Obszar szeregu funkcyjnego zbieżności jednostajnej zbieżności Własności znaku Weierstrassa jednostajnie zbieżnego szeregu funkcyjnego. Szeregi funkcyjne i ich zbieżność: szeregi funkcyjne jednolite i niejednorodne
4.1. Seria funkcjonalna: podstawowe pojęcia, obszar zbieżności
Definicja 1. Szereg, którego elementy są funkcjami jednego lub
nazywa się kilka zmiennych niezależnych zdefiniowanych w pewnym zbiorze zakres funkcjonalny.
Rozważmy szereg funkcjonalny, którego elementy są funkcjami jednej zmiennej niezależnej X. Suma pierwszego N członkowie szeregu są sumą częściową danego szeregu funkcyjnego. Członek generalny istnieje funkcja z X, zdefiniowane w określonym regionie. Rozważmy szereg funkcyjny w tym punkcie
. Jeśli odpowiednia seria liczb
zbiega się, tj. istnieje ograniczenie sum częściowych tego szeregu
(Gdzie
− suma szeregu liczbowego), wówczas nazywa się punkt punkt zbieżności zakres funkcjonalny
. Jeśli seria liczb
jest rozbieżny, wówczas punkt nazywa się punkt rozbieżności zakres funkcjonalny.
Definicja 2. Obszar konwergencji zakres funkcjonalny nazywa się zbiorem wszystkich takich wartości X, w którym szereg funkcyjny jest zbieżny. Oznacza się obszar zbieżności, składający się ze wszystkich punktów zbieżności
. Zauważ to
R.
Szereg funkcjonalny jest zbieżny w regionie , jeśli w ogóle
zbiega się jak szereg liczbowy, a jego suma będzie jakąś funkcją
. Jest to tzw funkcja ograniczająca sekwencje
:
.
Jak znaleźć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego ? Możesz użyć znaku podobnego do znaku d'Alemberta. Dla rzędu
komponować
i rozważ limit dla ustalonego X:
. Następnie
jest rozwiązaniem nierówności
i rozwiązanie równania
(bierzemy tylko te rozwiązania równania w
które odpowiednie szeregi liczbowe są zbieżne).
Przykład 1. Znajdź obszar zbieżności szeregu.
Rozwiązanie. Oznaczmy ,
. Skomponujmy i obliczmy granicę, wtedy obszar zbieżności szeregu zostanie określony przez nierówność
i równanie
. Zbadajmy dalej zbieżność pierwotnego szeregu w punktach będących pierwiastkami równania:
i jeśli ,
, to otrzymamy szereg rozbieżny
;
b) jeśli ,
, potem seria
zbiega się warunkowo (wg
Kryterium Leibniza, przykład 1, wykład 3, rozdział. 3.1).
Zatem obszar zbieżności seria wygląda następująco:
.
4.2. Szereg potęgowy: pojęcia podstawowe, twierdzenie Abela
Rozważmy szczególny przypadek szeregu funkcyjnego, tzw szereg potęgowy , Gdzie
.
Definicja 3. Seria potęgowa nazywa się szeregiem funkcyjnym postaci,
Gdzie − numery stałe tzw współczynniki szeregu.
Szereg potęgowy to „nieskończony wielomian” uporządkowany w rosnących potęgach . Dowolny szereg liczbowy
Jest
szczególny przypadek szeregu potęgowego .
Rozważmy szczególny przypadek szeregu potęgowego dla :
. Dowiedzmy się, jaki to typ
obszar zbieżności tego szeregu .
Twierdzenie 1 (twierdzenie Abela). 1) Jeśli szereg potęgowy zbiega się w jednym punkcie
, to jest zbieżny absolutnie dla dowolnego X, dla którego zachodzi nierówność
.
2) Jeśli szereg potęgowy jest rozbieżny w punkcie , to jest rozbieżne dla dowolnego X, dla którego
.
Dowód. 1) Pod warunkiem, że szereg potęgowy zbiega się w punkcie ,
tj. szereg liczbowy jest zbieżny
(1)
i zgodnie z niezbędnym kryterium zbieżności jego wspólny wyraz dąży do 0, tj. . Dlatego istnieje taka liczba
że wszyscy członkowie serii są ograniczeni tą liczbą:
.
Rozważmy teraz dowolny X, dla którego i utwórz serię wartości bezwzględnych: .
Zapiszmy ten ciąg w innej formie: od , następnie (2).
Z nierówności dostajemy, tj. wiersz
składa się z wyrazów większych niż odpowiadające im wyrazy szeregu (2). Wiersz reprezentuje zbieżny szereg ciągu geometrycznego z mianownikiem
, I
, ponieważ
. W konsekwencji szereg (2) jest zbieżny w
. Zatem szereg potęgowy
absolutnie pasuje.
2) Niech seria różni się w
, innymi słowy,
szeregi liczbowe są rozbieżne . Udowodnijmy to każdemu X (
) szereg jest rozbieżny. Dowód jest sprzeczny. Niech dla niektórych
naprawił ( ) szereg jest zbieżny, to zbiega się dla wszystkich
(patrz pierwsza część tego twierdzenia), w szczególności dla , co jest sprzeczne z warunkiem 2) Twierdzenia 1. Twierdzenie zostało udowodnione.
Konsekwencja. Twierdzenie Abela pozwala nam ocenić położenie punktu zbieżności szeregu potęgowego. Jeśli chodzi o jest punktem zbieżności szeregu potęgowego, a następnie przedziałem
wypełniony punktami zbieżności; jeśli punktem rozbieżności jest punkt
, To
nieskończone interwały wypełnione punktami rozbieżności (ryc. 1).
