Interpolacja metodą Newtona na podstawie zadanych danych tabelarycznych. Wzory interpolacyjne Newtona
Wyślij swoją dobrą pracę do bazy wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza
Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Państwu bardzo wdzięczni.
Wysłany dnia http://www.allbest.ru/
Moskwa Uniwersytet stanowy inżynieria przyrządów i informatyka oddział Siergijewa Posada
Streszczenie na temat:
Wzory interpolacyjne Newtona
Ukończył: Brevchik Taisiya Yurievna
Studentka II roku grupy EF-2
1. Wstęp
2. Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona
3. Drugi wzór interpolacyjny Newtona
Wniosek
Bibliografia
Wstęp
Interpolacja, interpolacja - w matematyce obliczeniowej metoda znajdowania wartości pośrednich wielkości z istniejącego dyskretnego zbioru znanych wartości.
Wiele osób zajmujących się obliczeniami naukowymi i inżynieryjnymi często musi operować zestawami wartości uzyskanymi empirycznie lub poprzez losowe pobieranie próbek. Z reguły na podstawie tych zbiorów należy skonstruować funkcję, w którą z dużą dokładnością mogłyby wpaść inne otrzymane wartości. Problem ten nazywa się aproksymacją. Interpolacja to rodzaj przybliżenia, w którym krzywa skonstruowanej funkcji przechodzi dokładnie przez dostępne punkty danych.
Istnieje również zadanie bliskie interpolacji, które polega na przybliżeniu niektórych złożona funkcja inna, prostsza funkcja. Jeśli dana funkcja jest zbyt złożona do produktywnych obliczeń, można spróbować obliczyć jej wartość w kilku punktach i na ich podstawie skonstruować, czyli interpolować, prostszą funkcję.
Oczywiście użycie uproszczonej funkcji nie da wyników tak dokładnych jak funkcja oryginalna. Jednak w niektórych klasach problemów uzyskany zysk w prostocie i szybkości obliczeń może przeważyć wynikający z tego błąd wyników.
Warto także wspomnieć o zupełnie innym typie interpolacji matematycznej, zwanej interpolacją operatorową.
Klasyczne prace dotyczące interpolacji operatorowej obejmują twierdzenie Riesza-Thorina i twierdzenie Marcinkiewicza, które są podstawą wielu innych prac.
Rozważmy system nie pokrywających się punktów () z pewnego regionu. Niech wartości funkcji będą znane tylko w tych punktach:
Problem interpolacji polega na znalezieniu funkcji z danej klasy funkcji takiej, że
Punkty nazywane są węzłami interpolacyjnymi, a ich zbiór nazywany jest siatką interpolacyjną.
Pary nazywane są punktami danych lub punktami bazowymi.
Różnica między „sąsiednimi” wartościami to krok siatki interpolacji. Może być zmienna lub stała.
Funkcja jest funkcją interpolującą lub interpolantą.
1. Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona
1. Opis zadania. Niech funkcji zostaną podane wartości dla równomiernie rozmieszczonych wartości zmiennej niezależnej: , gdzie - krok interpolacji. Należy wybrać wielomian stopnia nie wyższego, przyjmując w punktach wartości
Warunki (1) są równoważne temu w.
Wielomian interpolacyjny Newtona ma postać:
Łatwo zauważyć, że wielomian (2) w pełni spełnia wymagania zadania. Rzeczywiście, po pierwsze, stopień wielomianu nie jest wyższy, a po drugie,
Należy zauważyć, że gdy wzór (2) zamienia się w szereg Taylora dla funkcji:
W praktyce wzór interpolacyjny Newtona (2) jest zwykle zapisywany w lekko przekształconej formie. W tym celu wprowadzamy nową zmienną za pomocą wzoru; wtedy otrzymujemy:
gdzie reprezentuje liczba kroków, wymagane do osiągnięcia punktu, zaczynając od punktu. To jest ostateczny wygląd Wzór interpolacyjny Newtona.
Do interpolacji funkcji korzystne jest zastosowanie wzoru (3). w pobliżu wartości początkowej , gdzie jest mała w wartości bezwzględnej.
Jeśli podana jest nieograniczona tabela wartości funkcji, liczba we wzorze interpolacyjnym (3) może być dowolna. W praktyce w tym przypadku liczbę dobiera się tak, aby różnica była stała przy zadanym stopniu dokładności. Dowolną wartość tabeli argumentu można przyjąć jako wartość początkową.
