صيغ للتمييز بين الوظائف المعطاة ضمنيًا. مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا
في كثير من الأحيان ، عند حل المشكلات العملية (على سبيل المثال ، في الجيوديسيا العليا أو القياس التصويري التحليلي) ، تظهر وظائف معقدة للعديد من المتغيرات ، أي الحجج س ، ص ، ض وظيفة واحدة و (س ، ص ، ض) ) هي نفسها وظائف المتغيرات الجديدة يو ، في ، دبليو ).
لذلك ، على سبيل المثال ، يحدث ذلك عند الانتقال من نظام إحداثيات ثابت Oxyz لنظام المحمول ا 0 UVW والعودة. في هذه الحالة ، من المهم معرفة جميع المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات "الثابتة" - "القديمة" و "المتحركة" - "الجديدة" ، نظرًا لأن هذه المشتقات الجزئية تميز عادةً موضع كائن في أنظمة الإحداثيات هذه ، وتؤثر بشكل خاص على مراسلات الصور الجوية مع جسم حقيقي. في مثل هذه الحالات ، يتم تطبيق الصيغ التالية:
هذا هو ، بالنظر إلى وظيفة معقدة تي ثلاثة متغيرات "جديدة" يو ، في ، دبليو من خلال ثلاثة متغيرات "قديمة" س ، ص ، ض ومن بعد:
تعليق. الاختلافات في عدد المتغيرات ممكنة. على سبيل المثال: if
على وجه الخصوص ، إذا ض = و (س ص) ، ص = ص (س) ، ثم نحصل على ما يسمى بصيغة "المشتق الكلي":
نفس صيغة "المشتق الكلي" في حالة:
سوف يأخذ النموذج:
هناك اختلافات أخرى في الصيغ (1.27) - (1.32) ممكنة أيضًا.
ملاحظة: يتم استخدام صيغة "المشتق الكلي" في سياق الفيزياء ، قسم "الديناميكا المائية" عند اشتقاق النظام الأساسي لمعادلات حركة السوائل.
المثال 1.10. معطى:
بحسب (1.31):
§7 المشتقات الجزئية لوظيفة معينة ضمنيًا لعدة متغيرات
كما تعلم ، يتم تعريف دالة محددة ضمنيًا لمتغير واحد على النحو التالي: وظيفة المتغير المستقل x يسمى ضمنيًا إذا تم تقديمه بواسطة معادلة لم يتم حلها فيما يتعلق بـ ذ :
المثال 1.11.
المعادلة
يحدد ضمنيًا وظيفتين:
والمعادلة
لا تحدد أي وظيفة.
النظرية 1.2 (وجود دالة ضمنية).
دع الوظيفة ض \ u003d و (س ، ص) ومشتقاته الجزئية F" x و F" ذ محددة ومستمرة في بعض الأحياء يو م 0 نقاط م 0 (x 0 ذ 0 ) . بجانب، و (x 0 ، ذ 0 )=0 و و "(x 0 ، ذ 0 )≠0 ثم المعادلة (1.33) تحدد في الجوار يو م 0 وظيفة ضمنية ص = ص (س) ، مستمر وقابل للتفاضل في بعض الفترات د تتمحور حول نقطة x 0 ، و ص (س 0 ) = ذ 0 .
بدون دليل.
من Theorem 1.2 يتبع ذلك في هذه الفترة د :
وهذا يعني أن هناك هوية في
حيث يوجد المشتق "الإجمالي" وفقًا لـ (1.31)
أي أن (1.35) يعطي صيغة لإيجاد المشتق ضمنيًا وظيفة معينةمتغير واحد x .
يتم تعريف دالة ضمنية لمتغيرين أو أكثر بالمثل.
على سبيل المثال ، إذا كان في بعض المناطق الخامس الفضاء Oxyz تحققت المعادلة:
ثم في ظل ظروف معينة على الوظيفة F يحدد ضمنيًا وظيفة
في نفس الوقت وقياسا على (1.35) توجد مشتقاته الجزئية على النحو التالي:
المثال 1.12. بافتراض أن المعادلة
يعرّف ضمنيًا وظيفة
تجد ض " x ، ض " ذ .
لذلك ، وفقًا لـ (1.37) ، نحصل على الإجابة.
§8 المشتقات الجزئية للرتبتين الثانية والعليا
تعريف 1.9 مشتقات جزئية من الدرجة الثانية للدالة ض = ض (س ، ص) يتم تعريفها على النحو التالي:
كانت هناك أربعة منهم. علاوة على ذلك ، في ظل ظروف معينة على الوظائف ض (س ، ص) تحمل المساواة:
تعليق. يمكن أيضًا الإشارة إلى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية على النحو التالي:
التعريف 1.10 المشتقات الجزئية من الرتبة الثالثة - ثمانية (2 3).
