ്ങളുള്ള പരാമീറ്ററിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, പരിഹാരങ്ങളില്ല, ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, മുതലായവ. അത്തരം ജോലികളിൽ, ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യത്തിലാണ് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമെന്ന് വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഒരു അജ്ഞാത സ്ഥിര സംഖ്യയായതിനാൽ പരാമീറ്ററിന് ഒരു പ്രത്യേക ദ്വിത്വമുണ്ട്. ഒന്നാമതായി, പരാമീറ്റർ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കണമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ട പ്രശസ്തി സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. രണ്ടാമതായി, പരാമീറ്റർ കൈകാര്യം ചെയ്യാനുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യം അതിൻ്റെ അവ്യക്തതയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അത്തരം ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ പ്രാഥമിക ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, പരാമീറ്റർ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ ശ്രദ്ധ ആവശ്യമാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, -6a, 3a എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾ മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
1) a നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ -6a 3a-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും;
2) a = 0 ആകുമ്പോൾ -6a = 3a;
3) a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ 0 ആണെങ്കിൽ -6a 3a-ൽ കുറവായിരിക്കും.
പരിഹാരം ഉത്തരം ആയിരിക്കും.
kx = b എന്ന സമവാക്യം നൽകട്ടെ. ഈ സമവാക്യം ഒരു വേരിയബിളുള്ള അനന്തമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഹ്രസ്വ പതിപ്പാണ്.
അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, കേസുകൾ ഉണ്ടാകാം:
1. k ഏതെങ്കിലും ആയിരിക്കട്ടെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യപൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, b എന്നത് R-ൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്, തുടർന്ന് x = b/k.
2. k = 0 ഉം b ≠ 0 ഉം ആകട്ടെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യം 0 x = b എന്ന ഫോം എടുക്കും. വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
3. k, b എന്നിവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ നമുക്ക് തുല്യത 0 x = 0 ആണ്. അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം:
1. പാരാമീറ്ററിൻ്റെ "നിയന്ത്രണ" മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക.
2. ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നിർണ്ണയിച്ച പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്കായി x ൻ്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
3. ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്കായി x ൻ്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
4. നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ ഉത്തരം എഴുതാം:
1) വേണ്ടി ... (പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ), സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട് ...;
2) എന്നതിന് ... (പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ), സമവാക്യത്തിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം 1.
|6 – x| എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക = എ.
പരിഹാരം.
ഇവിടെ ഒരു ≥0 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.
മൊഡ്യൂൾ 6 - x = ±a യുടെ നിയമം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ x പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
ഉത്തരം: x = 6 ± a, ഇവിടെ a ≥ 0.
ഉദാഹരണം 2.
x എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം.
നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം: aх – а + 2х – 2 = 0
നമുക്ക് സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതാം: x(a + 2) = a + 2.
a + 2 എന്ന പദപ്രയോഗം പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അതായത് a ≠ -2 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് പരിഹാരം x = (a + 2) / (a+ 2), അതായത്. x = 1.
a + 2 പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്. a = -2, അപ്പോൾ നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത 0 x = 0 ആണ്, അതിനാൽ x എന്നത് ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
ഉത്തരം: a ≠ -2 ന് x = 1 ഉം = -2 ന് x € R ഉം.
ഉദാഹരണം 3.
x എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് x/a + 1 = a + x എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം.
a = 0 ആണെങ്കിൽ, നമ്മൾ സമവാക്യത്തെ a + x = a 2 + ax അല്ലെങ്കിൽ (a – 1)x = -a(a – 1) രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. a = 1 ൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിന് 0 x = 0 എന്ന രൂപമുണ്ട്, അതിനാൽ x എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്.
a ≠ 1 ആണെങ്കിൽ, അവസാന സമവാക്യം x = -a എന്ന ഫോം എടുക്കും.
ഈ പരിഹാരം കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ ചിത്രീകരിക്കാം (ചിത്രം 1)
ഉത്തരം: a = 0 ന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; x - a = 1 ഉള്ള ഏത് സംഖ്യയും; a ≠ 0 നും a ≠ 1 നും x = -a.
ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി
ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം - ഗ്രാഫിക്കായി. ഈ രീതി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 4.
a പരാമീറ്റർ അനുസരിച്ച്, സമവാക്യം എത്ര വേരുകളാണുള്ളത് ||x| – 2| = എ?
പരിഹാരം.
ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, y = ||x| ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു – 2| ഒപ്പം y = a (ചിത്രം 2).
y = a നേർരേഖയുടെ സ്ഥാനവും അവയിൽ ഓരോന്നിലും വേരുകളുടെ എണ്ണവും സാധ്യമായ കേസുകൾ ഡ്രോയിംഗ് വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു.
ഉത്തരം: a ആണെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല< 0; два корня будет в случае, если a >2 ഉം a = 0 ഉം; a = 2 ൻ്റെ കാര്യത്തിൽ സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും; നാല് വേരുകൾ - 0 ൽ< a < 2.
