Discrete distributiefunctie. Verdelingsfunctie van een willekeurige variabele
Vind:
a) parameter A;
b) verdelingsfunctie F(x) ;
c) de kans op het raken van een willekeurige variabele X in het interval;
G) verwachte waarde MX en variantie DX.
Teken de functies f(x) en F(x) .
Taak 2. Zoek de variantie van de willekeurige variabele X gegeven door de integrale functie.
Taak 3. Vind de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele X gegeven functie verdeling.
Taak 4. De kansdichtheid van een willekeurige variabele wordt als volgt gegeven: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Vind coëfficiënt A , verdelingsfunctie F(x) , wiskundige verwachting en variantie, evenals de kans dat een willekeurige variabele een waarde aanneemt in het interval . Plot f(x) en F(x) grafieken.
Een taak. De verdelingsfunctie van een continue willekeurige variabele wordt als volgt gegeven:
Bepaal de parameters a en b , zoek de uitdrukking voor de kansdichtheid f(x) , de wiskundige verwachting en variantie, evenals de kans dat de willekeurige variabele een waarde aanneemt in het interval . Plot f(x) en F(x) grafieken.
Laten we de verdelingsdichtheidsfunctie zoeken als een afgeleide van de verdelingsfunctie.
F′=f(x)=a
Wetende dat we de parameter a zullen vinden:
of 3a=1, vandaar a = 1/3
We vinden de parameter b uit de volgende eigenschappen:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 vandaar b = -1/3
Daarom is de verdelingsfunctie: F(x) = (x-1)/3
Spreiding.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Bereken de kans dat een willekeurige variabele een waarde aanneemt in het interval
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Voorbeeld 1. De kansverdelingsdichtheid f(x) van een continue stochastische variabele X wordt gegeven. Verplicht:
- Bepaal coëfficiënt A .
- zoek de verdelingsfunctie F(x) .
- zet schematisch F(x) en f(x) uit.
- vind de wiskundige verwachting en variantie van X .
- bereken de kans dat X een waarde neemt uit het interval (2;3).
Oplossing:
De willekeurige variabele X wordt gegeven door de verdelingsdichtheid f(x):
Zoek de parameter A uit de voorwaarde:
of
14/3*A-1=0
Waar,
EEN = 3 / 14
De verdelingsfunctie kan worden gevonden door de formule.
Om de distributiefuncties van willekeurige variabelen en hun variabelen te vinden, is het noodzakelijk om alle kenmerken van dit kennisgebied te bestuderen. Er zijn verschillende methoden om de betreffende waarden te vinden, waaronder het wijzigen van een variabele en het genereren van een moment. Distributie is een concept gebaseerd op elementen als spreiding, variaties. Ze karakteriseren echter alleen de mate van verstrooiing.
De belangrijkste functies van willekeurige variabelen zijn die welke gerelateerd en onafhankelijk zijn en gelijk verdeeld zijn. Als X1 bijvoorbeeld het gewicht is van een willekeurig gekozen persoon uit een mannelijke populatie, X2 het gewicht is van een ander, ..., en Xn het gewicht is van nog een persoon uit de mannelijke populatie, dan moeten we weten hoe de willekeurige functie X wordt verdeeld. In dit geval is de klassieke stelling, de centrale limietstelling, van toepassing. Hiermee kunnen we aantonen dat voor grote n de functie standaardverdelingen volgt.
Functies van één willekeurige variabele
De centrale limietstelling is ontworpen om discrete waarden in kwestie te benaderen, zoals binomiaal en Poisson. Verdelingsfuncties van willekeurige variabelen worden in de eerste plaats beschouwd op eenvoudige waarden van één variabele. Als X bijvoorbeeld een continue willekeurige variabele is met een eigen kansverdeling. In dit geval onderzoeken we hoe we de dichtheidsfunctie van Y kunnen vinden met behulp van twee verschillende benaderingen, namelijk de distributiefunctiemethode en de verandering in variabele. Ten eerste worden alleen één-op-één waarden beschouwd. Dan moet je de techniek van het veranderen van de variabele aanpassen om de waarschijnlijkheid ervan te vinden. Ten slotte moet men leren hoe de cumulatieve verdeling kan helpen bij het modelleren van willekeurige getallen die bepaalde opeenvolgende patronen volgen.
