Równania liniowe z parametrem. Rozwiązywanie równań z parametrem w matematyce. Rozwiązywanie równań z zadanymi parametrami
1. Systemy równania liniowe z parametrem
Układy równań liniowych z parametrem rozwiązuje się tymi samymi podstawowymi metodami, co zwykłe układy równań: metodą podstawienia, metodą dodawania równań i metodą graficzną. Znajomość graficznej interpretacji układów liniowych ułatwia odpowiedź na pytanie o liczbę pierwiastków i ich istnienie.
Przykład 1.
Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań nie ma rozwiązań.
(x + (a 2 – 3) y = a,
(x + y = 2.
Rozwiązanie.
Spójrzmy na kilka sposobów rozwiązania tego zadania.
1 sposób. Korzystamy z własności: układ nie ma rozwiązań, jeśli stosunek współczynników przed x jest równy stosunkowi współczynników przed y, ale nie jest równy stosunkowi wolnych wyrazów (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Następnie mamy:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 lub system
(i 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
Z pierwszego równania a 2 = 4 zatem, biorąc pod uwagę warunek, że a ≠ 2, otrzymujemy odpowiedź.
Odpowiedź: a = -2.
Metoda 2. Rozwiązujemy metodą podstawieniową.
(2 – y + (a 2 – 3) y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
Po usunięciu wspólnego czynnika y z nawiasów w pierwszym równaniu otrzymujemy:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Układ nie ma rozwiązań, jeśli pierwsze równanie nie ma rozwiązań, tzn
(i 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Oczywiście a = ±2, ale biorąc pod uwagę drugi warunek, odpowiedź daje tylko odpowiedź ujemną.
Odpowiedź: a = -2.
Przykład 2.
Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
(8x + ay = 2,
(topór + 2 lata = 1.
Rozwiązanie.
Zgodnie z własnością, jeśli stosunek współczynników x i y jest taki sam i równy stosunkowi wolnych członków układu, to ma on nieskończoną liczbę rozwiązań (tj. a/a 1 = b/ b 1 = do/do 1). Zatem 8/a = a/2 = 2/1. Rozwiązując każde z otrzymanych równań, okazuje się, że w tym przykładzie odpowiedzią jest a = 4.
Odpowiedź: a = 4.
2. Układy równań wymiernych z parametrem
Przykład 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Rozwiązanie.
Pomnóżmy pierwsze równanie układu przez 2:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymujemy 5|x| = 4 – a. To równanie będzie miało unikalne rozwiązanie dla a = 4. W pozostałych przypadkach równanie to będzie miało dwa rozwiązania (dla a< 4) или ни одного (при а > 4).
Odpowiedź: a = 4.
Przykład 4.
Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Rozwiązanie.
Układ ten rozwiążemy metodą graficzną. Zatem wykres drugiego równania układu jest parabolą podniesioną wzdłuż osi Oy w górę o jeden odcinek jednostkowy. Pierwsze równanie określa zbiór prostych równoległych do prostej y = -x (obrazek 1). Z rysunku widać wyraźnie, że układ ma rozwiązanie, jeśli prosta y = -x + a jest styczna do paraboli w punkcie o współrzędnych (-0,5, 1,25). Podstawiając te współrzędne do równania linii prostej zamiast x i y, znajdujemy wartość parametru a:
1,25 = 0,5 + a;
Odpowiedź: a = 0,75.
Przykład 5.
Korzystając z metody podstawiania, dowiedz się, przy jakiej wartości parametru a układ ma rozwiązanie jednoznaczne.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Rozwiązanie.
Z pierwszego równania wyrażamy y i podstawiamy je do drugiego:
(y = topór – a – 1,
(topór + (a + 2)(topór – a – 1) = 2.
Sprowadźmy drugie równanie do postaci kx = b, która będzie miała jednoznaczne rozwiązanie dla k ≠ 0. Mamy:
topór + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
za 2 x + 3ax = 2 + za 2 + 3a + 2.
