Koncepcja rozwijania zbiorów liczbowych. Rozwijanie zbiorów liczbowych podczas nauki liczb na kursie w szkole średniej
Aby zbiór Q+ dodatnich liczb wymiernych był rozszerzeniem zbioru N liczb naturalnych, musi zostać spełniony szereg warunków.
Pierwszym warunkiem jest istnienie relacji inkluzji pomiędzy N i Q+. Udowodnimy, że N Q+.
Niech długość odcinka X z jednym segmentem mi wyrażona jako liczba naturalna T. Podzielmy segment jednostkowy na P równe części. Następnie N trzecia część segmentu jednostkowego zmieści się w segmencie X dokładnie razy, tj. długość odcinka X zostanie wyrażona jako ułamek. A więc długość odcinka X można również wyrazić jako liczbę naturalną T, i dodatnia liczba wymierna. Ale powinno P być tą samą liczbą.
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image003.png)
Na przykład liczbę naturalną 6 można przedstawić w postaci następujących ułamków: , itd.
Zależność między zbiorami N i Q+ pokazano na rysunku 28 .
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image004.jpg)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image005.png)
Nazywa się liczby, które uzupełniają zbiór liczb naturalnych do zbioru dodatnich liczb wymiernych frakcyjny.
Drugim warunkiem, jaki należy spełnić przy rozszerzaniu zbioru liczb naturalnych, jest zgodność działań, tj. wyniki operacji arytmetycznych wykonanych według zasad obowiązujących na liczbach naturalnych muszą pokrywać się z wynikami działań na nich, ale wykonanych zgodnie z reguły formułowane dla dodatnich liczb wymiernych. Łatwo sprawdzić, że ten warunek również jest spełniony.
Pozwalać A I B- liczby całkowite, - ich suma otrzymana zgodnie z zasadami dodawania w N. Obliczmy sumę liczb A I B zgodnie z zasadą dodawania w Q+.
Od tego czasu
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image007.png)
Trzecim warunkiem, który należy spełnić przy rozszerzaniu zbioru liczb naturalnych, jest wykonalność w Q+ operacji, która nie zawsze jest wykonalna w N. I ten warunek jest spełniony: dzielenie, które nie zawsze jest wykonywane w zbiorze N, jest zawsze zadowolony w zestawie Q+.
Zróbmy jeszcze kilka dodatków, które ujawnią relacje między naturalnymi i dodatnimi liczbami wymiernymi.
1. Linię ułamka można uznać za znak dzielenia.
Rzeczywiście, weźmy dwie liczby naturalne T I P I Znajdźmy ich iloraz, korzystając z zasady (4) dzielenia dodatnich liczb wymiernych:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image008.png)
I odwrotnie, jeśli podany jest ułamek, można go uznać za iloraz liczb naturalnych T I P.
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image009.png)
2. Każdy ułamek niewłaściwy można przedstawić jako liczbę naturalną lub jako ułamek mieszany.
Niech będzie ułamkiem niewłaściwym. Następnie t > str. Jeśli T wiele P, wówczas w tym przypadku ułamek jest reprezentacją liczby naturalnej. Jeśli numer T nie wielokrotność P, wtedy się podzielimy T NA P z resztą: , gdzie. Zastąpmy zamiast T w notacji i zastosuj zasadę (1) dodawania dodatnich liczb wymiernych:
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image010.png)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image011.png)
Ponieważ , wtedy ułamek jest poprawny. W rezultacie ułamek niewłaściwy okazał się być reprezentowany jako suma liczby naturalnej Q i ułamek właściwy. Czynność tę nazywamy oddzieleniem całej części od ułamka niewłaściwego. Na przykład,.
Zwyczajowo zapisuje się sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego bez znaku dodawania: to znaczy zamiast pisać i wywoływać taki zapis frakcja mieszana.
Prawdziwe jest również następujące stwierdzenie: każdy ułamek mieszany można zapisać jako ułamek niewłaściwy. Na przykład:
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image013.png)
Od niepamiętnych czasów głównymi obiektami matematycznymi były liczby, zbiory i elementy zbioru oraz ich właściwości. Liczba to abstrakcja używana do ilościowego określania obiektów. Powstałe w prymitywnym społeczeństwie z potrzeb liczenia, pojęcie liczby zmieniło się, wzbogaciło i stało się najważniejszym pojęciem matematycznym. Znaki pisane (symbole) służące do zapisywania numerów to liczby. Nowoczesny matematyka operuje nieco innymi koncepcjami matematycznymi. Jeśli dokładnie przeanalizujesz ich istotę, to są one ogólnie równoważne lub izomorficzne z pojęciami „liczba”, „zbiór”, „mapa”, „właściwość”.
W sensie teorii mnogości liczby są klasą zbiorów o określonych właściwościach. Właściwości te wyrażają się poprzez rodzaj uporządkowania, wymiary, właściwości topologiczne i metryczne bazujących na nich zbiorów. Główną właściwością liczb jest ich moc, która może być skończona, policzalna lub ciągła. W związku z tym liczby mogą być przedstawicielami dowolnej klasy zbiorów o odpowiedniej liczności. Nawet zbiory o liczebności większej niż kontinuum można przedstawić jako zbiór wszystkich funkcji zdefiniowanych na zbiorze liczbowym. Świadczy to o uniwersalności pojęcia „liczba”.
Kolejną ważną właściwością liczb jest ich wymiar. Istnieje kilka klas liczb o różnych właściwościach. Istnieją liczby liniowe (jednowymiarowe) - są to liczby naturalne N, dodatnie N +, liczby całkowite Z, wymierne R i rzeczywiste Q. Istnieją złożone liczby wielowymiarowe lub hiperkompleksowe - są to liczby zespolone C, kwaterniony H, bikwaterniony B, nieosobliwe macierze kwadratowe M, liczby Clifforda K i inne. Tensor (łącznie z wektorem) w zwykłym znaczeniu nie jest liczbą.
Ciekawym rodzajem liczb są liczby hiperrzeczywiste. Pojawiają się w analizie niestandardowej, wykorzystującej pojęcia „nieskończenie małych” i „nieskończenie dużych” liczb jako rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych na te „nieskończone” liczby.
Spróbujmy zdefiniować, czym jest „liczba”. Dokładniej, rodzaje liczb.
Najprostsze liczby to liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste i liczby zespolone. Są przemienne, łączne i rozdzielcze.
Główne typy liczb o podobnych właściwościach to cztery typy liczb. Są to liczby rzeczywiste, liczby zespolone, kwaterniony i oktawy. Przemienność mnożenia dla dwóch ostatnich typów liczb nie zachodzi. Ale oni wszyscy tak mają algebry bez dzielników zera.