Wijze van verdeling van overwogen waarden
De methode van de kansverdelingsfunctie van een willekeurige variabele is van toepassing om de dichtheid ervan te vinden. Bij gebruik van deze methode wordt een cumulatieve waarde berekend. Dan, door het te differentiëren, kunt u de kansdichtheid krijgen. Nu we de distributiefunctiemethode hebben, kunnen we nog een paar voorbeelden bekijken. Laat X een continue willekeurige variabele zijn met een bepaalde kansdichtheid.
Wat is de kansdichtheidsfunctie van x2? Als je de functie (boven en rechts) y \u003d x2 bekijkt of er een grafiek van maakt, kun je zien dat het een toenemende X en 0 is In het laatste voorbeeld is er veel zorg besteed aan het indexeren van de cumulatieve functies en de kansdichtheid met X of Y om aan te geven tot welke willekeurige variabele ze behoorden. Als we bijvoorbeeld de cumulatieve verdelingsfunctie Y vonden, kregen we X. Als je een willekeurige variabele X en zijn dichtheid moet vinden, hoef je deze alleen maar te differentiëren. Laat X een continue willekeurige variabele zijn, gegeven door een verdelingsfunctie met een gemeenschappelijke noemer f(x). Als je in dit geval de waarde van y in X = v (Y) zet, krijg je de waarde van x, bijvoorbeeld v (y). Nu moeten we de verdelingsfunctie van een continue willekeurige variabele Y krijgen. Waar de eerste en tweede gelijkheid plaatsvinden uit de definitie van cumulatieve Y. De derde gelijkheid geldt omdat het deel van de functie waarvoor u (X) ≤ y is ook waar dat X ≤ v (Y ). En dat laatste wordt gedaan om de kans te bepalen in een continue willekeurige variabele X. Nu moeten we de afgeleide van FY (y), de cumulatieve verdelingsfunctie van Y, nemen om de kansdichtheid van Y te krijgen. Laat X een continue willekeurige variabele zijn met gemeenschappelijke f(x) gedefinieerd over c1 Om dit probleem aan te pakken, kunnen kwantitatieve gegevens worden verzameld en kan een empirische cumulatieve verdelingsfunctie worden gebruikt. Met deze informatie en er een beroep op doend, moet u middelsteekproeven, standaarddeviaties, mediagegevens, enzovoort combineren. Evenzo kan zelfs een vrij eenvoudig probabilistisch model een groot aantal resultaten hebben. Bijvoorbeeld als je een munt 332 keer opgooit. Dan is het aantal resultaten van flips groter dan dat van google (10100) - een aantal, maar niet minder dan 100 triljoen keer hoger dan elementaire deeltjes in het bekende universum. Niet geïnteresseerd in een analyse die op elke mogelijke uitkomst een antwoord geeft. Er zou een eenvoudiger concept nodig zijn, zoals het aantal koppen of de langste slag van de staarten. Om zich te concentreren op onderwerpen die van belang zijn, wordt een specifiek resultaat geaccepteerd. De definitie is in dit geval als volgt: een willekeurige variabele is een reële functie met een kansruimte. Het bereik S van een willekeurige variabele wordt soms de toestandsruimte genoemd. Dus als X de waarde in kwestie is, dan geldt dus N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, enzovoort. De laatste hiervan, waarbij X wordt afgerond op het dichtstbijzijnde gehele getal, wordt de vloerfunctie genoemd. Zodra de van belang zijnde distributiefunctie voor een willekeurige variabele x is bepaald, wordt de vraag meestal: "Wat is de kans dat X in een deelverzameling van B valt?" Bijvoorbeeld B = (oneven getallen), B = (groter dan 1) of B = (tussen 2 en 7) om de resultaten aan te geven die X hebben, de waarde van de willekeurige variabele, in deelverzameling A. Dus in het bovenstaande u kunt de gebeurtenissen bijvoorbeeld als volgt beschrijven. (X is een oneven getal), (X is groter dan 1) = (X > 1), (X is tussen 2 en 7) = (2 Het is dus mogelijk om de kans te berekenen dat de verdelingsfunctie van een willekeurige variabele x waarden in het interval zal aannemen door af te trekken. Er moet worden nagedacht over het opnemen of uitsluiten van eindpunten. We noemen een willekeurige variabele discreet als deze een eindige of aftelbare oneindige toestandsruimte heeft. Dus X is het aantal kop op drie onafhankelijke flips van een bevooroordeelde munt dat stijgt met kans p. We moeten de cumulatieve distributiefunctie van een discrete willekeurige variabele FX voor X vinden. Laat X het aantal pieken zijn in een verzameling van drie kaarten. Dan Y = X3 via FX. FX begint bij 0, eindigt bij 1, en neemt niet af naarmate x-waarden toenemen. De cumulatieve FX-verdelingsfunctie van een discrete willekeurige variabele X is constant, behalve voor sprongen. Bij het springen is de FX continu. Het is mogelijk om de bewering over de juiste continuïteit van de verdelingsfunctie te bewijzen met behulp van de waarschijnlijkheidseigenschap met behulp van de definitie. Het klinkt als volgt: een constante willekeurige variabele heeft een cumulatieve FX die differentieerbaar is. Om te laten zien hoe dit kan gebeuren, kunnen we een voorbeeld geven: een doel met een eenheidsstraal. Vermoedelijk. de dart wordt gelijkmatig verdeeld over het opgegeven gebied. Voor sommige λ> 0. De verdelingsfuncties van continue willekeurige variabelen nemen dus geleidelijk toe. FX heeft de eigenschappen van een distributiefunctie. Een man wacht bij een bushalte tot de bus arriveert. Hij heeft voor zichzelf besloten dat hij zal weigeren wanneer het wachten 20 minuten bereikt. Hier is het nodig om de cumulatieve verdelingsfunctie voor T te vinden. Het tijdstip waarop een persoon nog op het busstation zal zijn of niet zal vertrekken. Ondanks het feit dat de cumulatieve verdelingsfunctie voor elke willekeurige variabele is gedefinieerd. Toch zullen vrij vaak andere kenmerken worden gebruikt: de massa voor een discrete variabele en de distributiedichtheidsfunctie van een willekeurige variabele. Gewoonlijk wordt de waarde uitgevoerd via een van deze twee waarden. Deze waarden worden beschouwd door de volgende eigenschappen, die een algemeen (massa) karakter hebben. De eerste is gebaseerd op het feit dat de kansen niet negatief zijn. De tweede volgt uit de observatie dat de verzameling voor alle x=2S, de toestandsruimte voor X, een partitie vormt van de probabilistische vrijheid van X. Voorbeeld: flips van een bevooroordeelde munt waarvan de uitkomsten onafhankelijk zijn. Je kunt bepaalde acties blijven uitvoeren totdat je een kopworp krijgt. Laat X een willekeurige variabele aanduiden die het aantal staarten voor de eerste kop geeft. En p geeft de kans op een bepaalde actie aan. De massakansfunctie heeft dus de volgende karakteristieke kenmerken. Omdat de termen een numerieke reeks vormen, wordt X een geometrische willekeurige variabele genoemd. Geometrisch schema c, cr, cr2,. , crn heeft een som. En daarom heeft sn een limiet als n 1. In dit geval is de oneindige som de limiet. Bovenstaande massafunctie vormt een meetkundige rij met een verhouding. Daarom natuurlijke getallen a en b. Het verschil in waarden in de verdelingsfunctie is gelijk aan de waarde van de massafunctie. De dichtheidswaarden in kwestie hebben de volgende definitie: X is een willekeurige variabele waarvan de verdeling FX een afgeleide heeft. FX die voldoet aan Z xFX (x) = fX (t) dt-1 wordt de kansdichtheidsfunctie genoemd. En X wordt een continue willekeurige variabele genoemd. In de fundamentele stelling van de calculus is de dichtheidsfunctie