Trójmian kwadratowy a 2 + 3a + 2 reprezentujemy jako iloczyn nawiasów
(a + 2)(a + 1), a po lewej stronie wyciągamy x z nawiasów:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).
Oczywiście a 2 + 3a nie powinno być równe zero, zatem
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, co oznacza a ≠ 0 i ≠ -3.
Odpowiedź: a ≠ 0; ≠ -3.
Przykład 6.
Korzystając z graficznej metody rozwiązywania problemów, określ, przy jakiej wartości parametru a układ ma rozwiązanie jednoznaczne.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Rozwiązanie.
Na podstawie warunku konstruujemy okrąg o środku w początku i promieniu 3 jednostkowych odcinków, to właśnie określa pierwsze równanie układu
x 2 + y 2 = 9. Drugie równanie układu (y = |x| + a) jest linią łamaną. Używając Rysunek 2 Rozważamy wszystkie możliwe przypadki jego położenia względem okręgu. Łatwo zobaczyć, że a = 3.
Odpowiedź: a = 3.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać układy równań?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
DO zadania z parametrem może obejmować na przykład poszukiwanie rozwiązań równań liniowych i kwadratowych w ogólna perspektywa, badanie równania na liczbę dostępnych pierwiastków w zależności od wartości parametru.
Nie podając szczegółowych definicji, rozważ następujące równania jako przykłady:
y = kx, gdzie x, y to zmienne, k to parametr;
y = kx + b, gdzie x, y to zmienne, k i b to parametry;
ax 2 + bx + c = 0, gdzie x to zmienne, a, b i c to parametr.
Rozwiązanie równania (nierówności, układu) z parametrem oznacza z reguły rozwiązanie nieskończonego układu równań (nierówności, układy).
Zadania z parametrem można podzielić na dwa typy:
A) warunek mówi: rozwiąż równanie (nierówność, układ) - oznacza to, że dla wszystkich wartości parametru znajdź wszystkie rozwiązania. Jeżeli choć jedna sprawa pozostanie niezrealizowana, takiego rozwiązania nie można uznać za zadowalające.
B) wymagane jest wskazanie możliwych wartości parametru, przy którym równanie (nierówność, układ) ma określone właściwości. Np. ma jedno rozwiązanie, nie ma rozwiązań, ma rozwiązania należące do przedziału itp. W takich zadaniach należy jasno wskazać, przy jakiej wartości parametru spełniony jest wymagany warunek.
Parametr będący nieznaną stałą liczbą ma swoistą dwoistość. Przede wszystkim należy wziąć pod uwagę, że przyjęta popularność wskazuje, że parametr należy postrzegać jako liczbę. Po drugie, swoboda manipulacji parametrem jest ograniczona przez jego niejasność. Na przykład operacje dzielenia przez wyrażenie zawierające parametr lub wyodrębnianie pierwiastka stopnia parzystego z takiego wyrażenia wymagają wstępnych badań. Dlatego należy zachować ostrożność podczas obchodzenia się z parametrem.
Na przykład, aby porównać dwie liczby -6a i 3a, należy rozważyć trzy przypadki:
1) -6a będzie większe niż 3a, jeśli a jest liczbą ujemną;
2) -6a = 3a w przypadku, gdy a = 0;
3) -6a będzie mniejsze niż 3a, jeśli a jest liczbą dodatnią 0.
Rozwiązanie będzie odpowiedzią.
Niech będzie dane równanie kx = b. To równanie jest krótką formą nieskończonej liczby równań z jedną zmienną.
Przy rozwiązywaniu takich równań mogą wystąpić przypadki:
1. Niech k będzie dowolne prawdziwy numer nie jest równe zeru i b jest dowolną liczbą z R, wówczas x = b/k.
2. Niech k = 0 i b ≠ 0, pierwotne równanie przyjmie postać 0 x = b. Oczywiście równanie to nie ma rozwiązań.
3. Niech k i b będą liczbami równymi zero, wówczas otrzymamy równość 0 x = 0. Rozwiązaniem jest dowolna liczba rzeczywista.
