യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസം. കുറയ്ക്കാവുന്നതും ഒഴിവാക്കാനാവാത്തതുമായ ബഹുപദങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ സമുച്ചയങ്ങളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ വിളിക്കുന്നു പ്രാകൃതമായ, ഏറ്റവും വലുതാണെങ്കിൽ പൊതു വിഭജനംഅതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമാണ് 1. യുക്തിസഹമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള പോളിനോമിയൽ ഒരേയൊരു വഴിപോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യയുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, വിളിക്കുന്നു ഉള്ളടക്കംബഹുപദവും പ്രാകൃത ബഹുപദവും. ആദിമ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പ്രാകൃത ബഹുപദമാണ്. നിന്ന് ഈ വസ്തുതഒരു ഫീൽഡിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു പോളിനോമിയൽ കുറയുകയാണെങ്കിൽ അത് പിന്തുടരുന്നു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ, പിന്നീട് ഇത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിൽ കുറയുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു പോളിനോമിയലിനെ റേഷ്യൽ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയത്തിൽ സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളും ഉള്ളടക്കം 1 ഉം ഉള്ള ഒരു ബഹുപദമായിരിക്കട്ടെ, അതിൻ്റെ യുക്തിപരമായ റൂട്ട് ആയിരിക്കട്ടെ. ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. ബഹുപദം എഫ്(x) പ്രാകൃത ബഹുപദങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ,

എ. ന്യൂമറേറ്റർ വിഭജനമാണ്,

ബി. ഡിനോമിനേറ്റർ - വിഭജനം

ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും സി കെഅർത്ഥം എഫ്(കെ) - ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ( bk-എ).

ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌ത പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നം പരിമിതമായ തിരയലിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പോളിനോമിയൽ വികാസത്തിലും സമാനമായ ഒരു സമീപനം ഉപയോഗിക്കുന്നു എഫ്ക്രോണെക്കർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള അപ്രസക്തമായ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്. ഒരു ബഹുപദമാണെങ്കിൽ എഫ്(x) ഡിഗ്രികൾ എൻനൽകിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഘടകങ്ങളിലൊന്നിന് അതിലും ഉയർന്ന ബിരുദമില്ല എൻ/2. നമുക്ക് ഈ ഘടകം സൂചിപ്പിക്കാം ജി(x). പോളിനോമിയലുകളുടെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായതിനാൽ, ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും എഅർത്ഥം എഫ്(എ) ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ് ജി(എ). നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം m= 1+എൻ/2 വ്യത്യസ്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എഞാൻ, ഐ=1,…,എം. നമ്പറുകൾക്കായി ജി(എ i) ഒരു പരിമിതമായ സാദ്ധ്യതകളുണ്ട് (ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെയും ഹരിക്കലുകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണ്), അതിനാൽ വിഭജിക്കാവുന്ന പരിമിതമായ ബഹുപദങ്ങൾ ഉണ്ട് എഫ്(x). ഒരു പൂർണ്ണമായ തിരച്ചിൽ നടത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, ഒന്നുകിൽ ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയലിൻ്റെ അപ്രസക്തത കാണിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ അത് രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കും. എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒഴിവാക്കാനാകാത്ത പോളിനോമിയലുകളായി മാറുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘടകത്തിനും സൂചിപ്പിച്ച സ്കീം പ്രയോഗിക്കുന്നു.

യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ചില പോളിനോമിയലുകളുടെ അപ്രസക്തത ഒരു ലളിതമായ ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥാപിക്കാവുന്നതാണ്.

അനുവദിക്കുക എഫ്(x) പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്. ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ പി, എന്ത്

I. ബഹുപദത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും എഫ്(x), ഉയർന്ന ബിരുദത്തിനുള്ള ഗുണകത്തിന് പുറമേ, വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു പി

II. ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡിഗ്രിക്കുള്ള ഗുണകം ഹരിക്കില്ല പി

III. സ്വതന്ത്ര അംഗത്തെ വിഭജിച്ചിട്ടില്ല

പിന്നെ ബഹുപദം എഫ്(x) യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ അപ്രസക്തമാണ്.

ഐസെൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം പോളിനോമിയലുകളുടെ അപര്യാപ്തതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകുന്നു, പക്ഷേ ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ ബഹുപദം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ അപ്രസക്തമാണ്, എന്നാൽ ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം പാലിക്കുന്നില്ല.

ഐസൻസ്റ്റൈൻ്റെ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച് ബഹുപദം അപ്രസക്തമാണ്. തൽഫലമായി, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ബിരുദത്തിൻ്റെ അപ്രസക്തമായ ബഹുപദമുണ്ട് എൻ, എവിടെ എൻ 1-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ബഹുപദം- നോൺട്രിവിയൽ പോളിനോമിയലുകളായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ബഹുപദം. ഇർഡൂസിബിൾ പോളിനോമിയലുകൾ പോളിനോമിയൽ റിങ്ങിൻ്റെ ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത മൂലകങ്ങളാണ്.

ഒരു ഫീൽഡിന് മേലെയുള്ള ഒരു മാറ്റാനാവാത്ത ബഹുപദം ഒരു ബഹുപദമാണ് ഒരു ഫീൽഡിലെ വേരിയബിളുകൾ വളയത്തിൻ്റെ ലളിതമായ ഒരു ഘടകമാണ് , അതായത്, സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള ഗുണകങ്ങളുള്ള പോളിനോമിയലുകൾ എവിടെയാണ്, ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു ഫീൽഡിന് മേലെയുള്ള ഒരു പോളിനോമിയൽ f എന്നത് പോസിറ്റീവ് ഡിഗ്രി ഉള്ളതും നിസ്സാരമല്ലാത്ത വിഭജനങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ (അതായത്, ഏതെങ്കിലും വിഭജനം അതുമായോ ഒന്നുമായോ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു) ഒഴിവാക്കാനാകില്ല (ലളിതമായത്) എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

വാചകം 1

അനുവദിക്കുക ആർ- കുറയ്ക്കാനാവാത്തതും എ- വളയത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബഹുപദം F[x]. പിന്നെ ഒന്നുകിൽ ആർവിഭജിക്കുന്നു എ, അല്ലെങ്കിൽ ആർഒപ്പം എ- പരസ്പരം ലളിതമാണ്.

വാചകം 2

അനുവദിക്കുക എഫ്∈ F[x], കൂടാതെ ഡിഗ്രി f = 1, അതായത് f എന്നത് ഒരു മാറ്റാനാവാത്ത ബഹുപദമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: 1. Q എന്ന ഫീൽഡിന് മുകളിൽ ഒരു പോളിനോമിയൽ x+1 എടുക്കുക. അതിൻ്റെ ബിരുദം 1 ആണ്, അതായത് അത് കുറയ്ക്കാനാവില്ല.

2. x2 +1 - ഒഴിവാക്കാനാവില്ല, കാരണം വേരുകളില്ല

എസ്.എൽ.യു. സിസ്റ്റം പരിഹാരം. സഹകരണം, അനിശ്ചിതത്വം, നിശ്ചലവും അനിശ്ചിതവുമായ സംവിധാനങ്ങൾ. തുല്യമായ സംവിധാനങ്ങൾ

സിസ്റ്റം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ x1,…xn എന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു ഫീൽഡിൽ F-നെ ഫോമിൻ്റെ സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

എ 11 എക്സ് 1 +… + എ 1n x എൻ= ബി 1

………………………..

എ m1 x 1 +… + എ mn x എൻ= ബി എം

എവിടെ എ ik,ബി ഐ∈ F, m എന്നത് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംഖ്യയാണ്, n എന്നത് അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണമാണ്. ചുരുക്കത്തിൽ, ഈ സിസ്റ്റം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: ai1x1 + ... + a ഇൻ x എൻ= ബി ഐ (i = 1,…m.)

n ഫ്രീ വേരിയബിളുകൾ x ഉള്ള ഒരു അവസ്ഥയാണ് ഈ SLE 1,….хn.