de afgeleide van de verdeling. Je kunt kansen berekenen door bepaalde integralen te berekenen. Omdat gegevens worden verzameld uit meerdere waarnemingen, moet er meer dan één willekeurige variabele tegelijk worden overwogen om de experimentele procedures te modelleren. Daarom betekent de verzameling van deze waarden en hun gezamenlijke verdeling voor de twee variabelen X1 en X2 het bekijken van gebeurtenissen. Voor discrete willekeurige variabelen zijn gezamenlijke probabilistische massafuncties gedefinieerd. Voor continue worden fX1, X2 beschouwd, waarbij aan de gezamenlijke kansdichtheid is voldaan. Twee willekeurige variabelen X1 en X2 zijn onafhankelijk als twee ermee verbonden gebeurtenissen hetzelfde zijn. Met andere woorden, de kans dat twee gebeurtenissen (X1 2 B1) en (X2 2 B2) tegelijkertijd plaatsvinden, y, is gelijk aan het product van de bovenstaande variabelen, dat elk van hen afzonderlijk voorkomt. Voor onafhankelijke discrete willekeurige variabelen is er een gezamenlijke probabilistische massafunctie, die het product is van het beperkende ionenvolume. Voor continue willekeurige variabelen die onafhankelijk zijn, is de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie het product van de marginale dichtheidswaarden. Tenslotte worden n onafhankelijke waarnemingen x1, x2 beschouwd. , xn voortkomend uit een onbekende dichtheids- of massafunctie f. Bijvoorbeeld een onbekende parameter in functies voor een exponentiële willekeurige variabele die de wachttijd voor een bus beschrijft. Het belangrijkste doel van dit theoretische veld is om de tools te bieden die nodig zijn om inferentiële procedures te ontwikkelen op basis van degelijke principes van de statistische wetenschap. Een zeer belangrijke use case voor software is dus de mogelijkheid om pseudo-gegevens te genereren om feitelijke informatie na te bootsen. Dit maakt het mogelijk om analysemethoden te testen en te verbeteren voordat ze in echte databases moeten worden gebruikt. Dit is nodig om de eigenschappen van de gegevens door middel van modellering te onderzoeken. Voor veel veelgebruikte families van willekeurige variabelen biedt R opdrachten om ze te genereren. Voor andere omstandigheden zijn methoden nodig voor het modelleren van een reeks onafhankelijke willekeurige variabelen die een gemeenschappelijke verdeling hebben. Discrete willekeurige variabelen en voorbeeldopdracht. Het sample-commando wordt gebruikt om eenvoudige en gestratificeerde willekeurige steekproeven te maken. Als resultaat, als een reeks x wordt ingevoerd, selecteert sample(x, 40) 40 records uit x zodat alle keuzes van grootte 40 dezelfde kans hebben. Dit gebruikt de standaard R-opdracht voor ophalen zonder vervanging. Kan ook worden gebruikt om discrete willekeurige variabelen te modelleren. Om dit te doen, moet je een toestandsruimte in de vector x en de massafunctie f voorzien. Een oproep om te vervangen = TRUE geeft aan dat bemonstering plaatsvindt bij vervanging. Om vervolgens een steekproef van n onafhankelijke willekeurige variabelen met een gemeenschappelijke massafunctie f te geven, wordt de steekproef (x, n, vervang = WAAR, kans = f) gebruikt. Er wordt bepaald dat 1 de kleinste waarde is die wordt weergegeven en 4 de grootste van allemaal. Als het commando prob = f wordt weggelaten, zal het monster uniform bemonsteren uit de waarden in vector x. U kunt de simulatie vergelijken met de massafunctie die de gegevens heeft gegenereerd door naar het dubbele isgelijkteken te kijken, ==. En herberekenen van de waarnemingen die elke mogelijke waarde voor x aannemen. Je kunt een tafel maken. Herhaal dit voor 1000 