പാഠ വിഷയം "Bezout's theorem. Horner's scheme and its application"
ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയിലെ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു
F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F"(1)(x−1) + +A6 F"(−3)(x+3) F"(-2)(x+2) ++ F"(0)x F"(−1)(x+1) F"(2)(x−2)) , ·(ഇവിടെ F(x)=(x+3)·(x+2) ·(x+1)·(x-1)·(x-2) സംഖ്യകൾ A1; IML 1 (Horner's സ്കീമിൻ്റെ പൊതുവൽക്കരണം) A1 സംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളുടെ ഒരു വർദ്ധന ക്രമത്തിലാണെങ്കിൽ, φ(x) പോളിനോമിയൽ (2) രേഖീയമാകണമെങ്കിൽ, അഞ്ചാമത്തെയും നാലാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രികളുടെ “x” ലെ ഗുണകങ്ങൾ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ “x” ന് തുല്യമായിരിക്കണം. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് ആറ് വേരിയബിളുകളുള്ള അഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3 +30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1-35 A2+70 A3-50 A4+5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 А4+80·A4-5·A6=0 -4·A1+30·A2-120·A3+40·A4+60· А5-6·А6=120.
ഞങ്ങൾ A6 നമ്പർ ശരിയാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ബാക്കിയുള്ളവയെല്ലാം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കും: A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6- 3; A4=A6-2; A5=A6-1. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ക്രമം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ലീനിയർ ഘടകത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ടെന്ന് സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: φ(x)=x+A4 (3).ഡിവൈഡറുകൾ. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഈ നമ്പർ -8 ആണ്. അതിൻ്റെ എല്ലാ വിഭജനങ്ങളും ഒരു കോളത്തിൽ എഴുതാം. സംഖ്യ -8 ൻ്റെ ഓരോ വിഭജനത്തിനും, ഞങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ ഒരു രേഖീയ ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് എഴുതുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ലഗ്രാൻജിയൻ പരമ്പരയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ "കാൻഡിഡേറ്റുകൾ" തിരഞ്ഞെടുക്കും. നമുക്ക് "കാൻഡിഡേറ്റുകൾ" ഉപയോഗിച്ച് f(0) ൽ ഒരു പോളിനോമിയൽ φ(x) നിർമ്മിക്കാം.
ലീനിയർ മൾട്ടിപ്ലയർ -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 നിർണ്ണയിക്കുന്നത് 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71
തെളിവ്: തെളിവ്: നമുക്ക് ബഹുപദം (1) ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം, അതായത്. 120 വരെ · F(x), ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ന്യൂമറേറ്റർ അഞ്ചാം ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു, അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിൽ A1 സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; A2; A3; A4; A5; A6. ബഹുപദം (1) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആകണമെങ്കിൽ, അഞ്ചാമത്തെയും നാലാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഡിഗ്രികളുടെ “x” ൻ്റെ ഗുണകങ്ങളെ പൂജ്യമായും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ “x” ൻ്റെ ഗുണകത്തെ 120 ആയും തുല്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഫലമായി, ആറ് വേരിയബിളുകളുള്ള നാല് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3+30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1 -35 A2 +70 A3-50 A4+5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 A4+80 A5-5 A6=120.
നമ്മൾ A5, A6 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഉറപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ബാക്കിയുള്ളവയെല്ലാം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കും: A1=5·(A5+4)-4·A6; A2=4·(A5+3)-3·A6; A3=3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6. φ(x)=x2+(A6-A5-3) x+ A4 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫാക്ടർ പ്രകടിപ്പിക്കുമെന്ന് സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. (4) നിർവ്വചനം: ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ നൽകുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി; A3=3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6 എന്നത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് നിർവചനം: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ സംഖ്യകളും Ak ഫംഗ്ഷൻ f(xk) മൂല്യങ്ങളുടെ വിഭജനങ്ങളാണെങ്കിൽ അതിനെ "കാൻഡിഡേറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ), k=1;2;3;4 ;5;6. എല്ലാ കാൻഡിഡേറ്റുകൾക്കുമായി, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫാക്ടർ φ(x) നിർമ്മിക്കുകയും f(x) ഉപയോഗിച്ച് ദ്വിതീയത പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.അവയുടെ നിർമ്മാണത്തിന് സൗകര്യപ്രദവും: A1 A2 A2+ d+8 A3+ d+6 ഉദാഹരണം: A5=7; A6=10 ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് രചിക്കുന്നു. നമുക്ക് d=7-10=-3 കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് പട്ടികയിലെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ ശ്രേണിയുടെ നമ്പറുകൾ കണ്ടെത്താം: A1 A2+ d+8 10+(- 3)+8 15 ഉത്തരം: 15; 10; 7; 6; 7; 10. അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ കുറച്ച പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. A5 A2 A3+ d+6 A5 7+(-3)+6 6+( -3) +4 7+(-3)+2 7 7 10 A4 A5+ d+2 A3 A4+ d+4 7 6 A6 A6 A6 A6 10 10 1) ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു x=-3; -2;-1; 0;1;2. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം: 1 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 - 8 -3 - 2 -1 0 1 2 2) ഈ ബഹുപദത്തിന് രേഖീയ ഘടകങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക ലൈൻ നമ്പർ 3 ൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഇവയിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യാ വിഭജനങ്ങളുള്ള സംഖ്യ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് "2" എന്ന സംഖ്യയാണ്. ഒരു കോളത്തിൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഹരജികളും എഴുതാം. -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11 എന്നതിൽ "2" എന്ന സംഖ്യയുടെ ഓരോ വിഭജനത്തിനും
വരി ഞങ്ങൾ ലീനിയർ ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് എഴുതുന്നു. ഞങ്ങൾ അവരിൽ നിന്ന് ഉദ്യോഗാർത്ഥികളെ തിരഞ്ഞെടുത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയൽ f(x) ഉപയോഗിച്ച് ഡിവിസിബിലിറ്റി പരിശോധിക്കും. പട്ടിക നമ്പർ 3: -1298 A1 -378 A2 -88 A3 -20 A4 -3 0 -4 -5 -6 A5 0 -2 1 -3 2 A6 1 -1 2 -2 ഈ പട്ടിക നമ്പർ 3 ൽ, സെല്ലുകളാണ് ചാരനിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങളുടെ വിഭജിക്കാത്ത സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ശൂന്യമായ സെല്ലുകൾ പൂരിപ്പിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം ചാരനിറത്തിലുള്ള സെല്ലിൽ ഒരു സംഖ്യയുള്ള നിർമ്മിത ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് തീർച്ചയായും ഒരു "കാൻഡിഡേറ്റ്" അല്ല. ഈ പട്ടിക നമ്പർ 3 ൽ നിന്ന് "സ്ഥാനാർത്ഥികൾ" ഇല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഈ ബഹുപദമായ f(x)=x5-5x4+13x3- 22x2+27x-20 രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. 3) ഈ ബഹുപദത്തിന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക ലൈൻ നമ്പർ 4 ൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യകൾ ഉള്ള രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇവ "2", "-6" എന്നീ സംഖ്യകളാണ്. "2", "-6" എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഓരോ ജോഡി ഡിവൈസറുകൾക്കും ഞങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് എഴുതുന്നു. ഞങ്ങൾ അവരിൽ നിന്ന് കാൻഡിഡേറ്റുകളെ തിരഞ്ഞെടുത്ത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ബഹുപദമായ f(x) ഉപയോഗിച്ച് ഡിവിസിബിലിറ്റി പരിശോധിക്കും. പട്ടിക നമ്പർ 4: -1298 A1 A2+ d+8 -378 A2 A3+ d+6 5 -88 A3 A4+ d+4 1 10 -5 -20 A4 A5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 A5 A5 1 -1 2 -2 3 -3 2 A6 A6 1 1 1 1 1 1 d d= A5- A6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4
19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d= 2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 “cand.” "കാൻഡി."
ഈ പട്ടിക നമ്പർ 4 ൽ നമ്മൾ രണ്ട് "കാൻഡിഡേറ്റുകൾ" കാണുന്നു. അവരുടെ സഹായത്തോടെ, φ(x)=x2+(A6- A5-3) x+ A4 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ ചതുര ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: φ1(x)=x2-3x+ 4; φ2(x)=x2+x-4.
19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 “കാൻഡ്.” "കാൻഡി." d =2 - 1 - 1 2 d =-1 2 d =-3 2 d =0 2 d =-4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d =1 d =-1 d =5 ഈ പട്ടിക നമ്പർ 5 ൽ ഞങ്ങൾക്ക് 24 ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാഞ്ച് സീരീസ് ലഭിച്ചു. ഫോർമുലയിൽ A4, A6 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതിനാൽ, A4, A6 എന്നീ വിഭജനങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ ഇരട്ടയോ രണ്ടും ഒറ്റയോ ആയിരിക്കണം. ഇതുമൂലം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാഞ്ച് ശ്രേണികളുടെ എണ്ണം കുറഞ്ഞു. A1, A6 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാഞ്ച് സീരീസ് എഴുതാൻ ഈ സിദ്ധാന്തം 3 ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരമ്പരകളുടെ എണ്ണം 12 ആയി കുറയും. പട്ടിക നമ്പർ 6: -378 -1298 A1 A2 2 A6 d -88 A3 -20 A4 -6 A5
"കാൻഡി." A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 “cand.” "കാൻഡി." A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 - 2 -22 118 പട്ടിക നമ്പർ 6-ൽ, A5 ഫോർമുല (4A1 + A6) അനുസരിച്ച് കാണപ്പെടുന്നതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് ശ്രേണികളുടെ എണ്ണം 12 ആയി കുറച്ചിരിക്കുന്നു: 5-4, A5 എന്നിവ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ കുറവോ തുല്യമോ ആയിരിക്കണം. -6 വരെ. എല്ലാ പട്ടികകളിലും, കറുപ്പ് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്ത വരി "സാധുവായ കാൻഡിഡേറ്റ്" ആണ്.
