الإجراءات على المسندات. العمليات على المسندات
مفهوم المسند
التعريف 1
فاعل- عبارة تحتوي على متغيرات تأخذ القيمة $ 1 $ أو $ 0 $ (صواب أو خطأ) اعتمادًا على قيم المتغيرات.
مثال 1
على سبيل المثال ، التعبير $ x = x ^ 5 $ هو قيمة مسبقة لأن هذا صحيح بالنسبة لـ $ x = 0 $ أو $ x = 1 $ وخطأ لجميع القيم الأخرى لـ $ x $.
التعريف 2
المجموعة التي يقبل عليها المسند فقط القيم الحقيقية، يسمى مجموعة الحقيقة للمسند$ I_p $.
المسند يسمى صحيح تماما، إذا تم تقييمها على أي مجموعة من الحجج على أنها صحيحة:
$ P (x_1، \ dots، x_n) = 1 $
المسند يسمى نفس الخطأإذا تم تقييمها على أي مجموعة من الحجج على أنها خطأ:
$ P (x_1، \ dots، x_0) = 0 $
المسند يسمى ممكنإذا تم تقييمه إلى صحيح في مجموعة واحدة على الأقل من الوسائط.
لان يمكن أن تأخذ المسندات قيمتين فقط (صواب / خطأ أو $ 0/1 $) ، ثم يمكن تطبيق جميع عمليات جبر المنطق عليها: النفي ، والتزامن ، والفصل ، إلخ.
أمثلة المسند
دع المسند $ R (x، y) $: $ "x = y" $ يشير إلى علاقة مساواة ، حيث ينتمي $ x $ و $ y $ إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. في هذه الحالة ، سيتم تقييم المسند R على أنه صحيح للجميع يساوي $ x $ و $ y $.
مثال آخر على المسند هو WORK ($ x، y، z $) للعلاقة "$ x $ يعمل في المدينة y للشركة $ z $".
مثال آخر على المسند هو LIKE ($ x، y $) لـ "x likes y" لـ $ x $ و $ y $ ، والتي تنتمي إلى $ M $ - مجموعة كل الأشخاص.
وبالتالي ، فإن المسند هو كل ما يتم تأكيده أو إنكاره في موضوع الحكم.
العمليات على المسندات
ضع في اعتبارك تطبيق عمليات جبر المنطق على المسندات.
التعريف 3
اقتران اثنين من المسندات $ A (x) $ و $ B (x) $ هو المسند الذي يتم تقييمه على صحيح لهؤلاء وفقط تلك القيم $ x $ في $ T $ والتي يتم تقييم كل من المسندات إلى true و false لكل الآخرين حالات. مجموعة الحقيقة $ T $ للمسند هي تقاطع مجموعتي الحقيقة للمسندات $ A (x) $ و $ B (x) $. فمثلا:المسند $ A (x) $: "$ x $ هو رقم زوجي" ، المسند $ B (x) $: "$ x $ قابل للقسمة على $ 5 $". وبالتالي ، فإن المسند سيكون "$ x $ هو رقم زوجي وقابل للقسمة على $ 5 $" أو "$ x $ قابل للقسمة على $ 10 $".
التعريف 4
فصل اثنين من المسندات $ A (x) $ و $ B (x) $ - سند يتم تقييمه على خطأ لهؤلاء وفقط تلك القيم $ x $ من $ T $ التي يقيّمها كل من المسندات إلى false ويقيمها إلى true في جميع الحالات الأخرى. مجموعة الحقيقة الأصلية هي اتحاد مناطق الحقيقة للمسندات $ A (x) $ و $ B (x) $.
التعريف 5
النفي المسند $ A (x) $ هو المسند الذي يتم تقييمه على أنه صحيح لجميع قيم $ x $ في $ T $ والتي يتم تقييم $ A (x) $ لها إلى false والعكس صحيح. مجموعة الحقيقة للمسند $ A (x) $ هي تكملة $ T "$ للمجموعة $ T $ في المجموعة $ x $.
التعريف 6
التضمين المسند $ A (x) $ و $ B (x) $ هو سند خاطئ لهذين وقيم $ A (x) في $ T $ حيث يكون $ A (x) $ صحيحًا و $ B (x) ) $ خطأ ، ويتم تقييمه إلى صحيح في جميع الحالات الأخرى. تقرأ: "If $ A (x) $، ثم $ B (x) $".
مثال 2
لنفترض أن $ A (x) $: "العدد الطبيعي $ x $ يقبل القسمة على $ 3 $" ؛
$ B (x) $: "العدد الطبيعي $ x $ يقبل القسمة على 4 $."
لنجعل المسند: "إذا كان الرقم الطبيعي $ x $ يقبل القسمة على $ 3 $ ، فإنه أيضًا قابل للقسمة على $ 4 $".
مجموعة الحقيقة الأصلية هي اتحاد مجموعة الحقيقة الأصلية $ B (x) $ والمكمل لمجموعة الحقيقة الأصلية $ A (x) $.
