സംഖ്യാ സെറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക എന്ന ആശയം. ഒരു ഹൈസ്കൂൾ കോഴ്സിൽ നമ്പറുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നമ്പർ സെറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു
അതിനാൽ സെറ്റ് Q+ പോസിറ്റീവ് ആണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ N എന്ന സെറ്റിൻ്റെ വിപുലീകരണമായിരുന്നു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, നിരവധി നിബന്ധനകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
N ഉം Q+ ഉം തമ്മിലുള്ള ഒരു ഇൻക്ലൂഷൻ ബന്ധത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വമാണ് ആദ്യത്തെ വ്യവസ്ഥ. N Q+ എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.
സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അനുവദിക്കുക എക്സ്ഒരൊറ്റ സെഗ്മെൻ്റിനൊപ്പം ഇഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ടി.നമുക്ക് യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റിനെ വിഭജിക്കാം എൻതുല്യ ഭാഗങ്ങൾ. പിന്നെ എൻഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ഭാഗം സെഗ്മെൻ്റിലേക്ക് യോജിക്കും എക്സ്കൃത്യമായ സമയം, അതായത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എക്സ്ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കും. അതിനാൽ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം എക്സ്സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായും പ്രകടിപ്പിക്കാം ടി,ഒരു പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യയും. പക്ഷേ അത് വേണം എൻഒരേ നമ്പർ ആയിരിക്കുക.
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image003.png)
അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 6-നെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: മുതലായവ.
N, Q+ എന്നീ സെറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ചിത്രം 28-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു .
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image004.jpg)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image005.png)
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലേക്ക് പൂരകമാക്കുന്ന സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു ഫ്രാക്ഷണൽ.
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം വിപുലീകരിക്കുമ്പോൾ പാലിക്കേണ്ട രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്ഥിരതയാണ്, അതായത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കായി നിലവിലുള്ള നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി നടത്തുന്ന ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ അവയിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം, പക്ഷേ അവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി പ്രവർത്തിക്കണം. പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകൾക്കായി രൂപപ്പെടുത്തിയ നിയമങ്ങൾ. ഈ വ്യവസ്ഥയും തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.
അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബി- സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, - N-ൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ലഭിച്ച അവരുടെ തുക. നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാം എഒപ്പം ബി Q+ ൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നിയമപ്രകാരം.
അന്ന് മുതൽ
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image007.png)
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം വിപുലീകരിക്കുമ്പോൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ട മൂന്നാമത്തെ വ്യവസ്ഥ, N-ൽ എപ്പോഴും സാധ്യമല്ലാത്ത ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ Q+ ലെ സാദ്ധ്യതയാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു: N എന്ന ഗണത്തിൽ എപ്പോഴും ചെയ്യാത്ത വിഭജനം, എപ്പോഴും സെറ്റ് Q+ ൽ സംതൃപ്തനാണ്.
സ്വാഭാവികവും പോസിറ്റീവുമായ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വെളിപ്പെടുത്തുന്ന കുറച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ കൂടി നടത്താം.
1. ഭിന്നസംഖ്യയിലെ ഒരു വരയെ വിഭജന ചിഹ്നമായി കണക്കാക്കാം.
തീർച്ചയായും, നമുക്ക് രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എടുക്കാം ടിഒപ്പം എൻഒപ്പം പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നതിന് റൂൾ (4) ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ ഘടകാംശം കണ്ടെത്താം:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image008.png)
നേരെമറിച്ച്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നൽകിയാൽ, അത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകമായി കണക്കാക്കാം ടിഒപ്പം എൻ.
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image009.png)
2. ഏതെങ്കിലും അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായോ മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനായോ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
അനുചിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ t > പി.എങ്കിൽ ടിഒന്നിലധികം പി,ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ പ്രതിനിധാനമാണ്. നമ്പർ ആണെങ്കിൽ ടിഒന്നിലധികം അല്ല പി,അപ്പോൾ നമ്മൾ വിഭജിക്കും ടിഓൺ എൻബാക്കിയുള്ളത്: , എവിടെ. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം ഇതിനുപകരമായി ടിനൊട്ടേഷനിൽ പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം (1) പ്രയോഗിക്കുക:
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image010.png)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image011.png)
കാരണം , അപ്പോൾ അംശം ശരിയാണ്. തൽഫലമായി, അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു qശരിയായ അംശവും. അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ഭാഗത്തെയും വേർതിരിക്കുന്നതിനെ ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്,.
സങ്കലന ചിഹ്നമില്ലാതെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെയും ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ആകെത്തുക എഴുതുന്നത് പതിവാണ്: അതായത്, അത്തരമൊരു നൊട്ടേഷൻ എഴുതുന്നതിനും വിളിക്കുന്നതിനും പകരം മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ.
ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: ഓരോ മിശ്ര ഭിന്നസംഖ്യയും തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്:
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image013.png)
പുരാതന കാലം മുതൽ, പ്രധാന ഗണിത വസ്തുക്കൾ ഒരു സെറ്റിൻ്റെ സംഖ്യകളും ഗണങ്ങളും ഘടകങ്ങളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുമാണ്. ഒബ്ജക്റ്റുകളെ അളക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു അമൂർത്തീകരണമാണ് നമ്പർ. വീണ്ടും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു പ്രാകൃത സമൂഹംഎണ്ണലിൻ്റെ ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, സംഖ്യ എന്ന ആശയം മാറുകയും സമ്പുഷ്ടമാവുകയും ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയമായി മാറുകയും ചെയ്തു. നമ്പറുകൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ലിഖിത ചിഹ്നങ്ങൾ (ചിഹ്നങ്ങൾ) ആണ് സംഖ്യകൾ. ആധുനികം ഗണിതശാസ്ത്രംമറ്റു പലതിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ. നിങ്ങൾ അവയുടെ സാരാംശം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിശകലനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, അവ പൊതുവേ, "നമ്പർ", "സെറ്റ്", "മാപ്പ്", "പ്രോപ്പർട്ടി" എന്നീ ആശയങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ഐസോമോഫിക് ആണ്.
ഒരു സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് അർത്ഥത്തിൽ, സംഖ്യകൾ ചില ഗുണങ്ങളുള്ള സെറ്റുകളുടെ ഒരു വിഭാഗമാണ്. ഈ ഗുണങ്ങൾ അവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സെറ്റുകളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തൽ, അളവ്, ടോപ്പോളജിക്കൽ, മെട്രിക് പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്നിവയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സംഖ്യകളുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് അവയുടെ ശക്തിയാണ്, അത് പരിമിതമോ എണ്ണാവുന്നതോ തുടർച്ചയായതോ ആകാം. അതനുസരിച്ച്, സംഖ്യകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ കാർഡിനാലിറ്റി ഉള്ള ഏത് ക്ലാസ് സെറ്റുകളുടെയും പ്രതിനിധികളാകാം. ഒരു സംഖ്യാ ഗണത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ഗണമായി തുടർച്ചയേക്കാൾ വലിയ കാർഡിനാലിറ്റി ഉള്ള സെറ്റുകളെ പോലും പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഇത് "നമ്പർ" എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ സാർവത്രികത പ്രകടമാക്കുന്നു.
സംഖ്യകളുടെ മറ്റൊരു പ്രധാന സ്വത്ത് അതിൻ്റെ അളവാണ്. വ്യത്യസ്ത ഗുണങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളുടെ നിരവധി ക്ലാസുകളുണ്ട്. ലീനിയർ (ഏകമാനം) സംഖ്യകൾ ഉണ്ട് - ഇവ സ്വാഭാവിക N, പോസിറ്റീവ് N +, പൂർണ്ണസംഖ്യ Z, യുക്തിസഹമായ R, യഥാർത്ഥ Q സംഖ്യകൾ എന്നിവയാണ്. സംയോജിത മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പർകോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ട് - ഇവ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളാണ് C, ക്വാട്ടേർണിയണുകൾ H, biquaternions ബി, നോൺ-സിംഗുലാർ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സ് എം, ക്ലിഫോർഡ് നമ്പറുകൾ കെ എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും. സാധാരണ അർത്ഥത്തിൽ ഒരു ടെൻസർ (വെക്റ്റർ ഉൾപ്പെടെ) ഒരു സംഖ്യയല്ല.