Ryż. 1. Przedziały zbieżności i rozbieżności szeregu
Można wykazać, że istnieje taka liczba że na oczach wszystkich
szereg potęgowy
zbiega się absolutnie i kiedy
− różni się. Założymy, że jeśli szereg jest zbieżny tylko w jednym punkcie 0, to
, i jeśli szereg jest zbieżny dla wszystkich
, To
.
Definicja 4. Przedział zbieżności szereg potęgowy taki przedział nazywa się
że na oczach wszystkich
ta seria jest zbieżna, a ponadto absolutnie i dla wszystkich X, leżący poza tym przedziałem, szereg jest rozbieżny. Numer R zwany promień zbieżności szereg potęgowy.
Komentarz. Na końcach interwału kwestię zbieżności lub rozbieżności szeregu potęgowego rozwiązuje się oddzielnie dla każdego konkretnego szeregu.
Pokażmy jeden ze sposobów wyznaczania przedziału i promienia zbieżności szeregu potęgowego.
Rozważmy szereg potęgowy i oznaczać
.
Stwórzmy szereg wartości bezwzględnych jego członków:
i zastosuj do tego test d'Alemberta.
Niech istnieje
.
Według testu d'Alemberta szereg jest zbieżny, jeśli i różni się jeśli
. Stąd szereg zbiega się w , a następnie przedział zbieżności wynosi:
. Kiedy szereg jest rozbieżny, ponieważ
.
Używając notacji , otrzymujemy wzór na wyznaczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego:
,
Gdzie − współczynniki szeregów potęgowych.
Jeśli okaże się, że granica , to zakładamy
.
Do wyznaczenia przedziału i promienia zbieżności szeregu potęgowego można także posłużyć się radykalnym testem Cauchy’ego, promień zbieżności szeregu wyznacza się z zależności .
Definicja 5. Uogólnione szeregi potęgowe nazywa się szeregiem postaci
. Nazywa się to również szeregiem potęgowym
.
Dla takiego szeregu przedział zbieżności ma postać: , Gdzie
− promień zbieżności.
Pokażemy, jak znaleźć promień zbieżności uogólnionego szeregu potęgowego.
te. , Gdzie
.
Jeśli , To
oraz region konwergencji
R; Jeśli
, To
i region konwergencji
.
Przykład 2. Znajdź obszar zbieżności szeregu .
Rozwiązanie. Oznaczmy . Zróbmy granicę
Rozwiązanie nierówności: ,
zatem odstęp
zbieżność ma postać: , I R= 5. Dodatkowo badamy końce przedziału zbieżności:
A) ,
, otrzymujemy serię
, który jest rozbieżny;
B) ,
, otrzymujemy serię
, który zbiega się
warunkowo. Zatem obszar zbieżności wynosi: ,
.
Odpowiedź: region konwergencji .
Przykład 3. Wiersz dla każdego inny
, ponieważ
Na
, promień zbieżności
.
Przykład 4. Szereg jest zbieżny dla wszystkich R, promienia zbieżności .
Łuchow Yu.P. Notatki z wykładów z matematyki wyższej. Wykład nr 42 5
Wykład 42
TEMAT: Seria funkcjonalna
Plan.
- Seria funkcjonalna. Region konwergencji.
- Jednolita zbieżność. Znak Weierstrassa.
- Własności szeregów jednostajnie zbieżnych: ciągłość sumy szeregu, całkowanie i różniczkowanie wyrazowe.
- Seria potęgowa. Twierdzenie Abela. Obszar zbieżności szeregu potęgowego. Promień zbieżności.
- Podstawowe własności szeregów potęgowych: jednostajna zbieżność, ciągłość i nieskończona różniczkowalność sumy. Całkowanie wyrazowe i różniczkowanie szeregów potęgowych.
Seria funkcjonalna. Region konwergencji
Definicja 40.1. Nieskończona ilość funkcji
u 1 (x) + u 2 (x) +…+ u n (x) +…, (40.1)
gdzie u n (x) = f (x, n), nazywa się zakres funkcjonalny.
Jeśli określisz konkretną wartość liczbową X , seria (40.1) zamieni się w serię liczbową i w zależności od wyboru wartości X taki szereg może być zbieżny lub rozbieżny. Tylko szeregi zbieżne mają wartość praktyczną, dlatego ważne jest określenie tych wartości X , w którym szereg funkcjonalny staje się zbieżnym szeregiem liczbowym.
Definicja 40.2. Wiele znaczeń X , podstawiając je do szeregu funkcyjnego (40.1) otrzymuje się zbieżny szereg liczbowy, nazywa sięobszar konwergencjizakres funkcjonalny.
Definicja 40.3. Funkcja s(x), zdefiniowany w obszarze zbieżności szeregu, który dla każdej wartości X z obszaru zbieżności jest równa sumie odpowiedniego szeregu liczbowego uzyskanego z (40.1) dla danej wartości nazywa się x suma szeregu funkcyjnego.
Przykład. Znajdźmy obszar zbieżności i sumę szeregu funkcyjnego
1 + x + x² +…+ x n +…
Kiedy | X | ≥ 1, zatem odpowiednie szeregi liczbowe są rozbieżne. Jeśli
| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:
Zatem zakresem zbieżności szeregu jest przedział (-1, 1), a jego suma ma wskazaną postać.