بالإضافة إلى العمليات المنطقية ، يمكن إجراء العمليات الكمومية على المسندات: استخدام المُحدِّد الكَمِّي ، ومحدِّد الوجود ، وما إلى ذلك.
محددو الكمية
التعريف 7
محددو الكمية- العوامل المنطقية ، التي يؤدي تطبيقها على المسندات إلى تحويلها إلى بيانات خاطئة أو صحيحة.
التعريف 8
محدد الكم- العمليات المنطقية التي تحد من نطاق حقيقة المسند وإنشاء بيان.
المُحدِدات الكمية الأكثر استخدامًا هي:
المُحدِّد العام (يُشار إليه بالرمز $ \ forall x $) - التعبير "for all $ x $" ("for any $ x $") ؛
المُحدِّد الوجودي (يُشار إليه بالرمز $ \ موجود × $) - التعبير "يوجد $ x $ مثل ..." ؛
التفرد والوجود الكمي (يُشار إليه بـ $ \ موجود! × $) - التعبير "يوجد بالضبط $ x $ واحد مثل ...".
في المنطق الرياضي هناك مفهوم ربطأو تحديد الكميات، والتي تشير إلى تخصيص مُحدِّد كمي إلى صيغة.
أمثلة على استخدام المحددات الكمية
لنفترض أن "$ x $ هو مضاعف $ 7 $".
باستخدام المُحدِّد العام ، يمكننا كتابة العبارات الخاطئة التالية:
أي عدد طبيعي يقبل القسمة على 7 دولارات ؛
كل عدد طبيعي يقبل القسمة على 7 دولارات ؛
جميع الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على $ 7 ؛
الذي سيبدو مثل:
الصورة 1.
لتسجيل البيانات الصحيحة ، نستخدمها الكمي الوجودي:
هناك أعداد طبيعية تقبل القسمة على 7 دولارات ؛
يوجد عدد طبيعي يقبل القسمة على $ 7 ؛
ما لا يقل عن رقم طبيعي واحد قابل للقسمة على $ 7.
سيبدو الإدخال كما يلي:
الشكل 2.
دع المجموعة $ x $ الأعداد الأوليةالمسند معطى: "العدد الأولي فردي". بوضع كلمة "أي" قبل المسند ، نحصل على بيان خاطئ: "أي عدد أولي فردي" (على سبيل المثال ، $ 2 $ هو عدد زوجي أولي).
دعنا نضع كلمة "موجود" قبل المسند ونحصل على إفادة صحيحة: "هناك عدد أولي فردي" (على سبيل المثال ، $ x = 3 $).
وبالتالي ، يمكن تحويل المسند إلى بيان بوضع محدد كمي قبل المسند.
العمليات على المحددات
لبناء نفي العبارات التي تحتوي على محددات الكمية ، نستخدم قاعدة نفي الكمي:
الشكل 3
ضع في اعتبارك الجمل وحدد المسندات فيما بينها ، مع الإشارة إلى منطقة الحقيقة لكل منها.
المقال "Logic-predikatov.ru/logik/"
3.1. مفهوم المسند
"فاعل» ترجمت من الإنجليزية كمسند. رسميًا ، تسمى الوظيفة المسند ، يمكن أن تكون الحجج الخاصة بها كائنات عشوائية من مجموعة معينة ، وقيم الوظيفة هي "صواب" أو "خطأ". يمكن اعتبار المسند امتدادًا لمفهوم الكلام.
تبين أن الأدوات التي يوفرها منطق الافتراض غير كافية لتحليل العديد من التفكير الرياضي. في جبر المنطق ، لا يتم النظر في بنية الافتراضات ولا محتواها. في الوقت نفسه ، في كل من العلم والممارسة ، يتم استخدام الاستنتاجات التي تعتمد بشكل أساسي على كل من البنية ومحتوى العبارات المستخدمة فيها.
3.2. المنطق المسند
المنطق المسند، مثل المنطق الرسمي التقليدي ، يقسم اقتراحًا أوليًا إلى موضوعات (حرفيا - الموضوع ، على الرغم من أنه يمكن أن يلعب دور الشيء أيضًا) و فاعل (حرفيا - المسند ، على الرغم من أنه يمكن أن يلعب دور التعريف).
موضوعاتهو شيء تم التأكيد عليه في البيان ، و فاعلهو ما تم التأكيد عليه في الموضوع.
المنطق المسند هو امتداد للمنطق الافتراضى باستخدام المسندات كوظائف منطقية.
على سبيل المثال ، في العبارة "7 هو رقم أولي" ، "7" هو الموضوع ، "الرقم الأولي" هو المسند. ينص هذا البيان على أن "7" له خاصية "كونه عددًا أوليًا".
إذا قمنا في المثال المدروس باستبدال الرقم المحدد 7 بالمتغير Xمن العديد الأعداد الطبيعية، ثم نحصل عليه شكل اقتراح « X- رقم اولي". لنفس القيم X(فمثلا، X = 13, X= 17) هذا النموذج يعطي بيانات صحيحة ، وللقيم الأخرى X(فمثلا، X = 10, X= 18) هذا النموذج يعطي بيانات خاطئة.
