യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഫാക്ടറൈസേഷൻ
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിൽ, ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഒഴിവാക്കാനാകാത്ത പോളിനോമിയലിന് ഡിഗ്രി 1 അല്ലെങ്കിൽ 2 ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഡിഗ്രി 2 ൻ്റെ പോളിനോമിയലിന് നെഗറ്റീവ് വിവേചനമുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം R ഫീൽഡിന് മീതെ കുറയ്ക്കാനാവില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പോളിനോമിയലിന് മേൽ ഇളവ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് അതിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ.
ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫെർഡിനാൻഡ് ഐസൻസ്റ്റീൻ്റെ പേരിലുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ അപ്രസക്തതയ്ക്കുള്ള ഒരു പരീക്ഷണമാണ് ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം. (പരമ്പരാഗത) പേര് ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ഇത് കൃത്യമായി ഒരു അടയാളമാണ്, അതായത്, മതിയായ അവസ്ഥ- എന്നാൽ ആവശ്യമില്ല, "മാനദണ്ഡം" എന്ന വാക്കിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരാൾ ഊഹിച്ചേക്കാം
സിദ്ധാന്തം (ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം). ഫാക്ടോറിയൽ റിംഗ് R ന് മുകളിൽ ഒരു ബഹുപദമായിരിക്കട്ടെ ( എൻ>0), കൂടാതെ ചില കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഘടകത്തിനും പിഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:
കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല പി,
വിഭജിച്ചു പി, ആർക്കും ഐനിന്ന് 0 വരെ n- 1,
കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
അപ്പോൾ പോളിനോമിയൽ അപ്രസക്തമാണ് എഫ്സ്വകാര്യ റിംഗ് ഫീൽഡ് ആർ.
അനന്തരഫലം.ബീജഗണിത സംഖ്യകളുടെ ഏതൊരു മണ്ഡലത്തിലും മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഏതെങ്കിലും അളവിലുള്ള അപ്രസക്തമായ ബഹുപദം നിലവിലുണ്ട്; ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബഹുപദം എവിടെ എൻ>1 ഒപ്പം പിചില പ്രധാന നമ്പർ.
R എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയവും F ഒരു ഫീൽഡും ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഈ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
ക്യൂവിൽ ബഹുപദം അപ്രസക്തമാണ്.
ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ ഡിവിഷൻ ബഹുപദം അപ്രസക്തമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് കുറയ്ക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയലും കുറയ്ക്കുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ദ്വിപദമായതിനാൽ, അതായത്, അവയെ ഹരിച്ചാണ്. പി, അവസാന ഗുണകം `ആമേൻ പികൂടാതെ, അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമായി, ഐസെൻസ്റ്റീൻ്റെ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് ഇത് വിഭജിക്കാനാവില്ല.
ഇനിപ്പറയുന്ന അഞ്ച് പോളിനോമിയലുകൾ ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത പോളിനോമിയലുകളുടെ ചില പ്രാഥമിക ഗുണങ്ങൾ പ്രകടമാക്കുന്നു:
പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ Z വളയത്തിന് മുകളിൽ, ആദ്യത്തെ രണ്ട് ബഹുപദങ്ങൾ കുറയ്ക്കാവുന്നതാണ്, അവസാനത്തെ രണ്ടെണ്ണം കുറയ്ക്കാനാകാത്തതാണ്. (മൂന്നാമത്തേത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാൾ ബഹുപദമല്ല).
യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ Q ഫീൽഡിൽ, ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പോളിനോമിയലുകൾ കുറയ്ക്കാനാകും, മറ്റ് രണ്ടെണ്ണം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.
R ഫീൽഡിന് മുകളിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, ആദ്യത്തെ നാല് പോളിനോമിയലുകൾ കുറയ്ക്കാവുന്നവയാണ്, പക്ഷേ അപ്രസക്തമാണ്. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ, രേഖീയ ബഹുപദങ്ങളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലുകൾയഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാതെ. ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്. ഈ വികാസത്തിലെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ബഹുപദങ്ങളാണ്.
ഫീൽഡിന് മുകളിൽ സി സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, അഞ്ച് പോളിനോമിയലുകളും കുറയ്ക്കാവുന്നവയാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, C-യെക്കാൾ സ്ഥിരമല്ലാത്ത എല്ലാ പോളിനോമിയലും ഈ രൂപത്തിൽ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്:
എവിടെ എൻ- ബഹുപദത്തിൻ്റെ ബിരുദം, എ- മുൻനിര ഗുണകം, - ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ. അതിനാൽ, C യ്ക്ക് മുകളിലുള്ള ഏകീകൃത പോളിനോമിയലുകൾ ലീനിയർ പോളിനോമിയലുകൾ (ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം) മാത്രമാണ്.
എഫ്-നെക്കാൾ പോസിറ്റീവ് ഡിഗ്രിയുള്ള ഏതെങ്കിലും പോളിനോമിയൽ എഫ്-ൽ ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഫീൽഡ് എഫ് ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചതായി പറയപ്പെടുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 5.1 (പോളിനോമിയൽ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം).സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലം ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിരിക്കുന്നു.
അനന്തരഫലം 5 .1.1. കഴിഞ്ഞു കൂടെഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രിയുടെ ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത പോളിനോമിയലുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ.
അനന്തരഫലം 5.1.2. ബഹുപദം എൻമുകളിൽ -th ഡിഗ്രി കൂടെഉണ്ട് എൻസങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ.
സിദ്ധാന്തം 5.2. If ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണ മൂലമാണ് എഫ്യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം, സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജന സംഖ്യയും ഒരു റൂട്ടാണ് എഫ്.
അനന്തരഫലം 5 .2.1. കഴിഞ്ഞു ആർഒന്നോ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയോ മാത്രമുള്ള അപ്രസക്തമായ പോളിനോമിയലുകൾ ഉണ്ട്.