രസകരമായ ഒരു തരം സംഖ്യകൾ ഹൈപ്പർറിയൽ നമ്പറുകളാണ്. ഈ "അനന്ത" സംഖ്യകളിലേക്കുള്ള റിയൽ സെറ്റിൻ്റെ വിപുലീകരണമായി "അനന്തമായ", "അനന്തമായ" സംഖ്യകളുടെ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ നിലവാരമില്ലാത്ത വിശകലനത്തിൽ ദൃശ്യമാകുന്നു.
ഒരു "നമ്പർ" എന്താണെന്ന് നിർവചിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, സംഖ്യകളുടെ തരങ്ങൾ.
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, യുക്തിസഹങ്ങൾ, യഥാർത്ഥങ്ങൾ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ എന്നിവയാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ സംഖ്യകൾ. അവ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്, അസോസിയേറ്റീവ്, ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് എന്നിവയാണ്.
സമാനമായ ഗുണങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളുടെ പ്രധാന തരങ്ങൾ നാല് തരം സംഖ്യകളാണ്. ഇവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, ക്വാട്ടേർണിയനുകൾ, ഒക്ടാവുകൾ എന്നിവയാണ്. അവസാനത്തെ രണ്ട് തരം സംഖ്യകൾക്കുള്ള ഗുണനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി നിലനിൽക്കില്ല. എന്നാൽ അവർക്കെല്ലാം ഉണ്ട് ബീജഗണിതങ്ങൾപൂജ്യം വിഭജിക്കാതെ.
സംഖ്യകളുടെ കൂടുതൽ വിപുലീകരണങ്ങൾക്ക് അസോസിയേറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല. വിതരണത്തെ മാനിക്കുന്നു.
സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാന തരങ്ങൾ
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, സ്വാഭാവിക കണക്കുകൂട്ടൽ വഴി ലഭിച്ച; സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ N എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. (ചിലപ്പോൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ പൂജ്യം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അതായത്, N = (0, 1, 2, 3, ...)). സങ്കലനത്തിനും ഗുണനത്തിനും കീഴിലാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ അടഞ്ഞിരിക്കുന്നത് (പക്ഷേ കുറയ്ക്കലോ ഹരിച്ചോ അല്ല). സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ സങ്കലനവും ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിവർത്തനാത്മകവും അനുബന്ധവുമാണ്, കൂടാതെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണവുമാണ്.
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾസ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ ഒരു സെറ്റുമായി സംയോജിപ്പിച്ച് ലഭിക്കും നെഗറ്റീവ്അക്കങ്ങളും പൂജ്യവും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് Z = (-2, -1, 0, 1, 2, ...). സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം (പക്ഷേ വിഭജനം) എന്നിവയ്ക്ക് കീഴിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ അടച്ചിരിക്കുന്നു.
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ- സംഖ്യകളെ ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എം/എൻ (എൻ? 0), എവിടെ എംഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ എൻ- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്കായി, നാല് "ക്ലാസിക്കൽ" ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, വിഭജനം (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒഴികെ). യുക്തിപരമായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ Q എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾയുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ചിലതിന് കീഴിൽ അടച്ചിരിക്കുന്നു (ഇതിന് പ്രധാനമാണ് ഗണിത വിശകലനം) പരിധിവരെ കടന്നുപോകുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ R കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് ഇതായി കരുതാം നികത്തൽയുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് Q ഉപയോഗിക്കുന്നു മാനദണ്ഡങ്ങൾ, ഇത് സാധാരണമാണ് സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്ക് പുറമേ, R സെറ്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ, ഇത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുപാതമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായി വിഭജിക്കുന്നതിനു പുറമേ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു ബീജഗണിതംഒപ്പം അതീന്ദ്രിയമായ. മാത്രമല്ല, എല്ലാ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണ്, എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യയും ബീജഗണിതമാണ്.
സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണമാണ്. അവ രൂപത്തിൽ എഴുതാം z = x + iy, എവിടെ ഐ- വിളിക്കപ്പെടുന്ന സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്, അതിനായി സമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു ഐ 2 = -1. ക്വാണ്ടം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു മെക്കാനിക്സ്, ഹൈഡ്രോഡൈനാമിക്സ്, ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തം മുതലായവ.
ലിസ്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടങ്ങൾക്ക്, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം സാധുവാണ്: N ? Z? ചോദ്യം? ആർ? സി.
ഹൈപ്പർ റിയൽ നമ്പറുകൾ- ഇവ ഫോമിൻ്റെ നമ്പറുകളാണ്:
1) എ+ ?, എവിടെ എ- സാധാരണ നമ്പർ എ- ഒരു അനന്തമായ സംഖ്യ;
2) ? = 1/? - അനന്തമായ വലിയ സംഖ്യ.
ഹൈപ്പർറിയൽ നമ്പറുകൾ സാധാരണ അർത്ഥത്തിൽ സംഖ്യകളല്ല. അവ പല വിഭാഗങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ, പ്രത്യേകിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ്, അതുപോലെ തന്നെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ നിർവചിക്കുമ്പോൾ പോലും പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നിടത്തെല്ലാം.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക പൊതുവൽക്കരണമാണ് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണം. ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് എ = എം/എൻഡിനോമിനേറ്റർ എൻ= 1, അപ്പോൾ എ = എംഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഇത് തെറ്റിദ്ധരിപ്പിക്കുന്ന ചില അനുമാനങ്ങൾ ഉയർത്തുന്നു. ഒന്നാമതായി, പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാൾ കൂടുതൽ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ രണ്ടും ഉണ്ട് എണ്ണുന്ന നമ്പർ. രണ്ടാമതായി, അത്തരം സംഖ്യകൾക്ക് ബഹിരാകാശത്തെ ഏത് ദൂരവും കൃത്യമായി അളക്കാൻ കഴിയുമെന്ന അനുമാനം ഉയർന്നുവരുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഇതാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, ഇതിന് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പര്യാപ്തമല്ല.
ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തരങ്ങൾ
ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ മോഡുലസ് ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ മോഡുലസിനേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയല്ലാത്ത ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്, 3/5, 7/8, 1/2 എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്, അതേസമയം 8/3, 9/5, 2/1, 1/1 എന്നിവ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. ഓരോ പൂർണ്ണസംഖ്യയും 1 ൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image015.png)
പൂർണ്ണ സംഖ്യയായും ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയായും എഴുതുന്ന ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് ആ സംഖ്യയുടെയും ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ആകെത്തുകയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, . കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ഗുണനവുമായി ഒരു മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കുള്ള നൊട്ടേഷൻ്റെ സമാനത കാരണം ഈ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.
അനന്തമായ സംഖ്യാ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, നമുക്ക് അനന്തമായി വലുതല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ മാത്രമേ എഴുതാൻ കഴിയൂ എന്ന വസ്തുത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതിയിൽ നമുക്ക് ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹ സംഖ്യ എഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് അനുമാനിക്കാം, കാരണം ഏത് യുക്തിസഹ സംഖ്യയും വ്യക്തമായും അനന്തമല്ല. കൂടാതെ അതിൻ്റെ രചനയിൽ പരിമിതമായ അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും.
ഷോട്ട് ഉയരം
ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഉയരം ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയുടെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും ആകെത്തുകയുടെ മൊഡ്യൂളാണ്. ഈ സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അംശത്തിൻ്റെ സംഖ്യയുടെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും ആകെത്തുക മൊഡ്യൂളാണ് ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെ ഉയരം.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ (-15/6) ഉയരം 15 + 6 = 21 ആണ്. അംശം 3 കൊണ്ട് റദ്ദാക്കുന്നതിനാൽ, അനുബന്ധ അനുപാത സംഖ്യയുടെ ഉയരം 5 + 2 = 7 ആണ്.
അനന്തരഫലമായി, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം എണ്ണാവുന്ന ഗണമാണ്. ഫ്രാക്ഷൻ റേഷണൽ സംഖ്യ അവിഭാജ്യ സംഖ്യ
ഈ സെറ്റിന് തുടർച്ചയുടെ സ്വത്തുണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം, പരസ്പരം അസമമായ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമല്ലാത്ത മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം എന്നാണ്. കൂടാതെ, ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ ഒന്നോ രണ്ടോ അതിരുകൾക്കൊപ്പം രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി റേഷനൽ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഭാഗം തുറക്കാവുന്നതാണ്.
യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് abelian ഗ്രൂപ്പ്"സങ്കലനം", "ഗുണം" എന്നീ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേകം.
"സങ്കലനം", "ഗുണം" എന്നീ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള ഒരു ഫീൽഡാണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം.