التعريف 1.مسند واحد P(X) هي أي دالة لمتغير واحد فيها الوسيطة xيمر من خلال القيم من بعض المجموعات م، وتأخذ الوظيفة إحدى القيمتين: صواب أو خطأ.
الكثير من مالذي تم تقديم المسند عليه مجال التعريف فاعل.
المجموعة التي يأخذها المسند فقط القيم الحقيقية، يسمى منطقة الحقيقة المسند P(X).
على سبيل المثال ، المسند P (x) - "x عدد أولي"المحددة في المجموعة الأعداد الطبيعيةوالمجموعة I P هي مجموعة الأعداد الأولية.
التعريف 2. فاعل ص(X) المحددة في المجموعة م، يسمى صحيح تماما (نفس الخطأ)، إذا
التعريف 3.المسند ذو المكانين P(س ، ص) تسمى دالة لمتغيرين Xو في، المحددة في المجموعة م=م 1 × م 2 وأخذ القيم من المجموعة (1،0).
أمثلة على المسندات ذات المكانين هي: س(س ، ص) – « س = ص»مسند المساواة المحدد في المجموعة ص 2 =ص× ص; F(س ، ص) – « X || في" مستقيم Xبالتوازي مع خط مستقيم في، المحددة في مجموعة الخطوط الموجودة على المستوى المحدد.
يقولون أن المسند ص(X) هو عاقبة فاعل س(X) ، إذا ؛ والمسندات ص(X) و س (X) هي بمثابة ، إذا .
مثال 1من بين المقترحات التالية ، حدد المسندات وحدد مجال الحقيقة لكل منها:
- X + 5 = 1
- في X= 2 X 2 – 1 = 0
- X 2 – 2X + 1 = 0
- يوجد مثل هذا الرقم X، ماذا او ما X 3 – 2X + 1 = 0
- X + 2 < ЗX – 4
- رقم واحد غير سالب Xمضاعفات 3
- (X + 2) – (3X – 4)
المحلول. 1) الجملة مسند من مكان واحد ص(X), أنا ص = {– 4};
2) الجملة ليست خبرا. هذا تصريح خاطئ؛
3) الجملة مسند من مكان واحد ص(X), أنا ص = {1};
4) الجملة ليست خبرا. هذا بيان صحيح؛
5) الجملة مسند من مكان واحد ص(X), أنا ص = (3; +∞);
6) الجملة مسند من مكان واحد ص(X), أنا ص = {0; 3; 6; 9};
7) الجملة ليست مسندًا ؛
مثال 2ارسم منطقة حقيقة المسند على مستوى ديكارتي .
المحلول. يحد عدم المساواة الذي يشكل المسند الأصلي جزء المستوى المحصور بين فروع القطع المكافئ ، ويظهر في الجزء الرمادي من الشكل:
3.3. العمليات المنطقية على المسندات
المسندات ، مثل العبارات ، تأخذ قيمتين. و و ل (1 ، 0) ، لذا فإن جميع عمليات المنطق الافتراضي تنطبق عليهم.
ضع في اعتبارك تطبيق عمليات المنطق الافتراضي على المسندات باستخدام أمثلة من المسندات ذات المكان الواحد.
دعونا على بعض مجموعة متعريف اثنين من المسندات ص(X) و س(X).
التعريف 4. بالاشتراك اثنين من المسندات ص(X) و س(X) يسمى المسند الجديد ص(X)&س(X) ، والتي تأخذ القيمة "صواب" لهؤلاء وفقط تلك القيم التي لكل من المسندات ص(X) و س(X) إلى "صحيح" وتقييمها إلى "خطأ" في جميع الحالات الأخرى. من الواضح أن منطقة الحقيقة المسند ص(X)&س(X) هو الجزء المشترك من مناطق الحقيقة للمسند ص(X) و س(X)، بمعنى آخر. تداخل .
لذلك ، على سبيل المثال ، للمسندات ص(X): « X – رقم زوجي" و س(X): « Xمضاعف 3 "بالتزامن ص(X)&س(X) هو المسند " Xهو رقم زوجي و Xهو مضاعف 3 "، أي المسند" Xقابل للقسمة على 6.
التعريف 5. انفصالدالمسندات واه ص(X) و س(X) هو مسند جديد يأخذ القيمة "false" لهؤلاء وفقط تلك القيم التي يأخذ كل من المسندات القيمة "false" لها ويأخذ القيمة "true" في جميع الحالات الأخرى. من الواضح أن مجال الحقيقة للمسند هو اتحاد مجالات الحقيقة للمسند ص(X) و س(X) ، أي اتحاد.
التعريف 6. إنكار فاعل ص(X) يسمى مسند جديد يأخذ القيمة "صواب" لجميع القيم التي يكون المسند لها ص(X) يأخذ القيمة "false" ، ويأخذ القيمة "false" لتلك القيم التي يكون المسند لها ص(X) يأخذ القيمة "صواب". من الواضح أن، .
التعريف 7. يتضمن المسندات ص(X) و س(X) يسمى مسند جديد خاطئ لهؤلاء وفقط تلك القيم التي لها في وقت واحد ص(X) تأخذ القيمة "صواب" ، و س(X) خطأ ويتم تقييمه إلى صحيح في جميع الحالات الأخرى.