SLN-കളെ പൊരുത്തമില്ലാത്തവ (പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല), അനുയോജ്യം (നിശ്ചിതവും അനിശ്ചിതവും) എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു തനതായ പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു തരത്തിലുള്ള സ്ഥിരതയുള്ള സംവിധാനത്തെ ഡിഫൈനൈറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; അവൾക്ക് കുറഞ്ഞത് രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ വിവിധ പരിഹാരങ്ങൾ, അപ്പോൾ അതിനെ അനിശ്ചിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: Q ഫീൽഡിന് മുകളിൽ

x + y = 2 - പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റം

x – y = 0 - ജോയിൻ്റ് ഡിഫിനിറ്റ് (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - സംയുക്ത അനിശ്ചിതത്വം

രണ്ട് എൽ.യു ഈ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സൊല്യൂഷനുകളുടെ സെറ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ തുല്യമാണ്, അതായത്, ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം ഒരേസമയം മറ്റൊന്നിൻ്റെ പരിഹാരമാണ്. ഇതിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

1. ഏതെങ്കിലും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

2. ഒരു സമവാക്യത്തെ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

എസ്എൽഇയുടെ പരിഹാരം ഗൗസിയൻ രീതിയാണ് നടത്തുന്നത്.

45* രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ (slu) സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ. ഗാസ് രീതി.

ഡെഫ്.S.L.U n-xia യുടെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളാണ്:

1. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ ഫീൽഡിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

2. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നിലേക്ക് ചേർക്കുമ്പോൾ മറ്റൊരു സമവാക്യം ഫീൽഡ് മൂലകത്താൽ ഗുണിക്കുന്നു.

3. സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത സമവാക്യം 0*x1+0*x2+…+0*xn=0 സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കൽ

4. വിപരീത സമവാക്യങ്ങൾ

നിർദ്ദേശംഒരു പരിമിത സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം (**) ലഭിക്കുകയോ സിസ്റ്റം (*) ലഭിക്കുകയോ ചെയ്യട്ടെ. മൂലക പരിവർത്തനങ്ങൾ. പിന്നെ സിസ്റ്റം (**)~ സിസ്റ്റം(*). (രേഖയില്ല)

ഡെപ്യൂട്ടിരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എഴുതുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും.

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

ഉദാഹരണങ്ങൾ: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

ഗാസ് രീതി

നിർദ്ദേശംസിസ്റ്റം (*) ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ

(എ) എല്ലാ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളും 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ എല്ലാ vk=0 പല പരിഹാരങ്ങളും = F n

(b) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല)

2. എല്ലാം AIj=0 അല്ല

(എ) സിസ്റ്റത്തിന് 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ

(b) അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ b1. പൂജ്യമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം. നമുക്ക് ഏറ്റവും ചെറിയ സൂചിക i1 കണ്ടെത്താം, എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും xij=0-ൽ അല്ല.

0……0…………….. പൂജ്യങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ നിര i1 ആണ്.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1.സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് a1i1 = 0 ലഭിക്കും

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(അസൈൻമെൻ്റ്) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1..... ..... ( ചവിട്ടി

0…. 0… а2i1… 0…..0..0……. മാട്രിക്സ്)

0 ........... 0 .... അമി1.. ... ………………………. ……………………….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0….

പരിമിതമായ എണ്ണം ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ഒന്നുകിൽ സിസ്റ്റത്തിൽ 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 എന്ന സമവാക്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

0......0 1.. L1 "ഫോർവേഡ് ഗൗസിയൻ സ്ട്രോക്ക്" 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “റിവേഴ്സ് സ്ട്രോക്ക്

0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..ഗൗസ്”

0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകളെ xi1, ...... xik എന്ന് വിളിക്കും, ബാക്കിയുള്ളവ സൗജന്യമാണ്.

k=n => c-ഒരു നിശ്ചിത

കെ c-a നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾക്ക് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം, പ്രധാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാം.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിൽ, ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഒഴിവാക്കാനാകാത്ത പോളിനോമിയലിന് ഡിഗ്രി 1 അല്ലെങ്കിൽ 2 ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഡിഗ്രി 2 ൻ്റെ പോളിനോമിയലിന് നെഗറ്റീവ് വിവേചനമുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം R ഫീൽഡിന് മീതെ കുറയ്ക്കാനാവില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പോളിനോമിയലിന് മേൽ ഇളവ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് അതിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ.

ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫെർഡിനാൻഡ് ഐസൻസ്റ്റീൻ്റെ പേരിലുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ അപ്രസക്തതയ്ക്കുള്ള ഒരു പരീക്ഷണമാണ് ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം. (പരമ്പരാഗത) പേര് ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ഇത് കൃത്യമായി ഒരു അടയാളമാണ്, അതായത്, മതിയായ അവസ്ഥ- എന്നാൽ ആവശ്യമില്ല, "മാനദണ്ഡം" എന്ന വാക്കിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരാൾ ഊഹിച്ചേക്കാം

സിദ്ധാന്തം (ഐസൻസ്റ്റീൻ മാനദണ്ഡം). ഫാക്‌ടോറിയൽ റിംഗ് R ന് മുകളിൽ ഒരു ബഹുപദമായിരിക്കട്ടെ ( എൻ>0), കൂടാതെ ചില കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഘടകത്തിനും പിഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല പി,

വിഭജിച്ചു പി, ആർക്കും ഐനിന്ന് 0 വരെ n- 1,

കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

അപ്പോൾ പോളിനോമിയൽ അപ്രസക്തമാണ് എഫ്സ്വകാര്യ റിംഗ് ഫീൽഡ് ആർ.

അനന്തരഫലം.ബീജഗണിത സംഖ്യകളുടെ ഏതൊരു മണ്ഡലത്തിലും മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഏതെങ്കിലും അളവിലുള്ള അപ്രസക്തമായ ബഹുപദം നിലവിലുണ്ട്; ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബഹുപദം എവിടെ എൻ>1 ഒപ്പം പിചില പ്രധാന നമ്പർ.

R എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു വളയവും F എന്നത് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഫീൽഡും ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഈ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ക്യൂവിൽ ബഹുപദം അപ്രസക്തമാണ്.

ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ ഡിവിഷൻ ബഹുപദം അപ്രസക്തമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് കുറയ്ക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയലും കുറയ്ക്കുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ദ്വിപദമായതിനാൽ, അതായത്, അവയെ ഹരിച്ചാണ്. പി, അവസാന ഗുണകം `ആമേൻ പികൂടാതെ, അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമായി, ഐസെൻസ്റ്റീൻ്റെ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് ഇത് വിഭജിക്കാനാവില്ല.

ഇനിപ്പറയുന്ന അഞ്ച് പോളിനോമിയലുകൾ ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത പോളിനോമിയലുകളുടെ ചില പ്രാഥമിക ഗുണങ്ങൾ പ്രകടമാക്കുന്നു:

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ Z വളയത്തിന് മുകളിൽ, ആദ്യത്തെ രണ്ട് ബഹുപദങ്ങൾ കുറയ്ക്കാവുന്നതാണ്, അവസാനത്തെ രണ്ടെണ്ണം കുറയ്ക്കാനാകാത്തതാണ്. (മൂന്നാമത്തേത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളേക്കാൾ ബഹുപദമല്ല).

യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ Q ഫീൽഡിൽ, ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പോളിനോമിയലുകൾ കുറയ്ക്കാനാകും, മറ്റ് രണ്ടെണ്ണം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.

R ഫീൽഡിന് മുകളിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, ആദ്യത്തെ നാല് പോളിനോമിയലുകൾ കുറയ്‌ക്കാവുന്നവയാണ്, പക്ഷേ അപ്രസക്തമാണ്. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ, രേഖീയ ബഹുപദങ്ങളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലുകൾയഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാതെ. ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്. ഈ വികാസത്തിലെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ബഹുപദങ്ങളാണ്.

കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകളുടെ C ഫീൽഡിന് മുകളിൽ, അഞ്ച് പോളിനോമിയലുകളും കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. യഥാർത്ഥത്തിൽ, C-യെക്കാൾ സ്ഥിരമല്ലാത്ത എല്ലാ പോളിനോമിയലും ഈ രൂപത്തിൽ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്:

എവിടെ എൻ- ബഹുപദത്തിൻ്റെ ബിരുദം, എ- മുൻനിര ഗുണകം, - ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ. അതിനാൽ, C യ്‌ക്ക് മുകളിലുള്ള ഏകീകൃത പോളിനോമിയലുകൾ ലീനിയർ പോളിനോമിയലുകൾ (ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം) മാത്രമാണ്.