Komentarz . Podobnie jak w przypadku szeregów liczbowych można wprowadzić pojęcie sumy częściowej szeregu funkcyjnego:
s n = 1 + x + x² +…+ x n
i pozostała część szeregu: r n = s s n .
Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Zdefiniujmy najpierw pojęcie jednostajnej zbieżności ciągu liczbowego.
Definicja 40.4. Sekwencja funkcjonalna nazywa się fn(x). równomiernie zbieżny do funkcji f na zbiorze X jeśli i
Notatka 1. Będziemy oznaczać zwykłą zbieżność ciągu funkcjonalnego i jednostajną zbieżność przez .
Uwaga 2 . Zwróćmy jeszcze raz uwagę na zasadniczą różnicę pomiędzy zbieżnością jednostajną a zbieżnością zwyczajną: w przypadku zbieżności zwykłej dla wybranej wartości ε dla każdego twój numer N, za co o godz n>N nierówność zachodzi:
W tym przypadku może się okazać, że dla danego ε jest to liczba ogólna N, zapewniając spełnienie tej nierówności dla dowolnego X , niemożliwe. W przypadku zbieżności jednostajnej taka liczba N, wspólne dla wszystkich x, istnieje.
Zdefiniujmy teraz pojęcie jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Ponieważ każdemu szeregowi odpowiada ciąg jego sum częściowych, jednostajną zbieżność szeregu wyznacza się poprzez jednostajną zbieżność tego ciągu:
Definicja 40.5. Szereg funkcjonalny nazywa sięjednolicie zbieżny na zbiorze X, jeśli na X sekwencja jego sum częściowych jest zbieżna równomiernie.
Znak Weierstrassa
Twierdzenie 40.1. Jeśli szereg liczbowy jest zbieżny zarówno dla wszystkich, jak i dla wszystkich n = 1, 2,... nierówność jest spełniona wtedy szereg jest zbieżny absolutnie i jednostajnie na zbiorze X.
Dowód.
Dla dowolnego ε > 0 s jest taki numer N. i dlatego
Dla reszty r n serii, oszacowanie jest sprawiedliwe
Zatem szereg jest zbieżny jednostajnie.
Komentarz. Zwykle nazywa się procedurę wyboru szeregu liczb spełniającego warunki Twierdzenia 40.1 majoryzacja i samą serię major dla danego zakresu funkcjonalnego.
Przykład. Dla serii funkcjonalnej specjalizacja o dowolnej wartości X jest szeregiem zbieżnym ze znakiem dodatnim. Dlatego pierwotny szereg zbiega się równomiernie do (-∞, +∞).
Własności szeregów jednostajnie zbieżnych
Twierdzenie 40.2. Jeśli funkcje u n (x) są ciągłe i szereg zbiega się równomiernie do X, to jego suma s (x) jest również ciągły w pewnym punkcie x 0 .
Dowód.
Wybierzmy ε > 0. Zatem istnieje taka liczba n 0 to
- suma liczby końcowej funkcje ciągłe, Dlategociągły w pewnym punkcie x 0 . Istnieje zatem δ > 0 takie, że Następnie otrzymujemy:
Oznacza to, że funkcja s (x) jest ciągła w x = x 0.
Twierdzenie 40.3. Niech funkcje u n (x) ciągły w przedziale [ a, b ] i szereg jest zbieżny jednostajnie na tym odcinku. Wtedy szereg również jest zbieżny jednostajnie do [ a, b] i (40.2)
(to znaczy, zgodnie z warunkami twierdzenia, szereg można całkować wyraz po wyrazie).
Dowód.
Według Twierdzenia 40.2 funkcja s(x) = ciągły na [a, b ] i dlatego jest na nim całkowalny, to znaczy istnieje całka po lewej stronie równości (40.2). Pokażemy, że szereg jest jednostajnie zbieżny do funkcji
Oznaczmy
Wtedy dla dowolnego ε istnieje taka liczba N , co dla n > N
Oznacza to, że szereg jest zbieżny jednostajnie, a jego suma jest równa σ ( x) = .
Twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie 40.4. Niech funkcje u n (x) są różniczkowalne w sposób ciągły na przedziale [ a, b ] oraz szereg złożony z ich pochodnych:
(40.3)
zbiega się równomiernie na [ a, b ] Wówczas, jeśli szereg jest zbieżny przynajmniej w jednym punkcie, to jest zbieżny równomiernie w całym [ a , b ], jego suma s (x )= jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły i
(serię można różnicować termin po terminie).
Dowód.
Zdefiniujmy funkcję σ( X ) Jak. Zgodnie z Twierdzeniem 40.3 szereg (40.3) można całkować termin po wyrazie:
Szereg po prawej stronie tej równości jest zbieżny jednostajnie do [ a, b ] według Twierdzenia 40.3. Ale zgodnie z warunkami twierdzenia szereg liczbowy jest zbieżny, dlatego szereg również zbiega się równomiernie. Wtedy funkcja σ( T ) jest sumą równomiernie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych na [ a, b ] i dlatego sam jest ciągły. Wtedy funkcja jest różniczkowalna w sposób ciągły na [ a, b ] i to właśnie należało udowodnić.
Definicja 41.1. Seria potęgowa nazywa się szeregiem funkcjonalnym formy
(41.1)
Komentarz. Korzystanie z zamiennika x x 0 = t szereg (41.1) można sprowadzić do postaci, dlatego wystarczy udowodnić wszystkie własności szeregów potęgowych dla szeregów postaci
(41.2)
Twierdzenie 41.1 (pierwsze twierdzenie Abela).Jeśli szereg potęgowy (41,2) jest zbieżny przy x = x 0, to dla dowolnego x: | x |< | x 0 | szereg (41.2) jest zbieżny bezwzględnie. Jeżeli szereg (41.2) jest rozbieżny w punkcie x = x 0, wtedy jest rozbieżne dla dowolnego x: | x | > | x 0 |.
