Dzielenie kąta na 3 równe części. Dzielenie kąta na trzy równe części za pomocą kompasu i linijki (trisekcja kąta)
Podziału prostych i kątów można dokonać na dwa sposoby: okiem i przy użyciu konstrukcji geometrycznej.
Dzieląc linię na dwie równe części, postępuj w następujący sposób. Połowę tej linii prostej mierzy się okiem kompasu, a tę połowę odsuwa się od obu końców linii prostej. Jeśli końce połówek zbiegają się, oznacza to, że ta prosta jest poprawnie podzielona; jeśli nie, to błąd (różnica) jest ponownie dzielony na pół na oko i dodawany (lub odejmowany, w zależności od potrzeb) do połowy pobranej przez kompas.
To samo dzieje się przy dzieleniu na 3, 5 itd. równe części. Dzieląc na 4 równe części, najpierw podziel linię prostą na pół, a następnie na obie jej połowy. Dzieląc na 6 równych części, najpierw podziel linię prostą na 3 równe części, a następnie każdą część na pół.
Kąt dzieli się na równe części w ten sam sposób, z tą różnicą, że łuk wyciągnięty o dowolnym promieniu z wierzchołka danego kąta i zawarty pomiędzy bokami kąta dzieli się na części. Punkty podziału są połączone z wierzchołkiem kąta liniami prostymi.
Dzielenie linii prostych i kątów (łuków) okiem oszczędza czas. Dlatego musimy stale ćwiczyć ten podział.
Dzielenie linii prostej według konstrukcji odbywa się w następujący sposób. Załóżmy, że ten segment AN należy podzielić na 5 równych części. Z końca prostej AB pod dowolnym kątem rysujemy prostą AC i na niej z punktu A odkładamy pięć dowolnych odcinków tak, że AD = DE = EF = FG = GH; łączymy H z N i przez punkty D, E, F i G rysujemy proste równoległe do NH, które przetną AN w punktach I, K, L, M tak, że AL = IK = KL = LM = MN.
Dzielenie kątów na równe części według konstrukcji odbywa się na trzy główne sposoby.
1. Podziel ten kąt BAC na 2, 4, 8 itd. równe części.
Z punktów D i ze środków rysujemy łuki o równych promieniach, które przecinają się w punkcie F. Prosta FA podzieli kąt BAC (a punkt G podzieli łuk DF) na pół.
Aby podzielić kąt lub łuk na 4 równe części, należy powtórzyć tę samą konstrukcję dla każdej połowy itp. Konstrukcja jest odpowiednia dla dowolnych kątów: prostego, rozwartego i ostrego.
2. Podziel kąt prosty BAC na 3, 6, 12 itd. równe części.
Używając promienia AD z punktów D i E, opisujemy łuki, które przetną łuk w punktach F i G; narysuj AF i AG, które dzielą kąt BAC i łuk DF na 3 równe części.
Aby podzielić kąt na 6 równych części, należy podzielić każdą trzecią na pół itp.
Każdy kąt inny niż kąt prosty można podzielić na 3 równe części tylko okiem lub za pomocą kątomierza.
3. Podziel kąt utworzony przez proste LV i CD na pół, pod warunkiem, że wierzchołek kąta jest niedostępny.
Przez dowolny punkt E na prostej CD rysujemy prostą EG równoległą do LP z tego samego punktu o dowolnym promieniu opisujemy łuk GH, łączymy G i H prostą i rysujemy ją aż przetnie się z LP w punkcie I; Następnie dzielimy prostą HI na pół w punkcie M i przez ten punkt rysujemy prostopadłą KL do prostej HI, ta prostopadła podzieli kąt, którego wierzchołek jest niedostępny, na 2 równe części. Czasami konieczne jest skonstruowanie przejścia pomiędzy dwoma paskami o różnej szerokości, należy to zrobić zaokrąglając je po łuku kołowym, jak pokazano na rysunku.
Kontynuujemy odcinki a, c i b, d, aż przetną się w punktach A i B i podzielimy powstałe kąty na pół. Jeśli będziemy kontynuować prostopadłość DC, aż przetnie się ona z dwusiecznymi kątów EAC i FBD, wówczas powstałe punkty M i M 1 będą środkami pożądanych zaokrągleń.
Kąt dzieli się na równe części za pomocą kątomierza. Jeśli konieczne jest na przykład podzielenie danego kąta na 7 równych części, znajdź, ile wynosi ten kąt, i podziel uzyskaną liczbę stopni przez 7; wynik jest zwykle niedokładny, ponieważ minuty i sekundy nie są zaznaczane na zwykłych kątomierzach. Niezbędna korekta odbywa się na oko.
„Projektowanie pomieszczeń w trakcie remontu”
N.P. Krasnov
Powiedzieliśmy już, że aby wykonać niektóre rodzaje prac malarskich, trzeba umieć rysować. Z kolei umiejętność rysowania zakłada znajomość zasad konstruowania kształtów geometrycznych. Szkice na papierze rysuje się za pomocą trójkątów, poprzeczek, transportów i kompasów, a na płaszczyźnie ścian i stropów wykonuje się konstrukcje za pomocą ciężarka, linijki, drewnianego kompasu i sznurka. Jednocześnie konieczne...
Kąt prosty, czyli równy 90°, tworzą dwie wzajemnie prostopadłe linie. Prostopadłość jest zbudowana w następujący sposób. Opuść pion. Z danego punktu C (leżącego poza linią), jak ze środka, opisujemy łuk o dowolnym promieniu tak, aby przecinał daną linię w dwóch punktach D i E. Z tych punktów, jak ze środków, opisujemy łuki z równe promienie, tak aby...