ശേഷിക്കുന്ന സ്ഥാനാർത്ഥികൾ "സാങ്കൽപ്പികം" ആണ്.
ആറാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു പോളിനോമിയലിന്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫാക്ടർ കണ്ടെത്താമെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും: φ(x)=x2+ (A7 - A6 - 5) x+ A4, ഇവിടെ അക്കങ്ങൾ A1 ആണ്; A2; A3; A4; A5; A6; A7 ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ലഗ്രാൻജിയൻ സീരീസ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. 6. നിഗമനങ്ങൾ: 1. IML -2 14 -4 8 -4 4 -8 ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഈ വിഘടിപ്പിക്കൽ രീതി "ഹോർണർ സ്കീമിൻ്റെ" ഒരു പൊതുവൽക്കരണമാണ്. 2. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, അഞ്ചാം ഡിഗ്രിക്ക് മുകളിലുള്ള ബഹുപദങ്ങൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഘടകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. 3. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, അഞ്ചാമത്തെയും ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളിലെയും പോളിനോമിയലുകളുടെ വികാസത്തിൽ ക്യൂബിക് പോളിനോമിയലുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ലഗ്രാൻജിയൻ സംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കാൻ കഴിയും. 7. സാഹിത്യം: 1. A. N. Chebotarev "Fundamentals of Galois theory", OMTI GTTI, 1934, 1 മണിക്കൂർ.
2. "സംഖ്യകളും ബഹുപദങ്ങളും", സമാഹരിച്ചത് എ.എ. എഗോറോവ് - എം.: ക്വാണ്ടം ബ്യൂറോ, 2000 / മാസിക "ക്വാണ്ടം" നമ്പർ 6, 2000 ന് അനുബന്ധം. ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുന്നതിന്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് കൂടുതൽ കുറയ്ക്കാൻ ഇത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണം അതിൻ്റെ ഡിഗ്രി രണ്ടിൽ കുറയാത്തപ്പോൾ അർത്ഥവത്താണ്. ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.ലേഖനം വിഘടനത്തിൻ്റെ എല്ലാ ആശയങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു,
സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറ
ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്റ്ററിംഗ് രീതികളും.n ഡിഗ്രി ഉള്ള ഏതെങ്കിലും പോളിനോമിയൽ, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + എന്ന ഫോം ഉള്ളപ്പോൾ. . . + a 1 x + a 0, ഉയർന്ന ഡിഗ്രി a n, n ലീനിയർ ഘടകങ്ങൾ (x - x i), i = 1, 2, ..., n, തുടർന്ന് P n (x) ഉള്ള സ്ഥിരമായ ഘടകം ഉള്ള ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , ഇവിടെ x i, i = 1, 2, …, n എന്നത് ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.
സങ്കീർണ്ണമായ തരം x i, i = 1, 2, ..., n എന്നിവയുടെ വേരുകൾക്കും a k, k = 0, 1, 2, …, n എന്നീ സങ്കീർണ്ണ ഗുണകങ്ങൾക്കുമായി സിദ്ധാന്തം ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്. ഏത് വിഘടനത്തിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനം ഇതാണ്.
a k, k = 0, 1, 2, ..., n എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, പിന്നെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സംയോജിത ജോഡികളിൽ സംഭവിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + എന്ന ഫോമിൻ്റെ പോളിനോമിയലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട x 1, x 2 റൂട്ടുകൾ. . . + a 1 x + a 0 എന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് മറ്റ് വേരുകൾ യഥാർത്ഥമാണ്, അതിൽ നിന്ന് പോളിനോമിയൽ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · ഫോം എടുക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, ഇവിടെ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
അഭിപ്രായം
ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ആവർത്തിക്കാം. ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമായ ബീജഗണിത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം
സിദ്ധാന്തം 2ഡിഗ്രി n ഉള്ള ഏതൊരു ബഹുപദത്തിനും കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ട് എങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.
ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദത്തെ ഹരിച്ച ശേഷം. . . + a 1 x + a 0 on (x - s), തുടർന്ന് നമുക്ക് ബാക്കി ലഭിക്കുന്നു, അത് പോയിൻ്റ് s-ലെ ബഹുപദത്തിന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , ഇവിടെ Q n - 1 (x) എന്നത് n - 1 ഡിഗ്രി ഉള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്.
ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലം
P n (x) എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട് s ആയി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . പരിഹാരം വിവരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ഈ പരിണതഫലം മതിയാകും.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്ടറിംഗ്
a x 2 + b x + c രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം. അപ്പോൾ നമുക്ക് a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , ഇവിടെ x 1 ഉം x 2 ഉം വേരുകൾ (സങ്കീർണ്ണമോ യഥാർത്ഥമോ) ആണെന്ന് ലഭിക്കും.
വികാസം തന്നെ പിന്നീട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് കുറയുന്നുവെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 1
ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
4 x 2 - 5 x + 1 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് നമുക്ക് D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 ലഭിക്കും. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ഉണ്ട്
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 ലഭിക്കും.
പരിശോധന നടത്താൻ, നിങ്ങൾ പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കേണ്ടതുണ്ട്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
പരിശോധിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷനിൽ എത്തുന്നു. അതായത്, വിഘടനം ശരിയായി നടത്തിയെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.
ഉദാഹരണം 2
3 x 2 - 7 x - 11 ഫോമിൻ്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.
വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ വിവേചനത്തിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 ലഭിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 3
പോളിനോമിയൽ 2 x 2 + 1 ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
ഇനി നമുക്ക് 2 x 2 + 1 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
ഈ വേരുകളെ കോംപ്ലക്സ് കൺജഗേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത് വികാസം തന്നെ 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i ആയി ചിത്രീകരിക്കാം.
ഉദാഹരണം 4
ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ x 2 + 1 3 x + 1 വിഘടിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം
ആദ്യം നിങ്ങൾ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
വേരുകൾ ലഭിച്ച ശേഷം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
അഭിപ്രായം
വിവേചന മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയലുകൾ രണ്ടാം ഓർഡർ പോളിനോമിയലുകളായി തുടരും. ഇതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അവയെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കില്ല.
രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം ഫാക്ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതികൾ
വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഒരു സാർവത്രിക രീതി അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. മിക്ക കേസുകളും ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ റൂട്ട് x 1 ൻ്റെ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും (x - x 1) കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു ബഹുപദം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് അതിൻ്റെ ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കുകയും വേണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിനോമിയലിന് റൂട്ട് x 2 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ നമുക്ക് പൂർണ്ണമായ വികാസം ലഭിക്കുന്നതുവരെ തിരയൽ പ്രക്രിയ ചാക്രികമാണ്.
റൂട്ട് കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, ഘടകവൽക്കരണത്തിൻ്റെ മറ്റ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഗ്രൂപ്പിംഗ്, അധിക നിബന്ധനകൾ. ഈ വിഷയത്തിൽ ഉയർന്ന ശക്തികളും പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.
ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ
സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക, അപ്പോൾ ബഹുപദത്തിൻ്റെ രൂപം P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ആയി മാറുന്നു. . . + ഒരു 1 x.
അത്തരമൊരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് x 1 = 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും, അപ്പോൾ പോളിനോമിയലിനെ P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + എന്ന പദപ്രയോഗമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)
ഈ രീതി ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കുന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.
ഉദാഹരണം 5
മൂന്നാം ഡിഗ്രി പോളിനോമിയൽ 4 x 3 + 8 x 2 - x ഫാക്ടർ.
പരിഹാരം
നൽകിയിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് x 1 = 0 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, തുടർന്ന് നമുക്ക് മുഴുവൻ എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്നും x നീക്കം ചെയ്യാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
4 x 2 + 8 x - 1 എന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. നമുക്ക് വിവേചനവും വേരുകളും കണ്ടെത്താം:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
തുടർന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
ആരംഭിക്കുന്നതിന്, P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു വിഘടിപ്പിക്കൽ രീതി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. . . + a 1 x + a 0, ഇവിടെ ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണകം 1 ആണ്.
ഒരു പോളിനോമിയലിന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അവ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.
ഉദാഹരണം 6
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 എന്ന പദപ്രയോഗം വികസിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം
പൂർണ്ണമായ വേരുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. സംഖ്യയുടെ വിഭജനങ്ങൾ എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - 18. നമുക്ക് അത് ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 ലഭിക്കുന്നു. ഈ ബഹുപദത്തിന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളുണ്ട്. ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഇത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ് കൂടാതെ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വിപുലീകരണ ഗുണകങ്ങൾ വേഗത്തിൽ നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:
x = 2 ഉം x = - 3 ഉം യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഇത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
x 2 + 2 x + 3 രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വികാസത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
ഉത്തരം: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
അഭിപ്രായം
ഹോർണറുടെ സ്കീമിന് പകരം ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് തിരഞ്ഞെടുക്കലും വിഭജനവും ഉപയോഗിക്കാൻ അനുവാദമുണ്ട്. P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ഫോമിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വികാസം പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. . . + a 1 x + a 0 , ഇതിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് ഈ കേസ് സംഭവിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 7
ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുക (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
പരിഹാരം
y = 2 x എന്ന വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയിൽ 1 ന് തുല്യമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക് നിങ്ങൾ നീങ്ങണം. പദപ്രയോഗം 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾ ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്ഷനിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളുണ്ട്, അപ്പോൾ അവയുടെ സ്ഥാനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങളുടെ ഇടയിലാണ്. എൻട്രി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
ഫലമായി പൂജ്യം ലഭിക്കുന്നതിന് ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ g (y) കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ഗ്രാം (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ഗ്രാം (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ഗ്രാം (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ഗ്രാം (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ഗ്രാം (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 ഗ്രാം (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 ഗ്രാം (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 ഗ്രാം (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ഗ്രാം (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
y = - 5 എന്നത് y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അതായത് x = y 2 = - 5 2 എന്നത് യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ്റെ റൂട്ടാണ്.