അനന്തരഫലം 5.2.2. ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ സാങ്കൽപ്പിക വേരുകൾ ആർസങ്കീർണ്ണമായ സംയോജന ജോഡികളായി വിഘടിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 5.1. ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്ടർ ചെയ്യുക കൂടെമുകളിൽ ആർബഹുപദം x 4 + 4.
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്
x 4 + 4 =x 4 + 4എക്സ് 2 + 4 – 4എക്സ് 2 = (x 2 + 2) 2 – 4എക്സ് 2 = (x 2 – 2എക്സ്+ 2)(x 2 + 2എക്സ്+ 2) –
വിപുലീകരണം കഴിഞ്ഞു ആർ. കൂടെ:
x 4 + 4 = (x – 1 – ഐ) (x – 1 + ഐ) (x + 1 – ഐ) (x + 1 + ഐ).
സാധാരണ രീതിയിൽ പരാൻതീസിസിൽ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയലുകളുടെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി, നമുക്ക് ഒരു വിപുലീകരണം ലഭിക്കും. ഐ.
ഉദാഹരണം 5.2. 2 ഉം 1+ ഉം ഉള്ള യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ചെറിയ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം നിർമ്മിക്കുക ഐ പരിഹാരം. കോറലറി 5.2.2 അനുസരിച്ച്, പോളിനോമിയലിന് 2, 1 വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം - ഐകൂടാതെ 1+
. വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്താം: ഐ) + (1 +ഐ) = 4;
1 = 2 + (1 - ഐ) + 2(1 + ഐ) + (1 – ഐ)(1 + ഐ) = 6;
2 = 2(1 - ഐ)(1 + ഐ) = 4.
3 = 2(1 - എഫ് =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.
ഇവിടെ നിന്ന്
വ്യായാമങ്ങൾ. കൂടെമുകളിൽ ആർ 5.1
ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്ടർ ചെയ്യുക എക്സ് 3 – 6എക്സ് 2 + 11എക്സ് – 6;
ബഹുപദങ്ങൾ: എക്സ് 4 – 10എക്സ് 2 + 1.
എ) ഐ.
b)
5.2 ഇരട്ട റൂട്ട് 1 ഉം ലളിതമായ റൂട്ട് 1 - 2 ഉം ഉള്ള യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ചെറിയ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം നിർമ്മിക്കുക 6. റേഷണൽ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മേലുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 6.1 0 (ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം). 1 അനുവദിക്കുക+ എ എൻ x എൻ f = a പി+എ എ 0 , എ 1 , … , എ എൻ x +... പി, എ എൻ- പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുപദം. പി,എഅത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ പി, എന്ത് എഫ് -1 വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു
കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല 2, പിന്നെ
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. എഫ്= 2എക്സ് 5 + 3എക്സ് 4 – 9എക്സ് 3 – 6എക്സ്വ്യായാമം 6.1. അപ്രസക്തത തെളിയിക്കുക എഫ്= 5എക്സ് 4 + 6എക്സ് 3 – 18എക്സ് 2 – 12എക്സ് + 54.
ക്യു ബഹുപദങ്ങൾ: എ) എഫ് = എ 0 + എ 1 x + … + എ എൻ x എൻപൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം. പിന്നെ
എ 0 പി, എ എൻ q;
എഫ്(1) p-q,എഫ്(–1) p+q.
പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഈ സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ എല്ലാ വിഭജനങ്ങളും മുൻനിര ഗുണകവും നിർണ്ണയിക്കുകയും അവയിൽ നിന്ന് എല്ലാത്തരം മാറ്റാനാവാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകളും നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
എല്ലാ യുക്തിസഹമായ വേരുകളും ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അവ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കാം. അതിൽ അനാവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 6.2 ൻ്റെ പ്രസ്താവന 2) ഉപയോഗിക്കുന്നു.
എഫ് = 2എക്സ് 4 + 7എക്സ് 3 + 3എക്സ് 2 – 15എക്സ്– 18.
ഉദാഹരണം 6.1. ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക പി പരിഹാരം. സംഖ്യകളുള്ള എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു q- വിഭജനങ്ങൾ 18, ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.
- ഡിവൈഡറുകൾ 2:
ഹോർണറുടെ സ്കീം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ അവ പരിശോധിക്കുന്നു: |
||||||
എഫ്(1) = –21 അഭിപ്രായം |
||||||
എഫ്(–1) = –3 p+q |
||||||
എക്സ് 1 = –2 |
||||||
എക്സ് 2 = 3/2 |
||||||
p–q എക്സ്റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നു എക്സ് 1 = –2 കൂടാതെ ബഹുപദത്തെ ഹരിക്കുന്നു എഫ്(1)പി – q + 2, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സൗജന്യ പദമുള്ള ഒരു ബഹുപദം ലഭിക്കും –9 (അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അടിവരയിട്ടിരിക്കുന്നു). ശേഷിക്കുന്ന വേരുകളുടെ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ഈ സംഖ്യയുടെ വിഭജനങ്ങളായിരിക്കണം, ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത ഭിന്നസംഖ്യകൾ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. എഫ്(–1)പി + qശേഷിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്തതിനാൽ ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു പി = 3, qഅല്ലെങ്കിൽ എഫ്(1) = –21പി – q. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 3 ഉണ്ട്
= 1, കൂടാതെ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല എക്സ്(രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ പോലെ തന്നെ).
അതുപോലെ, റൂട്ട് കണ്ടെത്തൽ
2 = 3/2, 3 ൻ്റെ പുതിയ ഫ്രീ ടേം ഉള്ള ഒരു പോളിനോമിയലും 1 ൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റും ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു (റൂട്ട് ഫ്രാക്ഷണൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ കുറയ്ക്കണം).