Dalsze rozszerzenia liczb mogą nie mieć właściwości łączenia. Dystrybucja jest szanowana.
Podstawowe typy liczb
Liczby całkowite, otrzymane metodą obliczeń naturalnych; zbiór liczb naturalnych jest oznaczony jako N. Zatem. (czasami zero jest również zawarte w zbiorze liczb naturalnych, czyli N = (0, 1, 2, 3, ...)). Liczby naturalne są zamknięte na dodawanie i mnożenie (ale nie na odejmowanie i dzielenie). Liczby naturalne są przemienne i łączne w odniesieniu do dodawania i mnożenia, a mnożenie liczb naturalnych jest rozdzielne w odniesieniu do dodawania.
Wszystkie liczby otrzymane przez połączenie liczb naturalnych ze zbiorem negatywny liczby i zero są oznaczone przez Z = (-2, -1, 0, 1, 2, ...). Liczby całkowite są zamknięte na dodawanie, odejmowanie i mnożenie (ale nie na dzielenie).
Liczby wymierne- liczby przedstawiane w postaci ułamków M/N (N? 0), gdzie M jest liczbą całkowitą oraz N- Liczba naturalna. Dla liczb wymiernych zdefiniowane są wszystkie cztery „klasyczne” operacje arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero). Znak Q służy do oznaczania liczb wymiernych.
Liczby rzeczywiste stanowią rozszerzenie zbioru liczb wymiernych, zamkniętego pod pewnymi (ważnymi dla Analiza matematyczna) operacje przejścia do granicy. Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczony przez R. Można go traktować jako uzupełnienie pole liczb wymiernych Q za pomocą normy, co jest powszechne całkowita wartość. Oprócz liczb wymiernych R zawiera zbiór liczby niewymierne, którego nie można przedstawić w postaci stosunku liczb całkowitych. Oprócz podziału na wymierne i niewymierne, liczby rzeczywiste dzielą się również na algebraiczny I nadzmysłowy. Co więcej, każda liczba przestępna jest niewymierna, każda liczba wymierna jest algebraiczna.
Liczby zespolone, które są rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych. Można je zapisać w formie z = X + j, Gdzie I- tak zwana wyimaginowana jednostka, dla którego zachodzi równość I 2 = -1. Liczby zespolone służą do rozwiązywania problemów kwantowych mechanika, hydrodynamika, teoria sprężystości itp.
Dla wymienionych zbiorów liczb obowiązuje następujące wyrażenie: N ? Z? Q? R? C.
Liczby hiperrealne- są to liczby postaci:
1) A+?, gdzie A- zwykły numer A- nieskończenie mała liczba;
2)? = 1/? - nieskończenie duża liczba.
Liczby hiperrealne nie są liczbami w zwykłym tego słowa znaczeniu. Są używane w wielu sekcjach matematycy, szczególnie w rachunku różniczkowym i całkowym, a także wszędzie tam, gdzie stosowane są ograniczające ciągi liczbowe, nawet przy definiowaniu liczb rzeczywistych.
Zbiór liczb wymiernych jest naturalnym uogólnieniem zbioru liczb całkowitych. Łatwo to zobaczyć, jeśli jest to liczba wymierna A = M/N mianownik N= 1, zatem A = M jest liczbą całkowitą. Nasuwa to pewne mylne założenia. Po pierwsze, wydaje się, że liczb wymiernych jest więcej niż liczb całkowitych, ale w rzeczywistości jest ich jedno i drugie liczba licząca. Po drugie, powstaje założenie, że takie liczby mogą absolutnie dokładnie zmierzyć dowolną odległość w przestrzeni. W rzeczywistości do tego się służy liczby rzeczywiste, liczby wymierne nie wystarczą do tego.
Rodzaje ułamków
Ułamek, którego moduł licznika jest mniejszy niż moduł mianownika, nazywamy ułamkiem właściwym. Ułamek, który nie jest ułamkiem właściwym, nazywamy ułamkiem niewłaściwym.
Na przykład ułamki 3/5, 7/8 i 1/2 są ułamkami właściwymi, natomiast 8/3, 9/5, 2/1 i 1/1 są ułamkami niewłaściwymi. Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka niewłaściwego o mianowniku 1.
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image015.png)
Ułamek zapisany jako liczba całkowita i ułamek właściwy nazywany jest ułamkiem mieszanym i rozumiany jest jako suma tej liczby i ułamka. Na przykład, . W ścisłej literaturze matematycznej wolą nie używać tego zapisu ze względu na podobieństwo zapisu ułamka mieszanego z zapisem iloczynu liczby całkowitej i ułamka.
Pomimo tego, że istnieje nieskończona liczba liczb wymiernych i że możemy pisać tylko liczby, które nie są nieskończenie duże, to możemy założyć, że dowolną liczbę wymierną możemy zapisać w sposób wskazany powyżej, ponieważ żadna liczba wymierna nie jest oczywiście nieskończony, a jego zapis będzie zawierał skończoną liczbę znaków.
Wysokość strzału
Wysokość ułamka zwykłego jest modułem sumy licznika i mianownika tego ułamka. Wysokość liczby wymiernej to moduł sumy licznika i mianownika nieredukowalnego ułamka zwykłego odpowiadającego tej liczbie.
Na przykład wysokość ułamka (-15/6) wynosi 15 + 6 = 21. Wysokość odpowiedniej liczby wymiernej wynosi 5 + 2 = 7, ponieważ ułamek jest pomniejszany o 3.
W konsekwencji zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ułamek liczba wymierna liczba niewymierna
Zbiór ten ma właściwość ciągłości. Oznacza to, że pomiędzy dowolnymi liczbami, które nie są sobie równe, można znaleźć trzecią liczbę, która nie jest równa poprzedniej. Co więcej, przekrój liczb wymiernych na dwie połowy może być otwarty wzdłuż jednej lub obu granic tej sekcji.
Zbiór liczb wymiernych jest grupą abelową dla operacji „dodawania” i „mnożenia” oddzielnie.
Zbiór liczb wymiernych jest polem do wykonywania operacji „dodawania” i „mnożenia”.
Definicja formalna
Formalnie liczby wymierne definiuje się jako zbiór klas równoważności par (( M, N) | M? Z, N? N) przez relacja równoważności (M, N) ~ (M", N"), Jeśli M N" = M" N. W tym przypadku operacje dodawania i mnożenia definiuje się w następujący sposób:
- (M 1 , N 1) + (M 2 , N 2) = (M 1 , N 2 + M 2 , N 1 , N 1 N 2),
- (M 1 , N 1) (M 2 , N 2) = (M 1 M 2 , N 1 N 2).