ഉദാഹരണം 8
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 എന്ന കോളം ഉപയോഗിച്ച് x + 5 2 കൊണ്ട് വിഭജിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം
നമുക്ക് അത് എഴുതി നേടാം:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
വിഭജനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന് വളരെയധികം സമയമെടുക്കും, അതിനാൽ x 2 + 7 x + 3 രൂപത്തിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്. പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെ നമ്മൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
അത് പിന്തുടരുന്നു
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്റ്ററിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള കൃത്രിമ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ
എല്ലാ ബഹുപദങ്ങളിലും യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ അന്തർലീനമല്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ പ്രത്യേക രീതികൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ എല്ലാ ബഹുപദങ്ങളും ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വികസിപ്പിക്കാനോ പ്രതിനിധീകരിക്കാനോ കഴിയില്ല.
ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി
ഒരു പൊതു ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നതിനും ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നതിനും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്.
ഉദാഹരണം 9
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 എന്ന ബഹുപദത്തെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
ഗുണകങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായതിനാൽ, വേരുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാകാം. പരിശോധിക്കുന്നതിന്, ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ പോളിനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിന് 1, - 1, 2, - 2 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു, വിപുലീകരണത്തിൻ്റെയും പരിഹാരത്തിൻ്റെയും മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഗ്രൂപ്പുചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
ഒറിജിനൽ പോളിനോമിയലിനെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത ശേഷം, നിങ്ങൾ അതിനെ രണ്ട് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമ്മൾ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
അഭിപ്രായം
ഗ്രൂപ്പിംഗിൻ്റെ ലാളിത്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിബന്ധനകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. പ്രത്യേക പരിഹാര രീതികളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ പ്രത്യേക സിദ്ധാന്തങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഉദാഹരണം 10
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 എന്ന ബഹുപദത്തെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
നൽകിയിരിക്കുന്ന ബഹുപദത്തിന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളില്ല. നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യണം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
ഫാക്ടറൈസേഷനുശേഷം നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയലും ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു
വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഏത് രീതിയാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതെന്ന് രൂപഭാവം പലപ്പോഴും വ്യക്തമാക്കുന്നില്ല. പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു രേഖ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, അല്ലാത്തപക്ഷം അവയെ ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 11
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 എന്ന ബഹുപദത്തെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
എക്സ്പ്രഷൻ ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
പരാൻതീസിസിലെ തുകയുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ ക്രമം x + 1 4 എന്ന പദപ്രയോഗത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഇതിനർത്ഥം നമുക്ക് x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 എന്നാണ്.
സ്ക്വയറുകളുടെ വ്യത്യാസം പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കും
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിലുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ പരിഗണിക്കുക. അവിടെ നൈറ്റ്സ് ഇല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം വീണ്ടും പ്രയോഗിക്കണം. ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
ഉദാഹരണം 12
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ തുടങ്ങാം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്ടർ ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി
ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ബിരുദം കുറയുകയും പോളിനോമിയൽ ഫാക്റ്റർ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഉദാഹരണം 13
x 6 + 5 x 3 + 6 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ബഹുപദം ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം
വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, പകരം y = x 3 ആക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ y = - 2 ഉം y = - 3 ഉം ആണ്, തുടർന്ന്
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫോമിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
അതായത്, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വിഘടനം ലഭിച്ചു.
മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത കേസുകൾ ഒരു ബഹുപദത്തെ വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ പരിഗണിക്കുന്നതിനും ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നതിനും സഹായിക്കും.
ടെക്സ്റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക
പ്രധാന വാക്കുകൾ: സമവാക്യങ്ങൾ , ബഹുപദം , സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ
പാഠത്തിനായുള്ള അവതരണം
തിരികെ മുന്നോട്ട്
ശ്രദ്ധ! സ്ലൈഡ് പ്രിവ്യൂകൾ വിവര ആവശ്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമുള്ളതാണ്, അവ അവതരണത്തിൻ്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളെയും പ്രതിനിധീകരിക്കണമെന്നില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഈ ജോലിയിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ദയവായി പൂർണ്ണ പതിപ്പ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക.
പാഠ തരം: പ്രാഥമിക അറിവ് മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുന്നതിനും ഏകീകരിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഒരു പാഠം.
പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം:
- ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ എന്ന ആശയം വിദ്യാർത്ഥികളെ പരിചയപ്പെടുത്തുകയും അവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് പഠിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക.
- ഒരു ബഹുപദത്തെ ശക്തികളാൽ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനും ഒരു ബഹുപദത്തെ ബൈനോമിയൽ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുമായി ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുക.
- ഹോർണറുടെ ഡയഗ്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ പഠിക്കുക.
- അമൂർത്തമായ ചിന്ത വികസിപ്പിക്കുക.
- ഒരു കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് സംസ്കാരം വളർത്തിയെടുക്കുക.
ഇൻ്റർ ഡിസിപ്ലിനറി കണക്ഷനുകളുടെ വികസനം.
പാഠ പുരോഗതി
1. സംഘടനാ നിമിഷം.
പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം അറിയിക്കുക, ലക്ഷ്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുക.
2. ഗൃഹപാഠം പരിശോധിക്കുന്നു.
3. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു. = Fn(x) അനുവദിക്കുക - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 n ഡിഗ്രിയുടെ x ൻ്റെ ബഹുപദം, ഇവിടെ a 0 , a 1 ,...,a n എന്നിവയ്ക്ക് സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ a 0 എന്നത് 0 ന് തുല്യമല്ല. , അപ്പോൾ ഘടകഭാഗം (അപൂർണ്ണമായ ഘടകം) n-1 ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമായ Q n-1 (x) ആണ്, ശേഷിക്കുന്ന R ഒരു സംഖ്യയാണ്, തുല്യത ശരിയാണ് F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.
ബഹുപദമായ F n (x) R=0 ൻ്റെ കാര്യത്തിൽ മാത്രമേ ബൈനോമിയൽ (x-a) കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകൂ.
ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം: ബഹുപദമായ F n (x) യെ ബൈനോമിയൽ (x-a) കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശേഷിക്കുന്ന R, x=a-ൽ F n (x) എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. R=Pn(a). ഒരു ചെറിയ ചരിത്രം. പ്രകടമായ ലാളിത്യവും വ്യക്തതയും ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ബഹുപദ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തം പോളിനോമിയലുകളുടെ ബീജഗണിത ഗുണങ്ങളെ (ഇത് ബഹുപദങ്ങളുമായി പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി പ്രവർത്തിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു)പ്രവർത്തന ഗുണങ്ങൾ
(ഇത് പോളിനോമിയലുകൾ ഫംഗ്ഷനുകളായി കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു). ഉയർന്ന ഡിഗ്രി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ബഹുപദത്തെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക എന്നതാണ്. പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ബാക്കിയുള്ളവയും ഹോർണർ സ്കീം എന്ന പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ബഹുപദങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ആണ് ഹോർണേഴ്സ് സ്കീം, ഘടകഭാഗം ഒരു ദ്വിപദത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ പ്രത്യേക കേസിനായി എഴുതിയതാണ്.
x–a ഹോർണർ വില്യം ജോർജ്ജ് (1786 - 1837), ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ. അടിസ്ഥാന ഗവേഷണം സിദ്ധാന്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ
. ഏതെങ്കിലും ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ പരിഹാരത്തിനായി ഒരു രീതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. 1819-ൽ അദ്ദേഹം ബീജഗണിതത്തിന് ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ബൈനോമിയൽ x - a (ഹോർണർ സ്കീം) കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രധാന രീതി അവതരിപ്പിച്ചു.
ഹോർണറുടെ സ്കീമിൻ്റെ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ വ്യുൽപ്പന്നം.
ഒരു പോളിനോമിയൽ f(x) നെ ബാക്കിയുള്ള ഒരു ബൈനോമിയൽ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (x-c) എന്നതിനർത്ഥം ഒരു ബഹുപദം q(x) കണ്ടെത്തുകയും f(x)=(x-c)q(x)+r എന്ന സംഖ്യ r കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.
നമുക്ക് ഈ സമത്വം വിശദമായി എഴുതാം:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
നമുക്ക് ഗുണകങ്ങളെ ഒരേ ഡിഗ്രിയിൽ തുല്യമാക്കാം: xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഹോർണറുടെ സർക്യൂട്ടിൻ്റെ പ്രദർശനം.
ടാസ്ക് 1.ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, നമ്മൾ പോളിനോമിയൽ f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ബാക്കിയുള്ള ബൈനോമിയൽ x-2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
1 | -5 | 0 | 8 | |
2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ഇവിടെ g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ശേഷിക്കുന്നു.
ഒരു ദ്വിപദത്തിൻ്റെ ശക്തികളിൽ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസം.
ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, ബൈനോമിയലിൻ്റെ (x+2) ശക്തികളിൽ f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 എന്ന ബഹുപദം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു.
തൽഫലമായി, നമുക്ക് f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) വിപുലീകരണം ലഭിക്കും. )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
മൂന്നാമത്തേയും നാലാമത്തേയും ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളുടേയും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പോളിനോമിയലിനെ ഒരു ബൈനോമിയൽ x-a ആയി വികസിപ്പിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാകുമ്പോൾ ഹോർണറുടെ സ്കീം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. നമ്പർ എവിളിച്ചു ബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട് F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ആണെങ്കിൽ x=a F n (x) എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്: F n (a)=0, അതായത്. ബഹുപദം ബൈനോമിയൽ x-a കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ.