Dzielenie kąta na pół (Rysunek 26, a). Z góry W kąt ABC dowolny promień R 1 narysuj łuk, aż przetnie się w punktach z bokami kąta M I N . Następnie z punktów M I N rysować łuki o promieniu > R 1 dopóki nie przetną się w punkcie D . Prosty BD podzieli dany kąt na pół.
Dzielenie kąta na 4, 8 itd. równe części odbywa się poprzez kolejne podzielenie każdej części kąta na pół (ryc. 26, b).
Rysunek 26
W przypadku, gdy kąt jest określony przez boki, które nie przecinają się na rysunku, np AB I płyta CD na rysunku 26, c, dzielenie kąta na pół odbywa się w ten sposób. W dowolnej, ale równej odległości l linie proste są rysowane z boków kąta KL || AB I MN || płyta CD i kontynuuj je, aż przetną się w punkcie O . Wynikowy kąt L NA przeciąć linię prostą na pół Z . Prosty Z również podzieli dany kąt na pół.
Dzielenie kąta prostego na trzy równe części (Rysunek 27). Z wierzchołka kąta prostego - punkt W narysuj łuk o dowolnym promieniu R aż przetnie w punktach obie strony kąta A I C . Ten sam promień R z punktów A I Z rysuj łuki, aż przetną się z łukiem AC w punktach M I N . Linie poprowadzone przez wierzchołek kąta W i kropki M I N podziel kąt prosty na trzy równe części.
Rysunek 27
2.4 Dzielenie koła na równe części, konstruowanie wielokątów foremnych
2.4.1 Dzielenie koła na równe części i konstruowanie wielokątów foremnych wpisanych
Aby podzielić okrąg na pół, wystarczy narysować dowolny średnica. Dwie wzajemnie prostopadłe średnice podzielą okrąg na cztery równe części (ryc. 28, a). Dzieląc każdą czwartą część na pół, otrzymasz ósme części, a przy dalszym dzieleniu - szesnastą, trzydziestą drugą część itp. (Rysunek 28, b). Jeśli podłączysz prosto punkty podziału, to możesz otrzymać boki zwykłego kwadratu wpisanego (A 4 ), ośmiokąt ( A 8 ) oraz T . d. (Rysunek 28, c).
Rysunek 28
Dzielenie koła na 3, 6, 12 itd. równe części, I konstrukcja odpowiednich wielokątów wpisanych foremnych przeprowadzono w następujący sposób. Na okręgu narysowano dwie wzajemnie prostopadłe średnice 1–2 I 3–4 (Rysunek 29 a). Z punktów 1 I 2 jak łuki o promieniu okręgu są opisywane od środków R przed przecięciem go w punktach A, B, C I D . Zwrotnica A ,B ,1, C, D I 2 podzielić okrąg na sześć równych części. Te same punkty, przeniesione przez jeden, podzielą okrąg na trzy równe części (ryc. 29, b). Aby podzielić okrąg na 12 równych części, opisz jeszcze dwa łuki o promieniu okręgu od punktów 3 I 4 (Rysunek 29, c).
Rysunek 29
Można także konstruować regularne trójkąty wpisane, sześciokąty itp. za pomocą linijki i kwadratu 30 i 60°. Rycina 30 przedstawia podobną konstrukcję trójkąta wpisanego.
Rysunek 30
Dzielenie koła na siedem równych części a konstrukcję foremnego siedmioboku wpisanego (ryc. 31) wykonuje się przy użyciu połowy boku wpisanego trójkąta, w przybliżeniu równej bokowi wpisanego siedmiokąta.
Rysunek 31
Aby podzielić okrąg na pięć lub dziesięć równe części narysuj dwie wzajemnie prostopadłe średnice (ryc. 32, a). Promień O.A. podzielić na pół i po otrzymaniu punktu W , opisz wychodzący z niego łuk o promieniu R = PNE. aż przetnie się w punkcie D o średnicy poziomej. Odległość między punktami C I D równa długości boku pięciokąta foremnego wpisanego ( A 5 ) i segment OD równa długości boku foremnego dziesięciokąta wpisanego ( A 10 ). Podział koła na pięć i dziesięć równych części oraz budowę wpisanych pięciokątów foremnych i dziesięciokątów pokazano na rycinie 32, b. Przykładem zastosowania podziału koła na pięć części jest pięcioramienna gwiazda (ryc. 32, c).
Rysunek 32
Rysunek 33 pokazuje ogólna metoda przybliżonego podziału koła na równe części . Załóżmy, że chcesz podzielić okrąg na dziewięć równych części. W okręgu narysowano dwie wzajemnie prostopadłe średnice i średnicę pionową AB podzielony na dziewięć równych części za pomocą pomocniczej linii prostej (ryc. 33, a). Z punktu B opisz łuk o promieniu R =AB , a na jego przecięciu z kontynuacją średnicy poziomej uzyskuje się punkty Z I D . Z punktów C I D przez punkty podziału o średnicy parzystej lub nieparzystej AB przewodzą promienie. Punkty przecięcia promieni z okręgiem podzielą go na dziewięć równych części (ryc. 33, b).
Rysunek 33
Podczas konstruowania należy wziąć pod uwagę, że ten sposób podziału koła na równe części wymaga szczególnie dużej dokładności w wykonywaniu wszystkich operacji.
Akademik Rosyjskiej Akademii Nauk N. DOLLEZHAL.