ഔപചാരിക നിർവചനം
ഔപചാരികമായി, ജോഡികളുടെ തുല്യതാ ക്ലാസുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ((( എം, എൻ) | എം? Z, എൻ? എൻ) മുഖേന തുല്യതാ ബന്ധം (എം, എൻ) ~ (എം", എൻ"), എങ്കിൽ എം എൻ" = എം" എൻ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
- (എം 1 , എൻ 1) + (എം 2 , എൻ 2) = (എം 1 , എൻ 2 + എം 2 , എൻ 1 , എൻ 1 എൻ 2),
- (എം 1 , എൻ 1) (എം 2 , എൻ 2) = (എം 1 എം 2 , എൻ 1 എൻ 2).
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പതിനാറ് അടിസ്ഥാനങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു പ്രോപ്പർട്ടികൾ, പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ.
- 1. ക്രമം. ഏത് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്കും a, b എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള മൂന്ന് ബന്ധങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രം അദ്വിതീയമായി തിരിച്ചറിയാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു നിയമമുണ്ട്: "
- ?എ, ബി? ചോദ്യം: എബി? ബിഎ? എ = ബി
- 2. ഓർഡർ ബന്ധത്തിൻ്റെ ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി. a, b, c എന്നിവയുടെ ഏതെങ്കിലും ട്രിപ്പിൾ യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്ക്, a b-ൽ കുറവും b എന്നത് c-യേക്കാൾ കുറവും ആണെങ്കിൽ, a c-യേക്കാൾ കുറവും, a എന്നത് b ന് തുല്യവും b എന്നത് c യും ആണെങ്കിൽ, a തുല്യമാണ്. സി.
- ?x, വൈ, z? ചോദ്യം: ( x y) ? ( വൈ z)> x z (ഓർഡറിൻ്റെ ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി);
- 3. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനം. ഏത് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്കും a, b എന്നിവയ്ക്ക് ഒരു സമ്മേഷൻ റൂൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അത് അവയെ ഒരു നിശ്ചിത യുക്തിസഹ സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, c എന്ന സംഖ്യയെ a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു (a + b), അത്തരമൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ സംഗ്രഹം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഗ്രഹ നിയമത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 n2 + m2 n1)/(n1 n2).
- ?എ, ബി? ചോദ്യം: ?( എ + ബി) ? ക്യു
- 4. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി. യുക്തിസഹമായ പദങ്ങളുടെ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുന്നത് തുകയെ മാറ്റില്ല.
- (?x, വൈ? ചോദ്യം): ( x + വൈ) = (വൈ + x)
- 5. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി. മൂന്ന് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്ന ക്രമം ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല.
- (?x, വൈ, z? ചോദ്യം): ( x + വൈ) + z = x + (വൈ + z)
- 6. പൂജ്യത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം. ചേർക്കുമ്പോൾ മറ്റെല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെയും സംരക്ഷിക്കുന്ന ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ 0 ഉണ്ട്.
- (?0? Q) (? x? ചോദ്യം) : ( x + 0 = x)
- 7. വിപരീത സംഖ്യകളുടെ സാന്നിധ്യം. ഏതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയ്ക്കും വിപരീത അനുപാത സംഖ്യയുണ്ട്, അത് ചേർത്താൽ 0 ലഭിക്കും.
- (?x, വൈ? ചോദ്യം) ?(- x? ചോദ്യം): ( x + (-x) = 0).
- 8. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ പ്രവർത്തനവുമായി ഓർഡർ ബന്ധത്തിൻ്റെ കണക്ഷൻ. യുക്തിസഹമായ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടത്തും വലത്തും ഒരേ യുക്തിസഹ സംഖ്യ ചേർക്കാം.
- ?x, വൈ, z? ചോദ്യം: ( x y) > ( x + z) y + z
- 9. ഗുണന പ്രവർത്തനം. ഏത് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്കും a, b എന്നിവയ്ക്ക് ഗുണന നിയമം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അത് അവയെ ഒരു നിശ്ചിത അനുപാത സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, c എന്ന സംഖ്യയെ തന്നെ a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എന്ന് വിളിക്കുകയും അത് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (a · b), അത്തരമൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഗുണനം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഗുണന നിയമം ഇപ്രകാരമാണ്: ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.
- ?എ, ബി?ച: ?( എ · ബി) ? ക്യു
- 10. ഗുണനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി. യുക്തിസഹമായ ഘടകങ്ങളുടെ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുന്നത് ഉൽപ്പന്നത്തെ മാറ്റില്ല.
- ?x, വൈ? ചോദ്യം: ( x വൈ) = (വൈ x);
- 11. ഗുണനത്തിൻ്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി. മൂന്ന് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ച ക്രമം ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല.
- ?x, വൈ, z? ചോദ്യം: ( x വൈ) z = x (വൈ z);
- 12. ഒരു യൂണിറ്റിൻ്റെ ലഭ്യത. ഗുണിക്കുമ്പോൾ മറ്റെല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെയും സംരക്ഷിക്കുന്ന ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ 1 ഉണ്ട്.
- ?1? Q(0): ? x? ചോദ്യം: x 1 = x;
- 13. പരസ്പര സംഖ്യകളുടെ സാന്നിധ്യം. ഏതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയ്ക്കും വിപരീത അനുപാത സംഖ്യയുണ്ട്, അത് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 1 ലഭിക്കും.
- ?x? Q(0):? x- 1: x x- 1 = 1.
- 14. ഗുണന പ്രവർത്തനവുമായി ഓർഡർ ബന്ധത്തിൻ്റെ കണക്ഷൻ. യുക്തിസഹമായ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും ഒരേ പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം.
- ?x, വൈ, z? ചോദ്യം: ( x y) ? ( z > 0) > വൈ z x z
- 15. സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണം. വിതരണ നിയമം വഴിയുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനവുമായി ഗുണന പ്രവർത്തനം ഏകോപിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
- (?x, വൈ, z? ചോദ്യം: ( x + വൈ) z = x z + വൈ z
- 16. ആർക്കിമിഡീസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം. a എന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യ എന്തായാലും, നിങ്ങൾക്ക് അവയുടെ ആകെത്തുക a കവിയുന്ന നിരവധി യൂണിറ്റുകൾ എടുക്കാം.
?എ? ചോദ്യം? എൻ? N: > എ
അധിക പ്രോപ്പർട്ടികൾ
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളിൽ അന്തർലീനമായിരിക്കുന്ന മറ്റെല്ലാ ഗുണങ്ങളും അടിസ്ഥാനപരമായവയായി വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, അവ മേലിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണങ്ങളെ നേരിട്ട് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതല്ല, എന്നാൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അല്ലെങ്കിൽ ചില ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുവിൻ്റെ നിർവചനം വഴി നേരിട്ട് തെളിയിക്കാനാകും. . അത്തരം അധിക പ്രോപ്പർട്ടികൾ ധാരാളം ഉണ്ട്. അവയിൽ ചിലത് മാത്രം ഇവിടെ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നതിൽ അർത്ഥമുണ്ട്.
രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ റിലേഷനും ">" ട്രാൻസിറ്റീവ് ആണ്.
?x, വൈ, z? ചോദ്യം: ( x > വൈ) ? (വൈ > z)> x > z(ഓർഡറിൻ്റെ ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി);
ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യത്തിൻ്റെയും ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
?x? ചോദ്യം: x· 0 = 0;
പൂജ്യം വിഭജനങ്ങളില്ല.
ഒരേ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ ടേം അനുസരിച്ച് ടേം ചേർക്കാം.
?എ, ബി, സി, ഡി? ചോദ്യം: എ > ബി ? സി > ഡി > എ + സി > ബി + ഡി
യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം Q ആണ് വയൽ(അതായത്, സ്വകാര്യ ഫീൽഡ്പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയങ്ങൾ Z) ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്.
ഓരോ റേഷണൽ സംഖ്യയും ബീജഗണിതം.
ഗണിതശാസ്ത്രം, അതിൻ്റെ പ്രത്യേകത കാരണം, കുട്ടികളുടെ ചിന്താഗതി വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ അധ്യാപകർക്ക് വലിയ അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഏതൊരു ഗണിത വിഷയവും പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ചിന്ത വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും പരിഗണനയിൽ ഞങ്ങൾ സ്ഥിരതാമസമാക്കി, ഇതാണ് ഞങ്ങളുടെ ഗവേഷണത്തിൻ്റെ വിഷയത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നിർണ്ണയിച്ചത്: " ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പഠനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രൊപ്പഡ്യൂട്ടിക് ജോലിയുടെ പ്രക്രിയയിൽ പ്രൈമറി സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ ചിന്തയുടെ വികസനം."