Jeżeli tabela wartości funkcji jest skończona, to liczba jest ograniczona, a mianowicie: nie może być więcej niż liczba wartości funkcji pomniejszona o jeden.
Należy zauważyć, że od tego czasu przy stosowaniu pierwszego wzoru interpolacyjnego Newtona wygodnie jest używać poziomej tabeli różnic wymagane wartości Funkcje różnicowe znajdują się w odpowiednim poziomym wierszu tabeli.
2. Przykład. Wykonując ten krok, skonstruuj wielomian interpolacyjny Newtona dla funkcji podanej w tabeli
Powstały wielomian umożliwia przewidywanie. Wystarczającą dokładność uzyskujemy rozwiązując zadanie interpolacyjne np. Dokładność spada przy rozwiązywaniu zadania ekstrapolacyjnego np. .
2. Drugi wzór interpolacyjny Newtona
Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona jest praktycznie niewygodny w przypadku interpolacji funkcji w pobliżu węzłów tabeli. W tym przypadku zwykle się go stosuje .
Opis zadania . Załóżmy, że mamy ciąg wartości funkcji
dla równoodległych wartości argumentów, gdzie jest krokiem interpolacji. Skonstruujmy wielomian o następującej postaci:
lub korzystając z potęgi uogólnionej, otrzymujemy:
Jeśli zachodzi równość, otrzymamy
Podstawmy te wartości do wzoru (1). Potem, w końcu, Drugi wzór interpolacyjny Newtona ma postać:
Wprowadźmy wygodniejszą notację dla wzoru (2). Niech tak będzie
Podstawiając te wartości do wzoru (2), otrzymujemy:
To jest zwykły widok Drugi wzór interpolacyjny Newtona. Aby przybliżyć obliczenia wartości funkcji, załóżmy:
Zarówno pierwszy, jak i drugi wzór interpolacji Newtona można wykorzystać do ekstrapolacji funkcji, czyli znalezienia wartości funkcji dla wartości argumentów poza tabelą.
Jeśli jest blisko, korzystne jest zastosowanie pierwszego wzoru interpolacyjnego Newtona, a następnie. Jeśli jest blisko, wygodniej jest ponadto skorzystać z drugiego wzoru interpolacyjnego Newtona.
Dlatego zwykle stosuje się pierwszy wzór interpolacyjny Newtona interpolacja do przodu I ekstrapolując wstecz, a drugi wzór interpolacyjny Newtona, przeciwnie, dla interpolacja wstecz I ekstrapolacja do przodu.
Należy zauważyć, że operacja ekstrapolacji, ogólnie rzecz biorąc, jest mniej dokładna niż operacja interpolacji w wąskim znaczeniu tego słowa.
Przykład. Wykonując ten krok, skonstruuj wielomian interpolacyjny Newtona dla funkcji podanej w tabeli
Wniosek
interpolacja Newtona wzór na ekstrapolację
W matematyce obliczeniowej znaczącą rolę odgrywa interpolacja funkcji, tj. Korzystając z danej funkcji, konstruując inną (zwykle prostszą) funkcję, której wartości pokrywają się z wartościami danej funkcji w określonej liczbie punktów. Ponadto interpolacja ma znaczenie zarówno praktyczne, jak i teoretyczne. W praktyce często pojawia się problem przywrócenia funkcja ciągła zgodnie z wartościami tabelarycznymi, uzyskanymi na przykład podczas jakiegoś eksperymentu. Aby oszacować wiele funkcji, skuteczne jest ich przybliżenie za pomocą wielomianów lub ułamkowych funkcji wymiernych. Teorię interpolacji wykorzystuje się do konstruowania i badania wzorów kwadraturowych do całkowania numerycznego w celu uzyskania metod rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych.
Bibliografia
1. V.V. Iwanow. Komputerowe metody obliczeń. Instrukcja obsługi. Wydawnictwo „Naukova Dumka”. Kijów. 1986.
2. N.S. Bachwałow, N.P. Żidkow, G.M. Kobelkow. Metody numeryczne. Wydawnictwo „Laboratorium Wiedzy Podstawowej”. 2003.
3. I.S. Berezin, N.P. Żidkow. Metody obliczeniowe. wyd. PhysMatLit. Moskwa. 1962.
4. K. De Bor. Praktyczny przewodnik przez splajny. Wydawnictwo „Radio i Łączność”. Moskwa. 1985.
5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Mowler. Maszynowe metody obliczeń matematycznych. Wydawnictwo „Mir”. Moskwa. 1980.