Wieloletni autor magazynu, akademik Nikołaj Antonowicz Dollezhal, jest głównym specjalistą w dziedzinie energetyki. W wolnym czasie Nikołaj Antonowicz studiuje słynne problemy starożytności, takie jak trisekcja kąta, podwojenie sześcianu i kwadratura koła (patrz „Nauka i życie” nr 7, 1993; nr 3, 8, 1994; nr 9, 1995 G.). Trudność wszystkich tych problemów polega na tym, że należy je rozwiązać bez obliczeń i obliczeń, czysto geometrycznie, tylko za pomocą kompasu i linijki bez podziałów. Stosując dokładnie tę klasyczną metodę, N.A. Dollezhal był w stanie znaleźć bardzo eleganckie rozwiązanie problemu podziału dowolnego kąta na trzy równe części.
Nauka i życie // Ilustracje
Istotą tego problemu geometrycznego jest znalezienie graficznej metody podziału dowolnego kąta na trzy równe części za pomocą kompasu i zwykłej linijki. Poniżej znajduje się opis metody rozwiązującej ten problem, niezależnie od wielkości i rodzaju (ostry, rozwarty) kąta proponowanego do separacji. Nie ma ograniczeń co do kształtów figur geometrycznych, nie wykonuje się żadnych pomiarów ani obliczeń numerycznych. Jako przykład przyjęto losowy kąt.
Elementy geometryczne łączy figura geometryczna składająca się z trójkąta równoramiennego ABC z dolnym kątem B, który należy podzielić na trzy równe kąty, oraz trapezu równobocznego ADFC, którego wszystkie cztery narożniki znajdują się w równych odległościach od wierzchołka kąta B. Trójkąt i trapez są domknięte podstawami AC. Proponowany sposób rozwiązania problemu jest następujący:
1) Podstawą konstrukcji wspomnianej figury geometrycznej są równania łączące jej główne elementy:
gdzie S jest podstawą trójkąta i trapezu; a - bok trapezu; t - wysokość trójkąta; h jest wysokością trapezu.
Główne elementy figury są od siebie zależne: stosunek podstawy do boku trapezu i wysokości trapezu trójkąta są powiązane równaniem (2).
Stosunki S/a i h/t mają granice stosowalności: stosunek podstawy trapezu do jego boku mieści się w granicach 2 ... 3, a stosunek wysokości trapezu do trójkąta waha się od nieskończoności do 0 Poza tymi ograniczeniami konstrukcja trójkąta i trapezu figurowego jest niemożliwa.
W tabeli przedstawiono przykładowe wartości liczbowe zmiennych zawartych w równaniach oraz wybór głównych wskaźników do budowy trójkąta i trapezu. Za jego pomocą można ustawić współczynnik S/a i uzyskać współczynnik h/t.
Na ryc. 1 przedstawiono rozwiązanie problemu za pomocą zaproponowanej metody. Jako przykład, który nie ma fundamentalnego znaczenia, bierzemy równość wysokości trójkąta i trapezu. Dla większej przejrzystości na rysunku pokazano dodatkowe konstrukcje geometryczne: podzielenie kąta na dwie części, narysowanie linii równoległych i zastosowanie jednolitych podziałów.
Rozwiązanie problemu rozpoczyna się od podzielenia zadanego kąta ABC na pół przez linię BE i pociągnięcia do niej poziomej linii XY pod kątem prostym przez punkt B. Na linii XY po obu stronach punktu B rysuje się podziały odpowiadające stosunkowi podstawy trapezu do jego boku, w tym przypadku 5 i 2. Stosunek ten oblicza się z równania (2) pod warunkiem, że wysokości są równe - patrz tabela.
Z punktów odpowiadających podziałowi 5 rysuje się równoleżniki do dwusiecznej BE, aż przetnie się ona z bokami kąta w punktach A i C. Linia AC służy jako wspólna podstawa trójkąta i trapezu, odcinki AB i BC są równe. Z punktów odpowiadających znakowi 2 na odcinku XY rysuje się linie, również równoległe do dwusiecznej kąta ABC, a na nich odcinki BD i BF, równe bokom trójkąta BA = BC, zaznacza punkty D i F - wierzchołki kątów trapezu ADFC. Punkty D i F wyznaczają wysokość BE, równą sumie wysokości trójkąta i trapezu.
W celu weryfikacji i dowodu rysuje się przekątne AF i DC trapezu ADFC przecinające się w punkcie Z na linii środkowej trójkąta ABC. Powstałe dwa trójkąty ADF i DFC są równoramienne, ponieważ ich podstawy, czyli przekątne trapezu, są podzielone na dwie części w punktach T, przecinających się tam z promieniami BD i BF oraz linią środkową PP trapezu. Bok DF należy do obu trójkątów, więc trójkąty ABD, DBF i FBC są równe. Wszystkie trzy ich kąty z wierzchołkami w punkcie B są sobie równe i tworzą w sumie zadany kąt ABC.
Proste odcinki DM i FN tworzą boki rombów ADFN i DFCM, których właściwości geometryczne potwierdzają poprawność konstrukcji.
Na ryc. Rysunek 2 pokazuje stosunek utworzonych kątów. Charakterystyczne jest, że dolne kąty trapezu DAC = FCA są równe jednej trzeciej podzielonego kąta ABC.
Konstruując figurę geometryczną na ryc. 1, ze względu na łatwość konstrukcji, stosunek podstawy trapezu do jego boku wynosi 5:2: stosunek ten odpowiada równości wysokości trapezu i trójkąta.
