Wykres prędkości ruchu kołowego. Ruch punktu materialnego po okręgu
Jednolity ruch po okręgu- Ten najprostszy przykład. Na przykład koniec wskazówki zegara porusza się po okręgu wokół tarczy. Nazywa się prędkością ciała poruszającego się po okręgu prędkość liniowa.
Przy ruchu jednostajnym ciała po okręgu moduł prędkości ciała nie zmienia się w czasie, czyli v = const, zmienia się jedynie kierunek wektora prędkości, w tym przypadku nie następuje zmiana (a r = 0), a zmianę wektora prędkości w kierunku charakteryzuje wielkość zwana przyspieszenie dośrodkowe() n lub CS. W każdym punkcie wektor przyspieszenia dośrodkowego jest skierowany w stronę środka okręgu wzdłuż promienia.
Moduł przyspieszenia dośrodkowego jest równy
a CS = v 2 / R
Gdzie v jest prędkością liniową, R jest promieniem okręgu
Ryż. 1,22. Ruch ciała po okręgu.
Opisując ruch ciała po okręgu, używamy promień kąt obrotu– kąt φ, o który w czasie t obraca się promień poprowadzony od środka okręgu do punktu, w którym w tej chwili znajduje się poruszające się ciało. Kąt obrotu mierzony jest w radianach. równy kątowi między dwoma promieniami okręgu, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu (ryc. 1.23). Oznacza to, że jeśli l = R, to
1 radian = l / R
Ponieważ obwód równy
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Stąd
1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18’
Prędkość kątowa ruch jednostajny ciała po okręgu to wartość ω, równa stosunkowi kąta obrotu promienia φ do czasu, w którym ten obrót jest wykonywany:
ω = φ / t
Jednostką miary prędkości kątowej jest radian na sekundę [rad/s]. Moduł prędkości liniowej wyznacza się ze stosunku długości przebytej drogi l do przedziału czasu t:
v=l/t
Prędkość liniowa przy ruchu jednostajnym po okręgu jest on kierowany po stycznej w danym punkcie okręgu. Kiedy punkt się porusza, długość l łuku okręgu, po którym porusza się ten punkt, wiąże się z kątem obrotu φ za pomocą wyrażenia
l = Rφ
gdzie R jest promieniem okręgu.
Następnie, w przypadku ruchu jednostajnego punktu, prędkości liniowe i kątowe są powiązane zależnością:
v = l / t = Rφ / t = Rω lub v = Rω
Ryż. 1,23. Radian.
Okres obiegu– jest to okres czasu T, w którym ciało (punkt) dokonuje jednego obrotu wokół okręgu. Częstotliwość– jest to odwrotność okresu rewolucji – liczby obrotów na jednostkę czasu (na sekundę). Częstotliwość obiegu oznaczona jest literą n.
n=1/T
W jednym okresie kąt obrotu φ punktu jest równy 2π rad, zatem 2π = ωT, skąd
T = 2π/ω
Oznacza to, że prędkość kątowa jest równa
ω = 2π / T = 2πn
Przyspieszenie dośrodkowe można wyrazić w postaci okresu T i częstotliwości obiegu n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego. Prędkość ciała w dowolnym punkcie krzywoliniowej trajektorii jest do niego skierowana stycznie (ryc. 2.1). W tym przypadku prędkość jako wektor może zmieniać się zarówno pod względem wielkości (wielkości), jak i kierunku. Jeśli moduł prędkości pozostaje niezmieniona, wtedy mówimy jednostajny ruch krzywoliniowy.
Niech ciało porusza się po okręgu ze stałą prędkością od punktu 1 do punktu 2.
W tym przypadku ciało przebędzie drogę równą długości łuku ℓ 12 między punktami 1 i 2 w czasie t. W tym samym czasie wektor promienia R poprowadzony od środka okręgu 0 do punktu obróci się o kąt Δφ.