Własności liczb wymiernych
Liczby wymierne spełniają szesnaście podstawowych nieruchomości, które można łatwo uzyskać z właściwości liczby całkowite.
- 1. Porządek. Dla dowolnych liczb wymiernych a i b istnieje reguła, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować jedną i tylko jedną z trzech relacji między nimi: „
- ?A, B? Q: A B? B A? A = B
- 2. Przechodniość relacji porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych a, b i c, jeśli a jest mniejsze niż b i b jest mniejsze niż c, to a jest mniejsze niż c, a jeśli a jest równe b i b jest równe c, to a jest równe do ok.
- ?X, y, z? Q: ( X ty)? ( y z)> X z (przechodniość porządku);
- 3. Operacja dodawania. Dla dowolnych liczb wymiernych a i b obowiązuje tzw. reguła sumowania, która wiąże je z pewną liczbą wymierną c. W tym przypadku sama liczba c nazywana jest sumą liczb aib i oznaczana (a + b), a proces znajdowania takiej liczby nazywa się sumowaniem. Reguła sumowania ma następującą postać: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 n2 + m2 n1)/(n1 n2).
- ?A, B? Q: ?( A + B)? Q
- 4. Przemienność dodawania. Zmiana miejsc wyrazów wymiernych nie zmienia sumy.
- (?X, y? Q): ( X + y) = (y + X)
- 5. Łączność dodawania. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
- (?X, y, z? Q): ( X + y) + z = X + (y + z)
- 6. Obecność zera. Istnieje liczba wymierna 0, która po dodaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
- (?0? Pytanie) (? X? Q) : ( X + 0 = X)
- 7. Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po dodaniu do daje 0.
- (?X, y? Q) ?(- X? Q): ( X + (-X) = 0).
- 8. Powiązanie relacji porządku z operacją dodawania. Tę samą liczbę wymierną można dodać do lewej i prawej strony nierówności wymiernej.
- ?X, y, z? Q: ( X y) > ( X + z) y + z
- 9. Operacja mnożenia. Dla dowolnych liczb wymiernych a i b obowiązuje tzw. zasada mnożenia, która wiąże je z pewną liczbą wymierną c. W tym przypadku sama liczba c nazywana jest iloczynem liczb aib i oznaczana (a · b), a proces znajdowania takiej liczby nazywany jest także mnożeniem. Zasada mnożenia jest następująca: ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.
- ?A, B?Q: ?( A · B)? Q
- 10. Przemienność mnożenia. Zmiana miejsc czynników wymiernych nie zmienia produktu.
- ?X, y? Q: ( X y) = (y X);
- 11. Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
- ?X, y, z? Q: ( X y) z = X (y z);
- 12. Dostępność jednostki. Istnieje liczba wymierna 1, która po pomnożeniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
- ?1? P(0): ? X? Q: X 1 = X;
- 13. Obecność liczb odwrotnych. Każda liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, która pomnożona przez daje 1.
- ?X? P(0):? X- 1: X X- 1 = 1.
- 14. Powiązanie relacji porządku z operacją mnożenia. Lewą i prawą stronę nierówności wymiernej można pomnożyć przez tę samą dodatnią liczbę wymierną.
- ?X, y, z? Q: ( X ty)? ( z > 0) > y z X z
- 15. Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Operację mnożenia koordynuje się z operacją dodawania poprzez prawo podziału:
- (?X, y, z? Q: ( X + y) z = X z + y z
- 16. Aksjomat Archimedesa. Niezależnie od liczby wymiernej a, możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekracza a.
?A? Q? N? N.: > A
Dodatkowe właściwości
Wszystkie inne właściwości właściwe liczbom wymiernym nie są wyróżniane jako podstawowe, ponieważ, ogólnie rzecz biorąc, nie opierają się już bezpośrednio na własnościach liczb całkowitych, ale można je udowodnić na podstawie danych podstawowych właściwości lub bezpośrednio przez definicję jakiegoś obiektu matematycznego . Takich dodatkowych właściwości jest mnóstwo. Warto tutaj wymienić tylko kilka z nich.
Relacja drugiego rzędu „>” jest również przechodnia.
?X, y, z? Q: ( X > y) ? (y > z)> X > z(przechodniość porządku);
Iloczyn dowolnej liczby wymiernej i zera jest równy zero.
?X? Q: X· 0 = 0;
Żadnych dzielników zera.
Racjonalne nierówności tego samego znaku można dodawać termin po wyrazie.
?A, B, C, D? Q: A > B ? C > D > A + C > B + D
Zbiór liczb wymiernych Q to pole(mianowicie, pole prywatne pierścienie liczb całkowitych Z) w zakresie operacji dodawania i mnożenia ułamków.
Każda liczba wymierna jest algebraiczny.
Matematyka, ze względu na swoją specyfikę, daje nauczycielom ogromne możliwości w zakresie rozwijania myślenia dzieci. Możesz rozwijać myślenie uczniów, studiując prawie każdy temat matematyczny. Zdecydowaliśmy się na rozważenie ułamków zwykłych i ułamków zwykłych i to zadecydowało o wyborze tematu naszych badań: „Rozwój myślenia uczniów szkół podstawowych w procesie pracy propedeutycznej nad badaniem ułamków”.
Od wieku przedszkolnego dziecko operuje liczbami naturalnymi, licząc przedmioty lub licząc wiele palców dłoni. Główna koncepcja przy wprowadzaniu pojęcia zbioru liczb naturalnych N jest związek , co jest określone przez następujące aksjomaty Peano.
Aksjomat 1. W obfitości N Istnieje element, który nie następuje bezpośrednio po żadnym elemencie tego zbioru, nazywany jedynką i oznaczony symbolem 1.
Aksjomat 2. Dla każdego elementu P zestawy N, jest tylko jeden element ( n+1), zaraz po P.
Aksjomat 3. Dla każdego elementu P z N istnieje co najwyżej jeden element ( p-1), po którym następuje natychmiast P.
Aksjomat 4. Dowolny podzbiór R zestawy N zbiega się z N, jeżeli spełnione są dla niego następujące właściwości: 1) 1 zawiera się w R; 2) z tego, że P zawarte w R, wynika, że ( n+1) zawarte w R.
Na podstawie aksjomatów Peano formułujemy definicję zbioru liczb naturalnych.
Definicja. Pęczek N, których elementy spełniają aksjomaty 1-4, tj. są w związku „bezpośrednio podążaj”, zwany zbiór liczb naturalnych, a jego elementy są liczbami naturalnymi.