Na ryc. 3, dla stosunkowo ostrego kąta ABC zbudowana jest figura „trójkąt - trapez”. Początkowy stosunek wysokości trójkąta do sumy wysokości trójkąta i trapezu wynosi 5:6, co zgodnie z równaniem (1) odpowiada wartości S/a = 17/6. Podobnie jak w pierwszym przypadku wartość tę dzielimy równo, czyli od 8 1/2 do 3, na linii XY w obu kierunkach od punktu B i wykonujemy podobne konstrukcje.
Ogólnie rzecz biorąc, nie ma potrzeby najpierw akceptować wartości liczbowych dla S/a. Wystarczy od punktu B odłożyć trzy równe odcinki na linie BX i BY, zaznaczając ich końce i z dowolnego punktu pomiędzy drugim a trzecim znakiem poprowadzić prostopadłe aż do przecięcia się z bokami kąta B w punktach A i C. Następnie z pierwszego znaku przywróć także prostopadłe i umieść na nich punkty D i F w odległości od punktu B równej bokowi trójkąta ABC.
Jeśli z punktów A i C na prostych ВD i ВF wykreślimy dwa równo oddalone od siebie punkty N i M, otrzymamy odcinek NM równy S-2a. Stosunek tej długości do a wyznacza stosunek wysokości trapezu i trójkąta według wzoru (2).
Reszta przebiega jak w pierwszym przypadku. Poprawność konstrukcji można sprawdzić korzystając ze wzoru
wynika z (2). Suma t+h nigdy nie przekracza boku BA(ВD) trójkąta.
Graficznie równość (4) sprawdza się w następujący sposób (ryc. 4). Przyjmowany jest dowolny kąt PQN podzielony przez dwusieczną QQ?. Po lewej stronie kąta wychodzącego z punktu Q za pomocą kompasu ułożono odcinki S-a i a, tworząc punkty P i L. Następnie punkt P łączy się z punktem Q? a z punktu L wykreślono równoległe PQ? linia LQ???. Oznacza to, że na dwusiecznej kąta pojawił się znak Q oraz a/(S-a) = = QQ??/QQ?. Po prawej stronie narożnika za pomocą kompasu narysuj odcinki 2t+h i t+h ze skonstruowanego rysunku. Koniec odcinka 2t+h - punkt N - łączymy także z punktem Q?, a od punktu M - koniec odcinka t+h - rysujemy prostą równoległą do NQ?. Na linii środkowej kąta stosunek (t+h)/(2t+h)=QQ??? /QQ?. Jeśli linie są LQ? i MQ??? przecinają się w linii środkowej kąta, oznacza to, że lewa i prawa strona wzoru są sobie równe. To jest to, co jest wymagane.
Czy można wyznaczyć ich długość, mierząc odpowiednie odcinki, w szczególności podstawy trójkątów? Jest to niemożliwe, ponieważ każdy z nich służy jako cięciwa odpowiedniego wyimaginowanego łuku koła zawierającego ułamek, którego nie można zmierzyć. Aby określić dokładność rozwiązania problemu, można zastosować wyłącznie metodę graficzną.
W ten sposób zaproponowaliśmy dowód możliwości graficznego podzielenia kąta na trzy za pomocą kompasu i linijki. Związek pomiędzy elementami trapezu i trójkątów pozostaje graficznie niejasny, innymi słowy związek pomiędzy bokiem trapezu a a wysokością trójkąta t. Zadanie to może mieć charakter niezależny od zasady konstruowania trapezu.
Chciałbym podziękować profesorowi MSTU V.I. Soloninowi za życzliwą krytykę.
Trisekcja kąta oznacza podzielenie kąta na trzy równe części. Nie jest to oczywiście wcale trudne. Można na przykład zmierzyć dany kąt za pomocą kątomierza, uzyskaną liczbę stopni podzielić przez trzy, a następnie za pomocą tego samego kątomierza wykreślić kąt zawierający otrzymaną liczbę stopni w postaci ilorazu. Ale możesz sobie poradzić
i bez kątomierza, stosując metodę „kolejnych przybliżeń”: skonstruowawszy łuk o dowolnym promieniu, dla którego dany kąt jest środkowy, bierzemy na oko cięciwę odpowiadającą trzeciej części łuku i wykreślamy ją kolejno trzy razy wzdłuż łuku, zaczynając od jednego z jego końców. Jeśli po tym znajdziemy się na drugim końcu łuku, problem zostanie rozwiązany. Jeśli jak to zwykle bywa, nie dotrzemy do drugiego końca łuku lub go nie przekroczymy, to trzeba skorygować cięciwę, którą zmierzyliśmy na oko, zwiększając lub zmniejszając ją o jedną trzecią odległości od uzyskanego punktu do koniec łuku i ta trzecia. Znowu bierzemy to na oko. Umieszczamy ten poprawiony akord z powrotem na łuku i, jeśli to konieczne, poprawiamy go ponownie w ten sam sposób. Każdy nowy (poprawiony) cięciw będzie dawał coraz dokładniejsze rozwiązanie, aż w końcu powtarzając operację kilkukrotnie, otrzymamy cięciwę, która niemal dokładnie trzy razy zmieści się na danym łuku, a trisekcja kąta zostanie zakończona. Oczywiście te dwie metody pozwalają podzielić dany kąt nie tylko na trzy, ale na dowolną liczbę równych części.