ലിസ്റ്റിൽ നിന്ന് ശേഷിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയും ഇനി അതിൻ്റെ റൂട്ട് ആയിരിക്കില്ല, കൂടാതെ യുക്തിസഹമായ വേരുകളുടെ ലിസ്റ്റ് തീർന്നിരിക്കുന്നു.
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. എക്സ് 3 – 6എക്സ് 2 + 15എക്സ്– 14;
കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ ഗുണിതമാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കണം. എക്സ് 5 – 7എക്സ് 3 – 12എക്സ് 2 + 6എക്സ്+ 36;
പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു പോളിനോമിയലിൽ എത്തി, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പട്ടിക ഇതുവരെ തീർന്നിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഒരു ചതുര ത്രിനാമത്തിൻ്റെ വേരുകളായി സാധാരണ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ശേഷിക്കുന്ന വേരുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. എക്സ് 4 – 11എക്സ് 3 + 23എക്സ് 2 – 24എക്സ്+ 12;
വ്യായാമം 6.2. ബഹുപദത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എക്സ് 4 – 7എക്സ് 2 – 5എക്സ്– 1.
b)
സി) 2 d) 4ഏത് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയും വിമാനത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് വ്യക്തമാക്കുന്നു. ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ഒരു സങ്കീർണ്ണ തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും, ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ മറ്റൊരു സങ്കീർണ്ണ തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും.
F(z)- കോംപ്ലക്സ്
സങ്കീർണ്ണമായ
വേരിയബിൾ. സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ, തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്ലാസ് വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു.< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .
Def: ഒരു കോംപ്ലക്സ് വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷനെ Continuous if , അത്തരം, .+ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്:
സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ ഒരു വൃത്തം വ്യക്തമാക്കുന്നു, പോയിൻ്റ് z0 ലും ആരത്തിലും കേന്ദ്രം
സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൊഡ്യൂളിലെ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവിനെക്കുറിച്ച്):
ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം:
ഡിഗ്രി 0 അല്ലാത്ത സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ഏതൊരു ബഹുപദത്തിനും സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.
(തെളിവിൽ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ഉപയോഗിക്കും):
D.: 1. a n =0 ആണെങ്കിൽ, z=0 ആണ് f(z) ൻ്റെ റൂട്ട്.
2. a n 0 ആണെങ്കിൽ, സിദ്ധാന്തം 3 പ്രകാരം, S റേഡിയസ് വൃത്തത്തിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ ഒരു പ്രദേശത്തെ അസമത്വം നിർവചിക്കുന്നു. ഈ മേഖലയിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല, കാരണം അതിനാൽ, പോളിനോമിയൽ f(z) ൻ്റെ വേരുകൾ മേഖലയ്ക്കുള്ളിൽ അന്വേഷിക്കണം.
നമുക്ക് T1 ൽ നിന്ന് പരിഗണിക്കാം. f(z) തുടർച്ചയാണെന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു. വീയർസ്ട്രാസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു അടഞ്ഞ പ്രദേശത്ത് ഏതെങ്കിലുമൊരു ഘട്ടത്തിൽ അത് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവിൽ എത്തുന്നു, അതായത്. . പോയിൻ്റ് ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റാണെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. കാരണം 0 E, പിന്നെ, കാരണം f-ii ൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ E മേഖലയ്ക്ക് പുറത്ത്, തുടർന്ന് z 0 എന്നത് മുഴുവൻ സങ്കീർണ്ണ തലത്തിലെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ്. നമുക്ക് f(z 0)=0 എന്ന് കാണിക്കാം. ഇത് അങ്ങനെയല്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, അപ്പോൾ ഡി അലംബെർട്ടിൻ്റെ ലെമ്മയിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിക്കുന്നു, കാരണം z 0 മിനിമം പോയിൻ്റ്.
ബീജഗണിത ക്ലോഷർ:
Def: ഈ ഫീൽഡിന് മുകളിൽ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, P ഫീൽഡിനെ ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം: സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലം ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിരിക്കുന്നു. (ഡി-ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു).
യുക്തിസഹവും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡുകൾ ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിട്ടില്ല.
വിഘടിപ്പിക്കൽ:
സിദ്ധാന്തം: 1 ന് മുകളിലുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിലുള്ള ഏത് ബഹുപദവും രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വിഘടിപ്പിക്കാം.
അനന്തരഫലം 1. കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഡിഗ്രി n എന്ന ബഹുപദത്തിന് കൃത്യമായി n വേരുകളുണ്ട്.
അടുത്തത് 2: 1-ൽ കൂടുതലുള്ള ഡിഗ്രി കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ഏതൊരു ബഹുപദവും എപ്പോഴും കുറയ്ക്കാവുന്നതാണ്.
def: മൾട്ടിപ്ലസിറ്റി C\R സംഖ്യകൾ, അതായത്. a+bi ഫോമിൻ്റെ സംഖ്യകൾ, 0 ന് തുല്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളെ സാങ്കൽപ്പികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
2. ഒരു ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ. രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെയും യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെയും GCD. ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഘടകങ്ങളുടെയും അതിൻ്റെ പ്രത്യേകതയുടെയും ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി.
ഡെഫ്.അജ്ഞാതത്തിൽ പോളിനോമിയൽ (പോളിനോമിയൽ). എക്സ്വയലിന് മുകളിലൂടെ ആർവിളിച്ചു പൂർണ്ണസംഖ്യ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ശക്തികളുടെ ബീജഗണിത തുക എക്സ്, ഫീൽഡിൽ നിന്നുള്ള ചില ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത് ആർ.
aiÎP എവിടെയാണ് അല്ലെങ്കിൽ
ബഹുപദങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു തുല്യമായ, അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ അജ്ഞാതരുടെ അനുബന്ധ ശക്തികൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ.
ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ബിരുദത്തെ വിളിക്കുന്നു.അജ്ഞാത സൂചകത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഗുണകം.
സൂചിപ്പിച്ചത്: N(f(x))=n
ഒരു ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള എല്ലാ പോളിനോമിയലുകളുടെയും സെറ്റ് ആർസൂചിപ്പിക്കുന്നത്: P[x].
ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകൾ ഫീൽഡ് ഘടകങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നു ആർ, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് - പൂജ്യം പോളിനോമിയൽ, അതിൻ്റെ ഡിഗ്രി അനിശ്ചിതത്വമാണ്.
പോളിനോമിയലുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
1. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
n³s, തുടർന്ന് , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s) എന്ന് അനുവദിക്കുക.
<P[x],+>
- കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനം സാധ്യമാണ്, കൂടാതെ ഫീൽഡ് മൂലകങ്ങളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകതയിൽ നിന്ന് അദ്വിതീയത പിന്തുടരുന്നു
- സഹവാസം
- പൂജ്യം ഘടകം
- തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് വിപരീതമായി ബഹുപദം
- കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി
- അബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പ്
2. ഗുണനം.
ബീജഗണിത ഘടന പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു<P[x],*>
- പ്രവർത്തനം സാധ്യമാണ്, കാരണം ഫീൽഡ് ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു. ഫീൽഡിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അവ്യക്തതയിൽ നിന്നാണ് സവിശേഷത പിന്തുടരുന്നത് ആർ.
- സഹവാസം
- യൂണിറ്റ് ബഹുപദം
- പൂജ്യം ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ മാത്രമേ വിപരീതമാകൂ
<P[x],*>- ഐഡൻ്റിറ്റി എലമെൻ്റ് ഉള്ള അർദ്ധഗ്രൂപ്പ് (മാനോയിഡ്)
വിതരണ നിയമങ്ങൾ തൃപ്തികരമാണ്, അതിനാൽ,<P[x],+,*>ഐഡൻ്റിറ്റി ഉള്ള ഒരു കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് റിംഗ് ആണ്.
ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനം
ODA:ബഹുപദം f(x), f(x)OP[x], പി- ഫീൽഡ് ഒരു ബഹുപദത്താൽ ഹരിക്കുന്നു g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x],അത്തരമൊരു ബഹുപദം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ h(x)OP[x], അത് f(x)=g(x)h(x)
വിഭജന ഗുണങ്ങൾ:
ഉദാഹരണം:, ഒരു കോളം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക gcd =( x+3)
ബാക്കിയുള്ള ഡിവിഷൻ സിദ്ധാന്തം:ഏതെങ്കിലും പോളിനോമിയലുകൾക്ക് f (x), g(x)OP[x],ഒരു ബഹുപദം മാത്രമേയുള്ളൂ q(x) ഒപ്പം r(x)അത്തരം f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))
പ്രമാണ ആശയം: നിലവിലുള്ള രണ്ട് കേസുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു എൻ ബിരുദം g(x)) f വിഭജിക്കുക (x) g ന് (x). പ്രമാണത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത പരസ്പരവിരുദ്ധമാണ്.
ODA:എഫ് (x) ഒപ്പം g(x), f(x), g(x)OP[x], h(x)OP[x] GCD f എന്ന് വിളിക്കുന്നു (x) ഒപ്പം g(x)എങ്കിൽ
യൂക്ലിഡിൻ്റെ അൽഗോരിതം
തുടർച്ചയായ വിഭജന പ്രക്രിയ എഴുതാം
f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)
g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)
r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3), മുതലായവ.
r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)
r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)
GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)
ആശയം തെളിവാണ്: ഞങ്ങൾ അത് കാണിക്കുന്നു 1 ) f(x):(പൂർണ്ണമായും) d(x) ഒപ്പം g(x):(മുഴുവൻ) d(x); 2) f(x):(മുഴുവൻ) h(x) ഒപ്പം g(x):(പൂർണ്ണമായും) h(x)ഞങ്ങൾ അത് കാണിക്കുന്നു d(x):(പൂർണ്ണമായും) h(x).
ജിസിഡിയുടെ ലീനിയർ പ്രാതിനിധ്യം
ടി: എങ്കിൽ d(x) - gcd of polynomials f (x) ഒപ്പം g(x), തുടർന്ന് ബഹുപദങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട് v (x) ഒപ്പം u(x)OP[x],എന്ത് f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).
def: f(x), g(x)OP[x]എല്ലായ്പ്പോഴും പൊതുവായ വിഭജനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും, അതായത് ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ ബഹുപദങ്ങൾ, മറ്റ് പൊതു വിഭജനങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, f(x), g(x) എന്നിവ കോപ്രൈം ആണ്. (പദവി: (f(x),g(x))=1)
ടി:എഫ് (x) ഒപ്പം g(x) താരതമ്യേന പ്രധാനം i.i.t.k. അത്തരത്തിലുള്ള v(x), u(x)OP[x] എന്നീ ബഹുപദങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട് f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
കോപ്രൈം പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
- (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, പിന്നെ (f(x),g(x)*q(x))=1
- f(x)*g(x):(പൂർണ്ണമായും)h(x) കൂടാതെ (f(x),g(x))=1, പിന്നെ g(x):(പൂർണ്ണമായും) h(x)
- f(x):(പൂർണ്ണമായും)g(x), f(x):(മുഴുവൻ)h(x) ഒപ്പം ( g(x),h(x))=1, പിന്നെ f(x):(പൂർണ്ണമായും) g(x)*h(x)
ODA: f(x), f(x)OP[x] എന്ന ബഹുപദത്തെ വിളിക്കുന്നു നൽകിയത് P ഫീൽഡിന് മുകളിൽ, ഡിഗ്രികൾ 0-നേക്കാൾ കൂടുതലും f(x) ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവും ഉള്ള ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതായത്.