Algorytm rozwiązywania tego typu równań:
1. Określ wartości „kontrolne” parametru.
2. Rozwiąż oryginalne równanie na x dla wartości parametrów określonych w pierwszym akapicie.
3. Rozwiąż oryginalne równanie na x dla wartości parametrów innych niż wybrane w akapicie pierwszym.
4. Odpowiedź możesz wpisać w następującej formie:
1) dla… (wartości parametrów) równanie ma pierwiastki…;
2) dla ... (wartości parametrów) w równaniu nie ma pierwiastków.
Przykład 1.
Rozwiąż równanie z parametrem |6 – x| = za.
Rozwiązanie.
Łatwo zauważyć, że tutaj a ≥ 0.
Zgodnie z zasadą modułu 6 – x = ±a wyrażamy x:
Odpowiedź: x = 6 ± a, gdzie a ≥ 0.
Przykład 2.
Rozwiąż równanie a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 w odniesieniu do zmiennej x.
Rozwiązanie.
Otwórzmy nawiasy: aх – а + 2х – 2 = 0
Zapiszmy równanie w postaci standardowej: x(a + 2) = a + 2.
Jeśli wyrażenie a + 2 nie jest zerem, czyli jeśli a ≠ -2, to mamy rozwiązanie x = (a + 2) / (a + 2), tj. x = 1.
Jeśli a + 2 jest równe zeru, tj. a = -2, to mamy poprawną równość 0 x = 0, więc x jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Odpowiedź: x = 1 dla a ≠ -2 i x € R dla a = -2.
Przykład 3.
Rozwiąż równanie x/a + 1 = a + x w odniesieniu do zmiennej x.
Rozwiązanie.
Jeżeli a = 0, to równanie przekształcamy do postaci a + x = a 2 + ax lub (a – 1)x = -a(a – 1). Ostatnie równanie dla a = 1 ma postać 0 x = 0, zatem x jest dowolną liczbą.
Jeśli a ≠ 1, to ostatnie równanie przyjmie postać x = -a.
Rozwiązanie to można zilustrować na linii współrzędnych (ryc. 1)
Odpowiedź: nie ma rozwiązań dla a = 0; x – dowolna liczba, gdzie a = 1; x = -a dla a ≠ 0 i a ≠ 1.
Metoda graficzna
Rozważmy inny sposób rozwiązywania równań z parametrem - graficznie. Ta metoda jest stosowana dość często.
Przykład 4.
W zależności od parametru a, ile pierwiastków ma równanie ||x| – 2| = a?
Rozwiązanie.
Aby rozwiązać metodą graficzną, konstruujemy wykresy funkcji y = ||x| – 2| i y = a (ryc. 2).
Rysunek wyraźnie pokazuje możliwe przypadki położenia prostej y = a oraz liczbę pierwiastków w każdym z nich.
Odpowiedź: równanie nie będzie miało pierwiastków, jeśli a< 0; два корня будет в случае, если a >2 i a = 0; równanie będzie miało trzy pierwiastki w przypadku a = 2; cztery pierwiastki – przy 0< a < 2.
Przykład 5.
Przy czym równanie 2|x| + |x – 1| = a ma pojedynczy pierwiastek?
Rozwiązanie.
Przedstawmy wykresy funkcji y = 2|x| + |x – 1| i y = a. Dla y = 2|x| + |x – 1|, rozwijając moduły metodą przedziałową, otrzymujemy:
(-3x + 1, przy x< 0,
y = (x + 1, dla 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, dla x > 1.
NA Rysunek 3 Widać wyraźnie, że równanie będzie miało pojedynczy pierwiastek tylko wtedy, gdy a = 1.
Odpowiedź: a = 1.
Przykład 6.
Wyznacz liczbę rozwiązań równania |x + 1| + |x + 2| = a w zależności od parametru a?
Rozwiązanie.
Wykres funkcji y = |x + 1| + |x + 2| będzie linią przerywaną. Jego wierzchołki będą znajdować się w punktach (-2; 1) i (-1; 1) (Rysunek 4).