Opublikowano na Allbest.ru
...Podobne dokumenty
Zastosowanie pierwszego i drugiego wzoru interpolacyjnego Newtona. Znajdowanie wartości funkcji w punktach, które nie są tabelaryczne. Korzystanie ze wzoru Newtona na punkty nierówne. Znajdowanie wartości funkcji za pomocą schematu interpolacji Aitkena.
praca laboratoryjna, dodano 14.10.2013
Johann Carl Friedrich Gauss jest największym matematykiem wszechczasów. Wzory interpolacyjne Gaussa, które dają przybliżone wyrażenie funkcji y=f(x) za pomocą interpolacji. Obszary zastosowania wzorów Gaussa. Główne wady wzorów interpolacyjnych Newtona.
test, dodano 12.06.2014
Interpolacja funkcji w punkcie leżącym w pobliżu środka przedziału. Wzory interpolacyjne Gaussa. Wzór Stirlinga jako średnia arytmetyczna wzorów interpolacyjnych Gaussa. Funkcje splajnu sześciennego jako model matematyczny cienki pręt.
prezentacja, dodano 18.04.2013
Aproksymacja ciągła i punktowa. Wielomiany interpolacyjne Lagrange'a i Newtona. Globalny błąd interpolacji, zależność kwadratowa. Metoda najmniejszych kwadratów. Wybór wzorów empirycznych. Odcinkowo stała i odcinkowo interpolacja liniowa.
praca na kursie, dodano 14.03.2014
Metody akordów i iteracji, reguła Newtona. Wzory interpolacyjne Lagrange'a, Newtona i Hermite'a. Punktowe przybliżenie kwadratowe funkcji. Różniczkowanie i całkowanie numeryczne. Numeryczne rozwiązanie równań różniczkowych zwyczajnych.
przebieg wykładów, dodano 02.11.2012
Wykonanie interpolacji z wykorzystaniem wielomianu Newtona. Doprecyzowanie wartości pierwiastka w zadanym przedziale w trzech iteracjach i znalezienie błędu obliczeniowego. Zastosowanie metod Newtona, Sampsona i Eulera w rozwiązywaniu problemów. Obliczanie pochodnej funkcji.
test, dodano 02.06.2011
W matematyce obliczeniowej interpolacja funkcji odgrywa znaczącą rolę. Wzór Lagrange’a. Interpolacja według schematu Aitkena. Wzory interpolacyjne Newtona dla równoodległych węzłów. Wzór Newtona z różnicami podzielonymi. Interpolacja spline.
test, dodano 01.05.2011
Obliczanie pochodnej z definicji, z wykorzystaniem różnic skończonych, w oparciu o pierwszy wzór interpolacyjny Newtona. Wielomiany interpolacyjne Lagrange'a i ich zastosowanie w różniczkowaniu numerycznym. Metoda Runge-Kutty (czwarty rząd).
streszczenie, dodano 03.06.2011
Końcówki różnych zleceń. Związek między różnicami końcowymi a funkcjami. Analiza dyskretna i ciągła. Zrozumienie podziałów. Wzór interpolacyjny Newtona. Aktualizacja wzorów Lagrange'a i Newtona. Interpolacja dla równie odległych węzłów.
test, dodano 02.06.2014
Znalezienie wielomianów interpolacyjnych Lagrange'a i Newtona przechodzących przez cztery punkty danej funkcji, porównanie ich reprezentacji potęgowych. Rozwiązanie nieliniowe równanie różniczkowe Metoda Eulera. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych.
Dość powszechną metodą interpolacji jest metoda Newtona. Wielomian interpolacyjny dla tej metody ma postać:
P. n (x) = za 0 + za 1 (x-x 0) + za 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + za n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).