Wektor prędkości w punkcie 2 różni się od wektora prędkości w punkcie 1 o kierunek o wartość ΔV:
;
Aby scharakteryzować zmianę wektora prędkości wartością δv, wprowadzamy przyspieszenie:
(2.4)
Wektor w dowolnym punkcie trajektorii skierowanej wzdłuż promienia Rк Centrum okrąg prostopadły do wektora prędkości V 2. Dlatego przyspieszenie
, który charakteryzuje zmianę prędkości podczas ruchu krzywoliniowego
w kierunku nazywa się dośrodkowy lub normalny. Zatem ruch punktu po okręgu ze stałą prędkością bezwzględną wynosi przyśpieszony.
Jeśli prędkość zmienia się nie tylko kierunek, ale także moduł (wielkość), to dodatkowo do normalnego przyspieszenia
też przedstawiają styczna (styczna) przyśpieszenie
, który charakteryzuje zmianę prędkości w wielkości:
Lub
Skierowany wektor wzdłuż stycznej w dowolnym punkcie trajektorii (tj. pokrywa się z kierunkiem wektora).
). Kąt między wektorami
I
równa się 90 0.
Całkowite przyspieszenie punktu poruszającego się po zakrzywionej drodze definiuje się jako sumę wektorów (rys. 2.1.).
.
Moduł wektorowy .
Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe
Kiedy punkt materialny się porusza obwodowo Wektor promienia R, poprowadzony od środka okręgu O do punktu, obraca się o kąt Δφ (ryc. 2.1). Aby scharakteryzować obrót, wprowadzono pojęcia prędkości kątowej ω i przyspieszenia kątowego ε.
Kąt φ można mierzyć w radianach. 1 rad jest równy kątowi opartemu na łuku ℓ równym promieniowi R koła, tj.
Lub ℓ
12
=
Rφ
(2.5.)
Zróżniczkujmy równanie (2.5.)
(2.6.)
Wartość dℓ/dt=V chwilowa. Nazywa się wielkość ω =dφ/dt prędkość kątowa(mierzone w rad/s). Uzyskajmy zależność pomiędzy prędkościami liniowymi i kątowymi:
Wielkość ω jest wektorem. Kierunek wektora określony reguła śruby: pokrywa się z kierunkiem ruchu ślimaka, zorientowanym wzdłuż osi obrotu punktu lub korpusu i obróconym w kierunku obrotu korpusu (rys. 2.2), tj.
.
Przyspieszenie kątowezwana pochodną wielkości wektorowej prędkości kątowej (chwilowe przyspieszenie kątowe)
,
(2.8.)
Wektor pokrywa się z osią obrotu i jest skierowany w tym samym kierunku co wektor
, jeśli obrót jest przyspieszony, i w przeciwnym kierunku, jeśli obrót jest wolny.
PrędkośćNnazywa się ciała na jednostkę czasuprędkość obrotowa .
Nazywa się czas T jednego pełnego obrotu ciałaokres rotacji . W którejRopisuje kąt Δφ=2π radianów
Powiedziawszy to
,
(2.9)
Równanie (2.8) można zapisać w następujący sposób:
(2.10)
Następnie styczna składowa przyspieszenia
i =R(2.11)
Przyspieszenie normalne a n można wyrazić w następujący sposób:
biorąc pod uwagę (2.7) i (2.9)
(2.12)
Potem pełne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem kątowym równanie kinematyki możemy zapisać analogicznie do równań (2.1) – (2.3) dla ruchu postępowego:
,
.
Kolejnym szczególnym przypadkiem ruchu jest ruch obrotowy wokół stałej osi solidny.
Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi
nazywa się to takim ruchem, w którym wszystkie punkty ciała opisują okręgi, których środki leżą na tej samej prostej, zwanej osią obrotu, natomiast płaszczyzny, do których należą te okręgi, są prostopadłe oś obrotu
(Ryc.2.4).