Odpowiedź: jeśli parametr a jest mniejszy niż jeden, to równanie nie będzie miało pierwiastków; jeżeli a = 1, to rozwiązaniem równania jest nieskończony zbiór liczb z przedziału [-2; -1]; jeśli wartości parametru a są większe niż jeden, wówczas równanie będzie miało dwa pierwiastki.
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z parametrem?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Dla jakich wartości parametru $a$ nierówność $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie?
Rozwiązanie
Sprowadźmy tę nierówność do dodatniego współczynnika dla $x^2$:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
Obliczmy dyskryminator: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Aby ta nierówność miała rozwiązanie, konieczne jest, aby przynajmniej jeden punkt paraboli znajdował się poniżej osi $x$. Ponieważ gałęzie paraboli są skierowane w górę, wymaga to, aby trójmian kwadratowy po lewej stronie nierówności miał dwa pierwiastki, to znaczy jego wyróżnik był dodatni. Dochodzimy do konieczności rozwiązania nierówności kwadratowej $a^2 - 28a > 0$. Trójmian kwadratowy $a^2 - 28a$ ma dwa pierwiastki: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Zatem nierówność $a^2 - 28a > 0$ jest spełniona przez przedziały $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Odpowiedź.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Dla jakich wartości parametru $a$ równanie $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ ma przynajmniej jeden pierwiastek, a wszystkie pierwiastki są dodatnie?
Rozwiązanie
Niech $a=2$. Następnie równanie przyjmuje postać $() - 4x +5 = 0$, z czego otrzymujemy, że $x=\dfrac(5)(4)$ jest pierwiastkiem dodatnim.
Niech teraz $a\ne 2$. W rezultacie otrzymujemy równanie kwadratowe. Ustalmy najpierw, przy jakich wartościach parametru $a$ to równanie ma pierwiastki. Jego wyróżnik musi być nieujemny. To jest:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Pierwiastki według warunku muszą być dodatnie, dlatego z twierdzenia Viety otrzymujemy układ:
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6). $
Łączymy odpowiedzi i otrzymujemy wymagany zestaw: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Odpowiedź.$a\in(-\infty;-3)\kubek$.
Dla jakich wartości parametru $a$ nierówność $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ nie ma rozwiązań?
Rozwiązanie
- Jeżeli $a = 0$, to nierówność ta przekształca się w nierówność $5 \leqslant 0$ , która nie ma rozwiązań. Zatem wartość $a = 0$ spełnia warunki zadania.
- Jeśli $a > 0$, to wykres trójmianu kwadratowego po lewej stronie nierówności jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę. Obliczmy $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Nierówność nie ma rozwiązań, jeśli parabola znajduje się powyżej osi x, czyli gdy trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Jeśli $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Odpowiedź.$a \in \left$ leży pomiędzy pierwiastkami, więc muszą być dwa pierwiastki (co oznacza $a\ne 0$). Jeśli ramiona paraboli $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ są skierowane w górę, to $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ i $y(1) > 0$.
Sprawa I. Niech $a > 0$. Następnie
$\left\(\begin(tablica)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(tablica) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Oznacza to, że w tym przypadku okazuje się, że wszystkie $a > 3$ są odpowiednie.
Przypadek II. Niech $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Oznacza to, że w tym przypadku okazuje się, że wszystkie $a są odpowiednie< -1$.
Odpowiedź.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Znajdź wszystkie wartości parametru $a$, dla każdego z nich układ równań
$ \begin(przypadki) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(przypadki) $
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Rozwiązanie
Odejmij drugą od pierwszej: $(x-y)^2 = 1$. Następnie
$ \left[\begin(tablica)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(tablica)\right. $
Podstawiając powstałe wyrażenia do drugiego równania układu, otrzymujemy dwa równania kwadratowe: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ i $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Wyróżnikiem każdego z nich jest $D = 16a-4$.