Kiedy jednak matematycy mówią o zagadnieniu trisekcji kąta, nie mają na myśli tych bardzo wartościowych z praktycznego punktu widzenia, ale wciąż tylko metody przybliżone, ale metodę dokładną, w dodatku opartą wyłącznie na użyciu kompasu i linijki. Należy także zaznaczyć, że oznacza to używanie tylko jednej krawędzi linijki i że linijka powinna służyć wyłącznie do rysowania linii prostych (niedopuszczalne jest stosowanie np. podziałek skali), a kompas powinien służyć wyłącznie do rysowania koła. Wreszcie wymagana metoda musi zapewniać rozwiązanie problemu poprzez skończoną liczbę operacji rysowania linii i okręgów. Ostatnia uwaga jest bardzo ważna. Zatem po ustaleniu (stosując wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego) to
możemy zaproponować następujące rozwiązanie problemu trisekcji kąta, wymagające użycia jedynie linijki i kompasu: dzielimy dany kąt na 4 równe części, co, jak wiadomo, można zrobić za pomocą cyrkla i kompasu linijkę, a następnie do powstałego kąta dodajemy korekcję równą jednej czwartej samego siebie, czyli tego kąta, następnie drugą poprawkę,
równy pierwszemu, czyli danemu kątowi itp. Dokładne rozwiązanie zadania w ten sposób wymaga nieskończenie dużej liczby operacji (podzielenia kątów na 4 równe części), a zatem nie jest rozwiązaniem klasycznym, o którym mowa, gdy mówią o rozwiązaniu problemu trisekcji kąta i innych problemów konstrukcyjnych.
Będziemy więc mówić o dokładnym rozwiązaniu problemu trisekcji kąta poprzez narysowanie skończonej liczby linii prostych i okręgów.
W przypadku niektórych kątów problem ten rozwiązano po prostu. Zatem dla trisekcji kąta 180° wystarczy skonstruować kąt 60°, czyli kąt trójkąta równobocznego, a dla trisekcji kątów 90° i 45° - kąty 30° i 15°, czyli połowa i ćwierć kąta trójkąta równobocznego. Jednakże udowodniono, że oprócz nieskończonego zbioru kątów, które dopuszczają trisekcję, istnieje nieskończony zbiór kątów, które nie dopuszczają trisekcji (w sensie wskazanym powyżej). Zatem nie da się podzielić na trzy równe części (rysując skończoną liczbę linii i okręgów) ani kąta 60°, ani kąta 30°, ani kąta 15°, ani kąta 40°, ani kąta 120°, ani nieskończonego zestawu innych kątów.
Przekonajmy się teraz, czy poniższa, często zalecana metoda dzielenia dowolnego kąta na trzy równe części jest poprawna. Z wierzchołka B o dowolnym promieniu narysuj łuk okręgu, który będzie przecinał w punktach boki kąta (ryc. 39). Dzielimy cięciwę na trzy równe części i łączymy punkty podziału z B. Kąty będą wyglądać na równe, a zatem trisekcja dowolnego kąta zostanie wykonana jako
jest wymagane, to znaczy przez narysowanie skończonej liczby linii i okręgów: podział odcinka na trzy równe części, który był tu wymagany, można, jak wiadomo, przeprowadzić dokładnie w ten sposób.
Zwolennicy takiego rozwiązania uważają, że z równości odcinków, na które podzieliliśmy cięciwę, wynika równość łuków, jakie otrzymamy, jeśli będziemy kontynuować przecięcie z okręgiem. Czy tak jest? Jeśli te łuki są równe, to kąty są równe (niech każdy z nich będzie równy a) i łączące je cięciwy też są równe.Ale odcinek jest większy od odcinka (to stwierdzenie sugeruje rysunek, ale my udowodnię to poniżej), a odcinek jest równy segmentowi, ponieważ kąty i są równe:
W konsekwencji, jeżeli segmenty są równe, to segmenty i, wbrew warunkowi, są nierówne i założenie o równości należy odrzucić.
Po obniżeniu prostopadłej z wierzchołka B do cięciwy zauważamy, że cała figura jest symetryczna względem BK: zaginając rysunek wzdłuż, doprowadzimy do zbieżności obu jego połówek. Stąd wnioskujemy, że odcinek III jest do niego prostopadły i dlatego odcinek jest równoległy, a trójkąty i podobne, co daje: Ale i dlatego, jak powiedzieliśmy powyżej.
Pojawienie się problemu trisekcji kąta (tj. podzielenia kąta na trzy równe części) jest zdeterminowane koniecznością rozwiązania problemu konstruowania wielokątów foremnych. Konstrukcja pięciokąta foremnego z kompasem i linijką musiała wywrzeć na pitagorejczykach ogromne wrażenie, gdyż regularna pięcioramienna gwiazda była ich znakiem rozpoznawczym (symbolizowała zdrowie). Znana jest następująca legenda.
Pewien pitagorejczyk umierał w obcym kraju i nie mógł zapłacić człowiekowi, który się nim opiekował. Przed śmiercią kazał mu narysować na swoim domu pięcioramienną gwiazdę: gdyby pitagorejczyk przechodził obok, na pewno by o to zapytał. I rzeczywiście, kilka lat później pewien pitagorejczyk zobaczył ten znak i nagrodził właściciela domu.
Geneza problemu trisekcji kąta wiąże się także z zajęciami praktycznymi, w szczególności przy wykonywaniu koła ze szprychami konieczna była umiejętność podzielenia koła na równe części; podzielenie kąta lub łuku koła na kilka równych części było potrzebne także w architekturze, w tworzeniu ozdób, w technologii budowlanej i w astronomii.