من الواضح أنه عند إجراء عمليات منطقية على المسندات ، فإن معادلات جبر المنطق تنطبق عليها أيضًا. للحصول على دراسة مفصلة للموضوع ، فإن دورة "الرياضيات المتقطعة" مطلوبة.
العمليات على المسندات. وصف المفاهيم الرياضية بمساعدة المنطق المسند.
§3. العمليات المنطقية على المسندات.
المسندات ، مثل العبارات ، يمكن أن تأخذ قيمتين: "صواب" (1) و "خطأ" (0) ، وبالتالي ، فإن جميع عمليات المنطق الافتراضي قابلة للتطبيق عليها ، ونتيجة لذلك يتم تشكيل المسندات المعقدة من المسندات الأولية (مثل في منطق الافتراض ، حيث تم تشكيل عبارات مركبة معقدة من عبارات أولية). ضع في اعتبارك تطبيق عمليات المنطق الافتراضي على المسندات باستخدام أمثلة من المسندات ذات المكان الواحد. تحتفظ هذه العمليات في المنطق الأصلي بنفس المعنى الذي تم تخصيصه لها في منطق الافتراض.
دع اثنين من المسندات ويتم تحديدها في بعض المجموعات.
التعريف 7. اقتران اثنين من المسندات https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif "width =" 36 "height =" 21 src = "> يتم استدعاء المسند الجديد (المركب) ، والذي يأخذ القيمة" true "لـ تلك القيم فقط https://pandia.ru/text/80/323/images/image004_23.gif "width =" 83 "height =" 21 src = "> هي الجزء المشترك من مجال الحقيقة في المسندات ، أي تقاطع.
المثال 8للمسندات https://pandia.ru/text/80/323/images/image007_16.gif "width =" 13 "height =" 15 src = "> هو رقم زوجي و:" مضاعف 3 " ، فإن العطف هو المسند "- هو رقم زوجي ومضاعف ثلاثة" ، أي المسند "قابل للقسمة على 6".
التعريف 8. فصل اثنين من المسندات https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif "width =" 36 "height =" 21 src = "> هو مسند جديد يأخذ القيمة" false "مع تلك القيم فقط من DIV_ADBLOCK29 ">
من الواضح أن مجال الحقيقة للمسند هو https://pandia.ru/text/80/323/images/image009_18.gif "width =" 55 "height =" 25 src = ">.
التعريف 9. من خلال نفي المسند P (x) مسند جديد أو يسمى ، والذي يأخذ القيمة "true" لجميع القيم ، ويأخذ القيمة "false" لتلك القيم التي يأخذ المسند القيمة "true" لها.
من الواضح ، على سبيل المثال .. gif "width =" 35 "height =" 21 src = ">. gif" width = "88" height = "21">. gif "width =" 35 "height =" 21 "> بالتقييم" يتم تقييمها إلى "صواب" ويتم تقييمها إلى "صواب" في جميع الحالات الأخرى.
منذ كل ثابت التكافؤ ، ومن بعد .
التعريف 11. التكافؤ الأصلي https://pandia.ru/text/80/323/images/image003_26.gif "width =" 36 "height =" 21 src = "> يسمى المسند الجديد الذي يتحول إلى" true "لكل هؤلاء وفقط هؤلاء https: //pandia.ru/text/80/323/images/image002_38.gif "width =" 35 height = 21 "height =" 21 "> وتحويل كليهما إلى صحيح أو كليهما إلى بيانات خاطئة.
لمجموعة الحقيقة لدينا:
§ أربعة. ص تطبيق لغة المنطق التنبؤي لتسجيل الاقتراحات الرياضية ، والتعاريف ، وبناء سلبي الاقتراحات.
1. كتابة الجمل والتعريفات الرياضية في شكل معادلات منطقية أصلية.
لغة المنطق المسند ملائمة لكتابة الجمل والتعريفات الرياضية. يجعل من الممكن التعبير عن الروابط المنطقية بين المفاهيم ، وكتابة التعريفات ، والنظريات ، والبراهين. فيما يلي بعض الأمثلة على هذه السجلات.
مثال 1 تحديد نهاية المتتالية العددية.
https://pandia.ru/text/80/323/images/image019_9.gif "width =" 211 "height =" 21 src = "> ، اكتب:
https://pandia.ru/text/80/323/images/image021_9.gif "width =" 13 "height =" 19 ">” الوظيفة ƒ (х) المحددة في المنطقة E عند النقطة x0:
https://pandia.ru/text/80/323/images/image023_7.gif "width =" 285 "height =" 27 ">.
مثال 3 تحديد استمرارية دالة عند نقطة.
الوظيفة https://pandia.ru/text/80/323/images/image025_6.gif "width =" 48 height = 24 "height =" 24 "> إذا ، أين.
مثال 4 تعريف دالة متزايدة.