Rozszerzanie zbioru liczb naturalnych N Jest zbiór liczb całkowitych Z, czyli suma liczb naturalnych, liczby zero i liczb przeciwnych liczbom naturalnym.
Rozszerzeniem zbioru liczb całkowitych jest zbiór liczb wymiernych Q, czyli kombinacja liczb całkowitych i ułamkowych. Zbiór wszystkich liczb dających się przedstawić w postaci ułamka nieredukowalnego m/n, Gdzie M może być dowolną liczbą całkowitą (nie wyłączając zera), tj. MÎ Z, A N - liczba naturalna, tj. NÎ N, tworzą zbiór liczb wymiernych . Dowolną liczbę wymierną można zapisać jako nieskończony okresowy ułamek dziesiętny i odwrotnie, każdy nieskończony okresowy ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną.
Istnieją liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka nieredukowalnego, tj. nie należą do zbioru liczb wymiernych. Takie liczby są zbiór liczb niewymiernych I, można je przedstawić jako nieskończony ułamek dziesiętny nieokresowy. Na przykład długość przekątnej kwadratu o boku 1 musi być wyrażona przez jakąś liczbę dodatnią r 2=1 2 +1 2 (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa), tj. takie, że r 2=2. Numer R nie może być liczbą całkowitą, 1 2 = 1, 2 2 = 4 itd. Numer R nie może być ułamkowa: jeśli r = m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, gdzie n¹1, wówczas r 2 = m 2 /n 2 będzie również ułamkiem nieredukowalnym, gdzie n 2 ¹ 1; oznacza to, że m 2 /n 2 nie jest liczbą całkowitą i dlatego nie może być równe 2. Dlatego długość przekątnej kwadratu wyraża się liczbą niewymierną, jest ona oznaczana . Podobnie nie ma liczby wymiernej, której kwadrat wynosi 5, 7, 10. Odpowiednie liczby niewymierne są oznaczone przez , , . Ich przeciwne liczby są również niewymierne i są oznaczone - , - , - .
Zbiór liczb niewymiernych jest nieskończony. Na przykład liczby p, która wyraża stosunek obwodu do średnicy, nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego - jest to liczba niewymierna.
Zbiór, którego elementami są liczby wymierne i niewymierne, nazywa się zbiór liczb rzeczywistych i jest oznaczony literą R. Każda liczba rzeczywista odpowiada pojedynczemu punktowi na osi współrzędnych. Każdy punkt na osi współrzędnych odpowiada jednej liczbie rzeczywistej. Zbiór liczb rzeczywistych jest również nazywany Numer linii.
Zbadaliśmy proces rozszerzania pojęcia liczby z naturalnej na rzeczywistą, co wiązało się z potrzebami praktyki i potrzebami samej matematyki. Konieczność dzielenia doprowadziła od liczb naturalnych do koncepcji ułamkowych liczb dodatnich; następnie operacja odejmowania doprowadziła do pojęć liczb ujemnych i zera; ponadto potrzeba wyodrębnienia pierwiastków z liczb dodatnich - do koncepcji liczby niewymiernej. Zbiór, na którym wszystkie te operacje są wykonalne, jest zbiorem liczb rzeczywistych, ale nie wszystkie operacje są wykonalne na tym zbiorze. Nie da się np. wydobyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej ani rozwiązać równania kwadratowego x 2 + x + 1 = 0. Oznacza to, że istnieje potrzeba rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych.
Wprowadźmy liczbę I, takie że ja 2= - 1. Ta liczba pozwoli ci wyodrębnić pierwiastki z liczb ujemnych. Zatem rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych wynosi zbiór liczb zespolonych, co jest oznaczone literą Z. Ze zbiorem liczb zespolonych szczegółowo zapoznamy się później.
Będziemy stosować następującą notację:
N- zbiór liczb naturalnych;
Z- zbiór liczb całkowitych;
Q- zbiór liczb wymiernych,
R- zbiór liczb rzeczywistych
Z- zbiór liczb zespolonych.
Pierwszym rozszerzeniem pojęcia liczby, którego uczą się uczniowie po zapoznaniu się z liczbami naturalnymi, jest dodanie zera. Dzieje się tak nawet w szkole podstawowej.
Po pierwsze, „O” jest znakiem wskazującym na brak liczby. Dlaczego nie można dzielić przez zero?
Dzielić oznacza znajdować takie X , Co: x-0 = a. Istnieją dwa możliwe przypadki:
1) A * X: dg-0 * 0. To niemożliwe;
2) a = 0, dlatego musimy znaleźć xg. x-0 = 0. Takie X tyle, ile chcesz, co jest sprzeczne z wymogiem, że każda operacja arytmetyczna jest unikalna:
Istnieją podręczniki, w których podstawowe prawa postępowania uznawane są za sprawiedliwe bez niezbędnego uzasadnienia.
Na zajęciach z matematyki w klasach V-VI odbywa się konstrukcja zbioru liczb wymiernych. Należy zauważyć, że kolejność rozszerzeń zestawu nie jest unikalna. Możliwe opcje:
![](https://i0.wp.com/studme.org/htm/img/16/3319/59.png)
Elementarne pojęcie liczby ułamkowej podawane jest już w szkole podstawowej w postaci kilku ułamków jednostki.
W szkole podstawowej ułamki i działania na nich wprowadza się zwykle metodą problemów celowych, wymyśloną na przykład przez S.I. Szokora-Trockiego, na przykład przy rozważaniu następującego problemu.
- 1 kg granulowanego cukru kosztuje 15 rubli. Ile kosztują 4 kg piasku? 5 kg?
- - kg?
Uczniowie potrafią pomnożyć 15 przez 4, przez 5, teraz muszą znaleźć
Od 15. Uczniowie potrafią podzielić przez 3, sprawdzając, ile kosztuje jeden ułamek liczby 3.
kilogram i pomnóż przez 2, aby obliczyć, ile kosztują dwie takie akcje. Ponieważ rozsądne jest rozwiązanie tego samego problemu za pomocą tej samej operacji arytmetycznej, dochodzą do wniosku, że te dwie kolejne operacje są równoważne pomnożeniu 15 przez -.
Wprowadzając liczby ułamkowe warto uwzględnić doświadczenie uczniów i na nim polegać. Uczniowie spotykają się z ułamkami w muzyce. Najczęściej spotykane w nim ułamki to: dwie czwarte, trzy czwarte, w tłumaczeniu na język matematyczny: dwie czwarte, trzy czwarte. Górna liczba wskazuje liczbę uderzeń na takt: dwa lub trzy. Dolna liczba wskazuje czas trwania tego uderzenia. W naszym przypadku jest to ćwiartka. Marsze i polki rozbrzmiewają w takcie dwóch czwartych. Za trzy czwarte będzie to walc. Wspomnienia te pomogą uczniom połączyć nową wiedzę z ich doświadczeniami, co jest niezbędne do osiągnięcia zrozumienia.