ഏത് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയും വിമാനത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് വ്യക്തമാക്കുന്നു. ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ഒരു സങ്കീർണ്ണ തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും, ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ മറ്റൊരു സങ്കീർണ്ണ തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും.

F(z)- കോംപ്ലക്സ് സങ്കീർണ്ണമായവേരിയബിൾ. സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ, തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്ലാസ് വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു.

Def: ഒരു കോംപ്ലക്സ് വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷനെ Continuous if , അത്തരം, .+ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്:

സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ ഒരു വൃത്തം വ്യക്തമാക്കുന്നു, പോയിൻ്റ് z0 ലും ആരത്തിലും കേന്ദ്രം< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

സിദ്ധാന്തം 1: പോളിനോമിയൽ f(z) ചേർക്കുക. സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ ഏത് ഘട്ടത്തിലും C(z) തുടർച്ചയാണ്.

അനന്തരഫലം: സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2: - സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള പോളിനോമിയലുകളുടെ ഒരു വളയം, തുടർന്ന് അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ .

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൊഡ്യൂളിലെ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവിനെക്കുറിച്ച്):

ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം:

ഡിഗ്രി 0 അല്ലാത്ത സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ഏതൊരു ബഹുപദത്തിനും സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.

(തെളിവിൽ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ഉപയോഗിക്കും):

D.: 1. a n =0 ആണെങ്കിൽ, z=0 ആണ് f(z) ൻ്റെ റൂട്ട്.

2. a n 0 ആണെങ്കിൽ, സിദ്ധാന്തം 3 പ്രകാരം, S റേഡിയസ് വൃത്തത്തിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ ഒരു പ്രദേശത്തെ അസമത്വം നിർവചിക്കുന്നു. ഈ മേഖലയിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല, കാരണം അതിനാൽ, പോളിനോമിയൽ f(z) ൻ്റെ വേരുകൾ മേഖലയ്ക്കുള്ളിൽ അന്വേഷിക്കണം.

നമുക്ക് T1 ൽ നിന്ന് പരിഗണിക്കാം. f(z) തുടർച്ചയാണെന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു. വീയർസ്ട്രാസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു അടഞ്ഞ പ്രദേശത്ത് ഏതെങ്കിലുമൊരു ഘട്ടത്തിൽ അത് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവിൽ എത്തുന്നു, അതായത്. . പോയിൻ്റ് ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റാണെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. കാരണം 0 E, പിന്നെ, കാരണം f-ii ൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ E മേഖലയ്ക്ക് പുറത്ത്, തുടർന്ന് z 0 എന്നത് മുഴുവൻ സങ്കീർണ്ണ തലത്തിലെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ്. നമുക്ക് f(z 0)=0 എന്ന് കാണിക്കാം. ഇത് അങ്ങനെയല്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, അപ്പോൾ ഡി അലംബെർട്ടിൻ്റെ ലെമ്മയിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിക്കുന്നു, കാരണം z 0 മിനിമം പോയിൻ്റ്.

ബീജഗണിത ക്ലോഷർ:

Def: ഈ ഫീൽഡിന് മുകളിൽ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, P ഫീൽഡിനെ ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം: സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലം ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിരിക്കുന്നു. (ഡി-ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു).

യുക്തിസഹവും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡുകൾ ബീജഗണിതപരമായി അടച്ചിട്ടില്ല.

വിഘടിപ്പിക്കൽ:

സിദ്ധാന്തം: 1 ന് മുകളിലുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിലുള്ള ഏത് ബഹുപദവും രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വിഘടിപ്പിക്കാം.

അനന്തരഫലം 1. കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിൽ ഡിഗ്രി n എന്ന ബഹുപദത്തിന് കൃത്യമായി n വേരുകളുണ്ട്.