Zadanie polega na znalezieniu współczynników ai wielomianu Pn(x). Współczynniki oblicza się z równania:
P n (x ja) = y ja , ja = 0, 1, ..., n,
pozwalając na napisanie systemu:
za 0 + za 1 (x 1 - x 0) = y 1 ;
za 0 + za 1 (x 2 - x 0) + za 2 (x 2 - x 0)(x 2 - x 1) = y 2 ;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
za 0 +... + za n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;
Stosujemy metodę różnic skończonych. Jeśli węzły x i są podane w równych odstępach h, tj.
x i+1 - x ja = godz,
wtedy w ogólnym przypadku x i = x 0 + i×h, gdzie i = 1, 2, ..., n. Ostatnie wyrażenie pozwala nam sprowadzić rozwiązywane równanie do postaci
y 1 = za 0 + za 1 × h;
y 2 = za 0 + za 1 (2h) + za 2 (2h)h;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y ja = za 0 + za 1 ×i×h + za 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + za ja ×i!×h ja ,
skąd otrzymujemy współczynniki
gdzie Dу 0 jest pierwszą różnicą skończoną.
Kontynuując obliczenia otrzymujemy:
gdzie D 2 y 0 jest drugą różnicą skończoną, czyli różnicą różnic. Współczynnik a i można przedstawić jako:
Wstawiając znalezione wartości współczynników a i do wartości P n (x), otrzymujemy wielomian interpolacyjny Newtona:
Przekształćmy wzór, dla którego wprowadzamy nową zmienną, gdzie q jest liczbą kroków wymaganych do osiągnięcia punktu x, przechodząc od punktu x 0. Po przekształceniach otrzymujemy:
Wynikowy wzór jest znany jako pierwszy wzór interpolacyjny Newtona lub wzór Newtona na interpolację w przód. Korzystnie jest zastosować go do interpolacji funkcji y = f(x) w pobliżu wartości początkowej x – x 0, gdzie q jest małe w wartości bezwzględnej.
Jeżeli zapiszemy wielomian interpolacyjny w postaci:
wówczas w podobny sposób można otrzymać drugi wzór interpolacyjny Newtona, czyli wzór Newtona na interpolację „wstecz”:
Zwykle używa się go do interpolacji funkcji na końcu tabeli.
Studiując ten temat, warto o tym pamiętać wielomiany interpolacyjne pokrywa się z dana funkcja f(x) w węzłach interpolacji, a w pozostałych punktach, w ogólnym przypadku, będą się różnić. Ten błąd daje nam błąd metody. Błąd metody interpolacji wyznaczany jest przez składnik resztowy, który jest taki sam dla wzorów Lagrange'a i Newtona i który pozwala na otrzymanie następującego oszacowania błędu bezwzględnego:
|
Jeżeli interpolację przeprowadza się w tym samym kroku, wówczas wzór na resztę członu ulega modyfikacji. W szczególności podczas interpolacji „do przodu” i „do tyłu” za pomocą wzoru Newtona wyrażenia dla R(x) różnią się nieco od siebie.
Analizując otrzymany wzór widać, że błąd R(x) jest aż do stałej iloczynem dwóch czynników, z których jeden, f (n+1) (x), gdzie x leży wewnątrz , zależy od właściwości funkcji f(x) i nie można regulować, ale wielkość innej,
zależy wyłącznie od wyboru węzłów interpolacji.
Jeżeli lokalizacja tych węzłów nie powiedzie się, górna granica modułu |R(x)| może być dość duży. Powstaje zatem problem jak najbardziej racjonalnego doboru węzłów interpolacji x i (dla danej liczby węzłów n) tak, aby wielomian П n+1 (x) miał najmniejszą wartość.
Niech na odcinku podzielonym na n identycznych odcinków zostanie podana funkcja y=f(x) (przypadek równoodległych wartości argumentów). x=h=stała. Dla każdego węzła x 0, x 1 =x 0 +h,..., x n =x 0 +n h wartości funkcji definiuje się w postaci: f(x 0)=y 0, f(x 1)= y 1,.. ., f(x n)=y n.
Różnice skończone pierwszego rzędu y 0 = y 1 – y 0 y 1 = y 2 – y y n-1 = y n – y n-1. Różnice skończone drugiego rzędu 2 y 0 = y 1 – y 0 2 y 1 = y 2 – y y n-2 = y n-1 – y n-2 Podobnie definiuje się różnice skończone wyższych rzędów: k y 0 = k- 1 y 1 – k-1 y 0 k y 1 = k-1 y 2 – k-1 y k y ja = k-1 y i+1 – k-1 y ja, i = 0,1,...,n-k.