കൂടെ പ്രീസ്കൂൾ പ്രായംവസ്തുക്കളെ എണ്ണുകയോ നിരവധി വിരലുകൾ എണ്ണുകയോ ചെയ്യുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് കുട്ടി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ പ്രധാന ആശയം എൻമനോഭാവമാണ് , താഴെപ്പറയുന്ന Peano axioms ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.
ആക്സിയം 1. സമൃദ്ധമായി എൻഈ സെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തെ ഉടനടി പിന്തുടരാത്ത ഒരു ഘടകമുണ്ട്, അതിനെ ഒന്ന് എന്ന് വിളിക്കുകയും 1 എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ആക്സിയം 2.ഓരോ മൂലകത്തിനും എൻസെറ്റുകൾ എൻ,ഒരു ഘടകം മാത്രമേയുള്ളൂ ( n+1), ഉടനെ പിന്തുടരുന്നു എൻ.
ആക്സിയം 3.ഓരോ മൂലകത്തിനും എൻനിന്ന് എൻപരമാവധി ഒരു ഘടകം ഉണ്ട് ( p-1), അത് ഉടൻ പിന്തുടരുന്നു പി.
ആക്സിയം 4.ഏതെങ്കിലും ഉപവിഭാഗം ആർസെറ്റുകൾ എൻയോജിക്കുന്നു എൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ അതിന് തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ: 1) 1 അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ആർ; 2) വസ്തുതയിൽ നിന്ന് എൻഅടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ആർ, അത് പിന്തുടരുന്നു ( n+1)അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ആർ.
പീനോയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.
നിർവ്വചനം. പലതും എൻ,അവയുടെ ഘടകങ്ങൾ 1-4 പ്രമാണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതായത്. ഒരു ബന്ധത്തിലാണ് "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക", വിളിച്ചു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം,അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൻ്റെ വികാസം എൻആണ് Z എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം,സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ യൂണിയൻ, പൂജ്യം, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകൾ.
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണം ആണ് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം Q,പൂർണ്ണ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംയോജനമാണ്. എല്ലാ സംഖ്യകളുടേയും സെറ്റ്, കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു m/n, എവിടെ എംഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ ആകാം (പൂജ്യം ഒഴികെ), അതായത്. എംÎ Z,എ n -സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, അതായത്. എൻÎ എൻ,യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഉണ്ടാക്കുക . ഏത് യുക്തിസഹ സംഖ്യയും അനന്തമായ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം, വിപരീതമായി, ഏത് അനന്തമായ ആവർത്തന ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയും ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയാണ്.
കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളുണ്ട്, അതായത്. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. അത്തരം സംഖ്യകളാണ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം I, അവയെ അനന്ത ദശാംശ നോൺ-ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, വശം 1 ഉള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണൽ നീളം ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കണം r 2=1 2 +1 2 (പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്), അതായത്. അത്തരം r 2=2. നമ്പർ ആർഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ആകാൻ കഴിയില്ല, 1 2 = 1, 2 2 = 4, മുതലായവ. നമ്പർ ആർഫ്രാക്ഷണൽ ആകാൻ കഴിയില്ല: എങ്കിൽ r = m/n n¹1, പിന്നെ r 2 =m 2 /n 2, n 2 ¹ 1, r 2 =m 2 /n 2 എന്നിവയും കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കും. ഇതിനർത്ഥം m 2 / n 2 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല, അതിനാൽ 2 ന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലിൻ്റെ നീളം ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു . അതുപോലെ, 5, 7, 10 ചതുരങ്ങളുള്ള ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുമില്ല. അവയുടെ വിപരീത സംഖ്യകളും യുക്തിരഹിതമാണ് - , - , - .
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം അനന്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വ്യാസത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവിൻ്റെ അനുപാതം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന p എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല - ഇത് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.
യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകളുള്ള ഒരു കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടംകത്ത് മുഖേന നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ആർ.ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഒരൊറ്റ പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഓരോ പോയിൻ്റും ഒരൊറ്റ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി യോജിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തെയും വിളിക്കുന്നു നമ്പർ ലൈൻ.
സംഖ്യ എന്ന ആശയം സ്വാഭാവികതയിൽ നിന്ന് യഥാർത്ഥത്തിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുന്ന പ്രക്രിയ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, അത് പരിശീലനത്തിൻ്റെ ആവശ്യങ്ങളുമായും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ആവശ്യങ്ങളുമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വിഭജനം നടത്തേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഫ്രാക്ഷണൽ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിച്ചു; പിന്നീട് കുറയ്ക്കലിൻ്റെ പ്രവർത്തനം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെയും പൂജ്യത്തിൻ്റെയും ആശയങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചു; കൂടാതെ, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത - ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിലേക്ക്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളെല്ലാം സാധ്യമാകുന്ന സെറ്റ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ്, എന്നാൽ ഈ സെറ്റിൽ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും സാധ്യമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്റ്റുചെയ്യാനോ x 2 + x + 1 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനോ സാധ്യമല്ല. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം വികസിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
നമുക്ക് ഒരു നമ്പർ നൽകാം ഐ, അത്തരം ഞാൻ 2= - 1. നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ഈ നമ്പർ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണം പലതും സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ , ഇത് അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു കൂടെ. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം നമുക്ക് പിന്നീട് വിശദമായി പരിചയപ്പെടാം.
ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും:
എൻ- സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം;
Z- പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം;
ക്യു- യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം,
ആർ- യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം
കൂടെ- സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം.
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുമായി പരിചിതമായ ശേഷം വിദ്യാർത്ഥികൾ പഠിക്കുന്ന സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ആദ്യ വിപുലീകരണം പൂജ്യം കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്. പ്രാഥമിക വിദ്യാലയത്തിൽ പോലും ഇത് സംഭവിക്കുന്നു.
ആദ്യം, "O" എന്നത് ഒരു സംഖ്യയുടെ അഭാവത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അടയാളമാണ്. എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത്?
വിഭജിക്കുക എന്നാൽ അത്തരത്തിലുള്ളവ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് എക്സ് , എന്ത്: x-0 = എ. സാധ്യമായ രണ്ട് കേസുകളുണ്ട്:
1) എ * X: dg-0 * 0. ഇത് അസാധ്യമാണ്;
2) a = 0, അതിനാൽ, നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് xg x-0 = 0. അത്തരം എക്സ് ഓരോ ഗണിത പ്രവർത്തനവും അദ്വിതീയമായിരിക്കണമെന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമായ, നിങ്ങൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നിടത്തോളം:
ആവശ്യമായ ന്യായീകരണമില്ലാതെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ ന്യായമായി കണക്കാക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുണ്ട്.
5-6 ഗ്രേഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ, ഒരു കൂട്ടം യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ നിർമ്മാണം നടക്കുന്നു. സെറ്റ് എക്സ്റ്റൻഷനുകളുടെ ക്രമം അദ്വിതീയമല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ:
![](https://i0.wp.com/studme.org/htm/img/16/3319/59.png)
ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ സംഖ്യയുടെ പ്രാഥമിക ആശയം പ്രാഥമിക വിദ്യാലയത്തിൽ ഇതിനകം തന്നെ ഒരു യൂണിറ്റിൻ്റെ പല ഭിന്നസംഖ്യകളായി നൽകിയിട്ടുണ്ട്.
അടിസ്ഥാന സ്കൂളിൽ, അവയിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും സാധാരണയായി പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് ഉചിതമായ പ്രശ്നങ്ങളുടെ രീതിയാണ്, എസ്ഐ ഷോഖോർ-ട്രോട്സ്കി കണ്ടുപിടിച്ചതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ.
- 1 കിലോ ഗ്രാനേറ്റഡ് പഞ്ചസാരയുടെ വില 15 റുബിളാണ്. 4 കിലോ മണലിന് എത്ര വില വരും? 5 കിലോ?
- - കി. ഗ്രാം?
വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് 15 നെ 4 കൊണ്ട് 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, ഇപ്പോൾ അവർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്
15 മുതൽ. വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് 3 ൻ്റെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എത്രയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
കിലോഗ്രാം, അത്തരം രണ്ട് ഓഹരികളുടെ വില എത്രയെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഒരേ ഗണിത പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ന്യായമായതിനാൽ, ഈ രണ്ട് തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളും 15 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് എന്ന നിഗമനത്തിൽ അവർ എത്തിച്ചേരുന്നു -.