en vergelijk de simulatie met de bijbehorende massafunctie. Simuleer eerst homogene verdelingsfuncties van willekeurige variabelen u1, u2. , un op het interval . Ongeveer 10% van de getallen moet binnen . Dit komt overeen met 10% simulaties op het interval voor een willekeurige variabele met de weergegeven FX-distributiefunctie. Evenzo moet ongeveer 10% van de willekeurige getallen in het interval liggen. Dit komt overeen met 10% simulaties op het random variabele interval met de verdelingsfunctie FX. Deze waarden op de x-as kunnen worden verkregen door de inverse van FX te nemen. Als X een continue willekeurige variabele is met overal in zijn domein dichtheid fX positief, dan is de verdelingsfunctie strikt toenemend. In dit geval heeft FX een inverse FX-1-functie die bekend staat als de kwantielfunctie. FX (x) u alleen als x FX-1 (u). De kanstransformatie volgt uit de analyse van de willekeurige variabele U = FX(X). FX heeft een bereik van 0 tot 1. Het kan geen waarden onder 0 of boven 1 aannemen. Voor waarden van u tussen 0 en 1. Als U kan worden gemodelleerd, dan is het noodzakelijk om een willekeurige variabele te simuleren met FX-verdeling via een kwantielfunctie. Neem de afgeleide om te zien dat de dichtheid u binnen 1 varieert. Aangezien de willekeurige variabele U een constante dichtheid heeft over het interval van zijn mogelijke waarden, wordt deze uniform op het interval genoemd. Het is gemodelleerd in R met het runif-commando. De identiteit wordt een probabilistische transformatie genoemd. Je kunt zien hoe het werkt in het voorbeeld van het dartbord. X tussen 0 en 1, de verdelingsfunctie u = FX(x) = x2, en dus de kwantielfunctie x = FX-1(u). Het is mogelijk om onafhankelijke waarnemingen van de afstand vanaf het midden van het dartpaneel te modelleren, terwijl uniforme willekeurige variabelen U1, U2 worden gegenereerd. , On. De verdelingsfunctie en de empirische functie zijn gebaseerd op 100 simulaties van de verdeling van een dartbord. Voor een exponentiële willekeurige variabele, vermoedelijk u = FX (x) = 1 - exp (- x), en dus x = - 1 ln (1 - u). Soms bestaat logica uit equivalente uitspraken. In dit geval moet u de twee delen van het argument samenvoegen. De identiteit van het snijpunt is vergelijkbaar voor alle 2 (S i i) S, in plaats van een bepaalde waarde. De unie Ci is gelijk aan de toestandsruimte S en elk paar sluit elkaar uit. Aangezien Bi - is verdeeld in drie axioma's. Elke controle is gebaseerd op de overeenkomstige kans P. Voor elke subset. Een identiteit gebruiken om ervoor te zorgen dat het antwoord niet afhankelijk is van het feit of de interval-eindpunten zijn opgenomen. Voor elke uitkomst in alle gebeurtenissen wordt uiteindelijk de tweede eigenschap van de continuïteit van kansen gebruikt, die als axiomatisch wordt beschouwd. De verdelingswet van de functie van een willekeurige variabele laat hier zien dat elk zijn eigen oplossing en antwoord heeft. Het resultaat van elk willekeurig experiment kan kwalitatief en kwantitatief worden gekarakteriseerd. Kwalitatief het resultaat van een willekeurig experiment - willekeurig
evenement. Elk kwantitatief kenmerk:, die als resultaat van een willekeurig experiment een van een bepaalde reeks waarden kan aannemen, - willekeurige waarde. Willekeurige waarde
is een van de centrale concepten van de kansrekening. Laat een willekeurige kansruimte zijn. Willekeurige variabele is een reële numerieke functie x \u003d x (w), w W , zodanig dat voor elke reële x . Evenement
meestal geschreven als x< x. In het volgende zullen willekeurige variabelen worden aangegeven met Griekse kleine letters x, h, z, ...