Badając działania drugiego etapu, zaleca się uporządkowanie różnych przypadków mnożenia przez ułamek właściwy w kolejności rosnącej trudności: 1) mnożenie przez liczbę całkowitą; 2) pomnożenie liczby całkowitej przez liczbę mieszaną; 3) pomnożenie ułamka przez liczbę mieszaną; 4) mnożenie przez ułamek właściwy; 5) mnożenie przez ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi.
Aby pokazać, że liczba jest podzielona przez ułamek właściwy
jest określony, możemy rozważyć następującą sytuację: 6: -.
Sześć kół pocięto na cztery części; oczywiście było więcej części niż kół.
Aby wprowadzić złożone przypadki, zaproponowano problem obliczenia pola prostokąta.
Istnieją zalety i wady dowolnej sekwencji ułamków uczących się.
Jeśli przed ułamkami zwykłymi wstawimy ułamki dziesiętne, wówczas dodatnią będzie to, że:
- ułamki dziesiętne można wprowadzić biorąc pod uwagę dziesiętny system numeracji liczb całkowitych dodatnich (pierwsza cyfra po przecinku to dziesiąte części jednostki, a następna to części setne...);
- wszystkie operacje arytmetyczne są łatwiejsze do wykonania na ułamkach dziesiętnych;
- mają większe zastosowanie praktyczne niż zwykłe.
Minusem jest to, że dla zwykłych ułamków wszystko
teorię ułamków należy odbudować, ponieważ nie da się wyciągnąć ogólnych wniosków z konkretnego przypadku.
Jeśli ułamki zwykłe zostaną wprowadzone przed miejscami dziesiętnymi, należy wziąć pod uwagę, że:
- ułamki dziesiętne są szczególnym przypadkiem zwykłych, dlatego wszystkie zasady działania są konsekwencjami;
- działania drugiego etapu dla ułamków dziesiętnych jako zbioru jednostek nowocyfrowych (dla działań pierwszego etapu) są niemożliwe;
- działania na niektórych zwykłych są prostsze (drugi etap);
- główna właściwość ułamka tylko na podstawie ogólnej koncepcji ułamka.
Do wprowadzania liczb ujemnych stosuje się różne techniki.
Zatem w celu zapewnienia motywacji można wykorzystać sytuację problemową bliską doświadczeniu dziecka.
Robin Hood uciekając przed prześladowcami, popłynął w górę rzeki A km, ale znalazłszy się przed brodem, zmuszony był płynąć w dół rzeki i pływać B km. Gdzie trafił na początku swojej podróży (w jakiej odległości od wejścia do rzeki)? Po zapisaniu wyrażenia służącego do znalezienia nieznanego: x = a - b y konieczne jest rozważenie wszystkich możliwych relacji między aik
1) a > k, 2) a = b; 3) ale niemożliwe.
Można także wprowadzić liczby ujemne:
- poprzez rozważenie wielkości o przeciwnych znaczeniach (A.P. Kiselev);
- przy rozważaniu charakterystyki zmian (wzrostów i spadków) ilości;
- na podstawie przedstawień graficznych, liczb ujemnych jako znaków punktów na osi (V. L. Goncharov);
- poprzez problem zmiany poziomu wody w rzece na dwa dni (D.K. Faddeev i I.S. Sominsky): podczas ulewnych opadów poziom wody w rzece podniósł się o A cm w ciągu dnia. W ciągu następnych 24 godzin poziom wody opadł B cm Jaki będzie poziom wody po dwóch dniach? (a - b);
- przy przedstawianiu odległości w skali temperatury (A. N. Barsukov).
Techniki te można również wykorzystać jako jeden z aspektów motywacji. Kolejnym aspektem jest brak możliwości wykonania jakiejkolwiek czynności, jak w zadaniu powyżej.
Wprowadzając porównanie i operacje na liczbach wymiernych i własnościach działań otrzymaliśmy pole liczbowe. Jej dalsza ekspansja nie może być już podyktowana zaniechaniem działań. Rozszerzenie pojęcia liczby spowodowane zostało względami geometrycznymi, a mianowicie: brakiem zgodności jeden do jednego pomiędzy zbiorem liczb wymiernych a zbiorem punktów na osi liczbowej. W przypadku geometrii konieczne jest, aby każdy punkt na osi liczbowej miał odciętą, tj. tak aby każdy odcinek o danej jednostce miary odpowiadał liczbie, którą można przyjąć za jego długość.
Potrzeba tego rozszerzenia wynika również z niemożności wyodrębnienia pierwiastka z liczby dodatniej i znalezienia logarytmu dowolnej liczby dodatniej dla dowolnej podstawy dodatniej. Cel ten osiąga się po tym, jak pole liczb wymiernych (poprzez dodanie do niego układu liczb niewymiernych) ulegnie rozwinięciu do zbioru liczb rzeczywistych.
Dodatnie liczby wymierne.
Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik.
Znaki podzielności.
Teoretyczne znaczenie różnicy.
Teoretyczne znaczenie sumy.
PYTANIA DO KOLOKWIUM
1. Z historii powstania pojęcia liczby naturalnej.
2. Liczby naturalne porządkowe i kardynalne. Sprawdzać.
3. Teoretyczne znaczenie kardynalnej liczby naturalnej i zera.
4. Teoretyczne znaczenie relacji „mniej”, „równość”
6. Prawa dodawania.
8. Relacje „więcej przez” i „mniej przez”.
9. Zasady odejmowania liczby od sumy i sumy od liczby.
10. Z historii powstania i rozwoju metod zapisywania liczb naturalnych i zera.
11. Pojęcie systemu liczbowego.
12. Pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.
13. Zapisywanie i nazywanie liczb w systemie dziesiętnym.
14. Dodawanie w systemie dziesiętnym.
15. Mnożenie w systemie dziesiętnym
16. Porządek zbioru liczb naturalnych.
17. Odejmowanie w systemie dziesiętnym.
18. Dzielenie w systemie dziesiętnym.
19. Zbiór nieujemnych liczb całkowitych.
20. Relacja podzielności i jej własności.
23. Liczby pierwsze. Metody znajdowania największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb.
24. Pojęcie ułamka.
27. Zapisywanie liczb wymiernych dodatnich w postaci ułamków dziesiętnych.
28. Liczby rzeczywiste.
MODUŁ 4. LICZBY I ILOŚCI GEOMETRYCZNE
Wiadomo, że liczby powstały z potrzeby liczenia i mierzenia, ale jeśli do liczenia wystarczą liczby naturalne, to do pomiaru wielkości potrzebne są inne liczby. W wyniku pomiaru wielkości będziemy jednak brać pod uwagę tylko liczby naturalne. Po zdefiniowaniu znaczenia liczby naturalnej jako miary wielkości dowiemy się, jakie znaczenie mają działania arytmetyczne na takich liczbach. Nauczycielowi szkoły podstawowej potrzebna jest ta wiedza nie tylko do uzasadnienia wyboru działań przy rozwiązywaniu problemów z wielkościami, ale także do zrozumienia innego podejścia do interpretacji liczb naturalnych, które istnieje w nauczaniu matematyki w szkołach podstawowych.