ഭിന്നസംഖ്യകൾ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അനുഭവം കണക്കിലെടുക്കുകയും അതിൽ ആശ്രയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് ഉചിതം. വിദ്യാർത്ഥികൾ സംഗീതത്തിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളെ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു. അതിൽ ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇവയാണ്: രണ്ട് പാദങ്ങൾ, മുക്കാൽ ഭാഗം, ഗണിത ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു: രണ്ട് പാദങ്ങൾ, മുക്കാൽ ഭാഗങ്ങൾ. മുകളിലെ സംഖ്യ ഒരു അളവിലുള്ള ബീറ്റുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു: രണ്ടോ മൂന്നോ. താഴെയുള്ള നമ്പർ ഈ ബീറ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് നാലിലൊന്നാണ്. മാർച്ചുകളും പോൾക്കാസും രണ്ട് പാദങ്ങളിൽ മുഴങ്ങുന്നു. മുക്കാൽ സമയത്തിനുള്ളിൽ അത് ഒരു വാൾട്ട്സ് ആണ്. ഈ ഓർമ്മകൾ വിദ്യാർത്ഥികളെ അവരുടെ അനുഭവങ്ങളുമായി പുതിയ അറിവുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കും, അതായത് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥധാരണ കൈവരിക്കുന്നു.
രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ബുദ്ധിമുട്ട് ക്രമത്തിൽ ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനത്തിൻ്റെ വിവിധ കേസുകൾ ക്രമീകരിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: 1) ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനം; 2) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക മിക്സഡ് നമ്പർ; 3) ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കുക; 4) ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനം; 5) ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യ എന്ന് കാണിക്കാൻ
നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യം പരിഗണിക്കാം: 6: -.
ആറ് സർക്കിളുകൾ നാല് ഭാഗങ്ങളായി മുറിച്ചു, തീർച്ചയായും, സർക്കിളുകളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഭാഗങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു.
സങ്കീർണ്ണമായ കേസുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ഒരു പ്രശ്നം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.
പഠന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഏത് ശ്രേണിയിലും ഗുണങ്ങളും ദോഷങ്ങളുമുണ്ട്.
സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് മുമ്പ് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അവതരിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പോസിറ്റീവ് ഇതാണ്:
- പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കുള്ള ദശാംശ സംഖ്യാ സംവിധാനം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ് (ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷമുള്ള ആദ്യത്തെ അക്ക യൂണിറ്റ് ഒരു യൂണിറ്റിൻ്റെ പത്തിലൊന്ന്, അടുത്തത് നൂറിലൊന്ന്...);
- എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്;
- കൂടുതൽ ഉണ്ട് പ്രായോഗിക പ്രയോഗംസാധാരണക്കാരേക്കാൾ.
സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് എല്ലാം എന്നതാണ് നെഗറ്റീവ്
ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തം പുനർനിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം ഒരു പ്രത്യേക കേസിൽ നിന്ന് പൊതുവായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ കഴിയില്ല.
സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ദശാംശങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് കണക്കിലെടുക്കണം:
- ദശാംശങ്ങൾ സാധാരണക്കാരുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, അതിനാൽ, എല്ലാ പ്രവർത്തന നിയമങ്ങളും അനന്തരഫലങ്ങളാണ്;
- പുതിയ അക്ക യൂണിറ്റുകളുടെ (ആദ്യ ഘട്ടത്തിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്) ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കുള്ള രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അസാധ്യമാണ്;
- ചില സാധാരണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ലളിതമാണ് (രണ്ടാം ഘട്ടം);
- ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പൊതു ആശയത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാത്രം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത്.
നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ വിവിധ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
അങ്ങനെ, പ്രചോദനം നൽകുന്നതിന്, കുട്ടിയുടെ അനുഭവത്തിന് അടുത്തുള്ള ഒരു പ്രശ്ന സാഹചര്യം ഉപയോഗിക്കാം.
റോബിൻ ഹുഡ്, പിന്തുടരുന്നവരിൽ നിന്ന് ഓടിപ്പോയി, നദി നീന്തി എകിലോമീറ്റർ, പക്ഷേ, ഒരു കോട്ടയുടെ മുന്നിൽ സ്വയം കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, നദിയിലൂടെ നീന്താനും നീന്താനും നിർബന്ധിതനായി ബികി.മീ. യാത്രയുടെ തുടക്കം മുതൽ അവൻ എവിടെയാണ് അവസാനിച്ചത് (നദിയിലേക്കുള്ള പ്രവേശന കവാടത്തിൽ നിന്ന് എത്ര അകലത്തിൽ)? അജ്ഞാതമായത് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതി: x = a - b yതമ്മിലുള്ള സാധ്യമായ എല്ലാ ബന്ധങ്ങളും പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് aik
1) a > k, 2) a = b; 3) എന്നാൽ അസാധ്യമാണ്.
നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളും നൽകാം:
- വിപരീത അർത്ഥങ്ങളുള്ള അളവുകളുടെ പരിഗണനയിലൂടെ (A.P. Kiselev);
- അളവിലുള്ള മാറ്റങ്ങളുടെ (വർദ്ധനയും കുറവും) സവിശേഷതകൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ;
- ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അച്ചുതണ്ടിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ അടയാളങ്ങളായി നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ (V. L. Goncharov);
- രണ്ട് ദിവസത്തേക്ക് നദിയിലെ ജലനിരപ്പ് മാറ്റുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിലൂടെ (ഡി.കെ. ഫദ്ദീവ്, ഐ.എസ്. സോമിൻസ്കി): കനത്ത മഴയിൽ നദിയിലെ ജലനിരപ്പ് ഉയർന്നു. എ പകൽ സമയത്ത് സെ.മീ. അടുത്ത 24 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ജലനിരപ്പ് കുറഞ്ഞു ബി രണ്ട് ദിവസത്തിന് ശേഷം ജലനിരപ്പ് എത്രയായിരിക്കും? (എ - ബി);
- ഒരു താപനില സ്കെയിലിൽ ദൂരം ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ (A. N. Barsukov).
ഈ വിദ്യകൾ പ്രചോദനത്തിൻ്റെ ഒരു വശമായും ഉപയോഗിക്കാം. മറ്റൊരു വശം മുകളിലുള്ള ടാസ്ക്കിലെന്നപോലെ ഒരു പ്രവൃത്തിയും ചെയ്യാനുള്ള കഴിവില്ലായ്മയാണ്.
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളിലും ഗുണവിശേഷതകളിലും താരതമ്യവും പ്രവർത്തനങ്ങളും അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ ഫീൽഡ് ലഭിച്ചു. നടപടിയെടുക്കുന്നതിൽ പരാജയപ്പെടുന്നതിനാൽ അതിൻ്റെ കൂടുതൽ വിപുലീകരണം മേലിൽ നിർദ്ദേശിക്കാനാവില്ല. സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ വികാസം ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളാൽ സംഭവിച്ചു, അതായത്: യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണവും സംഖ്യാരേഖയിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ ഗണവും തമ്മിൽ പരസ്പരം കത്തിടപാടുകളുടെ അഭാവം. ജ്യാമിതിക്ക്, നമ്പർ ലൈനിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിനും ഒരു അബ്സിസ്സ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. തന്നിരിക്കുന്ന അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുള്ള ഓരോ സെഗ്മെൻ്റും അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യമായി കണക്കാക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്റ്റുചെയ്യാനും ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിനായി ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്താനുമുള്ള അസാധ്യതയും ഈ വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതയ്ക്ക് കാരണമാകുന്നു. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് (അതിലേക്ക് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ചേർത്ത്) യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലേക്ക് വികാസം പ്രാപിച്ചതിന് ശേഷമാണ് ഈ ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നത്.
പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകൾ.
ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതവും ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനവും.
വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ.
വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക അർത്ഥം.
തുകയുടെ സൈദ്ധാന്തിക അർത്ഥം.
കൊളോക്യത്തിനായുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ
1. സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ആവിർഭാവത്തിൻ്റെ ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്.
2. ഓർഡിനൽ, കാർഡിനൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ. പരിശോധിക്കുക.
3. കർദ്ദിനാൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യത്തിൻ്റെയും സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് അർത്ഥം.
4. "കുറവ്", "തുല്യം" എന്ന ബന്ധത്തിൻ്റെ സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് അർത്ഥം
6. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നിയമങ്ങൾ.
8. ബന്ധങ്ങൾ "കൂടുതൽ", "കുറവ്".
9. ഒരു തുകയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യയും ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു തുകയും കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
10. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും പൂജ്യവും എഴുതുന്നതിനുള്ള രീതികളുടെ ആവിർഭാവത്തിൻ്റെയും വികാസത്തിൻ്റെയും ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്.