وظيفة محددة في مجموعة E تتزايد في هذه المجموعة إذا
https://pandia.ru/text/80/323/images/image029_5.gif "width =" 72 "height =" 23 src = ">. gif" width = "16" height = "21">. يسمح منطق المسندات ، عن طريق التحولات المكافئة للصيغة ، بإعطائها شكلًا يمكن توقعه جيدًا.
سوف نحصل على تعريف دالة غير محدودة من خلال نفي هذه الصيغة وتنفيذ التحولات المكافئة:
لا تعطي الصيغة الأخيرة تعريفاً سلبياً ، بل تعريفاً إيجابياً للدالة غير المحدودة.
من التعريف أعلاه ، من الواضح أنه من أجل بناء البيان المعاكس للبيان ، من خلال الصيغةالمنطق المسند الذي يحتوي على جميع المحددات الكمية في المقدمة ، من الضروري استبدال جميع المحددات الكمية بأخرى معاكسة واتخاذ نفي المسند تحت علامة المحددات الكمية.
كما هو معروف ، يمكن صياغة العديد من النظريات الرياضية في شكل جمل شرطية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النظرية التالية: "إذا كانت نقطة تقع على منصف زاوية ، فإنها تكون على مسافة متساوية من جانبي تلك الزاوية". شرط هذه النظرية هو الاقتراح "النقطة تقع على منصف الزاوية" ، والاستنتاج هو اقتراح "النقطة متساوية من جانبي الزاوية" . نرى أن كلاً من الشرط وختام النظرية هما مسندات محددة في المجموعة R2 . دلالة على هذه المسندات على التوالي ف (س)و س(x), أين XнR2 ، يمكننا كتابة النظرية كصيغة:
في هذا الصدد ، عند الحديث عن بنية النظرية ، يمكننا تمييز ثلاثة أجزاء فيها:
1) شرط النظرية: المسند ف (س) ،المحددة في المجموعة R2 ؛
2) خاتمة النظرية: المسند س(x), المحددة في المجموعة R2 ؛
3) الجزء التوضيحي: يصف مجموعة الأشياء التي تمت مناقشتها في النظرية.
من الأمور ذات الأهمية الخاصة بناء عبارة تنفي صحة نظرية معينة: https://pandia.ru/text/80/323/images/image035_5.gif "width =" 411 height = 32 "height =" 32 ">.
لذلك ، من أجل إثبات أن النظرية https://pandia.ru/text/80/323/images/image036_4.gif "width =" 37 "height =" 17 "> ، والتي - صحيح ، أ - كذبة ، وهذا يعني مكافحة المثال.
باستخدام هذه التقنية ، سنثبت ظلم العبارات:
1) "إذا كانت دالة قابلة للتفاضل له مشتق يساوي صفر عند النقطة x0 https://pandia.ru/text/80/323/images/image041_3.gif "width =" 41 "height =" 24 "> عند النقطة x = 0 له حد مشتق 0" -طي: الانهيار ؛ الحد: لا شيء ">
التعريف 1:زوج من النظريات التي يكون فيها شرط أحدهما هو خاتمة الثانية ، وشرط الثاني هو ختام الأول ، يسمى متبادل معكوس بعضهم البعض.
وهكذا ، فإن النظريات (1) و (2) ، وكذلك (3) و (4) هي نظريات معكوسة بشكل متبادل. علاوة على ذلك ، إذا كان أحدهم يسمى نظرية مباشرة ، فإن الثانية تسمى معكوسة.
التعريف 2:زوج من النظريات التي يكون فيها الشرط والاستنتاج من أحدهما هو نفي ، على التوالي ، لشرط واستنتاج الآخر ، يسمى العكس .
وهكذا ، فإن النظريات (1) و (3) ، وكذلك (2) و (4) هي نظريات متعارضة.
على سبيل المثال ، للنظرية
"إذا كانت الأقطار في الشكل الرباعي متساوية ، فإن الشكل الرباعي هو مستطيل"(1) المعكوس هو النظرية
"إذا كان الشكل الرباعي مستطيلًا ، فإن أقطاره متساوية"(2).
بالنسبة للنظرية (1) ، فإن العكس هو النظرية
"إذا كانت الأقطار في الشكل الرباعي غير متساوية ، فإن الشكل الرباعي ليس مستطيلاً" (3) ،
وبالنسبة للنظرية (2) فإن العكس هو النظرية
"إذا لم يكن الشكل الرباعي مستطيلاً ، فإن أقطاره غير متساوية"(4).
في المثال المدروس ، النظريات (1) و (4) خاطئة في نفس الوقت ، والنظريات (2) و (3) صحيحة في نفس الوقت. مثال مضاد للنظرية (1) هو شبه منحرف متساوي الساقين.
من الواضح أن النظريات المباشرة والمعاكسة ، بشكل عام ، ليست مكافئة ، أي أن إحداهما قد تكون صحيحة والأخرى خاطئة. ومع ذلك ، فمن السهل إظهار أن النظريات (1) و (4) ، وكذلك (2) و (3) ، متكافئة دائمًا.
حقًا:
تشير هذه التكافؤات إلى أنه إذا تم إثبات النظرية (1) ، فقد تم إثبات النظرية (4) ، وإذا تم إثبات النظرية (2) ، فعندئذ يتم إثبات النظرية (3) أيضًا.