Liczbę naturalną rozważymy w związku z pomiarami dodatnich wielkości skalarnych - długości, pól, mas, czasu itp., dlatego zanim zaczniemy mówić o związku między wielkościami a liczbami naturalnymi, przypomnijmy sobie kilka faktów związanych z wielkością i pomiarem , zwłaszcza że pojęcie ilości wraz z liczbą ma fundamentalne znaczenie na początkowym kursie matematyki.
W ostatnich latach pojawiła się tendencja do włączania znacznej ilości materiału geometrycznego do początkowego kursu matematyki. Aby jednak nauczyciel mógł zapoznać uczniów z różnymi figurami geometrycznymi (zarówno w płaszczyźnie, jak i w przestrzeni) i nauczyć ich prawidłowego przedstawiania figur geometrycznych, potrzebuje odpowiedniego przygotowania matematycznego. Oczywiście potrzebna jest wiedza na temat historii powstania i rozwoju geometrii, ponieważ student w procesie opracowywania pojęć geometrycznych przechodzi w skondensowanej formie główne etapy tworzenia nauk geometrycznych. Nauczyciel musi znać wiodące idee kursu geometrii, znać podstawowe właściwości figur geometrycznych i umieć je konstruować.
Materiał zawarty w tym module pomoże nauczycielowi opanować ten materiał. Uwzględniając przygotowanie uczniów na szkolnym kursie matematyki, przedstawia materiał geometryczny niezbędny do nauczania uczniów szkół podstawowych elementów geometrii.
Uczeń musi potrafić:
Zilustrować na przykładach z podręczników matematyki dla szkół podstawowych definicję liczby naturalnej i działania na liczbach w wyniku pomiaru wielkości;
Rozwiązywanie elementarnych problemów konstrukcyjnych przy pomocy kompasu i linijki w zakresie określonym treścią szkolenia;
Rozwiązywać proste problemy polegające na dowodzie i obliczaniu wartości liczbowych figur geometrycznych;
Narysuj pryzmat, równoległościan prostokątny, piramidę, walec, stożek, kulę na płaszczyźnie, korzystając z zasad projektowania.
Wykład nr 19
Matematyka
Wstęp
2. Pojęcie ułamka
6. Liczby rzeczywiste
Wstęp
Koncepcja frakcji
W zapisie ułamkowym
Ułamek - tzw prawidłowy , jeśli jego licznik jest mniejszy niż mianownik, oraz zło , jeśli jego licznik jest większy lub równy mianownikowi.
Wróćmy do rysunku 2, gdzie pokazano, że czwarta część odcinka e pasuje do odcinka x dokładnie 14 razy. Oczywiście nie jest to jedyna możliwość wybrania części odcinka e, która pasuje do odcinka d: liczbę całkowitą razy. Możesz wziąć ósmą część odcinka e, wówczas odcinek d: będzie się składał z 28
Takich części jest 28, a ich długość będzie wyrażona jako ułamek.
Możesz wziąć szesnastą część odcinka e, wówczas odcinek x będzie składał się z 56 takich części, a jego długość będzie wyrażona w ułamku zwykłym.
Generalnie długość tego samego odcinka x dla danego odcinka jednostkowego e można wyrazić w różnych ułamkach, a jeżeli długość wyraża się w ułamku , to można to wyrazić dowolnym ułamkiem postaci , gdzie k jest liczbą naturalną.
Twierdzenie. Do robienia ułamków i wyrażoną długością tego samego odcinka, konieczne i wystarczające jest, aby zachodziła równość mq = nр.
Pomijamy dowód tego twierdzenia.
Definicja. Dwie frakcje i nazywane są równymi, jeśli mq = np.
Jeśli ułamki są równe, napisz = .
Na przykład = , ponieważ 17 21 = 119 3 = 357 i ≠ , ponieważ 17 27 = 459, 19 23 = 437 i 459≠437.
Z twierdzenia i definicji podanych powyżej wynika, że dwa ułamki są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażają długość tego samego odcinka.
Wiemy, że relacja równości ułamków jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, tj. jest relacją równoważności. Można to teraz udowodnić, korzystając z definicji równych ułamków.
Twierdzenie. Równość ułamków jest relacją równoważności.
Dowód. Rzeczywiście, równość ułamków jest zwrotna: = , ponieważ równość mn = mn jest prawdziwa dla dowolnego typu liczb naturalnych. Równość ułamków jest symetryczna: jeśli = , następnie = , gdyż z mq = nр wynika, że р n = qm (m, n, p, q N). Jest przechodnie: jeśli = i = , zatem = . Właściwie od = , wtedy mq = nр, a ponieważ = , to ps = qr. Mnożąc obie strony równości mq = nр przez s i równość рs = qr przez n, otrzymujemy mqs = nps i nps = qrs. Gdzie mqs = qrn lub ms = nr. Oznacza to ostatnia równość = . Zatem równość ułamków jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, dlatego jest to relacja równoważności.
Podstawowa właściwość ułamka wynika z definicji ułamków równych. Przypomnijmy mu.
Jeżeli licznik i mianownik ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę naturalną, otrzymamy ułamek równy podanemu.
Właściwość ta opiera się na zmniejszaniu ułamków i sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika.
Redukcja ułamków polega na zastąpieniu danego ułamka innym, równym podanemu, ale o mniejszym liczniku i mianowniku.
Jeśli licznik i mianownik ułamka są jednocześnie podzielne tylko przez jeden, wówczas ułamek nazywa się nieredukowalnym. Na przykład - ułamek nieredukowalny, ponieważ jego licznik i mianownik są jednocześnie podzielne tylko przez jeden, tj. D(5, 17) =1.