11. ഒരു നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആശയം.
12. പൊസിഷണൽ, നോൺ-പൊസിഷണൽ നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങൾ.
13. ദശാംശ സംഖ്യാ സംവിധാനത്തിൽ സംഖ്യകൾ എഴുതുകയും പേരിടുകയും ചെയ്യുക.
14. ദശാംശ സംഖ്യാ സംവിധാനത്തിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
15. ദശാംശ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തിലെ ഗുണനം
16. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ ക്രമം.
17. ദശാംശ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തിലെ കുറയ്ക്കൽ.
18. ദശാംശ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തിലെ വിഭജനം.
19. നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം.
20. ഡിവിസിബിലിറ്റി ബന്ധവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും.
23. പ്രധാന സംഖ്യകൾ. ഏറ്റവും വലുത് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പൊതു വിഭജനംസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതവും.
24. ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം.
27. പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകൾ ദശാംശങ്ങളായി എഴുതുന്നു.
28. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.
മൊഡ്യൂൾ 4. ജ്യാമിതീയ കണക്കുകളും അളവുകളും
എണ്ണുന്നതിനും അളക്കുന്നതിനുമുള്ള ആവശ്യകതയിൽ നിന്നാണ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടായതെന്ന് അറിയാം, എന്നാൽ എണ്ണുന്നതിന് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മതിയെങ്കിൽ, അളവ് അളക്കാൻ മറ്റ് സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അളവുകൾ അളക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ. വ്യാപ്തിയുടെ അളവുകോലായി ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ അർത്ഥം നിർവചിച്ച ശേഷം, അത്തരം സംഖ്യകളിൽ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് എന്ത് അർത്ഥമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഒരു പ്രൈമറി സ്കൂൾ അധ്യാപകന് ഈ അറിവ് ആവശ്യമാണ്, അളവിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ന്യായീകരിക്കാൻ മാത്രമല്ല, പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപനത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വ്യാഖ്യാനത്തിനുള്ള മറ്റൊരു സമീപനം മനസ്സിലാക്കാനും.
പോസിറ്റീവ് സ്കെലാർ അളവുകളുടെ അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ പരിഗണിക്കും - ദൈർഘ്യം, പ്രദേശങ്ങൾ, പിണ്ഡം, സമയം മുതലായവ, അതിനാൽ, അളവുകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അളവും അളവും സംബന്ധിച്ച ചില വസ്തുതകൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം. , പ്രത്യേകിച്ച് സംഖ്യ എന്ന ആശയം സംഖ്യയോടൊപ്പം പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സിൽ അടിസ്ഥാനമായതിനാൽ.
IN സമീപ വർഷങ്ങളിൽപ്രാരംഭ ഗണിത കോഴ്സിൽ ഗണ്യമായ അളവിൽ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ ഉൾപ്പെടുത്താനുള്ള പ്രവണതയുണ്ട്. എന്നാൽ ഒരു അധ്യാപകന് വിദ്യാർത്ഥികളെ വിവിധ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ (തലവും സ്ഥലവും) പരിചയപ്പെടുത്തുന്നതിനും ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി ചിത്രീകരിക്കാമെന്ന് അവരെ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനും, അദ്ദേഹത്തിന് ഉചിതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പരിശീലനം ആവശ്യമാണ്. തീർച്ചയായും, ജ്യാമിതിയുടെ ആവിർഭാവത്തിൻ്റെയും വികാസത്തിൻ്റെയും ചരിത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്, കാരണം വിദ്യാർത്ഥി, ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, ജ്യാമിതീയ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സൃഷ്ടിയുടെ പ്രധാന ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. അധ്യാപകൻ ജ്യാമിതി കോഴ്സിൻ്റെ പ്രധാന ആശയങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുകയും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ അറിയുകയും വേണം ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ, അവ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.
ഈ മൊഡ്യൂളിലെ മെറ്റീരിയൽ ഈ മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ അധ്യാപകനെ സഹായിക്കും. സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾ സ്വീകരിച്ച തയ്യാറെടുപ്പ് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, പ്രാഥമിക സ്കൂൾ കുട്ടികളെ ജ്യാമിതിയുടെ ഘടകങ്ങൾ പഠിപ്പിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ ഇത് അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യാൻ കഴിയണം:
ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കുക പ്രാഥമിക വിദ്യാലയംഅളവുകൾ അളക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെയും സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും നിർവചനത്തിലേക്ക്;
പരിശീലനത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം നിർണ്ണയിക്കുന്ന പരിധി വരെ കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പ്രാഥമിക നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക;
ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങളുടെ തെളിവും കണക്കുകൂട്ടലും ഉൾപ്പെടുന്ന ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക;
ഡിസൈൻ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രിസം, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തര പൈപ്പ്, പിരമിഡ്, സിലിണ്ടർ, കോൺ, ബോൾ എന്നിവ ഒരു വിമാനത്തിൽ വരയ്ക്കുക.
പ്രഭാഷണ നമ്പർ 19
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ
ആമുഖം
2. ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം
6. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ
ആമുഖം
ഫ്രാക്ഷൻ ആശയം
ഫ്രാക്ഷൻ നൊട്ടേഷനിൽ
ഫ്രാക്ഷൻ - വിളിച്ചു ശരിയാണ് , അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ഒപ്പം തെറ്റ് , അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ.
നമുക്ക് ചിത്രം 2-ലേക്ക് മടങ്ങാം, ഇവിടെ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നാലാം ഭാഗം ഇ സെഗ്മെൻ്റിലേക്ക് കൃത്യമായി 14 തവണ യോജിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരേയൊരു ഓപ്ഷൻ ഇതല്ല e സെഗ്മെൻ്റ് d: ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ തവണ. നിങ്ങൾക്ക് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ എട്ടാം ഭാഗം എടുക്കാം, തുടർന്ന് സെഗ്മെൻ്റ് d: 28 അടങ്ങുന്നതാണ്
അത്തരം 28 ഭാഗങ്ങളുണ്ട്, അതിൻ്റെ നീളം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കും.
നിങ്ങൾക്ക് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ പതിനാറാം ഭാഗം എടുക്കാം, തുടർന്ന് സെഗ്മെൻ്റ് x അത്തരം 56 ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുകയും അതിൻ്റെ നീളം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും.
പൊതുവായി, തന്നിരിക്കുന്ന യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അതേ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ x ൻ്റെ നീളം e വ്യത്യസ്ത ഭിന്നസംഖ്യകളിലും നീളം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിലും പ്രകടിപ്പിക്കാം. , പിന്നീട് ഇത് ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ടും പ്രകടിപ്പിക്കാം, ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.
സിദ്ധാന്തം. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാക്കാൻ ഒരേ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം പ്രകടിപ്പിക്കുകയും, തുല്യത mq = nр പിടിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായതും പര്യാപ്തവുമാണ്.
ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം. രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ mq = np ആണെങ്കിൽ തുല്യം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.
ഭിന്നസംഖ്യകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, എഴുതുക = .
ഉദാഹരണത്തിന്, = , മുതൽ 17 21 = 119 3 = 357, കൂടാതെ ≠ , കാരണം 17 27 = 459, 19 23 = 437, 459≠437.
മുകളിൽ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നും നിർവചനത്തിൽ നിന്നും, ഒരേ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ തുല്യമായിരിക്കും.
ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സമത്വത്തിൻ്റെ ബന്ധം പ്രതിഫലനപരവും സമമിതിയും സംക്രമണപരവുമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതായത്. ഒരു തുല്യതാ ബന്ധമാണ്. ഇപ്പോൾ, തുല്യ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് തെളിയിക്കാനാകും.
സിദ്ധാന്തം. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തുല്യത ഒരു തുല്യതാ ബന്ധമാണ്.
തെളിവ്. തീർച്ചയായും, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തുല്യത പ്രതിഫലനമാണ്: = , സമത്വം mn = mn എന്നതിനാൽ ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തുല്യത സമമിതിയാണ്: എങ്കിൽ =, പിന്നെ = , mq = nр എന്നതിൽ നിന്ന് р n = qm (m, n, p, q N) എന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഇത് ട്രാൻസിറ്റീവ് ആണ്: എങ്കിൽ = ഒപ്പം = , പിന്നെ = . വാസ്തവത്തിൽ, മുതൽ = , പിന്നെ mq = nр, മുതൽ = , പിന്നെ ps = qr. തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും mq = nr s കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് mqs = nps ഉം nps = qrs ഉം ലഭിക്കും. എവിടെ mqs = qrn അല്ലെങ്കിൽ ms = nr. അവസാന സമത്വം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് = . അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സമത്വം പ്രതിഫലനപരവും സമമിതിയും ട്രാൻസിറ്റീവുമാണ്, അതിനാൽ ഇത് ഒരു തുല്യതാ ബന്ധമാണ്.