تسمى الوظيفة Z = f (x ؛ y) ضمنيًا إذا تم تقديمها بواسطة المعادلة F (x ، y ، z) = 0 دون حل فيما يتعلق Z. لنجد المشتقات الجزئية للدالة Z المعطاة ضمنيًا. للقيام بذلك ، الاستبدال في المعادلة بدلاً من Z بالوظيفة f (x ؛ y) نحصل على الهوية F (x ، y ، f (x ، y)) \ u003d 0. المشتقات الجزئية بالنسبة إلى x و y للدالة ، والتي تساوي صفرًا ، تساوي أيضًا صفرًا.
و (س ، ص ، و (س ، ص)) =
= 0 (تعتبر y ثابتة)
و (س ، ص ، و (س ، ص)) =
= 0 (xconsider ثابت)
أين
و
مثال: أوجد المشتقات الجزئية للدالة Z في حالة المعادلة
.
هنا F (x، y، z) =
;
;
;
. وفقًا للصيغ أعلاه ، لدينا:
و
مشتق اتجاهي
دع دالة من متغيرين Z = f (x ؛ y) تعطى في بعض المناطق المجاورة لـ m M (x، y). ضع في اعتبارك بعض الاتجاه الذي يحدده متجه الوحدة
، أين
(انظر الشكل).
على خط مستقيم يمر في هذا الاتجاه من خلال النقطة M ، نأخذ النقطة M 1 (
) بحيث يكون الطول
الجزء MM 1 يساوي
. يتم تحديد زيادة الدالة f (M) من خلال العلاقة ، حيث
مرتبطة بالعلاقات. حد النسبة في
سوف يسمى مشتق الوظيفة
في هذه النقطة
من اتجاه ويتم تعيينه .
=
إذا كانت الدالة Z قابلة للاشتقاق عند نقطة ما
، ثم زيادتها في هذه المرحلة ، مع مراعاة العلاقات لـ
يمكن كتابتها بالشكل التالي.
قسمة كلا الجزأين على
والانتقال إلى الحد الأقصى عند
نحصل على صيغة مشتق الوظيفة Z \ u003d f (x ؛ y) في الاتجاه:
الانحدار
ضع في اعتبارك دالة من ثلاثة متغيرات
قابلة للتفاضل في مرحلة ما
.
تدرج هذه الوظيفة
عند النقطة M يسمى متجه إحداثياته متساوية ، على التوالي ، مع المشتقات الجزئية
عند هذه النقطة. الرمز المستخدم للدلالة على التدرج اللوني
.
=
.
يشير التدرج اللوني إلى اتجاه أسرع نمو للدالة عند نقطة معينة.
منذ ناقلات الوحدة لديه إحداثيات (
) ، ثم يتم كتابة مشتق الاتجاه لحالة دالة من ثلاثة متغيرات في النموذج ، أي له صيغة الضرب النقطي للمتجهات و
. دعنا نعيد كتابة الصيغة الأخيرة على النحو التالي:
، أين - الزاوية بين المتجه و
. بسبب ال
، ثم يتبع ذلك أن المشتق الاتجاهي للدالة يأخذ القيمة القصوى عند = 0 ، أي عندما اتجاه النواقل و
مباراة. حيث
في الواقع ، يميز تدرج الوظيفة اتجاه وحجم الحد الأقصى لمعدل زيادة هذه الوظيفة عند نقطة ما.
إكستريموم لدالة من متغيرين
تتشابه مفاهيم max ، min ، maxum لدالة متغيرين مع المفاهيم المقابلة لدالة متغير واحد. دع الوظيفة Z = f (x ؛ y) تُحدد في بعض المجالات D ، إلخ
ينتمي إلى هذه المنطقة. نقطة م
يسمى نقطة كحد أقصى للوظيفة Z = f (x ؛ y) إذا كان هناك مثل المجاورة للنقطة
، أن لكل نقطة من هذا الحي عدم المساواة
. يتم تعريف النقطة min بطريقة مماثلة ، فقط علامة عدم المساواة هي التي ستتغير في هذه الحالة
. تسمى قيمة الوظيفة عند الحد الأقصى (دقيقة) الحد الأقصى (الحد الأدنى). يسمى الحد الأقصى والأدنى للدالة القيمة القصوى.
شروط ضرورية وكافية لأقصى حد
النظرية:(الشروط القصوى اللازمة). إذا كان عند النقطة M.
الدالة القابلة للتفاضل Z = f (x؛ y) لها حد أقصى ، ثم مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي صفرًا:
,
.