Dowód.
Jeśli szereg jest zbieżny, to istnieje stała c > 0:
W związku z tym i seria dla | x |<| x 0 | jest zbieżny, ponieważ jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Oznacza to, że szereg w | x |<| x 0 | absolutnie pasuje.
Jeżeli wiadomo, że szereg (41.2) jest rozbieżny w punkcie x = x 0 , to nie może zbiegać się w | x | > | x 0 | , ponieważ z tego, co zostało wcześniej udowodnione wynikałoby, że zbiega się w punkcie x 0 .
Tak więc, jeśli znajdziesz największą liczbę x 0 > 0 takie, że (41,2) jest zbieżne dla x = x 0, wówczas obszarem zbieżności tego szeregu, jak wynika z twierdzenia Abela, będzie przedział (- x 0, x 0 ), ewentualnie obejmujący jedną lub obie granice.
Definicja 41.2. Nazywa się liczbę R ≥ 0 promień zbieżnościszereg potęgowy (41.2), jeżeli szereg ten jest zbieżny i rozbieżny. Interwał (- R, R) nazywa się przedział zbieżności seria (41,2).
Przykłady.
- Aby zbadać zbieżność bezwzględną szeregu, stosujemy test d’Alemberta: . Dlatego szereg jest zbieżny tylko wtedy, gdy X = 0, a jego promień zbieżności wynosi 0: R = 0.
- Korzystając z tego samego testu d'Alemberta, możemy wykazać, że szereg jest zbieżny dla dowolnego x, to znaczy
- Dla szeregu korzystającego z kryterium d'Alemberta otrzymujemy:
Dlatego za 1< X < 1 ряд сходится, при
X< -1 и x > 1 jest rozbieżny. Na X = 1 otrzymujemy szereg harmoniczny, który, jak wiadomo, jest rozbieżny i kiedy X = -1 szereg jest zbieżny warunkowo według kryterium Leibniza. Zatem promień zbieżności rozważanego szeregu R = 1, a przedział zbieżności wynosi [-1, 1).
Wzory na wyznaczanie promienia zbieżności szeregu potęgowego.
- wzór d'Alemberta.
Rozważmy szereg potęgowy i zastosujmy do niego kryterium d'Alemberta: aby szereg był zbieżny, konieczne jest, aby. Jeżeli istnieje, to obszar zbieżności wyznacza nierówność, czyli
- (41.3)
- wzór d'Alembertaobliczyć promień zbieżności.
- Wzór Cauchy'ego-Hadamarda.
Korzystając z radykalnego testu Cauchy'ego i podobnego rozumowania, stwierdzamy, że możemy zdefiniować obszar zbieżności szeregu potęgowego jako zbiór rozwiązań nierówności, pod warunkiem istnienia tej granicy, i odpowiednio znaleźć inny wzór dla promienia zbieżności:
(41.4)
- Wzór Cauchy'ego-Hadamarda.
Własności szeregów potęgowych.
Twierdzenie 41.2 (Drugie twierdzenie Abela). Jeśli R promień zbieżności szeregu (41,2) i ten szereg jest zbieżny w x = R , to zbiega się równomiernie na przedziale (- R, R).
Dowód.
Szereg dodatni jest zbieżny zgodnie z Twierdzeniem 41.1. W konsekwencji szereg (41.2) zbiega się równomiernie w przedziale [-ρ, ρ] zgodnie z Twierdzeniem 40.1. Z wyboru ρ wynika, że przedział jednostajnej zbieżności (- R., R ), co należało udowodnić.
Wniosek 1 . Na dowolnym odcinku mieszczącym się całkowicie w przedziale zbieżności suma szeregu (41,2) jest funkcją ciągłą.
Dowód.
Wyrazy szeregu (41.2) są funkcjami ciągłymi, a szereg jest zbieżny jednostajnie na rozpatrywanym przedziale. Wówczas ciągłość jego sumy wynika z Twierdzenia 40.2.
Konsekwencja 2. Jeżeli granice całkowania α, β leżą w przedziale zbieżności szeregu potęgowego, to całka z sumy szeregu równa sumie całki wyrazów szeregu:
(41.5)
Dowód tego twierdzenia wynika z Twierdzenia 40.3.
Twierdzenie 41.3. Jeżeli szereg (41.2) ma przedział zbieżności (- R, R), a następnie szereg
φ (x) = za 1 + 2 za 2 x + 3 za 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41,6)
otrzymany przez różniczkowanie wyrazowe szeregu (41.2) ma ten sam przedział zbieżności (- R, R). W której
φ΄(x) = s΄(x) dla | x |< R , (41.7)
to znaczy, że w przedziale zbieżności pochodna sumy szeregu potęgowego jest równa sumie szeregu otrzymanej w wyniku jego różniczkowania po wyrazie.
Dowód.
Wybierzmy ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Zatem szereg jest zbieżny, to znaczy Jeśli| x | ≤ ρ, zatem
Gdzie Zatem wyrazy szeregu (41,6) mają mniejszą wartość bezwzględną niż wyrazy szeregu ze znakiem dodatnim, który jest zbieżny zgodnie z kryterium D’Alemberta:
czyli jest majorantem szeregu (41,6) dla Zatem szereg (41,6) jest zbieżny jednostajnie na [-ρ, ρ]. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 40.4 prawdziwa jest równość (41.7). Z wyboru ρ wynika, że szereg (41.6) zbiega się w dowolnym punkcie wewnętrznym przedziału (- R, R).