അടുത്തത് 2: 1-ൽ കൂടുതലുള്ള ഡിഗ്രി കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ഏതൊരു ബഹുപദവും എപ്പോഴും കുറയ്ക്കാവുന്നതാണ്.

def: മൾട്ടിപ്ലസിറ്റി C\R സംഖ്യകൾ, അതായത്. a+bi ഫോമിൻ്റെ സംഖ്യകൾ, 0 ന് തുല്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളെ സാങ്കൽപ്പികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2. ഒരു ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ. രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെയും യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെയും GCD. ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഘടകങ്ങളുടെയും അതിൻ്റെ പ്രത്യേകതയുടെയും ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി.

ഡെഫ്.അജ്ഞാതത്തിൽ പോളിനോമിയൽ (പോളിനോമിയൽ). എക്സ്വയലിന് മുകളിലൂടെ ആർവിളിച്ചു പൂർണ്ണസംഖ്യ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ശക്തികളുടെ ബീജഗണിത തുക എക്സ്, ഫീൽഡിൽ നിന്നുള്ള ചില ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത് ആർ.

aiÎP എവിടെയാണ് അല്ലെങ്കിൽ

ബഹുപദങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു തുല്യമായ, അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ അജ്ഞാതരുടെ അനുബന്ധ ശക്തികൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ബിരുദത്തെ വിളിക്കുന്നു.അജ്ഞാത സൂചകത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഗുണകം.

സൂചിപ്പിച്ചത്: N(f(x))=n

ഒരു ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള എല്ലാ പോളിനോമിയലുകളുടെയും സെറ്റ് ആർസൂചിപ്പിക്കുന്നത്: P[x].

ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകൾ ഫീൽഡ് ഘടകങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നു ആർ, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് - പൂജ്യം പോളിനോമിയൽ, അതിൻ്റെ ഡിഗ്രി അനിശ്ചിതത്വമാണ്.

പോളിനോമിയലുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

n³s, തുടർന്ന് , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s) എന്ന് അനുവദിക്കുക.

<P[x],+>

1. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനം സാധ്യമാണ്, കൂടാതെ ഫീൽഡ് മൂലകങ്ങളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകതയിൽ നിന്ന് അദ്വിതീയത പിന്തുടരുന്നു
2. സഹവാസം
3. പൂജ്യം ഘടകം
4. തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് വിപരീതമായി ബഹുപദം
5. കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി

- അബെലിയൻ ഗ്രൂപ്പ്

2. ഗുണനം.

ബീജഗണിത ഘടന പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു<P[x],*>

1. പ്രവർത്തനം സാധ്യമാണ്, കാരണം ഫീൽഡ് ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു. ഫീൽഡിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അവ്യക്തതയിൽ നിന്നാണ് സവിശേഷത പിന്തുടരുന്നത് ആർ.
2. സഹവാസം
3. യൂണിറ്റ് ബഹുപദം
4. പൂജ്യം ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ബഹുപദങ്ങൾ മാത്രമേ വിപരീതമാകൂ

<P[x],*>- ഐഡൻ്റിറ്റി എലമെൻ്റ് ഉള്ള അർദ്ധഗ്രൂപ്പ് (മാനോയിഡ്)

വിതരണ നിയമങ്ങൾ തൃപ്തികരമാണ്, അതിനാൽ,<P[x],+,*>ഐഡൻ്റിറ്റി ഉള്ള ഒരു കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് റിംഗ് ആണ്.

ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനം

ODA:ബഹുപദം f(x), f(x)OP[x], പി- ഫീൽഡ് ഒരു ബഹുപദത്താൽ ഹരിക്കുന്നു g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x],അത്തരമൊരു ബഹുപദം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ h(x)OP[x], അത് f(x)=g(x)h(x)

വിഭജന ഗുണങ്ങൾ:

ഉദാഹരണം:, ഒരു കോളം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക gcd =( x+3)

ബാക്കിയുള്ള ഡിവിഷൻ സിദ്ധാന്തം:ഏതെങ്കിലും പോളിനോമിയലുകൾക്ക് f (x), g(x)OP[x],ഒരു ബഹുപദം മാത്രമേയുള്ളൂ q(x) ഒപ്പം r(x)അത്തരം f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) അല്ലെങ്കിൽ r(x)=0.