Niech funkcji y = f(x) przyjmą wartości y i = f(x i) dla jednakowych wartości zmiennych niezależnych: x n = x 0 +nh, gdzie h jest krokiem interpolacji. Należy znaleźć wielomian P n (x) o stopniu nie większym niż n, przyjmując w punktach (węzłach) x i wartości: P n (x i) = y i, i=0,...,n. Zapiszmy wielomian interpolujący w postaci:
Problem konstrukcji wielomianu sprowadza się do wyznaczenia współczynników a i z warunków: P n (x 0)=y 0 P n (x 1)=y P n (x n)=y n
Inne współczynniki można znaleźć w podobny sposób. Ogólna formuła to: Podstawiając te wyrażenia do wzoru wielomianowego otrzymujemy: gdzie x i,y i – węzły interpolacji; x – zmienna bieżąca; h – różnica pomiędzy dwoma węzłami interpolacji h – wartość stała, tj. węzły interpolacyjne są równomiernie oddalone od siebie.
Osobliwością interpolacji było to, że funkcja interpolująca ściśle przechodzi przez punkty węzłowe tabeli, tj. obliczone wartości pokrywały się z wartościami tabeli: y i =f(x i). Cecha ta wynikała z faktu, że liczba współczynników w funkcji interpolującej (m) była równa liczbie wartości tabelarycznych (n)
4. Nie da się opisać za pomocą funkcji interpolującej danych tabelarycznych, w których znajduje się kilka punktów o tej samej wartości argumentu. Taka sytuacja jest możliwa, jeśli ten sam eksperyment zostanie przeprowadzony kilka razy z tymi samymi danymi początkowymi. Nie stanowi to jednak ograniczenia stosowania aproksymacji, gdzie nie jest ustalony warunek przejścia wykresu funkcji przez każdy punkt.
Drugi wzór Newtona ma podobne właściwości w stosunku do lewej strony tabeli. Aby go skonstruować, użyj wielomianu postaci:
P n (x)= a 0 + za 1 (x-x n) + za 2 (x-x n)(x-x n-1) + …+ a n (x-x n)(x-x n-1)…(x-x 1), (6,3 .3-8)
gdzie a i, i = 0, 1, 2, …, n są współczynnikami niezależnymi od węzłów interpolacji.
Aby wyznaczyć współczynniki a I Będziemy naprzemiennie zastępować węzły interpolacji w (6.3.3-8). Dla x = x n P n (x n) = y n zatem a 0 = y n.
Dla x = x n -1 mamy P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), skąd
Kontynuując podstawienie, otrzymujemy wyrażenie na wszystkie współczynniki wielomianu (6.3.3-8) i zapisujemy drugi wzór interpolacyjny Newtona:
Wpisując oznaczenie:
i podstawiając x do (6.3.3-8) otrzymujemy wzór Newtona na interpolację wsteczną:
Skorzystajmy z tego wzoru, aby obliczyć wartość funkcji podanej w tabeli 6.3.3-1 w punkcie x = 1.7.
Punkt x=1,7 znajduje się na końcu tabeli. Jako węzły interpolacji wybieramy : x 3 =1,8, x 2 =1,6 i x 1 =1,4 :
Błędy wzorów interpolacyjnych Newtona wyznaczane są zależnością:
· dla pierwszego wzoru Newtona:
(6.3.3-11)
· dla drugiego wzoru Newtona:
(6.3.3-12)
gdzie jest pewną wartością pośrednią między węzłami interpolacji.
W praktyce, jeśli podana jest funkcja interpolowana y = f(x). tabelaryczny, zakładając, że D n +1 = const i h jest dość małe, użyj przybliżonych równości:
(6.3.3-13)
Przykład 6.3.3-1. Korzystając ze wzorów Newtona 1. i 2. oblicz wartość funkcji określonej w tabeli równoodległych węzłów w punkcie x=1,23.
Błąd praktyczny szacuje się za pomocą zależności:
mi 1 = |P 2 (x) - P 1 (x)|=|0,206958-0,206335|=0,000623.
Rozwiążmy ten sam problem, korzystając z drugiego wzoru Newtona. Niech x n = 1,3; xn-1 = 1,2; xn-2 = 1,1.