Udowodnimy, że poza tym przedziałem szereg (41,6) jest rozbieżny. Rzeczywiście, gdyby zbiegł się w x 1 > R , następnie całkując wyraz po wyrazie w przedziale (0, x2), r< x 2 < x 1 , otrzymalibyśmy, że szereg (41.2) jest zbieżny w tym punkcie x 2 , co jest sprzeczne z warunkami twierdzenia. Zatem twierdzenie zostało całkowicie udowodnione.
Komentarz . Z kolei szereg (41.6) można różnicować wyraz po wyrazie i operację tę można wykonywać dowolną ilość razy.
Wniosek: jeśli szereg potęgowy zbiega się na przedziale (- R., R ), to jej suma jest funkcją, która ma pochodne dowolnego rzędu w przedziale zbieżności, z których każda jest sumą szeregu otrzymanego z pierwotnego przy zastosowaniu różniczkowania wyrazowego odpowiednią liczbę razy; Co więcej, przedział zbieżności dla szeregu pochodnych dowolnego rzędu wynosi (- R, R).
Katedra Informatyki i Matematyki Wyższej KSPU
Niech funkcja będzie zdefiniowana w dziedzinie
Definicja. Wyrażenie
Zwany funkcjonalny w pobliżu.
Przykład.
Dla niektórych wartości szereg może być zbieżny, dla innych może się różnić.
Przykład.
Znajdź obszar zbieżności szeregu. Szereg ten jest zdefiniowany dla wartości
Jeżeli wówczas szereg jest rozbieżny, gdyż nie jest spełnione konieczne kryterium zbieżności szeregu; jeśli szereg jest rozbieżny; if jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.
Porównanie tego szeregu z szeregiem zbieżnym w daje obszar zbieżności badanego szeregu.
Przy wartościach z szeregu funkcjonalnego uzyskuje się szereg numeryczny
Jeśli szereg liczbowy jest zbieżny, wówczas punkt nazywa się punkt zbieżności zakres funkcjonalny.
Zbiór wszystkich punktów zbieżności szeregu tworzy jego obszar zbieżności. Obszar zbieżności jest zwykle pewnym odstępem osi.
Jeżeli szeregi liczbowe zbiegają się w każdym punkcie, wówczas nazywa się szereg funkcjonalny zbieżny w pobliżu .
Suma szeregu funkcyjnego jest funkcją zmiennej określonej w obszarze zbieżności szeregu
Jakie właściwości mają funkcje, jeśli znane są właściwości członków szeregu, tj.
Ciągłość funkcji nie wystarczy, aby wyciągnąć wniosek o ciągłości.
Zbieżność szeregu funkcji ciągłych do funkcji ciągłej zapewnia dodatkowy warunek, który wyraża jedną ważną cechę zbieżności szeregu funkcyjnego.
Definicja. Szereg funkcjonalny nazywa się zbieżnym w obszarze, jeżeli istnieje granica sum częściowych tego szeregu, tj.
Definicja. Mówi się, że szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w dziedzinie, jeżeli dla dowolnej liczby dodatniej istnieje taka liczba, że nierówność zachodzi dla wszystkich.
Geometryczne znaczenie zbieżności jednostajnej
Jeśli otoczysz wykres funkcji paskiem”, wyznaczanym przez relację, to wykresy wszyscy funkcje, zaczynając od odpowiednio dużej wartości, całkowicie leżą w tym „-pasku” otaczającym wykres funkcji granicznej.
Własności szeregu jednostajnie zbieżnego .
1. Suma szeregu jednostajnie zbieżnego w pewnej dziedzinie złożonej z funkcji ciągłych jest w tej dziedzinie funkcją ciągłą.
2. Szereg taki można różnicować termin po wyrazie
3. Szereg można integrować termin po wyrazie
Aby ustalić, czy szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, należy skorzystać z wystarczającego testu zbieżności Weierstrassa.
Definicja. Szereg funkcjonalny nazywa się specjalizowany w pewnym regionie zmiany, jeśli istnieje zbieżny szereg liczbowy z wyrazami dodatnimi taki, że nierówności są spełnione dla wszystkich z tego regionu.
Znak Weierstrassa(jednolita zbieżność szeregu funkcyjnego).
Zakres funkcjonalny zbiega się równomiernie w regionie konwergencji, jeśli w tym regionie można ją majoryzować.
Innymi słowy, jeśli funkcje w pewnym obszarze nie przekraczają odpowiednich liczb dodatnich w wartości bezwzględnej i jeśli szeregi liczbowe są zbieżne, to szeregi funkcyjne w tym obszarze są zbieżne jednostajnie.
Przykład. Udowodnić jednostajną zbieżność szeregu funkcyjnego.
Rozwiązanie. . Zastąpmy wspólny członek tego szeregu wspólnym członkiem szeregu liczbowego, ale przekraczającym każdy człon szeregu wartością bezwzględną. Aby to zrobić, należy określić, przy którym całkowity wyraz szeregu będzie maksymalny.
Otrzymany szereg liczbowy jest zbieżny, co oznacza, że szereg funkcjonalny jest zbieżny jednostajnie zgodnie z kryterium Weierstrassa.
Przykład. Znajdź sumę szeregu.