ഉദാഹരണത്തിന്, F 3 (2)=0 എന്നതിനാൽ, F 3 (x)=3x 3 -2x-20 എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് നമ്പർ 2. അതിൻ്റെ അർത്ഥം. ഈ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഫാക്ടറൈസേഷനിൽ x-2 എന്ന ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
ഏതെങ്കിലും ബഹുപദമായ F n(x) ഡിഗ്രി എൻ 1-ന് ഇനി ഉണ്ടാകില്ല എൻയഥാർത്ഥ വേരുകൾ.
പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ റൂട്ട് അതിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ഹരിച്ചാണ്.
ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 1 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ യുക്തിസഹമായ വേരുകളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ അവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്.
പഠിച്ച മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ഏകീകരണം.
പുതിയ മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, പാഠപുസ്തകം 2.41, 2.42 (പേജ് 65) എന്നിവയിൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യകൾ പൂർത്തിയാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ ക്ഷണിക്കുന്നു.
(2 വിദ്യാർത്ഥികൾ ബോർഡിൽ പരിഹരിക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവർ തീരുമാനിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ബോർഡിലെ ഉത്തരങ്ങൾക്കൊപ്പം നോട്ട്ബുക്കിലെ അസൈൻമെൻ്റുകൾ പരിശോധിക്കുക).
സംഗ്രഹിക്കുന്നു.
ഹോർണർ സ്കീമിൻ്റെ ഘടനയും പ്രവർത്തന തത്വവും മനസ്സിലാക്കിയ ശേഷം, ദശാംശ സംഖ്യ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ബൈനറി സിസ്റ്റത്തിലേക്കും തിരിച്ചും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് പാഠങ്ങളിലും ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതു സിദ്ധാന്തമാണ്
സിദ്ധാന്തം.ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ Apനിന്ന് പി-ary നമ്പർ സിസ്റ്റം മുതൽ അടിസ്ഥാന നമ്പർ സിസ്റ്റം വരെ ഡിആവശ്യമായ Apബാക്കിയുള്ളവയെ സംഖ്യകൊണ്ട് തുടർച്ചയായി ഹരിക്കുക ഡി, അതേ എഴുതിയിരിക്കുന്നു പിതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകഭാഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്നതുവരെ -ary സിസ്റ്റം. ഡിവിഷനിൽ നിന്ന് ബാക്കിയുള്ളവ ആയിരിക്കും ഡി- സംഖ്യാ അക്കങ്ങൾ പരസ്യം, ഏറ്റവും പ്രായം കുറഞ്ഞ വിഭാഗം മുതൽ ഏറ്റവും മുതിർന്നവർ വരെ. എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും നടത്തണം പി-ary നമ്പർ സിസ്റ്റം. ഒരു വ്യക്തിക്ക്, ഈ നിയമം എപ്പോൾ മാത്രമേ സൗകര്യപ്രദമാകൂ പി= 10, അതായത്. വിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ നിന്ന്ദശാംശ വ്യവസ്ഥ. കമ്പ്യൂട്ടറിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, നേരെമറിച്ച്, ബൈനറി സിസ്റ്റത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നത് "കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്". അതിനാൽ, "2 മുതൽ 10 വരെ" പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനായി, ബൈനറി സിസ്റ്റത്തിലെ പത്തിനെ തുടർച്ചയായ വിഭജനം ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ "10 മുതൽ 2" എന്നത് പത്തിൻ്റെ ശക്തികളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്. “10 ഇൻ 2” നടപടിക്രമത്തിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുന്നതിന്, കമ്പ്യൂട്ടർ ഹോർണറുടെ സാമ്പത്തിക കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് സ്കീം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഹോം വർക്ക്. രണ്ട് ജോലികൾ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.
1st. ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, പോളിനോമിയൽ f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 ബൈനോമിയൽ (x-3) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.
രണ്ടാമത്തേത്. f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക (പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ അതിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ഹരിച്ചാണ്.
സാഹിത്യം.
- കുറോഷ് എ.ജി. "ഉയർന്ന ആൾജിബ്രയുടെ കോഴ്സ്."
- നിക്കോൾസ്കി എസ്.എം., പൊട്ടപോവ് എം.കെ. മറ്റുള്ളവ പത്താം ക്ലാസ് "ആൾജിബ്രയും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
ടാസ്ക് 1. ബഹുപദങ്ങളുടെ ജിസിഡി കണ്ടെത്തുക
എഫ്(x)=x 4 –2x 3 –x+2, ജി(x)=x 4 –x 3 +x–1, എച്ച്(x)=x 4 –4x 2 –x+2.
പരിഹാരം. പോളിനോമിയലുകളുടെ ജിസിഡി ഒരു സ്ഥിരമായ ഘടകം വരെ മാത്രമേ അദ്വിതീയമായി കണ്ടെത്താനാകൂ (സ്ഥിരമായ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ പോളിനോമിയലുകളുടെ വിഭജനത്തെ ബാധിക്കില്ല). അതിനാൽ, പോളിനോമിയലുകളുടെ GCD ആയി എടുക്കാൻ നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം, അതിൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 1 ന് തുല്യമാണ്.
പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുള്ള പോളിനോമിയലുകളിൽ യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, ഭിന്നസംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഡിവിഡൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ വിഭജനം ഏതെങ്കിലും നോൺ-പൂജ്യം സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, തുടർച്ചയായി ഡിവിഷനുകളിൽ നിന്ന് മാത്രമല്ല, ഈ ഡിവിഷനിൽ തന്നെ. ഇത് തീർച്ചയായും ഘടകത്തിൻ്റെ വികലതയിലേക്ക് നയിക്കും, എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ശേഷിപ്പുകൾ പൂജ്യം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു നിശ്ചിത ഘടകം മാത്രമേ നേടൂ.
മൂന്ന് പോളിനോമിയലുകളുടെ GCD കണ്ടെത്താൻ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ GCD കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ആദ്യം യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് ഡി(x)=(എഫ്(x),എച്ച്(x)), തുടർന്ന് ജിസിഡി കണ്ടെത്തുക ഡി(x) ഒപ്പം ജി(x).
യൂക്ലിഡിൻ്റെ അൽഗോരിതം ബാക്കിയുള്ള പോളിനോമിയലുകളുടെ തുടർച്ചയായ വിഭജനം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആദ്യം വിഭജിക്കാം എഫ്(x) ഓൺ എച്ച്(x), പിന്നെ എച്ച്(x) വിഭജനം വഴി ലഭിച്ച ബാക്കി ആർ(എക്സ്) (ആദ്യത്തെ അവശിഷ്ടം), പിന്നെ ആദ്യത്തെ ബാക്കി രണ്ടാമത്തെ ബാക്കി, മുതലായവ, ബാക്കിയുള്ളതിൽ പൂജ്യം ലഭിക്കുന്നതുവരെ. ബഹുപദങ്ങളുടെ ജി.സി.ഡി എഫ്(x) ഒപ്പം എച്ച്(x) പൂജ്യമല്ലാത്ത അവസാനത്തെ ശേഷിക്കും. ഒരു "ആംഗിൾ" ഉപയോഗിച്ച് വിഭജന പ്രക്രിയ നടപ്പിലാക്കും.
_ | x 4 -2x 3 -x+2 | x 4 -4x 2 -x+2 | _ | x 4 -4x 2 -x+2 | x 3 -2x 2 | ||||
x 4 -4x 2 -x+2 | 1 | x 4 -2x 3 | x+2 | ||||||
-2x 3 +4x 2 | _ | 2x 3 -4x 2 -x+2 | |||||||
x 3 -2x 2 | 2x 3 -4x 2 | ||||||||
_ | -x+2 | ||||||||
x-2 | |||||||||
0 | |||||||||
_ | x 3 -2x 2 | x-2 | ||
x 3 -2x 2 | x 2 | |||
0 | ||||
പോളിനോമിയലുകളുടെ ജിസിഡി എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം എഫ്(x) ഒപ്പം എച്ച്(x) ദ്വിപദത്തിന് തുല്യമാണ് x–2.
ഡി(x)=(എഫ്(x), എച്ച്(x))=x–2.
അതുപോലെ, നമ്മൾ പോളിനോമിയലുകളുടെ ജിസിഡി കണ്ടെത്തുന്നു ഡി(x) ഒപ്പം ജി(x), ഇത് 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും. അങ്ങനെ, ( എഫ്(x), ജി(x), എച്ച്(x))=(ജി(x), (എഫ്(x), എച്ച്(x)))=1.
കുറിപ്പ് . "=" അല്ലെങ്കിൽ "!!" അടയാളം വിഭജിക്കുമ്പോൾ പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ചില സംഖ്യകളാൽ ഗുണനം നടത്തി എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
ടാസ്ക് 2. പോളിനോമിയലുകൾ കണ്ടെത്താൻ യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു യു(x) ഒപ്പം വി(x), സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു എഫ്(x)യു(x)+ജി(x)വി(x)=ഡി(x), എവിടെ ഡി(x) - ബഹുപദങ്ങളുടെ gcd എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x): എഫ്(x)=4x 4 –2x 3 –16x 2 +5x+9, ജി(x)=2x 3 –x 2 –5x+4.
പരിഹാരം. ബഹുപദങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കുക എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x) യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം. GCD കണ്ടെത്തുമ്പോൾ സാധ്യമായ സ്ഥിരമായ ഘടകങ്ങളാൽ പോളിനോമിയലുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏകപക്ഷീയത ഇവിടെ അനുവദിക്കാനാവില്ല, കാരണം ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഘടകഭാഗങ്ങളും ഉപയോഗിക്കും, അത് സൂചിപ്പിച്ച ഏകപക്ഷീയത ഉപയോഗിച്ച് വികലമാക്കാം.
വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
എഫ്(x)=ജി(x)q 1 (x)+ആർ 1 (x),
എവിടെ q 1 (x)=2x, ആർ 1 (x)= –6x 2 –3x+9,
ജി(x)=ആർ 1 (x)q 2 (x)+ആർ 2 (x),
എവിടെ q 2 (x)= –x/3+1/3, ആർ 2 (x)= –x+1,
ആർ 1 (x)=ആർ 2 (x)q 3 (x)+ആർ 3 (x),
എവിടെ q 3 (x)=6x+9, ആർ 3 (x)=0.
അതിനാൽ, യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം ഇവിടെ മൂന്ന് വരികളിലായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം ഇതിന് തുല്യമാണ് - ആർ 2 (x)=x–1=ഡി(x). പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഡി(x) ബഹുപദങ്ങളിലൂടെ എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x), ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും ആർ 2 (x) യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാം വരിയിൽ നിന്ന്:
ആർ 2 (x)=ജി(x)–ആർ 1 (x)q 2 (x).
പകരം ഈ സമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ആർ 1 (x) അതിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷൻ, യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ആർ 2 (x)=എഫ്(x)[–q 2 (x)]+ജി(x),
സമത്വം ലഭിക്കാൻ എഫ്(x)യു(x)+ജി(x)വി(x)=ഡി(x), നമുക്ക് മുമ്പത്തെ സമത്വം (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
–ആർ 2 (x)=എഫ്(x)q 2 (x) +ജി(x)[–1–q 1 (x)q 2 (x)]=ഡി(x),
എവിടെ യു(x)=q 2 (x), വി(x)= –1–q 1 (x)q 2 (x).
ഈ സമത്വത്തിലേക്ക് ബഹുപദങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം q 1 (x), q 2 (x) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
യു(x)= , വി(x)= .
ടാസ്ക് 3. പോളിനോമിയലുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു യു(x) ഒപ്പം വി(x) അതിനാൽ എഫ്(x)യു(x)+ജി(x)വി(x)=1, (1) ബഹുപദങ്ങൾക്ക് എഫ്(x)=x 2 –2x–1, ജി(x)=2x 4 –3x 3 –6x 2 +2x+2.
പരിഹാരം. നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം: if ഡി(x) പോളിനോമിയലുകളുടെ gcd ആണ് എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x), അപ്പോൾ നമുക്ക് അത്തരം ബഹുപദങ്ങൾ കണ്ടെത്താം യു(x) ഒപ്പം വി(x), എന്ത്
എഫ്(x)യു(x)+ജി(x)വി(x)=ഡി(x).
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബഹുപദങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികൾ എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x) പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്, അത് ഡിഗ്രിയാണ് യു(x) ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവ് ജി(x), ബിരുദവും വി(x) ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവ് എഫ്(x).
ബഹുപദങ്ങൾ എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x) സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക (1) എങ്കിൽ ( എഫ്(x),ജി(x))=1. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x) താരതമ്യേന പ്രൈം പോളിനോമിയലുകൾ ആണ്, അതായത് നമുക്ക് പോളിനോമിയൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും യു(x)=കോടാലി 3 +bx 2 +cx+ഡിബഹുപദവും വി(x)=ഉദാ+എഫ്.
പകരം സമത്വത്തിലേക്ക് (1) പകരം വയ്ക്കുക എഫ്(x), ജി(x), യു(x), വി(x) അവരുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(x 2 – 2x- 1)(കോടാലി 3 +bx 2 +cx+d)+(2x 4 – 3x 3 – 6x 2 + 2x+ 2)(ex+f)=1
(a+ 2ഇ)x 5 + (b– 2a+ 2f- 3ഇ)x 4 + (c– 2b–a– 3f- 6ഇ)x 3 + (d- 2c–b– 6f+ 2ഇ)x 2 +(–2d-c+ 2f+ 2ഇ)x––d+ 2f= 1.
അങ്ങനെ, നമുക്ക് രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ തുല്യതയുണ്ട്: ഇടതുവശത്ത് നിർണ്ണയിക്കാത്ത ഗുണകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രി അഞ്ചിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദവും വലതുവശത്ത് ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലും. അജ്ഞാതരുടെ ഒരേ ശക്തികൾക്ക് അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ രണ്ട് പോളിനോമിയലുകൾ തുല്യമാണ്.
അജ്ഞാതമായ തുല്യ ഡിഗ്രികൾക്കുള്ള ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു, നമുക്ക് ആറിൻറെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾഅജ്ഞാതരായ ആളുകളുമായി a, b, c, d, e, f:
അത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: d= 3, ഇ=–1, f= 2, c=–4, b=–3, a= 2.
അങ്ങനെ, ആവശ്യമായ ബഹുപദങ്ങൾ യു(x) ഒപ്പം വി(x) ആയിരിക്കും:
യു(x)=2x 3 –3x 2 –4x+3, വി(x)= –x+2.
ടാസ്ക് 4. ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, കണക്കുകൂട്ടുക എഫ്(എ) കൂടാതെ ബഹുപദം വികസിപ്പിക്കുക എഫ്(x) ഡിഗ്രി പ്രകാരം x–എ, എവിടെ എഫ്(x)=x 4 +2x 3 –7x 2 +3എക്സ്–1, എ=2.
പരിഹാരം. ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ബാക്കിയാണ് എഫ്(x) ഒരു രേഖീയ ദ്വിപദത്തിലേക്ക് x–എമൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് എഫ്(എ) ബഹുപദം x=എ.
"ആംഗിൾ" പ്രകാരമുള്ള വിഭജനം കൂടുതൽ ലളിതമായി എഴുതാം: എങ്കിൽ എഫ്(x)=എ 0 x n+എ 1 x n –1 +എ 2 xn- 2 + …+ഒരു എൻ –1 x+ഒരു എൻ, പിന്നെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ q(x)=ബി 0 x n–1 + ബി 1 x n –2 + ബി 2 x n –3 + …+ബി എൻ-1, ബാക്കി ആർവിഭജനത്തിൽ നിന്ന് എഫ്(x) ഓൺ x–എഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:
എഫ്(2)=9=ആർ 1, വിഭജനത്തിൻ്റെ ഘടകവും എഫ്(x) ഓൺ x-2 അതെ q 1 (x)=x 3 +4x 2 +x+5, അതായത്. എഫ്(x)=
=(x–2)q 1 (x)+ആർ 1
തുടർന്ന്, ഹോർണറുടെ സ്കീം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നു q 1 (x) ഓൺ x-2, നമുക്ക് ക്വോട്ട് ലഭിക്കുന്നു q 2 (x) ബാക്കിയുള്ളത് ആർ 2, കൂടുതൽ q 2 (x) വിഭജിക്കുക x-2, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു q 3 (x) ഒപ്പം ആർ 3, മുതലായവ
ഒരു ബഹുപദത്തിന് എഫ്(x) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
എഫ്(x)=(x–2)q 1 (x)+ആർ 1 =(x–2)[(x–2)q 2 (x)+ആർ 2 ]+ആർ 1 =(x–2) 2 q 2 (x)+ആർ 2 (x–2)+ആർ 1 =
=(x––2) 2 [(x–2)q 3 (x)+ആർ 3 ]+ആർ 2 (x–2)+ആർ 1 =(x–2) 3 q 3 (x)+ആർ 3 (x–2) 2 +ആർ 2 (x–2)+ആർ 1 =
=(x–2) 3 [(x––2)q 4 (x)+ആർ 4 ]+ആർ 3 (x–2) 2 +ആർ 2 (x–2)+ആർ 1 =(x–2) 4 q 4 (x)+ആർ 4 (x–2) 3 +ആർ 3 (x–2) 2 +ആർ 2 (x–2)+ +ആർ 1 = ആർ 5 (x–2) 4 +ആർ 4 (x–2) 3 +ആർ 3 (x–2) 2 +ആർ 2 (x–2)+ആർ 1.
അങ്ങനെ, ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ എഫ്(x) ഡിഗ്രി പ്രകാരം x-2 എന്നത് യഥാക്രമം, ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിൽ നിന്നുള്ള ശേഷിക്കുന്നവയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എഫ്(x), q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x), q 4 (x) ഓൺ x–2.
മുഴുവൻ പരിഹാരവും ഒരു പട്ടികയിൽ എഴുതാം:
–7 | –1 | ||||
മേശയിൽ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാണ് ആർ 5 =1, ആർ 4 =10, ആർ 3 =29, ആർ 2 =31, ആർ 1 =9 ഒപ്പം
എഫ്(x)= (x–2) 4 +10(x–2) 3 +29(x–2) 2 +31(x–2)+9.
ടാസ്ക് 5. അത് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഒരു ബഹുപദം പരിഗണിക്കാം. നമ്പർ എക്സ്= –1 എന്നത് ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് എഫ്(x) കൂടാതെ ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവും എഫ്(x) പൂർണ്ണമായും വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു എക്സ്+1, അതായത്. എഫ്(x)=(x+1)ജി(x), എവിടെ ജി(x) പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്, അതിനാൽ എക്സ് 11 +1 വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും +1 എക്സ്. ഇടാം എക്സ്=3 5 . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, അതായത്. , കാരണം , ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.
അഭിപ്രായം. "ഒരു കോണിൽ ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള" നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു ബഹുപദം എഫ്(x) ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക് ജി(x) പോളിനോമിയലുകൾ ആണെങ്കിൽ അത് ഉടനടി വ്യക്തമാണ് എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x) പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം, ഒപ്പം ജി(x) കുറയുന്നു, തുടർന്ന് ഘടകവും ശേഷിപ്പും പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ബഹുപദങ്ങളാണ്.