Tabela różnic skończonych wygląda następująco:
X | y | Dy | D2y |
1.1 1.2 1.3 | 0.095310 0.182322 0.262364 | 0.087012 0.080042 | -0.006970 |
Następnie:
6.3.4. Splajn - interpolacja
W ostatnie lata Intensywnie rozwija się nowa gałąź współczesnej matematyki obliczeniowej – teoria splajny. Splajny pozwalają skutecznie rozwiązywać problemy przetwarzania zależności eksperymentalnych pomiędzy parametrami o dość złożonej strukturze.
Omówione powyżej metody interpolacji lokalnej to w zasadzie najprostsze splajny pierwszego stopnia (dla interpolacji liniowej) i drugiego stopnia (dla interpolacji kwadratowej).
Najszerszy praktyczne użycie, ze względu na ich prostotę, znaleźli sześcienne splajny. Podstawowe idee teorii wypustów sześciennych powstały w wyniku prób matematycznego opisu elastycznych listew wykonanych z materiału sprężystego (wypustów mechanicznych), które od dawna stosowane są przez rysowników w przypadkach, gdy istniała potrzeba narysowania w miarę gładkiej krzywej przez dane punkty. Wiadomo, że pasek materiału sprężystego, zamocowany w określonych punktach i w położeniu równowagi, przyjmuje postać, w której jego energia jest minimalna. Ta podstawowa właściwość umożliwia efektywne wykorzystanie splajnów w rozwiązywaniu praktycznych problemów przetwarzania informacji eksperymentalnych.
W ogólnym przypadku dla funkcji y = f(x) należy znaleźć przybliżenie y = S(x) w taki sposób, że f(x i) = S(x i) w punktach x = x i, a w pozostałych punkty odcinka wartości funkcji f(x) i S(x ) byli blisko siebie. Przy małej liczbie punktów doświadczalnych do rozwiązania problemu interpolacji można zastosować jedną z metod konstruowania wielomianów interpolacyjnych. Jednak przy dużej liczbie węzłów wielomiany interpolacyjne stają się praktycznie bezużyteczne. Wynika to z faktu, że stopień wielomianu interpolacyjnego jest tylko jeden mniejsza liczba Wartości eksperymentalne funkcji. Można oczywiście podzielić odcinek, na którym zdefiniowano funkcję, na odcinki zawierające niewielką liczbę punktów doświadczalnych i dla każdego z nich skonstruować wielomiany interpolacyjne. Jednak w tym przypadku funkcja aproksymująca będzie miała punkty, w których pochodna nie jest ciągła, czyli wykres funkcji będzie zawierał punkty „załamania”.
Splajny sześcienne nie mają tej wady. Badania wykazały, że elastyczną cienką linijkę umieszczoną między dwoma węzłami dość dobrze opisuje wielomian sześcienny, a ponieważ nie zapada się, funkcja aproksymująca musi być różniczkowalna przynajmniej w sposób ciągły.
Zatem, klin jest funkcją będącą wielomianem algebraicznym na każdym segmencie interpolacji częściowej i ciągłą wraz z kilkoma jej pochodnymi na całym danym segmencie.
Niech funkcja interpolowana f(x) będzie określona przez jej wartości y i, w węzłach x i,
(i = 0, 1,..., n). Oznaczmy długość odcinka cząstkowego jako h i =x i -x i-1,
(i = 1, 2,..., n) .
Będziemy szukać splajnu sześciennego na każdym z odcinków cząstkowych [x i-1;x i] w postaci:
Gdzie - cztery nieznane współczynniki. Można udowodnić, że problem znalezienia splajnu sześciennego ma unikalne rozwiązanie.
Załóżmy, że wartości S(x) w węzłach pokrywają się z wartościami tabeli funkcji f(x):
(6.3.4-2)
Liczba tych równań (2n) stanowi połowę liczby nieznanych współczynników. Aby uzyskać dodatkowe warunki wymagana jest także ciągłość pierwszej i drugiej pochodnej splajnu we wszystkich punktach, łącznie z węzłami. W tym celu należy przyrównać lewą i prawą pochodną S”(x–0), S”(x+0), S”(x–0), S”(x+0) w węźle wewnętrznym x i .