Aby znaleźć sumę szeregu, używamy dobrze znanego wzoru na sumę postępu geometrycznego
Różniczkując lewą i prawą stronę wzoru (1) otrzymujemy sekwencyjnie
W sumie do obliczenia wybierzmy wyrazy proporcjonalne do pierwszej i drugiej pochodnej:
Obliczmy pochodne:
Seria potęgowa.
Do szeregów funkcjonalnych zalicza się klasę szeregów potęgowych i trygonometrycznych.
Definicja. Seria funkcjonalna formy
nazywa się mocą przez potęgi. Wyrażenia są liczbami stałymi.
Jeśli szereg jest szeregiem potęgowym w potęgach .
Obszar zbieżności szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela.
Twierdzenie. Jeżeli szereg potęgowy zbiega się w punkcie, to jest zbieżny, a ponadto absolutnie dla każdej wartości mniejszej pod względem wartości bezwzględnej, to znaczy lub w przedziale.
Dowód.
Ze względu na zbieżność rad jego wspólny wyraz musi dążyć do zera, dlatego wszystkie wyrazy tego szeregu są równomiernie ograniczone: istnieje taka stała liczba dodatnia, że dla każdej nierówność ., co dla wszystkich ze środkiem w punkcie
– być może kompleks nie okaże się aż tak skomplikowany ;) A tytuł tego artykułu też jest nieszczery – serie, o których dzisiaj będziemy mówić, to raczej nie złożone, ale „ziemi rzadkie”. Jednak nawet studenci studiów niestacjonarnych nie są od nich odporni, dlatego tę pozornie dodatkową lekcję należy potraktować z najwyższą powagą. W końcu po przepracowaniu będziesz w stanie rozprawić się z niemal każdą „bestią”!
Zacznijmy od klasyki gatunku:
Przykład 1
Po pierwsze, należy pamiętać, że to NIE jest szereg potęgowy (Przypominam, że to wygląda). I po drugie, tutaj od razu rzuca się w oczy wartość, której oczywiście nie można zaliczyć do obszaru zbieżności szeregu. A to już mały sukces badania!
Ale jak osiągnąć wielki sukces? Spieszę cię zadowolić - takie serie można rozwiązać dokładnie w taki sam sposób jak moc– na podstawie znaku d’Alemberta lub radykalnego znaku Cauchy’ego!
Rozwiązanie: wartość nie mieści się w zakresie zbieżności szeregu. Jest to istotny fakt i należy go odnotować!
Podstawowy algorytm działa standardowo. Korzystając z kryterium d'Alemberta, znajdujemy przedział zbieżności szeregu:
Szereg zbiega się w . Przesuńmy moduł w górę:
Sprawdźmy od razu „zły” punkt: wartość nie mieści się w przedziale zbieżności szeregu.
Zbadajmy zbieżność szeregu na „wewnętrznych” końcach przedziałów:
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Obydwa szeregi liczbowe różnią się, ponieważ niezbędny znak zbieżności.
Odpowiedź: obszar konwergencji:
Zróbmy małą kontrolę analityczną. Podstawmy jakąś wartość z prawego przedziału do szeregu funkcyjnego, na przykład:
– zbiega się objaw d'Alemberta.
W przypadku podstawienia wartości z lewego przedziału otrzymuje się także szeregi zbieżne:
Jeśli następnie .
I wreszcie, jeśli , to seria – naprawdę się różni.
Kilka prostych przykładów na rozgrzewkę:
Przykład 2
Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego
Przykład 3
Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego
Bądź szczególnie dobry w radzeniu sobie z „nowymi” moduł– powtórzy się dzisiaj 100 500 razy!
Krótkie rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.
Zastosowane algorytmy wydają się być uniwersalne i bezproblemowe, jednak w rzeczywistości tak nie jest – w przypadku wielu szeregów funkcjonalnych często „wyślizgują się”, a nawet prowadzą do błędnych wniosków (Rozważę również takie przykłady).
Chropowatości zaczynają się już na poziomie interpretacji wyników: rozważmy na przykład serię. Tutaj w limicie, który otrzymujemy (sprawdź to sam), a teoretycznie trzeba dać odpowiedź, że szereg zbiega się w jednym punkcie. Rzecz jednak „rozgrywka”, co oznacza, że nasz „pacjent” rozbiega się wszędzie!
A dla szeregu „oczywiste” rozwiązanie Cauchy’ego nic nie daje:
– dla DOWOLNEJ wartości „x”.
I pojawia się pytanie, co robić? Używamy metody, której poświęcona będzie główna część lekcji! Można go sformułować w następujący sposób:
Bezpośrednia analiza szeregów liczbowych dla różnych wartości
Właściwie zaczęliśmy to już robić w przykładzie 1. Najpierw sprawdzamy konkretny „X” i odpowiadającą mu serię liczb. Aż prosi się o przyjęcie wartości: – otrzymany szereg liczbowy jest rozbieżny.
I to natychmiast nasuwa myśl: a co, jeśli to samo stanie się w innych punktach?
Sprawdźmy niezbędny znak zbieżności szeregu Dla arbitralny znaczenia:
Powyższe zostało uwzględnione, dla wszystkich pozostałych „X” Zorganizujemy standardowo drugi wspaniały limit:
Wniosek: szereg jest rozbieżny na całej osi liczbowej
I to rozwiązanie jest najbardziej wykonalną opcją!
W praktyce często trzeba porównywać szeregi funkcjonalne uogólniony szereg harmoniczny :
Przykład 4
Rozwiązanie: przede wszystkim zajmijmy się dziedzina definicji: w tym przypadku wyrażenie radykalne musi być ściśle dodatnie, a ponadto muszą istnieć wszystkie wyrazy szeregu, zaczynając od pierwszego. Wynika z tego, że:
. Przy tych wartościach otrzymuje się szeregi warunkowo zbieżne: itp.
