Pochodna przykładów wykładniczej funkcji potęgowej. Złożone pochodne
Przy różnicowaniu wykładniczych funkcji potęgowych lub uciążliwych wyrażeń ułamkowych wygodnie jest używać pochodnej logarytmicznej. W tym artykule przyjrzymy się przykładom jego zastosowania wraz ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Dalsza prezentacja zakłada umiejętność korzystania z tabeli pochodnych, zasad różniczkowania oraz znajomość wzoru na pochodną funkcji zespolonej.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną logarytmiczną.
Najpierw sprowadzamy logarytmy do podstawy e, upraszczamy postać funkcji, korzystając z właściwości logarytmu, a następnie znajdujemy pochodną domyślnie określonej funkcji:
Na przykład znajdźmy pochodną wykładniczej funkcji potęgowej x do potęgi x.
Branie logarytmów daje . Zgodnie z właściwościami logarytmu. Różniczkowanie obu stron równości prowadzi do wyniku:
Odpowiedź: .
Ten sam przykład można rozwiązać bez użycia pochodnej logarytmicznej. Można przeprowadzić pewne przekształcenia i przejść od różniczkowania wykładniczej funkcji potęgowej do znalezienia pochodnej złożona funkcja:
Przykład.
Znajdź pochodną funkcji .
Rozwiązanie.
W tym przykładzie funkcja jest ułamkiem, a jego pochodną można znaleźć, korzystając z zasad różniczkowania. Ale ze względu na uciążliwość wyrażenia będzie to wymagało wielu przekształceń. W takich przypadkach rozsądniej jest zastosować wzór na pochodną logarytmiczną
. Dlaczego? Teraz zrozumiesz.
Znajdźmy to najpierw. W przekształceniach będziemy korzystać z własności logarytmu (logarytm ułamka jest równy różnicy logarytmów, a logarytm iloczynu równa sumie logarytmy, a stopień wyrażenia pod znakiem logarytmu można wyrazić jako współczynnik przed logarytmem):
Przekształcenia te doprowadziły nas do dość prostego wyrażenia, którego pochodną łatwo znaleźć:
Otrzymany wynik podstawiamy do wzoru na pochodną logarytmiczną i otrzymujemy odpowiedź:
Aby skonsolidować materiał, podamy jeszcze kilka przykładów bez szczegółowych wyjaśnień.
Przykład.
Znajdź pochodną wykładniczej funkcji potęgowej
y = ty v ,
w którym podstawa u i wykładnik v są pewnymi funkcjami zmiennej x:
ty = ty (X); v = w (X).
Ta funkcja jest również nazywana wykładniczy Lub .
Należy zauważyć, że funkcję potęgowo-wykładniczą można przedstawić w formie wykładniczej:
.
Dlatego też jest to tzw złożona funkcja wykładnicza.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej
Obliczenia przy użyciu pochodnej logarytmicznej
Znajdźmy pochodną funkcji wykładniczej potęgowej
(2)
,
gdzie i są funkcjami zmiennej.
Aby to zrobić, logarytmujemy równanie (2) za pomocą własność logarytmu :
.
Różniczkuj ze względu na zmienną x:
(3)
.
Stosujemy zasady różniczkowania funkcji złożonych I Pracuje :
;
.
Podstawiamy w (3):
.
Stąd
.
Zatem znaleźliśmy pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej:
(1)
.
Jeśli wykładnik jest stały, to . Wtedy pochodna jest równa pochodnej zespolonej funkcji potęgowej:
.
Jeśli podstawa stopnia jest stała, to . Wtedy pochodna jest równa pochodnej złożonej funkcji wykładniczej:
.
Gdy i są funkcjami x, to pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej jest równa sumie pochodnych zespolonej funkcji potęgowej i wykładniczej.
Obliczanie pochodnej poprzez redukcję do złożonej funkcji wykładniczej
Znajdźmy teraz pochodną funkcji wykładniczej potęgowej
(2)
,
przedstawiając to jako złożoną funkcję wykładniczą:
(4)
.
Rozróżnijmy produkt:
.
Stosujemy regułę znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
.
I znowu otrzymaliśmy wzór (1).
Przykład 1
Znajdź pochodną następującej funkcji:
.
Obliczamy za pomocą pochodna logarytmiczna. Logarytmujemy pierwotną funkcję:
(A1.1) .
Z tablice pochodne znaleźliśmy:
;
.
Przez wzór na pochodną produktu mamy:
.
Rozróżniamy (A1.1):
.
Ponieważ
,
To
.
Bardzo łatwe do zapamiętania.
Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:
W naszym przypadku podstawą jest liczba:
Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.
Czemu to jest równe? Oczywiście, .
Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:
Przykłady:
- Znajdź pochodną funkcji.
- Jaka jest pochodna funkcji?
Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.
Zasady różnicowania
Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...
Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.
To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.
Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:
W sumie jest 5 zasad.
Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.
Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.
Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .
Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.
Przykłady.
Znajdź pochodne funkcji:
- w pewnym momencie;
- w pewnym momencie;
- w pewnym momencie;
- w tym punkcie.
Rozwiązania:
- (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);
Pochodna produktu
Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:
Pochodna:
Przykłady:
- Znajdź pochodne funkcji i;
- Znajdź pochodną funkcji w punkcie.
Rozwiązania:
Pochodna funkcji wykładniczej
Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).
Więc gdzie jest jakaś liczba.
Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:
W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:
Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.
Stało się?
Tutaj sprawdź sam:
Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.
Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:
Odpowiedzi:
To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.
Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:
W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:
Pochodna funkcji logarytmicznej
Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:
Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:
Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:
Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:
Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.
Pochodna funkcji zespolonej.
Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.
Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.
Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.
Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .
Dla naszego przykładu .
Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.
Drugi przykład: (to samo). .
Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).
Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:
Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji
- Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.
Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:
Inny przykład:
Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:
Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
Wydaje się to proste, prawda?
Sprawdźmy na przykładach:
Rozwiązania:
1) Wewnętrzne: ;
Zewnętrzny: ;
2) Wewnętrzne: ;
(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)
3) Wewnętrzne: ;
Zewnętrzny: ;
Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.
Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.
W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy działania, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:
Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:
Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.
1. Radykalne wyrażenie. .
2. Korzeń. .
3. Sinus. .
4. Kwadrat. .
5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:
POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:
Podstawowe pochodne:
Zasady różnicowania:
Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:
Pochodna sumy:
Pochodna produktu:
Pochodna ilorazu:
Pochodna funkcji złożonej:
Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
- Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
- Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
- Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższy porządek. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych.
TreśćZobacz też: Funkcja potęgowa i pierwiastki, wzory i wykres
Wykresy funkcji mocy
Podstawowe formuły
Pochodna x do potęgi a jest równa a razy x do potęgi minus jeden:
(1)
.
Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi wynosi:
(2)
.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej
Przypadek x > 0
Rozważmy funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a:
(3)
.
Tutaj a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Rozważmy najpierw sprawę.
Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z właściwości funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.
Teraz znajdujemy pochodną za pomocą:
;
.
Tutaj .
Wzór (1) został udowodniony.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m
Rozważmy teraz funkcję będącą pierwiastkiem następującej formy:
(4)
.
Aby znaleźć pochodną, przekształcamy pierwiastek do funkcji potęgowej:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy to
.
Następnie
.
Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1)
;
;
(2)
.
W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). Dużo wygodniej jest najpierw przekształcić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne korzystając ze wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).
Przypadek x = 0
Jeżeli , to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0
. Znajdźmy pochodną funkcji (3) przy x = 0
. W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:
.
Podstawmy x = 0
:
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawą granicę, dla której .
Znaleźliśmy więc:
.
Z tego jasno wynika, że dla , .
Na , .
Na , .
Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):
(1)
.
Zatem wzór (1) obowiązuje także dla x = 0
.
Przypadek x< 0
Rozważmy ponownie funkcję (3):
(3)
.
Dla pewnych wartości stałej a definiuje się ją również dla ujemnych wartości zmiennej x. Mianowicie, niech będzie Liczba wymierna. Wtedy można to przedstawić jako ułamek nieredukowalny:
,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi bez wspólny dzielnik.
Jeśli n jest nieparzyste, wówczas funkcję potęgową definiuje się również dla ujemnych wartości zmiennej x. Na przykład, gdy n = 3
i m = 1
mamy pierwiastek sześcienny z x:
.
Jest on również definiowany dla ujemnych wartości zmiennej x.
Znajdźmy pochodną funkcji potęgi (3) dla i dla wymiernych wartości stałej a, dla której jest ona zdefiniowana. Aby to zrobić, przedstawmy x w następującej formie:
.
Następnie ,
.
Pochodną znajdujemy umieszczając stałą poza znakiem pochodnej i stosując zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Tutaj . Ale
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) obowiązuje także dla:
(1)
.
Instrumenty pochodne wyższego rzędu
Znajdźmy teraz pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3)
.
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.
Wyjmując stałą a poza znak pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;
.
Z tego wynika, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.
Zauważ, że jeśli jest Liczba naturalna
, to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
Na .
Przykłady obliczania instrumentów pochodnych
Przykład
Znajdź pochodną funkcji:
.
Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wtedy oryginalna funkcja przyjmuje postać:
.
Znajdowanie pochodnych potęg:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.