ടാസ്ക് 6. ബഹുപദത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൽ നിന്നുള്ള അവശിഷ്ടങ്ങൾ എഫ്(x) ദ്വിപദങ്ങളായി എക്സ്+5 ഒപ്പം എക്സ്-3 യഥാക്രമം –9, 7 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ ബഹുപദത്തെ ഒരു ബഹുപദം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ബാക്കിയുള്ളവ കണ്ടെത്തുക ജി(x)=(x+5)(x-3).
പരിഹാരം. ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് എഫ്(–5)= –9, എഫ്(3)=7. ഒരു ബഹുപദം വിഭജിക്കുമ്പോൾ എഫ്(x) ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക് ജി(x)=x 2 +2x-15 നമുക്ക് കുറച്ച് ക്വോട്ട് ലഭിക്കും q(x) ബാക്കിയുള്ളത് പി(x)=കോടാലി+ബി, അതായത്. എഫ്(x)=(x 2 +2x–15)q(x)+(കോടാലി+ബി) .
പകരം അവസാനത്തെ തുല്യതയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ്മൂല്യങ്ങൾ -5 ഉം 3 ഉം രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും എഒപ്പം ബി:
അത് പരിഹരിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എ=2, ബി=1. അപ്പോൾ പോളിനോമിയലിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ ബാക്കി എഫ്(x) ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്ക് ജി(x) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും എക്സ്+1.
ടാസ്ക് 7. ഒരു ബഹുപദം നൽകിയിരിക്കുന്നു എഫ്(x) പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളും ഒപ്പം . അത് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം. ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസം പരിഗണിക്കുക എഫ്(x) ഡിഗ്രി പ്രകാരം ( x–10):
ഇത് 21 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന വസ്തുത കാരണം, അതായത്. 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കും. അതുപോലെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും. 3, 7 എന്നിവയുടെ ആപേക്ഷിക ലാളിത്യം കാരണം, സംഖ്യ എഫ്(10)=ഒരു എൻ 21 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
ടാസ്ക് 8. ബഹുപദം വികസിപ്പിക്കുക x 7 +3 യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാം ഡിഗ്രിയേക്കാൾ ഉയർന്ന പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക്.
പരിഹാരം. നമുക്ക് ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം x 7 +3, അവർ ആയിരിക്കും
കൊടുക്കുന്നു കെമൂല്യങ്ങൾ 0, 1, ..., 6, നമുക്ക് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഏഴ് വേരുകൾ ലഭിക്കും x 7 +3;
x 0 = ; x 1 = ; x 2 = ;
x 3 = = – ; x 4 = = ;
x 5 = = ;
x 6 = = .
അവയിൽ ഒന്ന് മാത്രം സാധുവാണ് - ഇതാണ് x 3 = – , ബാക്കിയുള്ളവ സങ്കീർണ്ണവും ജോടിയായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നതുമാണ്: x 6 = , x 5 = , x 4 = . പൊതുവായി
എക്സ് k =, x കെ= .
പണി നോക്കാം
(x–x കെ)(x– )=(x 2 –(x കെ+ )x+x കെ)=x 2 – x+, എവിടെ കെ=0, 1, 2.
യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ നമുക്കുണ്ട്. ബഹുപദം x 7 +3 7 രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി വിഘടിപ്പിക്കാം (ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലം). സംയോജിത വേരുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വികാസം ലഭിക്കും:
x 7 +3=(x–x 0)(x–x 1)(x–x 2)(x–x 3)(x–x 4)(x–x 5)(x–x 6)=(x–x 3)(x–x 0)(x–x 6)(x–x 1)
(x–x 5)(x–x 2)(x––x 4)=(x–x 3)(x–x 0)(x– )(x–x 1)(x– )(x–x 2)(x– )=(x+ )
(x 2 –(2· ) x+ )(x 2 –(2· ) x+ ) (x 2 ––(2· ) x+ ).
ടാസ്ക് 9. രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി ബഹുപദം അവതരിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം. ഏതെങ്കിലും ബഹുപദം എഫ്(x) യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം, ഏതിനും പോസിറ്റീവ്, രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം എഫ്(x): , ലീനിയർ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക, തുടർന്ന് ഗുണിച്ച് , ആവശ്യമായ പ്രാതിനിധ്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും:
നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം, , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എഫ്(x)=പി 2 (x)+q 2 (x).
ടാസ്ക് 10. ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലത്തിൻ്റെ ഗുണിതം നിർണ്ണയിക്കുക. ലളിതമായ വേരുകളുള്ള ഏറ്റവും വലിയ ബഹുപദമായ ഒരു ബഹുപദം കണ്ടെത്തുക, അതിൻ്റെ ഓരോ മൂലവും ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ് എഫ്(x).
1) ബഹുപദം ഒരു റൂട്ടാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം എഫ്(x).
2) പോളിനോമിയലിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് റൂട്ടാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം എഫ്(x)
. എഫ്¢(–1)=0, അതിനാൽ – റൂട്ട്
ബഹുപദം എഫ്(x), ഗുണിതം 2-ൽ കുറയാത്തത്.
3), അതിനാൽ ഗുണനത്തിൻ്റെ റൂട്ട് 3-ൽ കുറവല്ല.
4), ബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എഫ്(x) ഗുണിതം 3, അതായത്. . ലളിതമായ വേരുകളുള്ള ഏറ്റവും വലിയ ബഹുപദമായ ഒരു ബഹുപദം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഓരോ റൂട്ടും ഒരു റൂട്ടാണ് എഫ്(x), പോളിനോമിയലിൽ ആവശ്യമാണ് എഫ്(x) ഒന്നിലധികം വേരുകൾ ഒഴിവാക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയലിനെ വിഭജിക്കുന്നു എഫ്(x) ബഹുപദങ്ങളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം വഴി എഫ്(x) ഒപ്പം എഫ്¢( x): . അതിനാൽ, ആവശ്യമായ പോളിനോമിയൽ ആയിരിക്കും , എവിടെ , എക്സ്=2 - ബഹുപദത്തിൻ്റെ ലളിതമായ വേരുകൾ.
കുറിപ്പ്: ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് റൂട്ടിൻ്റെ ഗുണിതം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.
ടാസ്ക് 11. ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾ വേർതിരിക്കുക
പരിഹാരം. ഒന്നിലധികം ഘടകങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം: P- ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള ചില ഒഴിവാക്കാനാവാത്ത ബഹുപദമാണെങ്കിൽ ജി(x) ആണ് k-ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണിതം എഫ്(x) ഫീൽഡ് പിയിൽ നിന്നുള്ള ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം, പിന്നെ ജി(x) ആണ് ( കെ-1) - ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഒന്നിലധികം ഘടകം എഫ്(x). അങ്ങനെ, നിന്ന് നീങ്ങുമ്പോൾ എഫ്(x) വരെ എഫ്′( x) എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഗുണിതം 1 ആയി കുറയുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ബഹുപദത്തിന് എഫ്′( x) നിലവിലില്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം എഫ്(x). അവ ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു ജിസിഡി കണ്ടെത്തും എഫ്(x) കൂടാതെ എഫ്′( x). അതിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ മാത്രമേ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടൂ എഫ്(x), എന്നിരുന്നാലും 1 ഘടകത്തിൻ്റെ കുറവ്.
യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും
മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയൽ ഉള്ളതിനാൽ, ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് പൊതുവെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, എന്നാൽ അതിന് ഒന്നിലധികം ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം, ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണിതം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സമാനമായ ഒരു പ്രക്രിയ ഞങ്ങൾ അതിന് പ്രയോഗിക്കും. നമുക്കത് കിട്ടും. അങ്ങനെ ഗുണിതം എക്സ്–1 എന്നത് 1 ൻ്റെ ഗുണിതത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ, ഇത് 2 ൻ്റെ ഗുണിതത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. എക്സ്–1) 2 , നമുക്ക് കണ്ടെത്താം . അതിനാൽ നമുക്ക് ഉണ്ട്: ഗുണനം ( എക്സ്-1) ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എഫ്(x) 3 ൻ്റെ ഗുണിതം, ഒപ്പം എക്സ് 2 ൻ്റെ ഗുണിതം ഉള്ള +3. ഹരിക്കൽ എഫ്(x) ബഹുപദത്തിലേക്ക് , നമുക്ക് ലഭിക്കും
ടാസ്ക് 12. സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം. ഈ സംഖ്യ കുറച്ച പൂർണ്ണസംഖ്യ ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്, ഇതിന് യുക്തിസഹമായ വേരുകളില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ എല്ലാ യുക്തിസഹമായ വേരുകളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ സംഖ്യ 5 ൻ്റെ ഹരിക്കലുകളും ആയിരിക്കണം.
ടാസ്ക് 13. ബഹുപദത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക
എഫ്(x)=6x 4 +19x 3 –7x 2 –26x+12.
പരിഹാരം. ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് ആയ യുക്തിസഹമായ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ എഫ്(x)=എ 0 x n +a 1 xn- 1 +എ 2 xn- 2 +…+എ എൻ- 1 x+a nപൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം, തുടർന്ന്:
1. കെഒരു വിഭജനം ഉണ്ട് എ 0 ;
2. പിഒരു വിഭജനം ഉണ്ട് ഒരു n;
3. p–mkഒരു വിഭജനം ഉണ്ട് എഫ്(എം) ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും എം.