തുല്യ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് പിന്തുടരുന്നു. നമുക്ക് അവനെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം.
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാൽ ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.
ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറവും ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കലും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഈ ഗുണം.
ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നത്, തന്നിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായ മറ്റൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരു ചെറിയ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഉപയോഗിച്ച്.
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേസമയം ഒന്നുകൊണ്ട് മാത്രം ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, അംശത്തെ മാറ്റാനാകാത്തത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, - കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യ, കാരണം അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേസമയം ഒന്നായി മാത്രമേ ഹരിക്കാനാകൂ, അതായത്. D(5, 17) =1.
ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ വിഭാഗങ്ങളുള്ള തുല്യ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതാണ്. രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പൊതുവിഭാഗം കൂടാതെ n, q എന്നിവയുടെ പൊതു ഗുണിതമാണ്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഛേദം K(n, q) ൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതമാണ്.
ടാസ്ക്. ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്കും .
പരിഹാരം. നമുക്ക് 15 ഉം 35 ഉം അക്കങ്ങൾ വിഭജിക്കാം പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ: 15 = 3·5, 35 = 5·7. അപ്പോൾ K(15, 35) = 3·5·7 = 105. 105= 15·7 = 35·3 ആയതിനാൽ = = , = = .
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൻ്റെ ഉറവിടങ്ങളിലൊന്ന് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനമാണ്, മറ്റൊന്ന് അളവുകളുടെ അളവാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം അളക്കുമ്പോൾ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ലഭിക്കും എന്ന് നോക്കാം.
x എന്നത് നീളം അളക്കേണ്ട സെഗ്മെൻ്റും e എന്നത് യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റും ആകട്ടെ. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം X എന്ന അക്ഷരത്താലും e സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം E എന്ന അക്ഷരത്താലും സൂചിപ്പിക്കട്ടെ. സെഗ്മെൻ്റിൽ e ന് തുല്യമായ n സെഗ്മെൻ്റുകളും സെഗ്മെൻ്റിനേക്കാൾ ചെറുതായ x 1 സെഗ്മെൻ്റും അടങ്ങിയിരിക്കട്ടെ. (ചിത്രം 3), അതായത്.
n·E< X < (n + 1) ·Е. Числа n и n+ 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.
കൂടുതൽ കൃത്യതയോടെ ഉത്തരം ലഭിക്കാൻ, നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റ് e 1 - സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ പത്തിലൊന്ന് എടുത്ത് സെഗ്മെൻ്റ് x 1-ൽ സ്ഥാപിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്.
1) സെഗ്മെൻ്റ് e 1 സെഗ്മെൻ്റിലേക്ക് x 1 കൃത്യമായി n തവണ യോജിക്കുന്നു. അപ്പോൾ സെഗ്മെൻ്റ് x ൻ്റെ നീളം ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
X = ·E = ·E. ഉദാഹരണത്തിന്, X = 3.4 E.
2) സെഗ്മെൻ്റ് x 1 എന്നത് e 1 ന് തുല്യമായ n സെഗ്മെൻ്റുകളും സെഗ്മെൻ്റ് x 2 സെഗ്മെൻ്റിനേക്കാൾ ചെറുതായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. തുടർന്ന് ഇ<Х ·Е, где и
0.1 കൃത്യതയോടെ കുറവും അധികവും ഉള്ള സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ.
രണ്ടാമത്തെ കാര്യത്തിൽ, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നൂറാം ഭാഗം e 2 - ഒരു പുതിയ യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റ് എടുത്ത് x സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അളക്കുന്ന പ്രക്രിയ തുടരാമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.
പ്രായോഗികമായി, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം അളക്കുന്ന ഈ പ്രക്രിയ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ അവസാനിക്കും. തുടർന്ന് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അളക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം ഒന്നുകിൽ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം മികച്ച രീതിയിൽ അളക്കുന്ന ഈ പ്രക്രിയ ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ (ഗണിതത്തിൽ ചെയ്യുന്നത് പോലെ), രണ്ട് ഫലങ്ങൾ സാധ്യമാണ്:
1) k-th ഘട്ടത്തിൽ അളക്കൽ പ്രക്രിയ അവസാനിക്കും. അപ്പോൾ സെഗ്മെൻ്റ് x ൻ്റെ നീളം ഫോമിൻ്റെ പരിമിതമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കും.
2) ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് x ൻ്റെ നീളം അളക്കുന്നതിനുള്ള വിവരിച്ച പ്രക്രിയ അനിശ്ചിതമായി തുടരുന്നു. തുടർന്ന് അതിനെക്കുറിച്ചുള്ള റിപ്പോർട്ടിനെ ചിഹ്നത്താൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അതിനെ അനന്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ ഫലം സാധ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഉറപ്പിക്കാം? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത്തരമൊരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അളക്കാൻ മതിയാകും, അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതായി അറിയപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ 5-. അത്തരമൊരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം അളക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഇതിനർത്ഥം 5 എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്നാണ്, അത് അസാധ്യമാണ്: 5 = 5.666.. ..
അതിനാൽ, സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യം അളക്കുമ്പോൾ, അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. എന്നാൽ ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ആനുകാലികമാണോ? ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണ്; ദൈർഘ്യം തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ദൈർഘ്യമുള്ള ഒരു അനന്തമായ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യയായി (അതായത്, പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പർ) പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഭാഗങ്ങളുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന കണ്ടുപിടുത്തമായിരുന്നു ഇത്, അതിൽ നിന്ന് സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ നീളം അളക്കാൻ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പര്യാപ്തമല്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി.
സിദ്ധാന്തം. നീളത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റ് ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം ആണെങ്കിൽ, ആ ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലിൻ്റെ നീളം പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.
തെളിവ്. ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം സംഖ്യ 1 കൊണ്ട് പ്രകടിപ്പിക്കട്ടെ. തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതിൻ്റെ വിപരീതം നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, അതായത്, ABCD യുടെ ഡയഗണൽ AC യുടെ നീളം ഒരു മാറ്റാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. . അപ്പോൾ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, 1 2 +1 2 = തുല്യത നിലനിർത്തും. അതിൽ നിന്ന് m 2 = 2п 2 എന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഇതിനർത്ഥം m 2 ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, തുടർന്ന് m എന്ന സംഖ്യ ഇരട്ടയാണ് (ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഇരട്ടിയാവരുത്). അതിനാൽ, m = 2p. m 2 = 2n 2 എന്ന സമത്വത്തിലെ സംഖ്യയെ 2p ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 4p 2 = 2n 2 ലഭിക്കും, അതായത്. 2p 2 = n 2. n 2 ഇരട്ടയാണ്, അതിനാൽ n ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, m, n എന്നീ സംഖ്യകൾ തുല്യമാണ്, അതായത് ഭിന്നസംഖ്യ 2 കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, ഇത് അതിൻ്റെ അപര്യാപ്തതയുടെ അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്. സ്ഥാപിതമായ വൈരുദ്ധ്യം തെളിയിക്കുന്നത് നീളത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റ് ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളമാണെങ്കിൽ, ഈ ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലിൻ്റെ നീളം ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.
തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, നീളം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത സെഗ്മെൻ്റുകൾ ഉണ്ട് (നീളത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത യൂണിറ്റിനൊപ്പം), അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അനന്തമായ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യം അളക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ആനുകാലികമല്ലാത്തതാകാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ പുതിയ സംഖ്യകളുടെ പ്രതിനിധാനമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു - പോസിറ്റീവ് അവിവേക സംഖ്യകൾ. സംഖ്യയുടെ ആശയങ്ങളും അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷനും പലപ്പോഴും തിരിച്ചറിയപ്പെടുന്നതിനാൽ, അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് അവിവേക സംഖ്യകൾ.
സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യം അളക്കുന്ന പ്രക്രിയയിലൂടെയാണ് നമ്മൾ പോസിറ്റീവ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് എത്തിയത്. എന്നാൽ ചില യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ വേരുകൾ എടുക്കുന്നതിലൂടെയും അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. അതിനാൽ, , , അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്. Tan5, sin 31, സംഖ്യകൾ π = 3.14..., e = 2.7828... കൂടാതെ മറ്റുള്ളവയും യുക്തിരഹിതമാണ്
പോസിറ്റീവ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം J + എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
രണ്ട് കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ യൂണിയൻ: പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ, പോസിറ്റീവ് അയുക്തികം എന്നിവയെ പോസിറ്റീവ് റിയൽ നമ്പറുകളുടെ സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് R + എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, Q + J + = R + . യൂലർ സർക്കിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ സെറ്റുകൾ ചിത്രം 4 ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെയും അനന്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം - ആനുകാലിക (അത് യുക്തിസഹമാണെങ്കിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ആനുകാലികമല്ലാത്തത് (അത് യുക്തിരഹിതമാണെങ്കിൽ).
പോസിറ്റീവ് റിയൽ നമ്പറുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളായി ചുരുങ്ങുന്നു.
പോസിറ്റീവ് റിയൽ സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിനും ഗുണനത്തിനും കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി, അസോസിയേറ്റിവിറ്റി എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ ഗുണനം എന്നത് സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും സംബന്ധിച്ച് വിതരണമാണ്.
പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഏത് സ്കെയിലർ അളവും അളക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം നിങ്ങൾക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: നീളം, വിസ്തീർണ്ണം, പിണ്ഡം മുതലായവ. എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, പലപ്പോഴും ഒരു സംഖ്യയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് ഒരു അളവ് അളക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമല്ല, മറിച്ച് അതിൻ്റെ മാറ്റമാണ്. മാത്രമല്ല, അതിൻ്റെ മാറ്റം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ സംഭവിക്കാം - അത് വർദ്ധിപ്പിക്കുകയോ കുറയുകയോ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയോ ചെയ്യാം. അതിനാൽ, അളവിൽ മാറ്റം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിന്, പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്ക് പുറമേ, മറ്റ് സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണ്, ഇതിനായി സംഖ്യ (പൂജ്യം), നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ എന്നിവ ചേർത്ത് R + സെറ്റ് വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പ്രഭാഷണ നമ്പർ 19
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ
വിഷയം: "സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വികാസത്തെക്കുറിച്ച്"
ആമുഖം
2. ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം
3. പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകൾ
4. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണമായി പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം
5. പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ നമ്പറുകൾ ദശാംശങ്ങളായി എഴുതുന്നു
6. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ
ആമുഖം
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മിക്ക പ്രയോഗങ്ങളിലും അളവുകളുടെ അളവ് ഉൾപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ പര്യാപ്തമല്ല: അളവിൻ്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും അളക്കുന്ന അളവിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ അളവെടുപ്പ് ഫലം കൃത്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിന്, സ്വാഭാവികമായവയല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് സംഖ്യകളുടെ സ്റ്റോക്ക് വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പുരാതന കാലത്ത് ആളുകൾ ഈ നിഗമനത്തിലെത്തി: നീളം, വിസ്തീർണ്ണം, പിണ്ഡം, മറ്റ് അളവുകൾ എന്നിവയുടെ അളവ് ആദ്യം ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആവിർഭാവത്തിലേക്ക് നയിച്ചു - അവർക്ക് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചു, ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ. പൈതഗോറിയൻ സ്കൂളിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ കണ്ടെത്തി, നീളത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത യൂണിറ്റ് നൽകിയാൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഭാഗങ്ങളുണ്ട്. പിന്നീട്, ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. യുക്തിരഹിതവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകളെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ കർശനമായ നിർവചനവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾക്കുള്ള ന്യായീകരണവും 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ നൽകപ്പെട്ടു.
വിവിധ സംഖ്യകൾ (N, Z, Q, R) തമ്മിലുള്ള ബന്ധം യൂലർ സർക്കിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും (ചിത്രം 1).
വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിലെ അവസാനത്തെ സംഖ്യയല്ല യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വികാസത്തോടെ ആരംഭിച്ച പ്രക്രിയ ഇന്നും തുടരുന്നു - വിവിധ ശാസ്ത്രങ്ങളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും വികാസത്തിന് ഇത് ആവശ്യമാണ്.
പ്രാഥമിക ഗ്രേഡുകളിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾ സാധാരണയായി ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം പിന്നീട് മിഡിൽ സ്കൂളിൽ പരിഷ്കരിക്കപ്പെടുകയും വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അധ്യാപകൻ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെയും ആശയം പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളും ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളും അറിയുക. ഭിന്നസംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ശരിയായി അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനും അവരുമായി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ ചെറുപ്പക്കാരായ സ്കൂൾ കുട്ടികളെ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനും മാത്രമല്ല, യുക്തിസഹവും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കാണാനും ഇതെല്ലാം ആവശ്യമാണ്. . അവരുടെ ധാരണയില്ലാതെ, സ്കൂളിൻ്റെ പ്രാഥമിക, തുടർന്നുള്ള ഗ്രേഡുകളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതിൽ തുടർച്ചയുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക അസാധ്യമാണ്.
ഈ ഖണ്ഡികയിലെ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ അവതരണത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം, ഇത് പ്രൈമറി സ്കൂൾ അധ്യാപകർക്കുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സിൻ്റെ ചെറിയ അളവും അതിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യവും മൂലമാണ്: മെറ്റീരിയൽ പ്രധാനമായും സംഗ്രഹ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കും, പലപ്പോഴും കർശനമായ തെളിവുകൾ ഇല്ലാതെ; യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മെറ്റീരിയൽ കൂടുതൽ വിശദമായി അവതരിപ്പിക്കും.
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ N സെറ്റിൻ്റെ വികാസം ഇനിപ്പറയുന്ന ശ്രേണിയിൽ സംഭവിക്കും: ആദ്യം, പോസിറ്റീവ് റേഷ്യൽ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് Q + നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് അത് പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് R+ ലേക്ക് എങ്ങനെ വികസിപ്പിക്കാമെന്ന് കാണിക്കുന്നു, ഒടുവിൽ , എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടേയും സെറ്റ് R ലേക്ക് R+ ൻ്റെ വികാസം വളരെ ചുരുക്കമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഫ്രാക്ഷൻ ആശയം
ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റ് e (ചിത്രം 2) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് x ൻ്റെ നീളം അളക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ. അളക്കുമ്പോൾ, സെഗ്മെൻ്റ് x ൽ e ന് തുല്യമായ മൂന്ന് സെഗ്മെൻ്റുകളും സെഗ്മെൻ്റിനെക്കാൾ ചെറുതായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സെഗ്മെൻ്റ് x ൻ്റെ നീളം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, സെഗ്മെൻ്റ് e 4 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സെഗ്മെൻ്റ് e സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗത്തിന് തുല്യമായ 14 സെഗ്മെൻ്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
തുടർന്ന്, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ 4, 14 എന്നീ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കണം: സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം ഇ സെഗ്മെൻ്റിൽ കൃത്യമായി 14 തവണ യോജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, x സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം ·E എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിച്ചു, ഇവിടെ E എന്നത് ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ് e, ചിഹ്നത്തെ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പൊതുവേ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഒരു സെഗ്മെൻ്റും x എന്ന യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റും നൽകട്ടെ, അതിൻ്റെ നീളം E ആണ്, സെഗ്മെൻ്റിൽ e സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ n-ാം ഭാഗത്തിന് തുല്യമായ m സെഗ്മെൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സെഗ്മെൻ്റ് x ൻ്റെ നീളം പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഫോം ·E, ചിഹ്നത്തെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (കൂടാതെ “ ഉം nth വൺസ്" എന്ന് വായിക്കുക).
ഫ്രാക്ഷൻ നൊട്ടേഷനിൽ m, n എന്നീ സംഖ്യകൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, m നെ ന്യൂമറേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, n എന്നത് ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററാണ്.
- സിലിക്കൺ മോൾഡുകളിലെ മൈക്രോവേവിലെ ചോക്കലേറ്റ് കപ്പ് കേക്ക് സിലിക്കൺ മോൾഡുകളിലെ മൈക്രോവേവിലെ കപ്പ് കേക്കുകൾ
- വീട്ടിൽ ഉണങ്ങിയ പ്ലംസ് - അസാധാരണമായ ലഘുഭക്ഷണത്തിനുള്ള യഥാർത്ഥ പാചകക്കുറിപ്പുകൾ
- എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ കപ്പലിൻ്റെ ക്യാപ്റ്റനെക്കുറിച്ച് സ്വപ്നം കാണുന്നത്?
- ഒരു സ്വപ്നത്തിൽ സ്കേറ്റ് ചെയ്യുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?