4. الشروط الضرورية والكافية.
تأمل النظرية
(1)
كما لوحظ ، فإن مجموعة الحقيقة للمسند هي المجموعة ..gif "width =" 55 "height =" 25 "> (انظر الشكل).
لذلك ، المسند https://pandia.ru/text/80/323/images/image052_4.gif "width =" 40 "height =" 19 "> إذا وفقط إذا كانت مجموعة الحقيقة للمسند Р (х) هي الواردة في مجموعة الحقيقة للمسند Q (x) ، حيث يُقال أن المسند Q (x) يتبع منطقيًا من المسند P (x) ، ويسمى المسند Q (x) شرطًا ضروريًا للمسند P ( x) ، والمسند P (x) شرط كافٍ لـ Q (x).
لذلك ، في النظرية "إذا كان x عددًا طبيعيًا ، فهو عدد صحيح"المسند Q (x): "x هو عدد صحيح" يتبع منطقيًا من المسند P (x): "x هو رقم طبيعي" ، والمسند "x هو رقم طبيعي" هو شرط كاف للمسند "x" هو عدد صحيح ".
غالبًا ما يكون هناك موقف تكون فيه النظريات العكسية المتبادلة صحيحة
من الواضح أن هذا ممكن شريطة أن.
في هذه الحالة ، يترتب على النظرية (1) أن الشروط P (x) كافية لـ Q (x) ، ومن النظرية (2) يترتب على ذلك أن الشرط P (x) ضروري لـ Q (x).
وبالتالي ، إذا كانت النظريات (1) و (2) صحيحة ، فإن الشرط P (x) ضروري وكافٍ لـ Q (x). وبالمثل ، في هذه الحالة ، يكون الشرط Q (x) ضروريًا وكافيًا لـ P (x).
في بعض الأحيان ، بدلاً من الرابط المنطقي "الضروري والكافي" ، يستخدمون الرابط المنطقي "إذا وفقط حينها".
نظرًا لأن العبارتين (1) و (2) صحيحة هنا ، فإن العبارة صحيحة
أمثلة:
1) نظرية "إذا كان الرقمليقبل القسمة على 12 ، ثم يقبل القسمة على 3.حقيقي. لذلك ، هنا قابلية القسمة على الرقم لعلى 12 شرط كافٍ لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة لعلى 3 ، وقابلية القسمة على الرقم لعلى 3 شرط ضروري لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة لبحلول 12. في نفس الوقت ، نظرية العكس "إذا كان الرقمليقبل القسمة على 3 ، ثم يقبل القسمة على 12.غير صحيح. لذلك ، قابلية القسمة على رقم لعلى 3 ليس شرطًا كافيًا لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة لعلى 12 ، وقابلية القسمة على الرقم لعلى 12 ليس شرطًا ضروريًا لكي يكون الرقم قابلاً للقسمة لعلى العد حتى 3..
نعيد كتابة المتباينة في الصورة ، حلولها.
أ) هو شرط كافٍ للحفاظ على عدم المساواة ، منذ 0н [-2، 4].
ب) [-1 ، 3] М [-2 ، 4]. ومن ثم فهي حالة كافية.
ج) [-3 ، + ¥) س [-2 ، 4] ، إذن ، شرط ضروري.
د) (-2 ، + ¥) ق [-2 ، 4] و [-2 ، 4] ق (2 ، + ¥) ، لذلك ، ليس شرطًا ضروريًا ولا شرطًا كافيًا.
هـ) [-1 ، 10] ق [-2 ، 4] و [-2 ، 4] ق [-1 ، 10] ، لذلك ، ليس شرطًا ضروريًا ولا شرطًا كافيًا.
و) [-2 ، 4] = [- 2 ، 4] بالتالي شرط ضروري وكاف.
5. إثبات النظريات بطريقة التناقض.
عادة ما يتم إثبات النظريات بالتناقض وفقًا للمخطط التالي: من المفترض أن النظرية
ليس صحيحًا ، أي أن هناك كائنًا س مثل أن الشرط Р (х) صحيح والاستنتاج Q (x) خاطئ. إذا توصلوا من هذه الجمل ، من خلال التفكير المنطقي ، إلى بيان متناقض ، فإنهم يستنتجون أن الافتراض الأصلي خاطئ ، وأن النظرية (1) صحيحة.
دعونا نظهر أن مثل هذا النهج يوفر دليلاً على صحة النظرية (1).
في الواقع ، الافتراض بأن النظرية (1) غير صحيحة يعني أن نفيها صحيح ، أي الصيغة . يمكن إثبات أن العبارة المتناقضة ، التي تم الحصول عليها من الافتراض الذي تم إجراؤه ، كما رأينا من الأمثلة التي تم النظر فيها سابقًا ، يمكن كتابتها على أنها اقتران https://pandia.ru/text/80/323/images/image039_3. gif "" height = "20 src ="> له مشتق ثانٍ يساوي صفرًا عند النقطة x0 ، ثم النقطة x0 هي نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة ".