Obliczmy wyrażenia na pochodne S”(x), S”(x) poprzez kolejne różniczkowanie (6.3.4-1):
S"(x) = b ja + 2c ja (x–x i-1) + 3d ja (x–x ja - l) 2, (6.3.4-4)
S""(x) = 2c ja + 6d ja (x–x i - l),(6.3.4-5)
Znajdźmy prawą i lewą pochodną w węźle:
S"(x ja –0) = b ja + 2сh ja + 2d ja godz ja ,
S"(x i +0) = b i+1, gdzie i = 1,2,..., n -1 .
To samo robimy dla drugiej pochodnej:
S"(x–0) = 2c ja +6d ja godz ja ,
S”(x+0) = 2c i+1.
Porównując lewą i prawą pochodną otrzymujemy:
b ja +1 = b ja +2c ja godz ja +2d ja godz ja 2 (6.3.4-6)
z i+1 = z i - + 3d ja godz ja , gdzie i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)
Równania (6.3.4-6), (6.3.4-7) dają kolejne 2(n–1) warunki. Aby uzyskać brakujące równania, narzucane są wymagania dotyczące zachowania splajnu na końcach segmentu interpolacyjnego. Jeżeli wymagamy zerowej krzywizny splajnu na końcach odcinka interpolacyjnego (czyli druga pochodna jest równa zeru), otrzymujemy:
gdzie i =0, do n +3d n godz n = 0. (6.3.4-8)
Po wykluczeniu niewiadomych a i z równań (6.3.4-2) – (6.3.4-3) otrzymujemy układ równań:
(6.3.4-9)
gdzie i=0, 1,...., n - 1.
Układ (6.3.4-9) składa się z 3(n-1) równań. Po rozwiązaniu układu (6.3.4-9) otrzymujemy wartości niewiadomych b i, ci i, d i, które wyznaczają zbiór wszystkich wzorów na żądany splajn interpolacyjny:
gdzie i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)
Program realizujący metodę interpolacji spline jest dość uciążliwy, dlatego ograniczymy się do omówienia rozwiązania problemu interpolacji sinusoidalnej za pomocą spline, wykorzystując funkcje pakietów pp. 6.3.6.
Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona jest praktycznie niewygodny w przypadku interpolacji funkcji w pobliżu węzłów tabeli. W tym przypadku zwykle się go stosuje .
Opis zadania . Załóżmy, że mamy ciąg wartości funkcji
dla równoodległych wartości argumentów, gdzie jest krokiem interpolacji. Skonstruujmy wielomian o następującej postaci:
lub korzystając z potęgi uogólnionej, otrzymujemy:
Jeśli zachodzi równość, otrzymamy
Podstawmy te wartości do wzoru (1). Potem, w końcu, Drugi wzór interpolacyjny Newtona ma postać:
Wprowadźmy wygodniejszą notację dla wzoru (2). Niech tak będzie
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/174417/image023.png)
Podstawiając te wartości do wzoru (2), otrzymujemy:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/174417/image026.png)
To jest zwykły widok Drugi wzór interpolacyjny Newtona. Aby przybliżyć obliczenia wartości funkcji, załóżmy:
Zarówno pierwszy, jak i drugi wzór interpolacji Newtona można wykorzystać do ekstrapolacji funkcji, czyli znalezienia wartości funkcji dla wartości argumentów poza tabelą.
Jeśli jest blisko, korzystne jest zastosowanie pierwszego wzoru interpolacyjnego Newtona, a następnie. Jeśli jest blisko, wygodniej jest ponadto skorzystać z drugiego wzoru interpolacyjnego Newtona.
Dlatego zwykle stosuje się pierwszy wzór interpolacyjny Newtona interpolacja do przodu I ekstrapolując wstecz, a drugi wzór interpolacyjny Newtona, przeciwnie, dla interpolacja wstecz I ekstrapolacja do przodu.
Należy zauważyć, że operacja ekstrapolacji, ogólnie rzecz biorąc, jest mniej dokładna niż operacja interpolacji w wąskim znaczeniu tego słowa.
Przykład. Wykonując ten krok, skonstruuj wielomian interpolacyjny Newtona dla funkcji podanej w tabeli
![]() |
|||||||
Rozwiązanie. Tworzymy tabelę różnic (tabela 1). Ponieważ różnice trzeciego rzędu są praktycznie stałe, zakładamy we wzorze (3). Po akceptacji będziemy mieli:
Jest to pożądany wielomian interpolacyjny Newtona.
Tabela 1
![]() |
|
|
|
|