എഫ് (x)=f 1 (x)f 2 (x), ഡിഗ്രികൾ എവിടെ f 1, f 2 >0,
പോളിനോമിയലുകളുടെ കുറവ് അവ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഫീൽഡിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു പോളിനോമിയൽ Q ഫീൽഡിന് മുകളിൽ ഇറഡൂസിബിൾ ആണ് (താഴ്ന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഒരു പോളിനോമിയൽ), കൂടാതെ R ഫീൽഡിന് മുകളിൽ കുറയ്ക്കാവുന്നതാണ്.
ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ:
- ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദം ഏത് ഫീൽഡിലും കുറയ്ക്കാവുന്നതാണ്
- ഒരു ബഹുപദമാണെങ്കിൽ f(x) വയലിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല ആർ, പിന്നെ ബഹുപദം എ f(x) ഫീൽഡിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല ആർ.
- ബഹുപദങ്ങൾ f (x)ഒപ്പം p(x) ഫീൽഡിന് മുകളിൽ ആർ, ഒപ്പം p(x) - ഒരു ഫീൽഡിന് മുകളിൽ ഇളകാത്തത് ആർ, അപ്പോൾ കേസുകൾ സാധ്യമാണ്
1) ബഹുപദങ്ങൾ എഫ് (x)ഒപ്പം p(x) താരതമ്യേന പ്രധാനം
2) f(x):(മുഴുവൻ) p(x)
സ്ഥിരാങ്കത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഈ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ഏതെങ്കിലും പോളിനോമിയലിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫീൽഡ് ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചതായി പറയപ്പെടുന്നു. ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, അത്തരം ഒരു ഫീൽഡിൽ സ്ഥിരമല്ലാത്ത ഏത് ബഹുപദവും രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഈ അർത്ഥത്തിൽ, ബീജഗണിതപരമായി അടച്ച ഫീൽഡുകൾ ബീജഗണിതപരമായി അടച്ച ഫീൽഡുകളേക്കാൾ ഘടനയിൽ ലളിതമാണ്. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ എല്ലാ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലുകൾക്കും ഒരു റൂട്ട് ഇല്ലെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ ഫീൽഡ് ℝ ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിട്ടില്ല. ബീജഗണിത ക്ലോഷറിന് അദ്ദേഹം അൽപ്പം കുറവാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: ഒരു സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ മറ്റെല്ലാ പോളിനോമിയൽ സമവാക്യങ്ങളും ഒരേസമയം പരിഹരിച്ചു.
ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം.സ്ഥിരാങ്കത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഫീൽഡ് ℂ ന് മുകളിലുള്ള ഏതൊരു ബഹുപദത്തിനും ചുരുങ്ങിയത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് എങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.
അന്വേഷണം.സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ സ്ഥിരാങ്കത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഏത് ബഹുപദവും നമുക്ക് രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:
പോളിനോമിയലിൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഇതാ, പോളിനോമിയലിൻ്റെ എല്ലാ വ്യത്യസ്ത സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളും അവയുടെ ഗുണിതങ്ങളുമാണ്. സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം
പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഡിഗ്രിയിലെ ലളിതമായ ഒരു ഇൻഡക്ഷൻ ആണ് കോറോളറിയുടെ തെളിവ്.
പോളിനോമിയലുകളുടെ വിഘടിപ്പിക്കലിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ മറ്റ് മേഖലകളിൽ സ്ഥിതി അത്ര നല്ലതല്ല. ഒന്നാമതായി, അത് സ്ഥിരമല്ലെങ്കിൽ, രണ്ടാമതായി, താഴ്ന്ന ഡിഗ്രിയിലുള്ള പോളിനോമിയലുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഇറഡൂസിബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഓരോ ലീനിയർ പോളിനോമിയലും (ഏത് ഫീൽഡിലും) അപ്രസക്തമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. കോറോളറി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പുനർനിർമ്മിക്കാം: ഒരു മുൻനിര യൂണിറ്റ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ: ഏകീകൃത) ഉള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള അപ്രസക്തമായ പോളിനോമിയലുകൾ () ഫോമിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകൾ വഴി തീർന്നു.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിഘടിപ്പിക്കൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ടിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. സമവാക്യത്തെ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, വിവേചനം K എന്ന ഫീൽഡിലെ ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് നിലനിൽക്കൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു (ഇവിടെ K ഫീൽഡിൽ 2≠ 0 എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു). ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
ഓഫർ.കെ ഫീൽഡിൽ വേരുകളില്ലെങ്കിൽ മാത്രം 2≠ 0 എന്ന ഫീൽഡിന് മേലെയുള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ കെ. ഫീൽഡിലെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമല്ല എന്നതിന് തുല്യമാണ് ഇത്. പ്രത്യേകിച്ച് , യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ ഇറിഡൂസിബിൾ എങ്കിലും എങ്കിൽ മാത്രം.
അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് തരം അപ്രസക്തമായ പോളിനോമിയലുകൾ ഉണ്ട്: ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്, നെഗറ്റീവ് ഡിസ്ക്രിമിനൻ്റ്. ഈ രണ്ട് കേസുകളും ℝ-നേക്കാൾ കുറയ്ക്കാനാകാത്ത പോളിനോമിയലുകളുടെ കൂട്ടത്തെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം.നിഷേധാത്മകമായ വിവേചനങ്ങളുള്ള രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങളുടെയും ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിന് മുകളിലുള്ള ഏതൊരു ബഹുപദവും നമുക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാം:
ഇവിടെ ബഹുപദത്തിൻ്റെ എല്ലാ വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ വേരുകളും ഉണ്ട്, അവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ, എല്ലാ വിവേചനങ്ങളും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, കൂടാതെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലുകൾ എല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്.