ഉദാഹരണം 5.
എന്തൊരു സമവാക്യത്തിൽ 2|x| + |x – 1| = a ഒറ്റമൂലിയുണ്ടോ?
പരിഹാരം.
y = 2|x| ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം + |x – 1| ഒപ്പം y = a. y = 2|x| എന്നതിന് + |x – 1|, ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് മൊഡ്യൂളുകൾ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(-3x + 1, x-ൽ< 0,
y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, x > 1 ന്.
ഓൺ ചിത്രം 3 a = 1 ആകുമ്പോൾ മാത്രമേ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ടാകൂ എന്ന് വ്യക്തമായി കാണാം.
ഉത്തരം: a = 1.
ഉദാഹരണം 6.
|x + 1| എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക + |x + 2| = a പരാമീറ്ററിനെ ആശ്രയിച്ച് a?
പരിഹാരം.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = |x + 1| + |x + 2| ഒരു തകർന്ന വര ആയിരിക്കും. അതിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ (-2; 1), (-1; 1) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും. (ചിത്രം 4).
ഉത്തരം: a പരാമീറ്റർ ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല; a = 1 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള അനന്തമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് [-2; -1]; a പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ? ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് അറിയില്ലേ?
ഒരു അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ, രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.
ആദ്യ പാഠം സൗജന്യമാണ്!
വെബ്സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.
$a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ എന്ന അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടോ?
പരിഹാരം
നമുക്ക് ഈ അസമത്വം $x^2$-നുള്ള പോസിറ്റീവ് ഗുണകമായി കുറയ്ക്കാം:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. ഈ അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടാകാൻ, പരവലയത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദുവെങ്കിലും $x$ അക്ഷത്തിന് താഴെയായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം, അതായത്, അതിൻ്റെ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം. $a^2 - 28a > 0$ എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു. $a^2 - 28a$ എന്ന സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിന് രണ്ട് റൂട്ടുകളുണ്ട്: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. അതിനാൽ, $a^2 - 28a > 0$ എന്ന അസമത്വം $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$ എന്ന ഇടവേളകളാൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
ഉത്തരം.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
$a$ എന്ന പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും, എല്ലാ റൂട്ടുകളും പോസിറ്റീവ് ആണ്?
പരിഹാരം
$a=2$ അനുവദിക്കുക. അപ്പോൾ സമവാക്യം $() - 4x +5 = 0$ എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് $x=\dfrac(5)(4)$ ഒരു പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് ആണെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.
ഇപ്പോൾ $a\ne 2$ അനുവദിക്കുക. ഇത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് കാരണമാകുന്നു. $a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുള്ളതെന്ന് നമുക്ക് ആദ്യം നിർണ്ണയിക്കാം. അതിൻ്റെ വിവേചനം നിഷേധാത്മകമായിരിക്കണം. അതായത്:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച് വേരുകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം, അതിനാൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (കേസുകൾ) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\ cup( 2.
ഞങ്ങൾ ഉത്തരങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച് ആവശ്യമായ സെറ്റ് നേടുന്നു: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
ഉത്തരം.$a\in(-\infty;-3)\കപ്പ് $.
$a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ എന്ന അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലേ?
പരിഹാരം
- $a = 0$ ആണെങ്കിൽ, ഈ അസമത്വം $5 \leqslant 0$ എന്ന അസമത്വത്തിലേക്ക് അധഃപതിക്കുന്നു, അതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. അതിനാൽ, $a = 0$ മൂല്യം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
- $a > 0$ ആണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്ന ഒരു പരവലയമാണ്. നമുക്ക് $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$ കണക്കാക്കാം. പരവലയം x-അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ, അതായത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന് വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ ($D) അസമത്വത്തിന് പരിഹാരമില്ല.< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- എങ്കിൽ $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
ഉത്തരം.$a \in \ഇടത്$ വേരുകൾക്കിടയിൽ കിടക്കുന്നു, അതിനാൽ രണ്ട് റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം (അർത്ഥം $a\ne 0$). പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ മുകളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$, $y(1) > 0$.
കേസ് ഐ.$a > 0$ അനുവദിക്കുക. പിന്നെ
$\ഇടത്\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \ right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
അതായത്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ എല്ലാ $a > 3$ ഉം അനുയോജ്യമാണെന്ന് മാറുന്നു.
കേസ് II.$a അനുവദിക്കുക< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
അതായത്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ എല്ലാ $a ഉം അനുയോജ്യമാണെന്ന് മാറുന്നു< -1$.
ഉത്തരം.$a\in (-\infty ;-1)\കപ്പ് (3;+\infty)$
$a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, ഓരോന്നിനും സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം
$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $
കൃത്യമായി രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.