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika polega na zastępowaniu podanych ułamków ułamkami równymi, które mają te same mianowniki. Wspólny mianownik dwóch ułamków i jest wspólną wielokrotnością n i q, a najmniejszym wspólnym mianownikiem jest ich najmniejsza wielokrotność K(n, q).
Zadanie. Sprowadź do najniższego wspólnego mianownika i .
Rozwiązanie. Rozłóżmy liczby 15 i 35 na czynniki pierwsze: 15 = 3,5, 35 = 5,7. Wtedy K(15, 35) = 3,5,7 = 105. Ponieważ 105= 15,7 = 35,3, to = = , = = .
Liczby rzeczywiste
Jednym ze źródeł pojawienia się ułamków dziesiętnych jest dzielenie liczb naturalnych, innym jest pomiar wielkości. Dowiedzmy się na przykład, jak można uzyskać ułamki dziesiętne, mierząc długość odcinka.
Niech x będzie odcinkiem, którego długość ma zostać zmierzona, a e będzie odcinkiem jednostkowym. Niech długość odcinka x oznaczymy literą X, a długość odcinka e literą E. Niech odcinek x składa się z n odcinków równych e i odcinka x 1, który jest krótszy od odcinka e (ryc. 3), tj.
n·E< X < (n + 1) ·Е. Числа n и n+ 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.
Aby uzyskać odpowiedź z większą dokładnością, weźmy odcinek e 1 - jedną dziesiątą odcinka e i umieśćmy go w odcinku x 1. W tym przypadku możliwe są dwa przypadki.
1) Odcinek e 1 pasuje do odcinka x 1 dokładnie n razy. Następnie długość odcinka x wyraża się w skończonym ułamku dziesiętnym:
X = ·E= ·E. Na przykład X = 3,4 E.
2) Okazuje się, że odcinek x 1 składa się z n odcinków równych e 1 i odcinka x 2, który jest krótszy od odcinka e 1. Następnie E<Х ·Е, где и
Przybliżone wartości długości odcinka x z niedoborem i nadmiarem z dokładnością do 0,1.
Oczywiste jest, że w drugim przypadku proces pomiaru długości odcinka x można kontynuować, przyjmując nowy odcinek jednostkowy e 2 - setną część odcinka e.
W praktyce proces pomiaru długości odcinka w pewnym momencie się zakończy. A wtedy wynikiem pomiaru długości odcinka będzie liczba naturalna lub skończony ułamek dziesiętny. Jeśli wyobrazimy sobie idealny proces pomiaru długości odcinka (tak jak dzieje się to w matematyce), wówczas możliwe są dwa wyniki:
1) W k-tym kroku proces pomiarowy zakończy się. Następnie długość odcinka x zostanie wyrażona jako skończony ułamek dziesiętny postaci .
2) Opisany proces pomiaru długości odcinka x trwa w nieskończoność. Następnie raport na ten temat można przedstawić za pomocą symbolu, który nazywa się nieskończonym ułamkiem dziesiętnym.
Skąd możesz mieć pewność, że drugi wynik jest możliwy? Aby to zrobić, wystarczy zmierzyć długość takiego odcinka, dla którego wiadomo, że jego długość wyraża się na przykład liczbą wymierną 5-. Gdyby okazało się, że w wyniku pomiaru długości takiego odcinka otrzymany zostanie skończony ułamek dziesiętny, oznaczałoby to, że liczbę 5 można przedstawić w postaci skończonego ułamka dziesiętnego, co jest niemożliwe: 5 = 5,666.. ..
Tak więc, mierząc długości odcinków, można uzyskać nieskończone ułamki dziesiętne. Ale czy te ułamki są zawsze okresowe? Odpowiedź na to pytanie jest negatywna, istnieją odcinki, których długości nie można wyrazić w postaci nieskończonego ułamka okresowego (tj. dodatniej liczby wymiernej) w wybranej jednostce długości. Było to wielkie odkrycie w matematyce, z którego wynikało, że liczby wymierne nie wystarczą do pomiaru długości odcinków.
Twierdzenie. Jeżeli jednostką długości jest długość boku kwadratu, to długości przekątnej tego kwadratu nie można wyrazić w postaci dodatniej liczby wymiernej.
Dowód. Niech długość boku kwadratu będzie wyrażona liczbą 1. Załóżmy coś odwrotnego do tego, co należy udowodnić, tj. że długość przekątnej AC kwadratu ABCD wyraża się ułamkiem nieredukowalnym . Wtedy, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, zachodziłaby równość 1 2 +1 2 =. Wynika z tego, że m 2 = 2п 2. Oznacza to, że m 2 jest liczbą parzystą, to liczba m jest parzysta (kwadrat liczby nieparzystej nie może być parzysty). Zatem m = 2 p. Zastępując liczbę m w równości m 2 = 2n 2 przez 2p, otrzymujemy, że 4p 2 = 2n 2, tj. 2p 2 = n 2. Wynika z tego, że n 2 jest liczbą parzystą, zatem n jest liczbą parzystą. Zatem liczby m i n są parzyste, co oznacza ułamek można zmniejszyć o 2, co przeczy założeniu o jego nieredukowalności. Ustalona sprzeczność dowodzi, że jeśli jednostką długości jest długość boku kwadratu, to długości przekątnej tego kwadratu nie można wyrazić w postaci liczby wymiernej.
Ze sprawdzonego twierdzenia wynika, że istnieją odcinki, których długości nie można wyrazić liczbą dodatnią (z wybraną jednostką długości), czyli inaczej zapisać w postaci nieskończonego ułamka okresowego. Oznacza to, że nieskończone ułamki dziesiętne uzyskane podczas pomiaru długości odcinków mogą być nieokresowe.
Uważa się, że nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne są reprezentacją nowych liczb - dodatnich liczb niewymiernych. Ponieważ pojęcia liczby i jej zapisu są często identyfikowane, mówią, że nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne są dodatnie liczby niewymierne.
Do koncepcji dodatniej liczby niewymiernej doszliśmy poprzez proces pomiaru długości odcinków. Ale liczby niewymierne można również uzyskać, biorąc pierwiastki niektórych liczb wymiernych. Zatem , , są liczbami niewymiernymi. Tan5, sin 31, liczby π = 3,14..., e = 2,7828... i inne też są niewymierne
Zbiór dodatnich liczb niewymiernych jest oznaczony symbolem J +.
Suma dwóch zbiorów liczb: dodatniego wymiernego i dodatnio niewymiernego nazywana jest zbiorem dodatnich liczb rzeczywistych i oznaczana symbolem R +. Zatem Q + J + = R + . Korzystając z kręgów Eulera, zbiory te przedstawiono na rysunku 4.