W technologii tego typu ruch występuje bardzo często: na przykład obrót wałów silników i generatorów, turbin i śmigieł samolotów.
Prędkość kątowa
. Każdy punkt ciała obracający się wokół osi przechodzącej przez ten punkt O, porusza się po okręgu, a różne punkty poruszają się w czasie różnymi drogami. A zatem moduł prędkości punktowej A więcej niż punkt W (Ryc.2.5). Ale promienie okręgów obracają się w czasie o ten sam kąt. Kąt - kąt pomiędzy osiami OH oraz wektor promienia, który określa położenie punktu A (patrz rys. 2.5).
Niech ciało obraca się równomiernie, to znaczy obraca się o równe kąty w równych odstępach czasu. Prędkość obrotu ciała zależy od kąta obrotu wektora promienia, który określa położenie jednego z punktów ciała sztywnego w danym okresie czasu; to się charakteryzuje prędkość kątowa
.
Na przykład, jeśli jedno ciało obraca się o kąt co sekundę, a drugie o kąt, to mówimy, że pierwsze ciało obraca się 2 razy szybciej niż drugie.
Prędkość kątowa ciała podczas obrotu jednostajnego
jest wielkością równą stosunkowi kąta obrotu ciała do okresu czasu, w którym ten obrót nastąpił.
Prędkość kątową będziemy oznaczać literą grecką ω
(omega). Wtedy z definicji
Prędkość kątowa wyrażana jest w radianach na sekundę (rad/s).
Na przykład prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół własnej osi wynosi 0,0000727 rad/s, a prędkości tarczy szlifierskiej około 140 rad/s 1 .
Prędkość kątową można wyrazić poprzez prędkość obrotowa
, czyli liczba pełnych obrotów w ciągu 1s. Jeśli ciało wykonuje obroty (grecka litera „nu”) w ciągu 1 s, to czas jednego obrotu jest równy sekundom. Ten czas to tzw okres rotacji
i oznaczone literą T. Zatem związek między częstotliwością a okresem rotacji można przedstawić jako:
Pełny obrót ciała odpowiada kątowi. Zatem zgodnie ze wzorem (2.1)
Jeżeli podczas obrotu jednostajnego znana jest prędkość kątowa i w początkowym momencie czasu kąt obrotu wynosi , to kąt obrotu ciała w czasie T zgodnie z równaniem (2.1) jest równe:
Jeśli , to lub .
Prędkość kątowa przyjmuje wartości dodatnie, jeżeli kąt pomiędzy wektorem promienia, który określa położenie jednego z punktów bryły sztywnej, a osią OH wzrasta, a ujemna, gdy maleje.
W ten sposób możemy w dowolnym momencie opisać położenie punktów obracającego się ciała.
Zależność prędkości liniowej i kątowej.
Często nazywa się prędkością punktu poruszającego się po okręgu prędkość liniowa
, aby podkreślić różnicę w stosunku do prędkości kątowej.
Zauważyliśmy już, że gdy ciało sztywne obraca się, jego różne punkty mają nierówne prędkości liniowe, ale prędkość kątowa jest taka sama dla wszystkich punktów.
Istnieje związek pomiędzy prędkością liniową dowolnego punktu obracającego się ciała a jego prędkością kątową. Zainstalujmy to. Punkt leżący na okręgu o promieniu R, pokona tę odległość w jednym obrocie. Ponieważ czas jednego obrotu ciała to okres T, wówczas moduł prędkości liniowej punktu można znaleźć w następujący sposób:
Wśród różne rodzaje Szczególnie interesujący jest ruch krzywoliniowy jednostajny ruch ciała po okręgu. Jest to najprostszy rodzaj ruchu krzywoliniowego. Jednocześnie każdy złożony ruch krzywoliniowy ciała na wystarczająco małej części jego trajektorii można w przybliżeniu uznać za ruch jednostajny po okręgu.