ب) "إذا كان التسلسل العددي مقيدًا ، فسيكون له حد".
ج) "إذا كانت الدالة متصلة عند x0 ، فإن لها مشتقًا عند هذه النقطة."
هـ) لكي تكون المجموعة قابلة للعد ... بحيث يمكن كتابة عناصرها كتسلسل مرقم ؛
و) من أجل أن يكون للتسلسل العددي حد ... بحيث يكون محدودًا.
5. صياغة:
أ) سمة ضرورية ولكنها غير كافية لمتوازي الأضلاع ؛
ب) السمة الضرورية والكافية لمتوازي الأضلاع ؛
ج) شرط كاف ولكنه غير ضروري للمعادلة sinx = a للحصول على حل.
د) شرط ضروري ولكنه غير كاف للمعادلة sinx = a للحصول على حل.
1 . عملية النفي.
إنكارفاعل ف (س) ،على المجموعة X ،يسمى المسند المعطى على نفس المجموعة وحقيقي لهؤلاء وفقط تلك القيم XX ،تحتها المسند ص (x) يأخذ قيمة خطأ.
2 . عملية الاقتران.
بالاشتراكالمسندات ف (س)و س (س)، على المجموعة X، يسمى المسند ف (س)س (س) تُعطى على نفس المجموعة وتتحول إلى اقتراح حقيقي لهؤلاء وفقط تلك القيم XX ،التي بموجبها كلا المسند صحيح.
إذا عيّننا TR ف (س), تيس- مجموعة الحقيقة للمسند س (س)، وحقيقة الاقتران بينهما TPÙQ ،ثم ، على ما يبدو ، تبوك = TP Ç ت.
دعونا نثبت هذه المساواة.
1. اسمحوا أ Xومن المعروف أن أО تبوك.من خلال تعريف مجموعة الحقيقة ، هذا يعني أن المسند ف (س)س (س) يتحول إلى بيان صحيح عندما س = أ، بمعنى آخر. بيان ف (أ)س (أ) صحيح. نظرًا لأن هذا البيان عبارة عن أداة ربط ، إذن ، من خلال تعريف أداة الاقتران ، نحصل على كل عبارة من العبارات ف (أ)و س (أ)صحيح أيضا. هذا يعني انه أTRو أتي كيو.وهكذا ، فقد أظهرنا ذلك تبوك Ì TRÇ تي كيو.
2. دعونا نثبت العكس. يترك أ- عنصر تعسفي من المجموعة Xومن المعروف أن أО TP ت.من خلال تعريف مجموعة التقاطع ، هذا يعني ذلك أTRو أتي كيو، من أين حصلنا على ذلك ف (أ)و س (أ)هي افتراضات حقيقية ، لذا فإن اقتران القضايا ف (أ)س (أ) سيكون صحيحًا أيضًا. هذا يعني أن العنصر أينتمي إلى مجموعة الحقيقة للمسند ف (س)س (س)، بمعنى آخر. أО تبوك .
من 1 و 2 ، بحكم تعريف المجموعات المتساوية ، تتبع صحة المساواة تبوك =TRÇ تي كيوالتي كان من المقرر إثباتها.
يمكن تصور هذا على النحو التالي.
3. عملية الانفصال.
انفصالالمسندات ف (س)و س (س) يسمى المسند ف (س)س (س Xوالتحول إلى اقتراح حقيقي لهؤلاء وفقط تلك القيم XX ،والتي بموجبها يأخذ واحد على الأقل من المسندات قيمة true ص (x) أو س (خ).
وبالمثل ، فقد ثبت أن TPUQ = TP È ت.
4 .عملية ضمنية.
يتضمنالمسندات ف (س)و س (س)، على المجموعة X، يسمى المسند ف (س)س (س) على نفس المجموعة Xوالتحول إلى اقتراح خاطئ لهؤلاء وفقط تلك القيم XX ،والتي بموجبها تأخذ P (x) قيمة true ، و س (س)- معنى الكذب.
5 . عملية معادلة.
التكافؤالمسندات ف (س)و س (س)، على المجموعة X، يسمى المسند ف (س)س (س) على نفس المجموعة Xوأخذ القيمة الحقيقية لهؤلاء وفقط تلك القيم XX ،والتي بموجبها تكون قيم كل من المسندات إما صحيحة أو خاطئة. تبدو الحقيقة المحددة في هذه الحالة كما يلي:
TPÛQ = .
مثال. على المجموعة م = (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15, 16, 17, 18, 19, 20} يتم إعطاء المسندات: أوه)- "رقم Xلا يقبل القسمة 5 », ب (س) - « X- رقم زوجي ج (خ) - « X- رقم اولي د (خ)- "رقم Xمضاعف 3 ". ابحث عن مجموعة الحقيقة من المسندات التالية:
أ) أوه)ب (خ) ؛ب) فأس); ج) ج (خ) ألف (خ) ؛د) ب (خ) د (خ)وتصورهم باستخدام مخططات أويلر-فين.
المحلول:أ) ابحث عن مجموعة الحقيقة من المسندات.