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: കെമൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം: ±1, ±2, ±3, ±6, കൂടാതെ പി- ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. ഇപ്പോൾ ഈ ഫോമിൻ്റെ ഓരോ സംഖ്യകളും ഒരു പോളിനോമിയലിലേക്ക് മാറ്റിയോ ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ചോ പരിശോധിക്കാൻ സാധിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സംഖ്യകളിൽ പലതും ലളിതമായ രീതിയിൽ "കളകറ്റാൻ" കഴിയും. ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ അതിരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം VG x =1+, NG x = –(1+), എവിടെയാണ് എഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുതാണ്, കൂടാതെ എ 0 - ഗുണകം x nഅല്ലെങ്കിൽ VG x =1+, എവിടെ കെ- പോളിനോമിയലിൻ്റെ ആദ്യ നെഗറ്റീവ് ഗുണകത്തിൻ്റെ സൂചിക എഫ്(x), എ ബി- അതിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് (ഈ രീതി എപ്പോൾ ബാധകമാണ് എ 0 >0). ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ കെ=2, ബി=26, എ 0 =6. VG x =1+< 4.
ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് താഴത്തെ അതിർത്തി കണ്ടെത്താൻ, ഇത് മതിയാകും എഫ്(x) ഇതിനുപകരമായി xപകരക്കാരൻ (- x) കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉപയോഗിക്കുക: പോളിനോമിയലിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ താഴത്തെ പരിധി എഫ്(x) പോളിനോമിയലിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ മുകളിലെ പരിധിക്ക് തുല്യമാണ് എഫ്(–x), വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ എടുത്തത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ
എഫ്(–x)=6x 4 –19x 3 –7x 2 +26x+12, കൂടാതെ 0 =6, കെ=1, ബി=19. VG x =1+<5, значит, нижняя граница – НГ х = –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если – корень എഫ്(x), പിന്നെ പൂർണ്ണസംഖ്യ. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും എഫ്(1)=4,
എഫ്(–1)=13, പിന്നെ – പൂർണ്ണസംഖ്യ, – പൂർണ്ണസംഖ്യ, എങ്കിൽ – റൂട്ട് എഫ്(x).
വേരുകളുടെ അതിരുകൾ കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ എല്ലാത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകളും പരിശോധിക്കുന്നു.
ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് | ടി.എസ് | ഡി | ഡി | ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് | ടി.എസ് | ഡി | ഡി | |
ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് | ഡി | ഡി | ഡി | ടി.എസ് | ഡി | ടി.എസ് |
ഈ പരിശോധനയ്ക്കിടെ, 2, –3, , പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു - “കാൻഡിഡേറ്റ് റൂട്ടുകൾ”, ഞങ്ങൾ അവ ഹോർണറുടെ സ്കീം അനുസരിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നു, അത് ഉറപ്പാക്കുന്നു എഫ്(2)≠0, , എഫ്(–3)=0, . നാലാമത്തെ ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലിന് ഞങ്ങൾ രണ്ട് വേരുകൾ കണ്ടെത്തി, അതായത് എഫ്(x) ഒന്നിലധികം ( x+3) അല്ലെങ്കിൽ എഫ്(x)=(6x 2 +4x–8)(x+3) ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ജി(x)=6x 2 +4x-8 ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് കണ്ടെത്തുന്നു x= യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാണ്.
ടാസ്ക് 14. ഈ സമവാക്യത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം. സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത ബഹുപദമാണ്. സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും നമുക്ക് വിഭജിക്കാം എക്സ് 4. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
അത് പിന്നെ ഇടാം. പോളിനോമിയലിന് യുക്തിസഹമായ വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ പരിഹാരമുണ്ടാകും. ചുരുക്കിയ ബഹുപദം പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ യുക്തിസഹമായ വേരുകളും ഇവയാണ്: ഒന്നാമതായി, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ; രണ്ടാമതായി, സ്വതന്ത്ര പദമായ 9-ൻ്റെ വിഭജനം, അതായത്. സെറ്റിൽ (±1, ±3, ±9) ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കണം. നേരിട്ടുള്ള സ്ഥിരീകരണത്തിലൂടെ, ഈ സെറ്റിൻ്റെ ഒരു ഘടകവും ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പാക്കാൻ കഴിയും, അതായത്. ഈ ബഹുപദത്തിന് യുക്തിസഹമായ വേരുകളില്ല, അതിനർത്ഥം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്നാണ്.
ടാസ്ക് 15. എന്ത് സ്വാഭാവികതയ്ക്ക് എൻനമ്പർ പ്രൈം ആയിരിക്കുമോ?
പരിഹാരം. അത് കാണിക്കാം. തീർച്ചയായും, എങ്കിൽ എപോളിനോമിയലിൻ്റെ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ മൂലമാണ്, അപ്പോൾ എബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആയിരിക്കും, അതായത്. എ 3 =1 ഒപ്പം എ 2 +എ+1=0.
നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, അതായത്. എ- ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട്. കാരണം എഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ റൂട്ട് ആണ്, പിന്നെ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഓരോ റൂട്ടും ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഒരു മൂലമാണ്, അതിനാൽ, എവിടെ പി(x) പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്.
അപ്പോൾ കരുതുക, അതായത്. .
നമുക്ക് കേസുകളും പരിഗണിക്കാം.
2. എപ്പോഴാണ് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ.
രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഫലമായാണ് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും, അത് ലളിതമായിരിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ , ഞങ്ങൾ അത് നിരസിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ , കൂടാതെ 1-നേക്കാൾ വലിയ രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് ഈ സംഖ്യ സംയോജിതമാണ്.
ടാസ്ക് 16. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിലെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
1)x 3 +6x+2=0; 2) x 3 –9x 2 +18x–28=0; 3) x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+ 3=0.
1. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x 3 +6x+2=0.
ഒരു ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി x 3 +കോടാലി+ബി=0 കാർഡാനോ ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട്: x i =u i +v i (ഐ=0, 1, 2), എവിടെ യു 0 , യു 1 , യു 2 - റാഡിക്കൽ മൂല്യം
യു= ഒപ്പം v i= . ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, എ=6, ബി=2,
യു= = = = = (കോസ് + ഐപാപം), എവിടെ എൽ=0, 1, 2. പകരം പകരം വയ്ക്കുന്നു എൽ 0, 1, 2 മൂല്യങ്ങൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: യു 0 = , യു 1 =
= (കോസ് + ഐപാപം )= (- + ഐ), u 2 = (cos + ഐപാപം )= (–- ഐ ),
വി 0 = = = = ,
വി 1 = = = = ( +ഐ ),
വി 2 = = = = ( –ഐ ),
x 0 = യു 0 +വി 0 = – , x 1 =യു 1 +വി 1 = , x 2 = യു 2 +വി 2 =
ഉത്തരം: - ; .
2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x 3 –9x 2 +18x–28=0.
നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം വൈ 3 +എയ്+ബി=0, പകരം വയ്ക്കുന്നത് x=വൈ– =വൈ+3, (എ 0 , എ 1 - ഗുണകങ്ങൾ x 3 ഒപ്പം x 2). നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
വൈ 3 –9വൈ–28=0. കാർഡാനോ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: y i = u i+v ഐ, (ഐ=0, 1,…2),
എവിടെ യു 0 =3, യു 1 = , യു 2 = , വി 0 =1 , വി 1 = , വി 2= ,
വൈ 0 =4, വൈ 1 = , വൈ 2 = , x 0 =7, x 1 = , x 2 = .
ഉത്തരം: 7; .
3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+ 3=0.
നമുക്ക് ഫെരാരി രീതി ഉപയോഗിക്കാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് നിബന്ധനകൾ വിടാം എക്സ് 4 ഒപ്പം എക്സ് 3 ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക:
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് വശത്തും അജ്ഞാതമായ ഒരു പുതിയ നിബന്ധനകൾ ചേർക്കാം വൈഅങ്ങനെ ഇടത് വശം വീണ്ടും ഒരു ചതുരമായി മാറുന്നു (മൂല്യം പരിഗണിക്കാതെ വൈ)
അധികാരങ്ങൾക്ക് മുമ്പുള്ള ഗുണകങ്ങൾ ഇതാ xവലതുവശത്ത് ഒരു അനിശ്ചിത അളവിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു വൈ. നമുക്ക് y യുടെ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ വലതുഭാഗം ഒരു ചതുരമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ചതുരത്തിൻ്റെ വിവേചനം ആവശ്യമാണ് (ആപേക്ഷികമായി x) വലതുവശത്തുള്ള ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരുന്നു. ഈ വിവേചനത്തെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഇവിടെ നിന്ന് വൈ=4 ഒപ്പം .
പകരം വയ്ക്കുന്നത് വൈ=4 സമവാക്യത്തിലേക്ക് (*), നമുക്ക് ലഭിക്കും: അല്ലെങ്കിൽ . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും: കൂടാതെ അല്ലെങ്കിൽ കൂടാതെ . അവ പരിഹരിച്ച ശേഷം, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ 4 വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: , .
ഉത്തരം:, .
ടാസ്ക് 17. ബഹുപദങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു
എഫ്(x)=x 3 –3x 2 +2x–5, ജി(x)=x 3 +3x 2 –1.
1) ഓരോന്നിൻ്റെയും യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക;
2) സ്റ്റർമിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഇടവേള കണ്ടെത്തുക ( എ, ബി), എവിടെ ബി–എ=1 ഏറ്റവും വലിയ റൂട്ട് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു x 0 ബഹുപദം ജി(x);
3) 0.0001 കൃത്യതയോടെ റൂട്ട് കണക്കാക്കുക x 0 ലീനിയർ ഇൻ്റർപോളേഷൻ രീതിയും ന്യൂട്ടൻ്റെ രീതിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു;
1. സാധ്യതകൾ എങ്കിൽ എഒപ്പം ബിസമവാക്യങ്ങൾ x 3 +കോടാലി+ബി=0 യഥാർത്ഥമാണ്, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ എണ്ണം സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നത്താൽ പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു ഡി = – 4എ 3 – 27ബി 2, ബഹുപദത്തിൻ്റെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു x 3 +കോടാലി+ബി, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ:
a) D=0 ന്, മൂന്ന് വേരുകളും യഥാർത്ഥമാണ്, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം തുല്യമാണ്;
b) D>0 ന് - മൂന്ന് റൂട്ടുകളും സാധുവാണ്;
സി) ഡിയിൽ<0 – один корень действительный, два мнимых.