Dowolną dodatnią liczbę rzeczywistą można przedstawić za pomocą nieskończonego ułamka dziesiętnego - okresowego (jeśli jest wymierny) lub nieokresowego (jeśli jest niewymierny).
Operacje na dodatnich liczbach rzeczywistych sprowadzają się do operacji na dodatnich liczbach wymiernych.
Dodawanie i mnożenie dodatnich liczb rzeczywistych ma właściwości przemienności i łączenia, a mnożenie ma charakter rozdzielczy w odniesieniu do dodawania i odejmowania.
Za pomocą dodatnich liczb rzeczywistych można wyrazić wynik pomiaru dowolnej wielkości skalarnej: długości, powierzchni, masy itp. Jednak w praktyce często konieczne jest wyrażenie w liczbie nie wyniku pomiaru wielkości, ale jej zmiany. Co więcej, jego zmiana może nastąpić na różne sposoby - może wzrosnąć, zmniejszyć lub pozostać niezmieniona. Dlatego, aby wyrazić zmianę ilości, oprócz dodatnich liczb rzeczywistych, potrzebne są inne liczby i w tym celu konieczne jest rozwinięcie zbioru R + poprzez dodanie do niego liczby 0 (zero) i liczb ujemnych.
Wykład nr 19
Matematyka
Temat: „O rozszerzaniu zbioru liczb naturalnych”
Wstęp
2. Pojęcie ułamka
3. Dodatnie liczby wymierne
4. Zbiór dodatnich liczb wymiernych jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych
5. Zapisywanie liczb wymiernych dodatnich w postaci ułamków dziesiętnych
6. Liczby rzeczywiste
Wstęp
Większość zastosowań matematyki obejmuje pomiar wielkości. Jednak do tych celów liczby naturalne nie wystarczą: jednostka ilości nie zawsze pasuje do całkowitej liczby razy w mierzonej wielkości. Aby w takiej sytuacji dokładnie wyrazić wynik pomiaru, konieczne jest poszerzenie zasobu liczb o liczby inne niż naturalne. Ludzie doszli do tego wniosku już w starożytności: pomiar długości, powierzchni, mas i innych wielkości doprowadził najpierw do pojawienia się liczb ułamkowych - otrzymali liczby wymierne, a w V wieku p.n.e. matematycy szkoły pitagorejskiej odkryli, że istnieją odcinki, których długości, przy wybranej jednostce długości, nie można wyrazić w postaci liczby wymiernej. Później w związku z rozwiązaniem tego problemu pojawiły się liczby niewymierne. Liczby wymierne i niewymierne nazywane są liczbami rzeczywistymi. Ścisłą definicję liczby rzeczywistej i uzasadnienie jej własności podano w XIX wieku.
Zależności pomiędzy różnymi zbiorami liczb (N, Z, Q i R) można zwizualizować za pomocą okręgów Eulera (rys. 1).
Liczby rzeczywiste nie są ostatnimi w szeregu różnych liczb. Proces, który rozpoczął się wraz z rozszerzaniem zbioru liczb naturalnych, trwa do dziś - wymaga tego rozwój różnych nauk i samej matematyki.
Uczniowie są zwykle zapoznawani z liczbami ułamkowymi w klasach podstawowych. Pojęcie ułamka jest następnie udoskonalane i rozwijane w szkole średniej. W związku z tym nauczyciel musi opanować pojęcie ułamków zwykłych i liczb wymiernych, znać zasady wykonywania operacji na liczbach wymiernych oraz właściwości tych działań. Wszystko to jest potrzebne nie tylko, aby matematycznie poprawnie wprowadzić pojęcie ułamków i nauczyć młodszych uczniów wykonywania na nich operacji, ale także, co nie mniej ważne, aby zobaczyć relacje między zbiorami liczb wymiernych i rzeczywistych a zbiorem liczb naturalnych . Bez ich zrozumienia nie da się rozwiązać problemu ciągłości nauczania matematyki w klasach podstawowych i kolejnych szkołach.
Zwróćmy uwagę na specyfikę prezentacji materiału w tym akapicie, wynikającą zarówno z niewielkiej objętości kursu matematyki dla nauczycieli szkół podstawowych, jak i jego celu: materiał zostanie zaprezentowany głównie w formie podsumowania, często bez rygorystycznych dowodów; Materiał dotyczący liczb wymiernych zostanie przedstawiony bardziej szczegółowo.
Rozbudowa zbioru N liczb naturalnych będzie następować w następującej kolejności: najpierw konstruowany jest zbiór Q + dodatnich liczb wymiernych, następnie pokazano, jak można go rozwinąć do zbioru R+ dodatnich liczb rzeczywistych, a na koniec , bardzo krótko opisano rozwinięcie zbioru R+ do zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych.
Koncepcja frakcji
Niech będzie konieczne zmierzenie długości odcinka x za pomocą odcinka jednostkowego e (ryc. 2). Podczas pomiaru okazało się, że odcinek x składa się z trzech odcinków równych e i odcinka krótszego od odcinka e. W tym przypadku długości odcinka x nie można wyrazić liczbą naturalną. Jeśli jednak odcinek e zostanie podzielony na 4 równe części, wówczas odcinek x okaże się składać z 14 odcinków równych czwartej części odcinka e.
A potem mówiąc o długości odcinka x, musimy wskazać dwie liczby 4 i 14: czwarta część odcinka e mieści się w odcinku dokładnie 14 razy. Dlatego zgodziliśmy się zapisać długość odcinka x w postaci ·E, gdzie E jest długością odcinka jednostkowego e, a symbol nazywamy ułamkiem.
Ogólnie pojęcie ułamka definiuje się w następujący sposób.
Niech dany będzie odcinek x i odcinek jednostkowy e, którego długość wynosi E. Jeżeli odcinek x składa się z m odcinków równych n-tej części odcinka e, to długość odcinka x można przedstawić w postaci forma ·E, gdzie symbol - nazywany jest ułamkiem (i czytaj „ um n-te”).
W zapisie ułamkowym liczby m i n są liczbami naturalnymi, m nazywa się licznikiem, n jest mianownikiem ułamka.
- Paweł Gawrilowicz Winogradow: biografia
- Rzeczpospolita – co to znaczy?
- Filozofia o życiu, śmierci i nieśmiertelności człowieka. Pojęcie życia, śmierci i nieśmiertelności
- Kiełbasy i kimchi, gofry i smardze, acai i kanapki – niemal wierszem mówią do nas szefowie kuchni, którzy wymyślili oryginalne, letnie śniadania