Używając kompasu i linijki, możesz skonstruować regularne n-kąty dla n = 6 i 8, ale nie dla n = 7 i 9. Ciekawym problemem jest konstrukcja siedmioboku foremnego, który można rozwiązać metodą „wstawiania”. Archimedes zaproponował konstrukcję siedmioboku foremnego. Ale próby skonstruowania sześciokąta foremnego powinny były doprowadzić do problemu trisekcji kąta, ponieważ aby zbudować sześciokąt foremny, trzeba było skonstruować kąt 360°/9 = 120/3, czyli podzielić kąt 120° na trzy równe części.
Dlaczego Grecy woleli kompasy i linijki od innych narzędzi?
Naukowcy nie potrafią odpowiedzieć na to pytanie jednoznacznie i przekonująco. Czy dlatego, że kompasy i linijki to najprostsze narzędzia? Może tak. Można jednak wymienić wiele innych narzędzi, równie prostych jak kompas i linijka, lub prawie tak prostych. Za pomocą niektórych z nich rozwiązywane są także sformułowane problemy.
W literaturze można znaleźć próby wyjaśnienia tej niezwykłej sympatii Greków konkretnie do kompasów i władców. Każdy figura geometryczna składa się z dwóch rodzajów linii - prostych i zakrzywionych. A każda krzywa składa się z części okręgów o różnych średnicach. Co więcej, linia prosta i okrąg są jedynymi liniami o stałej krzywiźnie na płaszczyźnie.
Dzielenie kąta prostego na trzy równe części.
W niektórych szczególnych przypadkach łatwo jest podzielić kąt. W ten sposób pitagorejczycy potrafili podzielić kąt prosty na trzy równe części, opierając się na fakcie, że w trójkącie równobocznym każdy kąt jest równy 60°.
Niech konieczne będzie podzielenie linii prostej (MAN.
Na półprostej AN kładziemy dowolny odcinek AC, na którym konstruujemy trójkąt równoboczny ACB. Ponieważ (CAB jest równe 60°, to (BAM jest równe 30°. Skonstruujmy dwusieczną AD kąta CAB, otrzymamy pożądany podział prostej (MAN na trzy równe kąty: (NAD, (DAB, (BAM .
Problem trisekcji kąta okazuje się możliwy do rozwiązania dla niektórych innych określonych wartości kąta (na przykład dla kątów 90° / 2n, gdzie n wynosi Liczba naturalna). Fakt, że żadnego kąta nie da się podzielić na trzy równe części za pomocą jedynie kompasu i linijki, udowodniono dopiero w pierwszej połowie XIX wieku.
Rozwiązanie metodą „wstawiania”.
Niektóre rozważane przez Greków metody trisekcji kątów wykorzystywały tzw. metodę wstawiania. Polegało to na znalezieniu położenia prostej przechodzącej przez dany punkt O, po której dwie dane linie (lub prosta i okrąg) wycięłyby odcinek o zadanej długości a. Konstrukcję tę można wykonać za pomocą kompasu i linijki z dwoma podziałkami, których odległość jest równa a.
Stosując „wstawki” bardzo łatwo jest podzielić narożnik na trzy równe części. Weźmy dowolny punkt A na boku kąta z wierzchołkiem B i przerzućmy z niego prostopadłą AC na drugą stronę.
Narysujmy promień przez punkt A, współkierunkowo z promieniem BC. Wstawmy teraz pomiędzy półproste AC i l odcinek DE o długości 2AB tak, aby jego kontynuacja przechodziła przez punkt B. Wtedy (EBC = (ABC/3. Tak naprawdę niech G będzie środkiem odcinka DE. Punkt A leży na okrąg o średnicy DE, zatem AG = GE = DE/2 = AB. Trójkąty BAG i AGE są zatem równoramienne (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.
Pappus z Aleksandrii wykazał, że problem „wstawienia” odcinka pomiędzy dane proste l1 i l2 sprowadza się do skonstruowania punktu przecięcia okręgu i hiperboli. Rozważmy prostokąt ABCD, którego przedłużenia boków BC i CD są liniami, a wierzchołek A jest danym punktem, przez który musimy poprowadzić prostą przecinającą linie l1 i l2 w punktach E i F tak, aby odcinek EF miał podana długość.
Uzupełnijmy trójkąt DEF do równoległoboku DEFG. Aby skonstruować pożądaną prostą, wystarczy skonstruować punkt G, a następnie przez punkt A poprowadzić linię równoległą do prostej DG. Punkt G jest oddalony od punktu D o zadaną odległość DG = EF, więc punkt G leży na okręgu, który można zbudować.
Natomiast z podobieństwa trójkątów ABF i EDA otrzymujemy AB:ED = BF:AD, czyli ED*BF=AB*AD. W konsekwencji FG*BF=AB*AD = SABCD, czyli punkt G leży na hiperboli (jeśli poprowadzimy osie Ox i Oy wzdłuż półprostych BF i BA, to hiperbolę tę wyrazimy równaniem xy = SABCD)
Rozwiązanie wykorzystujące kwadraturę
Problemy „gramatyczne” obejmują problem dzielenia kąta w dowolnym stosunku. Pierwszą krzywą rozwiązania takiego problemu wymyślił Hippiasz z Elidy. Później (począwszy od Dinostratusa) krzywa ta była również używana do rozwiązywania kwadratury koła. Leibniz nazwał tę krzywą kwadraturą.