Een willekeurige variabele is het aantal punten dat is gevallen bij het werpen van een dobbelsteen, of de lengte van een willekeurig gekozen leerling uit de onderzoeksgroep. In het eerste geval hebben we te maken met: discreet willekeurige variabele(het neemt waarden van een discrete getallenset) M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); in het tweede geval, met continu willekeurige variabele(het neemt waarden van een continue getallenreeks - van het interval van de getallenlijn) l=). Elke willekeurige variabele wordt volledig bepaald door zijn Distributie functie. Als x . een willekeurige variabele is, dan is de functie F(x) = FX(x)
= P(x< x) wordt genoemd Distributie functie willekeurige variabele x . Hier P(x<x) - de kans dat de willekeurige variabele x een waarde heeft die kleiner is dan x. Het is belangrijk om te begrijpen dat de verdelingsfunctie een "paspoort" is van een willekeurige variabele: het bevat alle informatie over de willekeurige variabele en daarom de studie van een willekeurige variabele bestaat uit de studie van zijn distributiefuncties, vaak eenvoudigweg genoemd verdeling. De verdelingsfunctie van een willekeurige variabele heeft de volgende eigenschappen: Als x een discrete willekeurige variabele is die de waarden neemt x 1
<x 2 < … <x ik < … с
вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида genaamd verdeling van een discrete willekeurige variabele. De verdelingsfunctie van een willekeurige variabele met zo'n verdeling heeft de vorm Een discrete willekeurige variabele heeft een stapsgewijze verdelingsfunctie. Bijvoorbeeld, voor een willekeurig aantal punten dat in één worp van een dobbelsteen viel, zien de verdeling, verdelingsfunctie en verdelingsfunctiegrafiek er als volgt uit: Als de distributiefunctie FX(x) continu is, dan heet de willekeurige variabele x continue willekeurige variabele. Als de verdelingsfunctie van een continue willekeurige variabele differentieerbaar, dan geeft een meer visuele weergave van de willekeurige variabele kansdichtheid van willekeurige variabele p x(x),
die gerelateerd is aan de distributiefunctie FX(x) formules en . Hieruit volgt in het bijzonder dat voor elke willekeurige variabele . Bij het oplossen van praktische problemen is het vaak nodig om de waarde te vinden x, waarbij de distributiefunctie FX(x) willekeurige variabele x heeft een bepaalde waarde p, d.w.z. je moet de vergelijking oplossen FX(x) = p. Oplossingen voor zo'n vergelijking (de corresponderende waarden x) in de kansrekening worden genoemd kwantielen. Kwantiel x p ( p-kwantiel, niveau kwantiel p) een willekeurige variabele met een verdelingsfunctie FX(x), heet de oplossing xp vergelijkingen FX(x) = p,
p(0, 1). Voor sommigen p de vergelijking FX(x) = p kan verschillende oplossingen hebben, voor sommigen - geen. Dit betekent dat voor de overeenkomstige willekeurige variabele sommige kwantielen niet uniek zijn gedefinieerd en dat sommige kwantielen niet bestaan. De verdelingsfunctie van een willekeurige variabele X is de functie F(x), die voor elke x de kans uitdrukt dat de willekeurige variabele X de waarde aanneemt, kleinere x
Voorbeeld 2.5. Gegeven een reeks verdelingen van een willekeurige variabele Zoek de distributiefunctie en geef deze grafisch weer. Oplossing. Volgens de definitie F(jc) = 0 voor X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 bij 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 bij X > 5. Dus (zie Fig. 2.1): Eigenschappen distributiefunctie: 1. De verdelingsfunctie van een willekeurige variabele is een niet-negatieve functie tussen nul en één: 2. De verdelingsfunctie van een willekeurige variabele is een niet-afnemende functie op de gehele getallenas, d.w.z. Bij X 2
>x 3. Bij min oneindig is de verdelingsfunctie gelijk aan nul, bij plus oneindig is hij gelijk aan één, d.w.z. 4. Kans op het raken van een willekeurige variabele X in de pauze is gelijk aan de bepaalde integraal van zijn kansdichtheid variërend van a voordat b(zie Fig. 2.2), d.w.z. Rijst. 2.2 3. De verdelingsfunctie van een continue stochastische variabele (zie figuur 2.3) kan worden uitgedrukt in de kansdichtheid met behulp van de formule: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Onjuiste integraal in oneindige limieten van de kansdichtheid van een continue willekeurige variabele is gelijk aan één: Geometrische eigenschappen / and 4
waarschijnlijkheidsdichtheden betekenen dat de plot is distributiecurve - ligt niet onder de x-as, en de totale oppervlakte van de figuur, beperkte distributiecurve en x-as, gelijk is aan één. Voor een continue willekeurige variabele X verwachte waarde M(X) en variantie D(X) worden bepaald door de formules: (als de integraal absoluut convergeert); of (als de gereduceerde integralen convergeren). Samen met de hierboven vermelde numerieke kenmerken, wordt het concept van kwantielen en procentpunten gebruikt om een willekeurige variabele te beschrijven. q niveau kwantiel(of q-kwantiel) is zo'n waardex qwillekeurige variabele, waarbij de verdelingsfunctie de waarde aanneemt, gelijk aan q, d.w.z. Zoek volgens voorbeeld 2.6 het kwantiel xqj en 30% willekeurig variabel punt x.