Należy zauważyć, że nie może się zdarzyć, że para pierwiastków pierwszego równania kwadratowego pokrywa się z parą pierwiastków drugiego równania kwadratowego, ponieważ suma pierwiastków pierwszego równania wynosi $-1$, a suma drugiego równania wynosi 1 .
Oznacza to, że każde z tych równań musi mieć jeden pierwiastek, wówczas pierwotny układ będzie miał dwa rozwiązania. Oznacza to, że $D = 16a - 4 = 0$.
Odpowiedź.$a=\dfrac(1)(4)$
Znajdź wszystkie wartości parametru $a$, dla każdej z których równanie $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ ma dwa pierwiastki.
Rozwiązanie
Przepiszmy równanie jako:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0,$
Rozważmy funkcję $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
Gdy $x\geqslant 3$, pierwszy moduł zostanie rozwinięty o znak plus, a funkcja przybierze postać: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Jest oczywiste, że przy każdym rozwinięciu modułów wynikiem będzie funkcja liniowa o współczynniku $k\geqslant 5-3-1=1>0$, czyli funkcja ta rośnie w nieskończoność w danym przedziale.
Rozważmy teraz przedział $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Zatem otrzymaliśmy, że $x=3$ jest minimalnym punktem tej funkcji. Oznacza to, że aby pierwotne równanie miało dwa rozwiązania, wartość funkcji w punkcie minimalnym musi być mniejsza od zera. Oznacza to, że zachodzi nierówność: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24
Odpowiedź.$a \in (-24; 18)$ Dla jakich wartości parametru $a$ równanie $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ ma unikalny pierwiastek? Dokonajmy zamiany: $t = 5^x > 0$. Wtedy pierwotne równanie przyjmuje postać równania kwadratowego: $t^2-3t+a-1 =0$. Oryginalne równanie będzie miało pojedynczy pierwiastek, jeśli równanie to będzie miało jeden pierwiastek dodatni lub dwa pierwiastki, z których jeden będzie dodatni, a drugi ujemny. Dyskryminator równania to: $D = 13-4a$. Równanie to będzie miało jeden pierwiastek, jeśli wynikowy dyskryminator okaże się równy zeru, to znaczy dla $a = \dfrac(13)(4)$. W tym przypadku pierwiastek $t=\dfrac(3)(2) > 0$, więc ta wartość $a$ jest odpowiednia. Jeśli istnieją dwa pierwiastki, z których jeden jest dodatni, a drugi niedodatni, to $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ i $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . Oznacza to, że $a\in(-\infty;1]$ Odpowiedź.$a\in(-\infty;1]\cup\lewy\(\dfrac(13)(4)\prawy\)$ Znajdź wszystkie wartości parametru $a$, dla których system $ \begin(przypadki)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(przypadki) $ ma dokładnie dwa rozwiązania. Przekształćmy układ do postaci: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(przypadki)$ Ponieważ parametr $a$ znajduje się u podstawy logarytmu, nałożone są na niego następujące ograniczenia: $a>0$, $a \ne 1$. Ponieważ zmienna $y$ jest argumentem logarytmu, to $y > 0$. Po połączeniu obu równań układu przechodzimy do równania: $\log_a y = y^2$. W zależności od tego, jakie wartości przyjmuje parametr $a$, możliwe są dwa przypadki: Odpowiedź.$a\in(0;1)$ Rozważmy przypadek, gdy $a > 1$. Ponieważ dla dużych wartości bezwzględnych $t$ wykres funkcji $f(t) = a^t$ leży powyżej prostej $g(t) = t$, to jedynym punktem wspólnym może być tylko punkt styczności. Niech $t_0$ będzie punktem styczności. W tym momencie pochodna $f(t) = a^t$ równa się jedności (tangens kąta stycznego), dodatkowo wartości obu funkcji pokrywają się, czyli zachodzi układ: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ Skąd $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ Co więcej, nie ma innych punktów wspólnych między linią prostą a funkcja wykładnicza oczywiście, że nie. Odpowiedź.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$Rozwiązanie
Rozwiązanie