Otrzymuje się go w następujący sposób. Niech końce odcinka B′C′ poruszają się równomiernie po bokach odpowiednio BA i CD w kwadracie ABCD, a odcinek AN obraca się równomiernie wokół punktu A. Odcinek B′C′ w początkowym momencie pokrywa się z odcinek BC, a odcinek AN pokrywa się z odcinkiem AB; oba segmenty jednocześnie osiągają swoje końcowe położenie AD. Kwadratówka to krzywa opisana przez punkt przecięcia odcinków B′C′ i AN.
Aby w pewnym sensie podzielić kąt ostry φ, należy na powyższym rysunku wykreślić kąt DAL = φ, gdzie L leży na czworokącie. Spuśćmy prostopadłą LH na odcinek AD. Podzielmy tę prostopadłą w wymaganym stosunku przez punkt P. Narysuj odcinek równoległy do AD przez P, aż przetnie się z kwadraturą w punkcie Q; promień AQ dzieli kąt LAD w wymaganym stosunku, ponieważ zgodnie z definicją kwadratury (LAQ: (QAD = (LP: (LH.
Praktyczna praca nad konstrukcją trójsektorów kątów
Metodą „wstawiania”.
Korzystanie z kwadratury
Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Morleya
Ponieważ żadnego kąta nie można podzielić na trzy równe części, możemy rozwiązać problem trisekcji kąta w odwrotnej kolejności, korzystając z twierdzenia Morleya.
Twierdzenie. Niech trójsektory kątów B i C położone najbliżej boku BC przecinają się w punkcie A1; punkty B1 i C1 wyznacza się analogicznie. Wtedy trójkąt A1B1C1 jest równoboczny, a odcinek C1C jest prostopadły do podstawy trójkąta foremnego.
Rozwiążmy następujący problem: skonstruuj trójkąt z trójsektorami narysowanymi ze wszystkich jego kątów.
Plan budowy.
1) Skonstruujmy dwa dowolne kąty (BAC1 i (ABC1), których jeden bok jest wspólny.
Skonstruowane kąty muszą spełniać nierówność:
2) Niech promień AC1 będzie osią symetrii. Odzwierciedlmy (BAC1 względem osi AC1. Podobnie odzwierciedlimy to względem osi BC1 (ABC1.
3) Niech promień AC2 będzie osią symetrii. Odzwierciedlamy (C1AC2 względem osi AC2. Podobnie odbijamy względem osi BC2 (C1–C2.
4) Połącz punkty przecięcia trójsektorów C1 i C2 z odcinkiem C1C2.
5) Twierdzenie Morleya stwierdza, że gdy trójsektory trójkąta przecinają się, powstaje trójkąt foremny, a odcinek C1C2 jest prostopadły do podstawy trójkąta foremnego i przechodzi przez wierzchołek tego trójkąta. Aby skonstruować trójkąt foremny, znając jego wysokość, należy: a) skonstruować promienie wychodzące z punktu C1 pod kątem 30° względem odcinka C1C2; b) zaznaczyć punkty przecięcia skonstruowanych półprostych z trójsektorami literami B1 i A1; c) połącz punkty A1, B1, C1. Otrzymujemy trójkąt równoboczny A1B1C1.
6) Narysujmy promienie z punktu C przechodzące przez wierzchołki trójkąta foremnego B1 i A1.
Zostawmy na rysunku odcinki trójsektorów trójkąta.
Skonstruowaliśmy trójkąt ABC z trójsektorami narysowanymi ze wszystkich jego kątów.
Nierozwiązywalność trisekcji kąta za pomocą kompasu i linijki
Aby udowodnić niemożność podzielenia dowolnego kąta na trzy równe części za pomocą kompasu i linijki, wystarczy udowodnić, że nie da się w ten sposób podzielić określonego kąta. Udowodnimy, że za pomocą kompasu i linijki nie da się dokonać trisekcji kąta 30°. Wprowadźmy układ współrzędnych Oxy, wybierając wierzchołek tego kąta AOB jako początek współrzędnych i kierując oś Ox wzdłuż boku OA. Można założyć, że punkty A i B są oddalone od punktu O o odległość 1. Wtedy w zadaniu trisekcji kąta należy skonstruować punkt (cosφ, sinφ) z punktu o współrzędnych (cos 3φ, grzech 3φ). W przypadku, gdy φ=10°, punkt początkowy posiada współrzędne. Obie jego współrzędne są wyrażone w rodnikach kwadratowych. Wystarczy zatem udowodnić, że liczba sin 10° nie jest wyrażona w pierwiastkach kwadratowych.
Ponieważ sin3φ = sin(φ + 2φ) =
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =
cos2α = cos2α – sin2α
sin2α = 2sinα cosα
Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =
sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 – sin2α
Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =
Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =
Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =
Sinφ(3 - 4sin2φ) =
3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, wówczas liczba x = sin 10° spełnia równanie sześcienne
3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)
8x3 - 6x + 1 = 0
(2x)3 -3*2x + 1 = 0
Wystarczy udowodnić, że równanie to nie ma pierwiastków wymiernych. Załóżmy, że 2x=p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi bez wspólne dzielniki. Wtedy p3 – 3pq2 + q3 = 0, czyli q3=p(3q2-p2). Zatem liczba q jest podzielna przez p, co oznacza p=±1. Zatem ±13q2 + q3 =0, tj. q2(q±3)= ±1. Liczba 1 jest podzielna przez q, zatem q=±1. W rezultacie otrzymujemy, że x = ±1/2. Łatwo sprawdzić, że wartości ±1/2 nie są pierwiastkami równania. Otrzymano sprzeczność, dlatego równanie nie ma pierwiastków wymiernych, co oznacza, że liczby sin10° nie można wyrazić w pierwiastkach kwadratowych.