പരിഹാരം
ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുക: $(x-y)^2 = 1$. പിന്നെ
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(അറേ)\വലത്. $
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, നമുക്ക് രണ്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$, $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും വിവേചനം $D = 16a-4$ ആണ്.
ആദ്യത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ജോഡി രണ്ടാമത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുമായി ഒത്തുപോകുന്നത് സംഭവിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ആദ്യത്തേതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക $-1$ ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ആകെത്തുക 1 ആണ്. .
ഇതിനർത്ഥം ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കണം, അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. അതായത്, $D = 16a - 4 = 0$.
ഉത്തരം.$a=\dfrac(1)(4)$
$4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് റൂട്ടുകളുള്ള ഓരോന്നിനും $a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം
നമുക്ക് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
$x\geqslant 3$ ആകുമ്പോൾ ആദ്യ മൊഡ്യൂൾ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വിപുലീകരിക്കുകയും ഫംഗ്ഷൻ ഫോം എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. മൊഡ്യൂളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും വികാസത്തോടെ, ഫലം $k\geqslant 5-3-1=1>0$ എന്ന കോഫിഫിഷ്യൻ്റുള്ള ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും, അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഈ ഫംഗ്ഷൻ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.
ഇനി നമുക്ക് $x എന്ന ഇടവേള പരിഗണിക്കാം<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
അതിനാൽ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് $x=3$ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ഇതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം. അതായത്, ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\ഇടത് വലത്താരോ\ക്വാഡ് |3+എ|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24
ഉത്തരം.$a \in (-24; 18)$ $a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് തനതായ റൂട്ട് ഉള്ളത്? നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം: $t = 5^x > 0$. അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു: $t^2-3t+a-1 =0$. ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കും, അതിലൊന്ന് പോസിറ്റീവ്, മറ്റൊന്ന് നെഗറ്റീവ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം ഇതാണ്: $D = 13-4a$. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കും, അതായത് $a = \dfrac(13)(4)$. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റൂട്ട് $t=\dfrac(3)(2) > 0$, അതിനാൽ $a$ ൻ്റെ ഈ മൂല്യം അനുയോജ്യമാണ്. രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അതിലൊന്ന് പോസിറ്റീവ്, മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് അല്ല, $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$, $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . അതായത്, $a\in(-\infty;1]$ ഉത്തരം.$a\in(-\infty;1]\കപ്പ്\ഇടത്\(\dfrac(13)(4)\വലത്\)$ സിസ്റ്റം $a$ എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(കേസുകൾ) $ കൃത്യമായി രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റാം: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \അവസാനം(കേസുകൾ)$ $a$ എന്ന പരാമീറ്റർ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിലായതിനാൽ, അതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: $a>0$, $a \ne 1$. $y$ എന്നത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ആയതിനാൽ, $y > 0$. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ച്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു: $\log_a y = y^2$. $a$ പാരാമീറ്റർ എന്ത് മൂല്യങ്ങളാണ് എടുക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, രണ്ട് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്: ഉത്തരം.$a\in(0;1)$ $a > 1$ ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് കേസ് പരിഗണിക്കാം. $t$ ൻ്റെ വലിയ കേവല മൂല്യങ്ങൾക്ക് $f(t) = a^t$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $g(t) = t$ എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായതിനാൽ, ഒരേയൊരു പൊതു പോയിൻ്റ് ഒരു പോയിൻ്റ് മാത്രമായിരിക്കും. സ്പർശനത്തിൻ്റെ. $t_0$ എന്നത് സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, $f(t) = a^t$ എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഏകതയ്ക്ക് തുല്യമാണ് (ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ്), കൂടാതെ, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ യോജിക്കുന്നു, അതായത്, സിസ്റ്റം നടക്കുന്നു: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ എവിടെ നിന്ന് $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ മാത്രമല്ല, നേർരേഖയ്ക്കും ഇടയ്ക്കും ഇടയിൽ മറ്റ് പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻവ്യക്തമല്ല. ഉത്തരം.$a \in (0;1] \കപ്പ് \ഇടത്\(e^(e^(-1))\വലത്\)$പരിഹാരം
പരിഹാരം
- സിലിക്കൺ മോൾഡുകളിലെ മൈക്രോവേവിലെ ചോക്കലേറ്റ് കപ്പ് കേക്ക് സിലിക്കൺ മോൾഡുകളിലെ മൈക്രോവേവിലെ കപ്പ് കേക്കുകൾ
- വീട്ടിൽ ഉണങ്ങിയ പ്ലംസ് - അസാധാരണമായ ലഘുഭക്ഷണത്തിനുള്ള യഥാർത്ഥ പാചകക്കുറിപ്പുകൾ
- എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ കപ്പലിൻ്റെ ക്യാപ്റ്റനെക്കുറിച്ച് സ്വപ്നം കാണുന്നത്?
- ഒരു സ്വപ്നത്തിൽ സ്കേറ്റ് ചെയ്യുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?