أ (خ): T = (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19) ؛
ب (خ): T = (2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، 20).
مجموعة الحقيقة للاقتران أوه)ب (س)هناك حقائق تي و تي .
في جبر المنطق ، تعتبر البيانات ككيانات لا تنفصم وفقط من وجهة نظر حقيقتها أو زيفها. لا يتأثر هيكل العبارات ولا محتواها. في الوقت نفسه ، يتم استخدام الاستنتاجات في كل من العلم والممارسة. تعتمد بشكل أساسي على كل من بنية ومحتوى العبارات المستخدمة فيها.
على سبيل المثال ، في الوسيطة "كل معين هو متوازي أضلاع ؛ ABCD - معين. لذلك ، ABCD هو متوازي الأضلاع ، والمقدمة والاستنتاج هي بيانات أولية لمنطق القضايا ومن وجهة نظر هذا المنطق تعتبر كاملة ، غير قابلة للتجزئة ، بغض النظر عن هيكلها الداخلي. وبالتالي ، فإن جبر المنطق ، باعتباره جزءًا مهمًا من المنطق ، يتبين أنه غير كاف في تحليل العديد من الاستدلالات.
في هذا الصدد ، هناك حاجة لتوسيع منطق الافتراضات ، لبناء مثل هذا النظام المنطقي ، والذي يمكن بواسطته دراسة بنية تلك الافتراضات التي يتم النظر فيها ، في إطار منطق الافتراضات. ابتدائي.
مثل هذا النظام المنطقي هو منطق المسندات ، الذي يحتوي على منطق الافتراضات بأكمله كجزء منه.
المنطق المسند ، مثل المنطق الرسمي التقليدي ، يقسم البيان الأولي إلى موضوع (حرفيًا ، موضوع ، على الرغم من أنه يمكن أن يلعب دور كائن) ومسند (حرفيًا ، مسند ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا أن يلعب دور التعريف ).
الموضوع هو الشيء الذي تم التأكيد عليه في البيان ؛ المسند هو شيء يتم تأكيده حول موضوع ما.
على سبيل المثال ، في العبارة "7 هو رقم أولي" ، "7" هو الموضوع ، "الرقم الأولي" هو المسند. ينص هذا البيان على أن "7" له خاصية "كونه عددًا أوليًا"
إذا استبدلنا في المثال المدروس الرقم المحدد 7 بالمتغير x من مجموعة الأعداد الطبيعية ، فسنحصل على الصيغة المقترحة "x هو رقم أولي". بالنسبة لبعض قيم x (على سبيل المثال ، x = 13 ، x = 17) ، تعطي هذه الصيغة عبارات صحيحة ، وبالنسبة لقيم أخرى لـ x (على سبيل المثال ، x = 10 ، x = 18) ، هذا النموذج يعطي بيانات كاذبة.
من الواضح أن هذه الصيغة الافتراضية تحدد دالة لمتغير واحد x محدد في المجموعة N وأخذ القيم من المجموعة (1،0). هنا يصبح المسند وظيفة للموضوع ويعبر عن خاصية للموضوع.
تعريف. المسند أحادي المكان P (x) هو دالة عشوائية للمتغير x ، محدد في المجموعة M وأخذ القيم من المجموعة (1،0).
المجموعة M التي يتم تعريف المسند P (x) عليها تسمى مجال المسند.
تسمى مجموعة جميع العناصر التي بموجبها يأخذ المسند القيمة "true" مجموعة الحقيقة للمسند P (x) ، أي أن مجموعة الحقيقة للمسند P (x) هي مجموعة.
لذا. المسند P (x) - "x هو رقم أولي" محدد في المجموعة N ، والمجموعة الخاصة به هي مجموعة جميع الأعداد الأولية. يتم تعريف المسند Q (x) - "" على المجموعة R ومجموعة الحقيقة الخاصة بها . يتم تعريف المسند F (x) "أقطار متوازي الأضلاع x متعامدة" على مجموعة كل متوازيات الأضلاع ، ومجموعة الحقيقة الخاصة بها هي مجموعة جميع المعينات.
تعبر الأمثلة المعطاة للمسندات ذات المكان الواحد عن خصائص الكائنات.
تعريف. المسند P (x) المحدد في مجموعة M يسمى متطابق صحيح (خطأ مماثل) إذا.
التعميم الطبيعي لمفهوم المسند ذو المكان الواحد هو مفهوم المسند متعدد الأماكن ، والذي يتم من خلاله التعبير عن العلاقات بين الأشياء.
مثال علاقة ثنائية(العلاقة بين شيئين) هي علاقة "أقل من". دع هذه العلاقة تقدم على مجموعة Z من الأعداد الصحيحة. يمكن وصفه بالصيغة الافتراضية "x<у », где, то есть является функцией двух переменных Р(х,у), определенной на множествес множеством значений {1,0}.
تعريف. المسند ذو المكانين P (x ، y) هو دالة لمتغيرين x و y ، معرفين في المجموعة I وأخذ القيم من المجموعة (1،0).
يتم تعريف المسند n-place بشكل مشابه.