Aplikacja
Trisekcja kąta jest konieczna przy konstruowaniu wielokątów foremnych. Procesowi budowy przyjrzymy się na przykładzie niekąta foremnego wpisanego w okrąg.
Konstruowanie trójkąta prostokątnego ABC. Konstruujemy trisektory BC1 i BC2. Otrzymane kąty wynosiły 30°. Jeden z powstałych kątów dzielimy na dwie dwusieczne 15°. DO prosty kąt„dodaj” 15° z każdej strony. Ponownie konstruujemy trisektory powstałego kąta DBE. Powtarzamy to jeszcze dwukrotnie, obracając trójkąt w punkcie B tak, aby DB pokrywał się z poprzednią pozycją BE. Połącz powstałe punkty.
Udało nam się skonstruować dziewięciokąt foremny korzystając z konstrukcji trójsektorów.
Trójsektor
Problemu trisekcji kąta w ogólnym przypadku nie można rozwiązać za pomocą kompasu i linijki, ale nie oznacza to, że problemu tego nie można rozwiązać innymi środkami pomocniczymi.
Aby osiągnąć ten cel, wynaleziono wiele urządzeń mechanicznych zwanych trójsektorami. Najprostszy trójsektor można łatwo wykonać z grubego papieru, tektury lub cienkiej blachy. Będzie służyć jako pomocnicze narzędzie do rysowania.
Trisektor i schemat jego zastosowania.
Pasek AB przylegający do półkola ma długość równą promieniowi półkola. Krawędź paska BD tworzy kąt prosty z prostą AC; dotyka półkola w punkcie B; Długość tego paska jest dowolna. Ten sam rysunek pokazuje użycie trisektora. Załóżmy, że chcesz podzielić kąt KSM na trzy równe części
Trójsektor ustawiono w taki sposób, że wierzchołek kąta S leży na prostej BD, jedna strona kąta przechodzi przez punkt A, a druga strona styka się z półokręgiem. Następnie rysuje się linie proste SB i SO i kończy się podział tego kąta na trzy równe części. Aby to udowodnić, połączmy za pomocą odcinka środek prostej półkola O z punktem stycznej N. Łatwo sprawdzić, że trójkąt ASB jest równy trójkątowi SBO, a trójkąt SBO jest równy trójkątowi OSN. Z równości tych trzech trójkątów wynika, że kąty ASB, BS0 i 0SN są sobie równe, co należało wykazać.
Ta metoda trisekcji kąta nie jest czysto geometryczna; można to raczej nazwać mechanicznym.
Zegar trójsektorowy
(instrukcja użycia)
Wyposażenie: kompas, linijka, zegar ze wskazówkami, ołówek, przezroczysty papier.
Postęp:
Przenieś figurę tego kąta na przezroczysty papier i w momencie, gdy obie wskazówki zegara zrównają się, umieść rysunek na tarczy tak, aby góra kąta pokrywała się ze środkiem obrotu wskazówek, a jedna strona kąta przebiegała wzdłuż ręce.
W momencie, gdy wskazówka minutowa zegara przesunie się zgodnie z kierunkiem drugiej strony tego kąta, narysuj promień od góry kąta w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Tworzy się kąt równy kątowi obrotu ręki zgodnej z ruchem wskazówek zegara. Teraz za pomocą kompasu i linijki podwoj ten kąt i jeszcze raz podwój podwójny kąt. Kąt uzyskany w ten sposób będzie wynosił ⅓ tego.
Rzeczywiście, ilekroć wskazówka minutowa opisuje pewien kąt, wskazówka godzinowa w tym czasie przesuwa się na kąt 12 razy mniejszy, a po 4-krotnym zwiększeniu tego kąta otrzymuje się kąt (a/12) * 4 = ⅓ a .
Wniosek
Zatem nierozwiązywalne problemy konstrukcyjne odegrały szczególną rolę w historii matematyki. Ostatecznie udowodniono, że problemów tych nie da się rozwiązać za pomocą jedynie kompasu i linijki. Ale samo sformułowanie zadania – „udowodnić nierozwiązywalność” – było odważnym krokiem naprzód.
Jednocześnie zaproponowano wiele rozwiązań wykorzystujących nietradycyjne narzędzia. Wszystko to doprowadziło do pojawienia się i rozwoju zupełnie nowych idei w geometrii i algebrze.
Po zakończeniu i analizie mojej pracy badawczej doszedłem do następujących wniosków:
✓ o pojawieniu się takich problemów decydowało ich praktyczne znaczenie (w szczególności konstrukcja wielokątów foremnych);
✓ problemy te powodują rozwój nowych metod i teorii (metoda „wstawiania”, pojawienie się kwadratury, twierdzenie Morleya);
✓ problemy nierozwiązywalne przyciągają większą uwagę nauki: znalezienie rozwiązania lub udowodnienie niemożliwości to wielki zaszczyt.
Dowiedziałem się także:
✓ o matematykach zajmujących się tym problemem;
✓ nowe pojęcia, terminy (trisekcja, trisektor, kwadratura) i twierdzenia (Morley) oraz poznane:
✓ skutecznie znajduj i selekcjonuj wymagany materiał;
✓ usystematyzować zdobytą wiedzę;
✓ prawidłowo sformatować pracę badawczą.