ആദ്യം നമ്മൾ ലെമ്മ തെളിയിക്കുന്നു
ലെമ്മ.എന്തെങ്കിലും ആണെങ്കിൽ, സംയോജിത സംഖ്യയും ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.
തെളിവ്. ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് ആകട്ടെ. പിന്നെ
അവിടെ ഞങ്ങൾ ഇണയുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ചു. അതിനാൽ, . അങ്ങനെ, ഇത് ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. □
സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിന് മുകളിലുള്ള ഏതെങ്കിലും അനിഷേധ്യമായ ബഹുപദം രേഖീയമോ ചതുരമോ ആണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും. യൂണിറ്റ് ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ഒരു റിഡ്യൂസിബിൾ പോളിനോമിയൽ ആയിരിക്കട്ടെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ചില യഥാർത്ഥ കാര്യങ്ങൾ ഉടനടി ലഭിക്കും. എന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് നിലനിൽക്കുന്ന ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. ഇത് ഒഴിവാക്കാനാവാത്തതിനാൽ, (ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം കാണുക). അപ്പോൾ, ലെമ്മ പ്രകാരം, പോളിനോമിയലിൻ്റെ മറ്റൊരു റൂട്ട് ആയിരിക്കും.
ഒരു ബഹുപദത്തിന് യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട്. കൂടാതെ, ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് വിഭജിക്കുന്നു. ഇത് കുറയ്ക്കാനാകാത്തതും യൂണിറ്റ് ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ളതുമായതിനാൽ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കും. ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം ഇതിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.□
ഉദാഹരണങ്ങൾ. എ.നമുക്ക് പോളിനോമിയലിനെ ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. സ്ഥിരമായ 6 എന്ന പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങളിൽ, നമ്മൾ ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി നോക്കുന്നു. 1 ഉം 2 ഉം വേരുകളാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കുന്നു. അങ്ങനെ ബഹുപദം വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ ഇത് കൂടുതൽ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നതിനാൽ, ഫീൽഡിന് മേലുള്ള അന്തിമ വികാസം. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരേ ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസം നമുക്ക് ലഭിക്കും. അവയാണ് സത്ത. പിന്നെ
ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസം അവസാനിച്ചു
ബി. നമുക്ക് യഥാർത്ഥവും സങ്കീർണ്ണവുമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡുകളിലൂടെ വികസിപ്പിക്കാം. ഈ ബഹുപദത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാത്തതിനാൽ, നെഗറ്റീവ് വിവേചനങ്ങളുള്ള രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലുകളായി ഇതിനെ വിഘടിപ്പിക്കാം.
ഒരു പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ അത് മാറാത്തതിനാൽ, അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലും തിരിച്ചും പോകണം. ഇവിടെ നിന്ന്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും. തുടർന്ന് ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് (പകരം സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു, അവസാനം, . അങ്ങനെ,
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മേലുള്ള വികാസം.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ ഈ ബഹുപദം വികസിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ. വേരുകളുണ്ടാകുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് എല്ലാ വ്യത്യസ്ത വേരുകളും ലഭിക്കുന്നു. അതിനാൽ,
കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകളുടെ മേലുള്ള വികാസം. കണക്കുകൂട്ടാൻ എളുപ്പമാണ്
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരു പോളിനോമിയൽ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിന് ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു പരിഹാരം നേടുന്നു.
ജോലിയുടെ അവസാനം -
ഈ വിഷയം വിഭാഗത്തിൻ്റേതാണ്:
അടിസ്ഥാനപരവും കമ്പ്യൂട്ടർ ബീജഗണിതവും
ആമുഖം.. കോഴ്സ് അടിസ്ഥാനപരവും കമ്പ്യൂട്ടർ ആൾജിബ്രയും പ്രായോഗിക ഗണിതത്തിൽ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്.
ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ മെറ്റീരിയൽ വേണമെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾ തിരയുന്നത് കണ്ടെത്താനായില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങളുടെ സൃഷ്ടികളുടെ ഡാറ്റാബേസിൽ തിരയൽ ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു:
ലഭിച്ച മെറ്റീരിയലുമായി ഞങ്ങൾ എന്തുചെയ്യും:
ഈ മെറ്റീരിയൽ നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായിരുന്നുവെങ്കിൽ, സോഷ്യൽ നെറ്റ്വർക്കുകളിലെ നിങ്ങളുടെ പേജിലേക്ക് ഇത് സംരക്ഷിക്കാൻ കഴിയും:
ട്വീറ്റ് |
ഈ വിഭാഗത്തിലെ എല്ലാ വിഷയങ്ങളും:
എൻ.ഐ.ഡുബ്രോവിൻ
സ്പാസ്കി സെറ്റിൽമെൻ്റ് 2012 ഉള്ളടക്ക ആമുഖം. 4 ചിഹ്നങ്ങളുടെയും നിബന്ധനകളുടെയും പട്ടിക. 5 1 ബേസിക്കിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച്. 6 2 നിഷ്കളങ്കമായ സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം. 9
ബേസിക്കിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച്
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവർ വ്യത്യസ്ത സ്വഭാവങ്ങളുടെ സംഖ്യകൾ (പ്രകൃതി, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ, യഥാർത്ഥ, സങ്കീർണ്ണമായ), ഒന്നിൻ്റെയും പല വേരിയബിളുകളുടെയും ബഹുപദങ്ങൾ, മെട്രിക്സ് എന്നിങ്ങനെയുള്ള വസ്തുക്കളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.