Inne „x” nie są odpowiednie, np. gdy otrzymamy sprawę nielegalną, w której nie istnieją dwa pierwsze wyrazy ciągu.
Wszystko dobrze, wszystko jasne, ale pozostaje jeszcze jedno ważne pytanie - jak prawidłowo sformalizować decyzję? Proponuję schemat, który można potocznie nazwać „przełożeniem strzałek” na szeregi liczbowe:
Rozważmy arbitralny oznaczający i zbadaj zbieżność szeregu liczbowego. Rutyna Znak Leibniza:
1) Ten szereg jest naprzemienny.
2) – wyrazy szeregu zmniejszają moduł. Każdy następny element szeregu jest mniejszy modulo niż poprzedni:
, co oznacza, że spadek jest monotonny.
Wniosek: szereg jest zbieżny zgodnie z kryterium Leibniza. Jak już wspomniano, zbieżność tutaj jest warunkowa - z tego powodu, że szereg – różni się.
Właśnie tak - schludnie i poprawnie! Ponieważ za „alfa” sprytnie ukryliśmy wszystkie dopuszczalne serie liczbowe.
Odpowiedź: szereg funkcjonalny istnieje i jest zbieżny warunkowo w .
Podobny przykład rozwiązania niezależnego:
Przykład 5
Badanie zbieżności szeregu funkcyjnego
Przybliżona próbka końcowego zadania na koniec lekcji.
To tyle, jeśli chodzi o twoją „roboczą hipotezę”! – szereg funkcyjny zbiega się na przedziale!
2) Rozważ, że w przedziale symetrycznym wszystko jest przejrzyste arbitralny wartości i otrzymujemy: – szeregi liczbowe absolutnie zbieżne.
3) I wreszcie „środek”. Tutaj również wygodnie jest podkreślić dwie luki.
Rozważamy arbitralny wartość z przedziału i otrzymujemy szereg liczbowy:
! Powtórzę - jeśli to trudne , zamień określoną liczbę, na przykład . Jednak... chciałeś trudności =)
Wykonano dla wszystkich wartości „en” , Oznacza:
– zatem wg porównanie szereg zbiega się wraz z nieskończenie malejącym postępem.
Dla wszystkich wartości „x” z przedziału otrzymujemy – szeregi liczbowe absolutnie zbieżne.
Wszystkie „X” zostały zbadane, nie ma już „X”!
Odpowiedź: zakres zbieżności szeregu:
Muszę przyznać, że nieoczekiwany wynik! A dodać jeszcze trzeba, że użycie tutaj znaków d'Alemberta czy Cauchy'ego na pewno będzie wprowadzać w błąd!
Ocena bezpośrednia to „akrobacja” analizy matematycznej, ale wymaga to oczywiście doświadczenia, a w niektórych przypadkach nawet intuicji.
A może ktoś znajdzie łatwiejszy sposób? Pisać! Swoją drogą, istnieją precedensy – kilkakrotnie czytelnicy proponowali bardziej racjonalne rozwiązania, a ja je publikowałem z przyjemnością.
Życzę udanego lądowania :)
Przykład 11
Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego
Moja wersja rozwiązania jest bardzo bliska.
Dodatkowy hardcor można znaleźć w Sekcja VI (Rzędy) Kolekcja Kuzniecowa (Zadania 11-13). W Internecie są gotowe rozwiązania, ale tutaj potrzebuję Ciebie ostrzegać– wiele z nich jest niekompletnych, niepoprawnych lub wręcz całkowicie błędnych. A tak na marginesie, był to jeden z powodów, dla których narodził się ten artykuł.
Podsumujmy trzy lekcje i usystematyzujmy nasze narzędzia. Więc:
Aby znaleźć przedział(y) zbieżności szeregu funkcji, możesz użyć:
1) Objaw D'Alemberta lub objaw Cauchy'ego. A jeśli rząd nie jest stateczny– wykazujemy większą ostrożność analizując wynik uzyskany poprzez bezpośrednie podstawienie różnych wartości.
2) Test Weierstrassa na jednolitą zbieżność. Nie zapomnij!
3) Porównanie ze standardowymi seriami liczbowymi– zasady w ogólnym przypadku.
Następnie sprawdź końce znalezionych przedziałów (Jeśli potrzebne) i otrzymujemy obszar zbieżności szeregu.
Teraz masz do dyspozycji dość poważny arsenał, który pozwoli ci poradzić sobie z niemal każdym zadaniem tematycznym.
Życzę Ci sukcesu!
Rozwiązania i odpowiedzi:
Przykład 2: Rozwiązanie: wartość nie mieści się w zakresie zbieżności szeregu.
Korzystamy ze znaku d'Alemberta:
Szereg zbiega się w:
Zatem przedziały zbieżności szeregu funkcyjnego: .
Zbadajmy zbieżność szeregu w punktach końcowych:
Jeśli następnie ;
Jeśli następnie .
Obydwa szeregi liczbowe różnią się, ponieważ niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione.
Odpowiedź
: obszar konwergencji:
Zakres funkcjonalny nazywa się wyrażeniem formalnie zapisanym
ty1 (X) + ty 2 (X) + ty 3 (X) + ... + ty N( X) + ... , (1)
Gdzie ty1 (X), ty 2 (X), ty 3 (X), ..., ty N( X), ... - ciąg funkcji ze zmiennej niezależnej X.