Oplossing. Per definitie (2,16) F(xo t3)= 0,3, d.w.z. ~Y~ = 0,3, vanwaar het kwantiel x 0 3 = 0,6. 30% willekeurig variabel punt X, of kwantiel Х)_о,з = xoj» wordt op dezelfde manier gevonden uit de vergelijking ^ = 0,7. vanwaar *,= 1.4. ? Onder de numerieke kenmerken van een willekeurige variabele zijn er: voorletter v* en centraal R* k-de orde momenten, bepaald voor discrete en continue willekeurige variabelen door de formules: Kansverdelingsfunctie en zijn eigenschappen. De kansverdelingsfunctie F(x) van een willekeurige variabele X op een punt x is de kans dat als gevolg van het experiment de willekeurige variabele een waarde kleiner dan x zal aannemen, d.w.z. F(x)=P(X< х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Inderdaad, per definitie F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, aangezien, per definitie, F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. De kans dat een willekeurige variabele een waarde uit het interval [Α Β] haalt, is gelijk aan de toename van de kansverdelingsfunctie op dit interval. P(Α ≤ X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), als x 2, > x 1, d.w.z. de kansverdelingsfunctie is een niet-dalende functie. 5. De kansverdelingsfunctie is continu aan de linkerkant. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) voor x→ x o De verschillen tussen de kansverdelingsfuncties van discrete en continue willekeurige variabelen worden goed geïllustreerd door grafieken. Laat bijvoorbeeld een discrete willekeurige variabele n mogelijke waarden hebben, waarvan de kansen P(X=x k )=p k , k=1,2,..n zijn. Als x ≤ x 1, dan is F(X)=0, aangezien er geen mogelijke waarden zijn van de willekeurige variabele links van x. Als x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Dus F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Wanneer x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Beschouw de kans dat een willekeurige variabele in het interval , Δx>0 valt: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Als F(x) een discontinuïteit heeft in punt x, dan is de kans P(X=x) gelijk aan de sprong van de functie op dat punt. De kans op het voorkomen van een mogelijke waarde voor een continue grootheid is dus nul. De uitdrukking P(X=x)=0 moet worden opgevat als de limiet van de kans dat een willekeurige variabele in een oneindig kleine buurt van het punt x valt voor P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Voor discrete variabelen zijn deze kansen niet hetzelfde in het geval dat de grenzen van het interval Α en (of) Β samenvallen met de mogelijke waarden van de willekeurige variabelen. Voor een discrete stochastische variabele is het noodzakelijk om strikt rekening te houden met het type ongelijkheid in de formule P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).Variabelentechniek wijzigen
Generalisatie voor de reduceerfunctie
Distributiefuncties
Willekeurige variabelen en verdelingsfuncties
Bulkfuncties
Onafhankelijke willekeurige variabelen
Simulatie van willekeurige variabelen
Kanstransformatie illustreren
Exponentiële functie en zijn variabelen
x 1
x 2
…
x ik
…
p 1
p 2
…
pi
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Beschouw de eigenschappen van de functie F(x).