Ruch taki wykonują punkty obracających się kół, wirniki turbin, sztuczne satelity obracające się po orbitach itp. Przy ruchu jednostajnym po okręgu wartość liczbowa prędkości pozostaje stała. Jednakże kierunek prędkości podczas takiego ruchu stale się zmienia.
Prędkość ruchu ciała w dowolnym punkcie krzywoliniowej trajektorii jest skierowana stycznie do trajektorii w tym punkcie. Można to sprawdzić obserwując pracę ostrzałki w kształcie dysku: dociskając koniec stalowego pręta do obracającego się kamienia, widać, jak od kamienia odrywają się gorące cząsteczki. Cząsteczki te lecą z prędkością, jaką miały w chwili opuszczenia kamienia. Kierunek iskier zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu w miejscu, w którym pręt dotyka kamienia. Odpryski z kół samochodu wpadającego w poślizg również przemieszczają się stycznie do koła.
Zatem chwilowa prędkość ciała w różnych punktach krzywoliniowej trajektorii ma różne kierunki, natomiast wielkość prędkości może być wszędzie taka sama lub zmieniać się w zależności od punktu. Ale nawet jeśli moduł prędkości się nie zmienia, nadal nie można go uznać za stały. W końcu prędkość jest wielkością wektorową, a w przypadku wielkości wektorowych równie ważny jest moduł i kierunek. Dlatego ruch krzywoliniowy jest zawsze przyspieszony, nawet jeśli moduł prędkości jest stały.
Podczas ruchu krzywoliniowego moduł prędkości i jej kierunek mogą się zmieniać. Nazywa się ruchem krzywoliniowym, w którym moduł prędkości pozostaje stały równomierny ruch krzywoliniowy. Przyspieszenie podczas takiego ruchu wiąże się jedynie ze zmianą kierunku wektora prędkości.
Zarówno wielkość, jak i kierunek przyspieszenia muszą zależeć od kształtu zakrzywionej trajektorii. Nie ma jednak potrzeby rozważać każdej z jej niezliczonych form. Wyobrażając sobie każdy odcinek jako odrębny okrąg o określonym promieniu, problem znalezienia przyspieszenia w ruchu jednostajnym krzywoliniowym sprowadzimy do znalezienia przyspieszenia w ruchu jednostajnym ciała po okręgu.
Jednostajny ruch po okręgu charakteryzuje się okresem i częstotliwością obrotu.
Czas potrzebny ciału na wykonanie jednego obrotu nazywa się okres obiegu.
Przy ruchu jednostajnym po okręgu okres obrotu wyznacza się dzieląc przebytą drogę, tj. obwód, przez prędkość ruchu:
Nazywa się odwrotnością okresu częstotliwość obiegu, oznaczony literą ν . Liczba obrotów na jednostkę czasu ν zwany częstotliwość obiegu:
Ciało poruszające się po okręgu na skutek ciągłej zmiany kierunku prędkości ma przyspieszenie, które charakteryzuje prędkość zmiany kierunku, przy czym wartość liczbowa prędkości w tym przypadku się nie zmienia.
Gdy ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, przyspieszenie w dowolnym punkcie jest zawsze skierowane prostopadle do prędkości ruchu wzdłuż promienia okręgu do jego środka i nazywa się to przyspieszenie dośrodkowe.
Aby znaleźć jego wartość, należy rozważyć stosunek zmiany wektora prędkości do przedziału czasu, w którym nastąpiła ta zmiana. Ponieważ kąt jest bardzo mały, mamy.
Ponieważ prędkość liniowa równomiernie zmienia kierunek, ruchu po okręgu nie można nazwać ruchem jednostajnym, jest on jednakowo przyspieszany.
Prędkość kątowa
Wybierzmy punkt na okręgu 1 . Zbudujmy promień. W jednostce czasu punkt przesunie się do punktu 2 . W tym przypadku promień opisuje kąt. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu promienia w jednostce czasu.