Skrócona notacja szeregu funkcyjnego z sigmą: .
Przykłady szeregów funkcjonalnych obejmują :
(2)
(3)
Podanie zmiennej niezależnej X jakąś wartość X0 i podstawiając go do szeregu funkcyjnego (1), otrzymujemy szereg numeryczny
ty1 (X 0 ) + ty 2 (X 0 ) + ty 3 (X 0 ) + ... + ty N( X 0 ) + ...
Jeśli wynikowy szereg liczbowy jest zbieżny, wówczas mówimy, że szereg funkcyjny (1) jest zbieżny X = X0 ; jeśli jest rozbieżny, mówimy, że szereg (1) jest rozbieżny X = X0 .
Przykład 1. Zbadaj zbieżność szeregu funkcyjnego(2) przy wartościach X= 1 i X = - 1
.
Rozwiązanie. Na X= 1 otrzymujemy szereg liczbowy
co jest zbieżne według kryterium Leibniza. Na X= - 1 otrzymujemy szereg liczbowy
,
który jest rozbieżny jako iloczyn rozbieżnego szeregu harmonicznego o – 1. Zatem szereg (2) jest zbieżny w X= 1 i różni się w X = - 1 .
Jeżeli takie sprawdzenie zbieżności szeregu funkcyjnego (1) zostanie przeprowadzone w odniesieniu do wszystkich wartości zmiennej niezależnej z dziedziny definicji jej członków, wówczas punkty tej dziedziny zostaną podzielone na dwa zbiory: dla wartości X, w jednym z nich szereg (1) jest zbieżny, a w drugim rozbieżny.
Zbiór wartości zmiennej niezależnej, w którym zbiega się szereg funkcjonalny, nazywa się jego obszar konwergencji .
Przykład 2. Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego
Rozwiązanie. Wyrazy szeregu są zdefiniowane na całej osi liczbowej i tworzą postęp geometryczny z mianownikiem Q= grzech X. Zatem szereg jest zbieżny jeśli
i różni się jeśli
(wartości niemożliwe). Ale dla wartości i dla innych wartości X. Zatem szereg jest zbieżny dla wszystkich wartości X, z wyjątkiem . Obszar jego zbieżności to cała oś liczbowa, z wyjątkiem tych punktów.
Przykład 3. Znajdź obszar zbieżności szeregu funkcjonalnego
Rozwiązanie. Wyrazy szeregu tworzą z mianownikiem postęp geometryczny Q= ln X. Dlatego szereg jest zbieżny jeśli , lub , skąd . Jest to obszar zbieżności tego szeregu.
Przykład 4. Zbadaj zbieżność szeregu funkcyjnego
Rozwiązanie. Przyjmijmy dowolną wartość. Dzięki tej wartości otrzymujemy szereg liczbowy
(*)
Znajdźmy granicę jego wspólnego terminu
W konsekwencji szereg (*) jest rozbieżny dla dowolnie wybranej, tj. przy dowolnej wartości X. Jego regionem zbieżności jest zbiór pusty.
Zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego i jego własności
Przejdźmy do koncepcji jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego . Pozwalać S(X) jest sumą tego szeregu, oraz SN( X) - suma N pierwsi członkowie tej serii. Zakres funkcjonalny ty1 (X) + ty 2 (X) + ty 3 (X) + ... + ty N( X) + ... nazywa się jednostajnie zbieżnym na przedziale [ A, B] , jeśli dla dowolnej dowolnie małej liczby ε > 0 istnieje taka liczba Nże na oczach wszystkich N ≥ N nierówność zostanie spełniona
|S(X) − S N( X)| < ε
dla kazdego X z segmentu [ A, B] .
Powyższą właściwość można geometrycznie zilustrować w następujący sposób.
Rozważmy wykres funkcji y = S(X) . Skonstruujmy pasek o szerokości 2 wokół tej krzywej ε N, czyli skonstruujemy krzywe y = S(X) + ε N I y = S(X) − ε N(na zdjęciu poniżej są zielone).
![](https://i1.wp.com/function-x.ru/image/ravshod1.jpg)
Potem dla dowolnego ε N wykres funkcji SN( X) będzie w całości leżeć w rozpatrywanym pasie. Ten sam pasek będzie zawierał wykresy wszystkich kolejnych sum cząstkowych.
Każdy zbieżny szereg funkcyjny, który nie ma opisanej powyżej cechy, jest nierównomiernie zbieżny.
Rozważmy inną własność jednostajnie zbieżnego szeregu funkcyjnego:
suma szeregu funkcji ciągłych zbiegających się równomiernie w pewnym przedziale [ A, B] , na tym przedziale istnieje funkcja ciągła.
Przykład 5. Ustal, czy suma szeregu funkcyjnego jest ciągła
Rozwiązanie. Znajdźmy sumę N pierwsi członkowie tej serii:
Jeśli X> 0, zatem
,
Jeśli X < 0 , то
Jeśli X= 0, zatem
I dlatego .
Z naszych badań wynika, że suma tego szeregu jest funkcją nieciągłą. Jej wykres pokazano na poniższym rysunku.
![](https://i2.wp.com/function-x.ru/image/ravshod2.jpg)
Test Weierstrassa na jednolitą zbieżność szeregów funkcyjnych
Do kryterium Weierstrassa podchodzimy poprzez koncepcję majoryzowalność szeregów funkcjonalnych . Zakres funkcjonalny
ty1 (X) + ty 2 (X) + ty 3 (X) + ... + ty N( X) + ...