നിഷ്കളങ്കമായ സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം
ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠത്തിൽ നിർവചനങ്ങളും പ്രസ്താവനകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ചില പ്രസ്താവനകൾ, അവയുടെ പ്രാധാന്യവും മറ്റ് പ്രസ്താവനകളുമായുള്ള ബന്ധവും അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകളിൽ ഒന്ന് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:
കാർട്ടീഷ്യൻ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ
ക്രമീകരിച്ച ജോഡി, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ജോടി മൂലകങ്ങൾ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാന നിർമ്മിതികളിൽ ഒന്നാണ്. രണ്ട് സ്ഥലങ്ങളുള്ള ഒരു ഷെൽഫായി നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും - ഒന്നും രണ്ടും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പലപ്പോഴും അങ്ങനെയല്ല
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ
ഒന്നിൽ നിന്ന് സങ്കലനത്തിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ (1,2,3,...) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുകയും ℕ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് വിവരണം ഇതുപോലെയാകാം (കാണുക.
ആവർത്തനം
പ്രാമാണങ്ങൾ N1-N3 മുതൽ പ്രാഥമിക വിദ്യാലയം മുതൽ എല്ലാവർക്കും പരിചിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ പരസ്പരം താരതമ്യം ചെയ്യുക, ഫോമിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ "പദങ്ങളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ വിപരീതമാക്കുന്നത് മുതൽ, തുക ഇല്ല
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ ക്രമപ്പെടുത്തുക സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം യൂക്ലിഡിൻ്റെ അൽഗോരിതം യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് വ്യാഖ്യാനം യുക്തിയുടെ ഘടകങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന രൂപങ്ങൾ മാട്രിക്സ് ബീജഗണിതം ഡിറ്റർമിനൻ്റ്സ് ലീനിയർ പ്ലെയിൻ പരിവർത്തനങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ സംയോജിപ്പിക്കുക ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ സംയോജനം എന്നും മാപ്പ് എന്നും വിളിക്കുന്നു നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ വെക്ടറായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഈ വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം, അതായത്. അളവിനെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്ന് വിളിക്കുകയും സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾ അളവിനെ സംഖ്യയുടെ മാനദണ്ഡം എന്ന് വിളിക്കും, ചിലപ്പോൾ ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ് ഖണ്ഡികയിലെ റൂൾ (2) തികച്ചും സാങ്കൽപ്പിക സംഖ്യയുടെ എക്സ്പോണൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള അവകാശം നൽകുന്നു: തീർച്ചയായും, ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്: & ഒരു ലീനിയർ പോളിനോമിയലിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിന് മേലെ എപ്പോഴും വേരുകളുണ്ടാവില്ല. ചോദ്യം നമ്പർ 1. ഈർപ്പത്തിൻ്റെ ബാഷ്പീകരണവും ഒരു സ്ഫോടന ചൂളയിൽ കാർബണേറ്റുകളുടെ വിഘടനവും. കാർബണേറ്റ് വിഘടനത്തിൻ്റെ തെർമോഡൈനാമിക്സ്. സീറോ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുള്ള രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളിലും വിടവുകളില്ലാതെ ഞങ്ങൾ എല്ലാ നഷ്ടമായ പവറുകളും (കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ) എഴുതുന്നു.പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ വിളിക്കുന്നു പ്രാകൃതമായ, അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം ആണെങ്കിൽ 1. യുക്തിസഹമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോസിറ്റീവ് റേഷ്യൽ സംഖ്യയുടെ ഉൽപ്പന്നമായി അദ്വിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഉള്ളടക്കം എഫ്(xബഹുപദവും പ്രാകൃത ബഹുപദവും. ആദിമ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പ്രാകൃത ബഹുപദമാണ്. ഈ വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു പോളിനോമിയൽ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ കുറയുകയാണെങ്കിൽ, അത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. അങ്ങനെ, ഒരു പോളിനോമിയലിനെ റേഷ്യൽ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയത്തിൽ സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നമായി ചുരുങ്ങുന്നു. എ. ന്യൂമറേറ്റർ വിഭജനമാണ്, ബി. ഡിനോമിനേറ്റർ - വിഭജനം ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും സി കെഅർത്ഥം എഫ്(കെ) - ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ( bk-എ). ലിസ്റ്റ് ചെയ്ത പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിമിതമായ തിരയലിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പോളിനോമിയൽ വികാസത്തിലും സമാനമായ ഒരു സമീപനം ഉപയോഗിക്കുന്നു എഫ്ക്രോണെക്കർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള അപ്രസക്തമായ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്. ഒരു ബഹുപദമാണെങ്കിൽ എഫ്(x) ഡിഗ്രികൾ എൻനൽകിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഘടകങ്ങളിലൊന്നിന് അതിലും ഉയർന്ന ബിരുദമില്ല എൻ/2. നമുക്ക് ഈ ഘടകം സൂചിപ്പിക്കാം ജി(x). പോളിനോമിയലുകളുടെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായതിനാൽ, ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും എഅർത്ഥം എഫ്(എ) ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ് ജി(എ). നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം m= 1+എൻ/2 വ്യത്യസ്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എഞാൻ, ഐ=1,…,എം. നമ്പറുകൾക്കായി ജി(എ i) ഒരു പരിമിതമായ സാദ്ധ്യതകളുണ്ട് (ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെയും ഹരിക്കലുകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണ്), അതിനാൽ വിഭജിക്കാവുന്ന പരിമിതമായ ബഹുപദങ്ങൾ ഉണ്ട് എഫ്(x). ഒരു പൂർണ്ണമായ തിരച്ചിൽ നടത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, ഒന്നുകിൽ ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയലിൻ്റെ അപ്രസക്തത കാണിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ അത് രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കും. എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒഴിവാക്കാനാകാത്ത പോളിനോമിയലുകളായി മാറുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘടകത്തിനും സൂചിപ്പിച്ച സ്കീം പ്രയോഗിക്കുന്നു. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ചില പോളിനോമിയലുകളുടെ അപ്രസക്തത ഒരു ലളിതമായ ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥാപിക്കാവുന്നതാണ്. 6. റേഷണൽ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മേലുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ എഫ്(x) പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്. ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ പി+എ I. ബഹുപദത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും എഫ്(x), ഉയർന്ന ബിരുദത്തിനുള്ള ഗുണകത്തിന് പുറമേ, വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു പി II. ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡിഗ്രിക്കുള്ള ഗുണകം ഹരിക്കില്ല പി III. സ്വതന്ത്ര അംഗത്തെ വിഭജിച്ചിട്ടില്ല പിന്നെ ബഹുപദം എഫ്(x) യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ അപ്രസക്തമാണ്. ഐസെൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം പോളിനോമിയലുകളുടെ അപര്യാപ്തതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകുന്നു, പക്ഷേ ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ ബഹുപദം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ അപ്രസക്തമാണ്, എന്നാൽ ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം പാലിക്കുന്നില്ല. ഐസൻസ്റ്റൈൻ്റെ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച് ബഹുപദം അപ്രസക്തമാണ്. തൽഫലമായി, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ബിരുദത്തിൻ്റെ അപ്രസക്തമായ ബഹുപദമുണ്ട് എൻ, എവിടെ എൻ 1-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.