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: എഫ്(x)=x 3 –3x 2 +2x-5 അല്ലെങ്കിൽ ഇടുന്നു x=വൈ+1, വൈ 3 –വൈ–5=0, അതായത്. ഡി=4–27·25<0, поэтому многочлен എഫ്(x) ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് ഉണ്ട്.
2. ഒരു ബഹുപദത്തിന് ജി(x) പോളിനോമിയലിൻ്റെ സ്റ്റർം സിസ്റ്റത്തിലെ അടയാള മാറ്റങ്ങളുടെ എണ്ണം സ്ഥാപിച്ച് ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നു ജി(x) –∞ ൽ നിന്ന് +∞ ലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ. ഈ ഓരോ റൂട്ടുകളും സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മുഴുവൻ അതിരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, കൂടാതെ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ഞങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി നിർമ്മിക്കില്ല.
ഏതെങ്കിലും ബഹുപദം ജി(x) യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളും ഒന്നിലധികം വേരുകളുമില്ലാതെ, Sturm സിസ്റ്റം ഉണ്ട്. ഒരു പോളിനോമിയലിന് ഒന്നിലധികം വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, പോളിനോമിയലിനെ വിഭജിച്ച് നിങ്ങൾ അവ ഒഴിവാക്കേണ്ടതുണ്ട് ജി(x) പോളിനോമിയലുകളുടെ ജിസിഡിയിൽ ജി(x) ഒപ്പം ജി"(x). സ്റ്റർം പോളിനോമിയൽ സിസ്റ്റം ജി(x) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാം: ഇടുക ജി 1 (x)=ജി"(x), എന്നിട്ട് വിഭജിക്കുക ജി(x) ഓൺ ജി 1 (x) കൂടാതെ ഈ വിഭജനത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം, വിപരീത ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുക്കുന്നു ജി 2 (x), അതായത്. ജി(x)=ജി 1 (x)എച്ച് 1 (x)–ജി 2 (x). പൊതുവേ, ബഹുപദങ്ങളാണെങ്കിൽ ജി k–1 ( x) ഒപ്പം ജിഇതിലേക്ക് ( x) ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്, അപ്പോൾ ജി k+1 ( x) ഡിവിഷൻ്റെ ബാക്കി ഭാഗം ആയിരിക്കും ജി k–1 ( x) ഓൺ ജിഇതിലേക്ക് ( x), വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്തത്:
ജി k–1 ( x)=ജിഇതിലേക്ക് ( x)qഇതിലേക്ക് ( x)– ജി k+1 ( x).
ഇതിനായി Sturm സിസ്റ്റം കണ്ടെത്താം ജി(x), നിർദ്ദിഷ്ട രീതി ഉപയോഗിച്ച്. മാത്രമല്ല, വിഭജന പ്രക്രിയയിൽ, യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം പോലെയല്ല, ഏകപക്ഷീയമായ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാൽ മാത്രം ഗുണിക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യും, കാരണം അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ സ്റ്റർമിൻ്റെ രീതിയിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. അങ്ങനെയൊരു സംവിധാനം നമുക്ക് ലഭിക്കും
ജി(x)=x 3 +3x 2 –1,
ജി 1 (x)=3x 2 +6x,
ജി 2 (x)=2x+1,
ജി 3 (x)=1.
ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം x=–∞ കൂടാതെ x= +∞, ഇതിനായി നമ്മൾ മുൻനിര ഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളും ഈ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഡിഗ്രികളും മാത്രം നോക്കുന്നു. +∞-ൽ, സ്റ്റർം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോളിനോമിയലുകളുടെയും അടയാളങ്ങൾ അവയുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന പദങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, കൂടാതെ -∞-ൽ സ്റ്റർം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ അവയുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. വിചിത്രമായ ഡിഗ്രിയുടെ ഉയർന്ന ബഹുപദങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് വിപരീതമാണ്.
അങ്ങനെ, പരിവർത്തന സമയത്ത് x–∞ മുതൽ +∞ വരെ സ്റ്റർം സിസ്റ്റത്തിന് മൂന്ന് അടയാള മാറ്റങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ പോളിനോമിയൽ ജി(x) കൃത്യമായി മൂന്ന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ട് (സ്റ്റർമിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം).
ഇടവേളകൾ (0,1), (1,2), (2,3), (0,–1), (–1,–2) എന്നിവ കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് സ്റ്റർം സിസ്റ്റത്തിലെ അടയാളങ്ങളുടെ പഠനം തുടരാം. , (–2 ,–3), തുടങ്ങിയവ. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ ഇടവേളകൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു ( എ, ബി), എവിടെ a–b=1 മൂന്ന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനുള്ള ഇടവേള കണ്ടെത്തുക x 0 .
അങ്ങനെ, ബഹുപദത്തിൻ്റെ സ്റ്റർം സിസ്റ്റം ജി(x) പരിവർത്തന സമയത്ത് അടയാളങ്ങളുടെ ഒരു മാറ്റം നഷ്ടപ്പെടും x–3 മുതൽ –2 വരെ, –1 മുതൽ 0 വരെയും 0 മുതൽ 1 വരെയും. വേരുകൾ x 1 , x 2 , xഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ 3 അസമത്വങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:
–3<x 1 <–2, –1<x 2 <0, 0<x 3 <1, т.е. наибольший корень x 0 (0,1).
3. നമുക്ക് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഗ്രാഫ് ഇടവേളയിൽ (0, 1) നിർമ്മിക്കാം ജി(x), പോളിനോമിയലുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:
ജി(0)=–1, ജി(1)=3, ജി"(0)=0, ജി"(1)=9 (പരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു), ജി""(0)>0ജി""(1)>0 (ഫംഗ്ഷൻ കുത്തനെയുള്ളതാണ്).
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഗ്രാഫ് ചിത്രം 1 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ആദ്യം, സെഗ്മെൻ്റിൽ (0,1) കോർഡ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്, വക്രം വൈ=ജി(x) കോർഡ് എബി ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ റൂട്ടിൻ്റെ ആദ്യ ഏകദേശ മൂല്യമായി abscissa എടുക്കുന്നു. x= ഈ കോർഡ് അച്ചുതണ്ടുമായി ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് x. ട്രയാംഗിൾ KBC ത്രികോണം CAE ന് സമാനമാണ്, അതിനാൽ , അല്ലെങ്കിൽ , അല്ലെങ്കിൽ . പൊതുവായി.
തുടർന്ന്, ന്യൂട്ടൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കുന്നു വൈഷെഡ്യൂൾ ചെയ്യാൻ ജി(x) പോയിൻ്റ് എ(1, ജി(1)) (ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റിൽ ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കുന്നു x=1, കാരണം ജി(1) ഒപ്പം ജി""(1) അതേ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ) കൂടാതെ റൂട്ടിൻ്റെ മറ്റൊരു ഏകദേശ മൂല്യമായി abscissa എടുക്കുക x=ആർകാള അച്ചുതണ്ടുമായി ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ്.
പോയിൻ്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് എഴുതാം
വൈ–ജി(1)=ജി"(1)(x–1).
ഈ ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ ( പി, 0), തുടർന്ന് ഈ മൂല്യങ്ങളെ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും
0–ജി(1)=ജി"(1)(പി–1) അല്ലെങ്കിൽ പി=1– =1– .
പൊതുവായി പി=b– .
ആവശ്യമുള്ള റൂട്ടിൻ്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യം x 0 ഇപ്പോൾ പുതിയതിൽ തിരയാൻ കഴിയും
ഇടവേള ( എ 1 , ബി 1), ഇടുന്നു എ 1 =0,3, ബി 1 =0.7. കോർഡ് രീതിയും ന്യൂട്ടൻ്റെ രീതിയും ഇടവേളയിൽ ആവർത്തിക്കുന്നതിലൂടെ ( എ 1 , ബി 1) ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: ജി(എ 1)=–0,703; ജി(ബി 1)=0,813; g"(ബി 1)=5,67.
കാരണം ജി(എ 1) ഒപ്പം ജി(ബി 1) വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ, അപ്പോൾ x 0 (എ 1 ,ബി 1)
പി 1 =0,7– .
നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ഇടവേള പരിഗണിക്കാം ( എ 2 , ബി 2), ഇടുന്നു എ 2 =0,5, ബി 2 =0,55, ജി(എ 2)=–0,125, ജി(ബി 2)=0,073875, g"(ബി 2)=4.2075, കാരണം ജി(എ 2) ഒപ്പം ജി(ബി 2) - വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ, പിന്നെ x 0 (എ 2 ,ബി 2),
, പി 2 =0,55– .
ഒടുവിൽ, ഇടവേള പരിഗണിച്ച് ( എ 3 , ബി 3), എവിടെ എ 3 =0,531, ബി 3 =0.532, നമുക്ക് ഇത് കൂടുതൽ കൃത്യമായി കണ്ടെത്താം x 0 .
ടാസ്ക് 18. താഴെ പറയുന്ന യുക്തിസഹമായ അംശം, എവിടെ
എഫ്(x)= 2x 4 –10x 3 +7x 2 +4x+3, ജി(x)=x 5 –2x 3 +2x 2 –3x+2,
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിലെ ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം. ഓരോ ശരിയായ യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ വിഘടനമുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ബിരുദം എഫ്(x) ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവ് ജി(x), അതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാണ്.