![](https://i1.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im4.png)
![](https://i1.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/form1.gif)
Okres i częstotliwość
Okres rotacji T- to czas, w którym organizm dokonuje jednego obrotu.
Częstotliwość obrotów to liczba obrotów na sekundę.
![](https://i1.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im5.png)
![](https://i2.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/form2.gif)
Częstotliwość i okres są ze sobą powiązane zależnością
![](https://i1.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im6.png)
![](https://i2.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/form3.gif)
Związek z prędkością kątową
![](https://i2.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im7.png)
![](https://i2.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/form4.gif)
Prędkość liniowa
Każdy punkt na okręgu porusza się z określoną prędkością. Prędkość ta nazywana jest liniową. Kierunek wektora prędkości liniowej zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu. Na przykład iskry spod szlifierki poruszają się, powtarzając kierunek prędkości chwilowej.
![](https://i1.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im60.gif)
Rozważmy punkt na okręgu, który wykonuje jeden obrót, czas spędzony na nim to okres T. Droga, którą przebywa punkt, to obwód.
![](https://i0.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im8.png)
![](https://i2.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/form5.gif)
Przyspieszenie dośrodkowe
Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do wektora prędkości i skierowany w stronę środka okręgu.
![](https://i0.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im2.png)
![](https://i0.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im9.png)
![](https://i0.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/form6.gif)
Korzystając z poprzednich wzorów, możemy wyprowadzić następujące zależności
![](https://i1.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im10.png)
Punkty leżące na tej samej linii prostej wychodzącej ze środka okręgu (na przykład mogą to być punkty leżące na szprychach koła) będą miały te same prędkości kątowe, okres i częstotliwość. Oznacza to, że będą się obracać w ten sam sposób, ale z różnymi prędkościami liniowymi. Im dalej punkt znajduje się od środka, tym szybciej będzie się poruszał.
Prawo dodawania prędkości obowiązuje także w przypadku ruchu obrotowego. Jeżeli ruch ciała lub układu odniesienia nie jest równomierny, to prawo stosuje się do prędkości chwilowych. Przykładowo, prędkość osoby idącej wzdłuż krawędzi obracającej się karuzeli jest równa sumie wektorowej liniowej prędkości obrotu krawędzi karuzeli i prędkości człowieka.
Ziemia jest zaangażowana w dwa główne ruchy obrotowe: dzienny (wokół własnej osi) i orbitalny (wokół Słońca). Okres obrotu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok lub 365 dni. Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód, okres tego obrotu wynosi 1 dzień lub 24 godziny. Szerokość geograficzna to kąt między płaszczyzną równika a kierunkiem od środka Ziemi do punktu na jej powierzchni.
Zgodnie z drugim prawem Newtona przyczyną przyspieszenia jest siła. Jeśli poruszające się ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego, wówczas charakter sił powodujących to przyspieszenie może być inny. Na przykład, jeśli ciało porusza się po okręgu na przywiązanej do niego linie, wówczas działającą siłą jest siła sprężystości.
![](https://i0.wp.com/fizmat.by/pic/PHYS/page53/im1.png)
Jeśli ciało leżące na dysku obraca się wraz z dyskiem wokół własnej osi, to taka siła jest siłą tarcia. Jeśli siła przestanie działać, ciało będzie nadal poruszać się po linii prostej
Rozważmy ruch punktu na okręgu z A do B. Prędkość liniowa jest równa w A I przeciwko B odpowiednio. Przyspieszenie to zmiana prędkości w jednostce czasu. Znajdźmy różnicę między wektorami.
- Rzeczpospolita – co to znaczy?
- Filozofia o życiu, śmierci i nieśmiertelności człowieka. Pojęcie życia, śmierci i nieśmiertelności
- Kiełbasy i kimchi, gofry i smardze, acai i kanapki – niemal wierszem mówią do nas szefowie kuchni, którzy wymyślili oryginalne, letnie śniadania
- Jamie Oliver: Wybór Jamiego