സെറ്റിന് ഒരു രേഖീയ ക്രമ ബന്ധമുണ്ട്. n എന്ന് പറയാം
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മേഖലയിൽ വിഭജന പ്രവർത്തനം എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. ഡിവിസിബിലിറ്റി റിലേഷൻ അവതരിപ്പിക്കാനുള്ള അവകാശം ഇത് നൽകുന്നു: ചില അനുയോജ്യമായ k∈ ന് m=nk ആണെങ്കിൽ n എന്ന സംഖ്യ m എന്ന സംഖ്യയെ ഹരിക്കുന്നു എന്ന് പറയാം.
നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം -- പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയം. "മോതിരം" എന്ന പദത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഞങ്ങൾ രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുള്ള ഒരു സെറ്റ് R-യുമായി ഇടപെടുന്നു എന്നാണ് - സങ്കലനവും ഗുണനവും, അറിയപ്പെടുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു.
ഒരു ജോടി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (m,n) നൽകിയിരിക്കുന്നു. n എന്നത് നമ്പർ 1 ഉള്ള ഒരു ബാക്കിയായി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടം m കൊണ്ട് n കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ്
യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിന് ഒരു മാട്രിക്സ് വ്യാഖ്യാനം നൽകാം (മെട്രിക്സുകൾക്ക്, അടുത്ത ഖണ്ഡിക കാണുക). ഡിവിഷനുകളുടെ ക്രമം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ബാക്കിയുള്ളവ ഉപയോഗിച്ച് വീണ്ടും എഴുതാം: ഓരോന്നിലും പകരം വയ്ക്കുക
ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒബ്ജക്റ്റുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പറുകൾ, ഫംഗ്ഷനുകൾ, മെട്രിക്സ്, ഒരു വിമാനത്തിലെ വരികൾ മുതലായവ, കൂടാതെ പ്രസ്താവനകളും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഒരു ഉച്ചാരണം ഒരുതരം ആഖ്യാനമാണ്
പ്രയോഗം ഒരു പ്രസ്താവനയാകുമോ? ഇല്ല, ഈ റെക്കോർഡ് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രകടമായ രൂപമാണ്. ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം സാധുവായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് വിവിധ പ്രസ്താവനകൾ ലഭിക്കും
മാട്രിക്സ് ആൾജിബ്ര ഓവർ ദി റിങ് R (R എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയമാണ്, യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലം, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലം) ഒരു കൂട്ടം പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ള ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ബീജഗണിത സംവിധാനമാണ്.
ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് A യുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് അതിൻ്റെ സംഖ്യാ സ്വഭാവമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. 1,2,3 സ്മോൾ ഡൈമൻഷണൽ മെട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം: നിർവചനം. പി.യു
ദൂരങ്ങളെ സംരക്ഷിക്കുന്ന ϕ തലത്തിൻ്റെ ഏത് രൂപാന്തരവും ഒന്നുകിൽ വെക്ടറിലേക്കുള്ള സമാന്തര വിവർത്തനമോ, O പോയിൻ്റിന് ചുറ്റും കോണിൻ്റെ ഭ്രമണമോ α അല്ലെങ്കിൽ സമമിതിയോ ആണെന്ന് അറിയാം.
ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഫീൽഡ് മാത്രമേ പഠിക്കൂ - സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് ℂ. ജ്യാമിതീയ വീക്ഷണകോണിൽ, ഇത് ഒരു തലമാണ്, ബീജഗണിത വീക്ഷണകോണിൽ ഇത്
മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് നിർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ട്. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൻ്റെ അസാധാരണമായ പ്രാധാന്യം കാരണം, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള നിർമ്മാണം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ഉള്ള ഒരു ഇടം പരിഗണിക്കുക
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് നമുക്ക് ഒരു പുതിയ പ്രോപ്പർട്ടി നൽകുന്നു - സമാനമല്ലാത്ത തുടർച്ചയായ ഓട്ടോമോർഫിസത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം (ഐസോമോർഫിസം സ്വയം).
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ എഴുതുന്നതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി രൂപം
കോംപ്ലക്സ് എക്സ്പോണൻ്റ്
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ () മണ്ഡലത്തിന് മുകളിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയായിരിക്കട്ടെ. വാഹനവ്യൂഹം