دليل - إثبات:بإصلاح أحد المتغيرات x أو y ، نقوم بتحويل Z = f (x ؛ y) إلى دالة لمتغير واحد ، يجب أن تتحقق الشروط المذكورة أعلاه. متساوي هندسيًا
و
يعني أنه عند النقطة القصوى للدالة Z = f (x ؛ y) ، المستوى المماس للسطح الذي يمثل الوظيفة f (x ، y) = Z موازية لمستوى OXY ، لأن معادلة مستوى الظل هي Z = Z 0. النقطة التي عندها تكون المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة Z = f (x ؛ y) مساوية للصفر ، أي
,
، تسمى النقطة الثابتة للوظيفة. يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها مشتقات جزئية واحدة على الأقل. على سبيل المثال Z = | -
| لديه حد أقصى عند O (0،0) ولكن لا يوجد مشتقات في تلك المرحلة.
يتم استدعاء النقاط والنقاط الثابتة التي لا يوجد عندها مشتق جزئي واحد على الأقل نقاط حرجة.في النقاط الحرجة ، قد يكون أو لا يكون للوظيفة حد أقصى. تعتبر المساواة إلى الصفر في المشتقات الجزئية شرطًا ضروريًا ولكن ليس كافيًا لوجود حد أقصى. على سبيل المثال ، عندما يكون Z = xy ، تكون النقطة O (0،0) حرجة. ومع ذلك ، فإن الوظيفة Z = xy لا تحتوي على حد أقصى. (لأنه في الربعين الأول والثالث Z> 0 وفي II و IV-Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.
نظرية: (شرط كافي للظروف القصوى). دع في نقطة ثابتة
وبعض الجوار ، الدالة f (x ؛ y) لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية شاملة. احسب عند نقطة
القيم
,
و
. دل
إذا
، الحد الأقصى عند هذه النقطة
قد يكون أو لا يكون. هناك حاجة إلى مزيد من البحث.
سوف نتعلم إيجاد مشتقات الدوال المعطاة ضمنيًا ، أي المعطاة من خلال بعض المعادلات التي تربط المتغيرات ببعضها البعض xو ذ. أمثلة على الوظائف المحددة ضمنيًا:
,
من السهل العثور على مشتقات التوابع الضمنية أو مشتقات الدوال الضمنية. الآن دعنا نحلل القاعدة والمثال المقابل ، ثم نكتشف سبب الحاجة إلى ذلك على الإطلاق.
لإيجاد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا ، من الضروري اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x. تلك المصطلحات التي يوجد فيها x فقط ستتحول إلى المشتق المعتاد لدالة x. ويجب اشتقاق الحدود مع y باستخدام قاعدة اشتقاق دالة معقدة ، لأن y دالة في x. إذا كان الأمر بسيطًا جدًا ، فيجب أن يظهر في المشتق الناتج من المصطلح مع x: مشتق الدالة من y ، مضروبًا في المشتق من y. على سبيل المثال ، ستتم كتابة مشتق المصطلح على أنه مشتق من المصطلح سيتم كتابته كـ. علاوة على ذلك ، من كل هذا ، من الضروري التعبير عن "السكتة الدماغية y" وسيتم الحصول على المشتق المطلوب للوظيفة المعطاة ضمنيًا. لنلق نظرة على هذا بمثال.
مثال 1
المحلول. نفرق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x ، بافتراض أن y دالة في x:
من هنا نحصل على المشتق المطلوب في المهمة:
الآن هناك شيء يتعلق بالخاصية الغامضة للوظائف المعرفة ضمنيًا ، ولماذا هناك حاجة إلى قواعد خاصة لتفاضلها. في بعض الحالات ، يمكنك التأكد من أن التعويض في معادلة معينة (انظر الأمثلة أعلاه) بدلاً من y للتعبير عنها من خلال x يؤدي إلى حقيقة أن هذه المعادلة تتحول إلى متطابقة. لذا. تحدد المعادلة أعلاه ضمنيًا الوظائف التالية:
بعد استبدال التعبير y تربيع عبر x في المعادلة الأصلية ، نحصل على المتطابقة:
.
تم الحصول على التعبيرات التي استبدلناها عن طريق حل معادلة y.
إذا كان علينا اشتقاق الدالة الصريحة المقابلة
ثم نحصل على استجابة كما في المثال 1 - من وظيفة محددة ضمنيًا:
ولكن لا يمكن تمثيل كل وظيفة معطاة ضمنيًا في النموذج ذ = F(x) . لذلك ، على سبيل المثال ، الوظائف المحددة ضمنيًا
لا يتم التعبير عنها من حيث الوظائف الأولية ، أي أن هذه المعادلات لا يمكن حلها فيما يتعلق باللاعب. لذلك ، هناك قاعدة للتمييز بين وظيفة معينة ضمنيًا ، والتي درسناها بالفعل وسيتم تطبيقها باستمرار في أمثلة أخرى.
مثال 2أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:
.
نعبر عن y شرطة و - عند الإخراج - مشتق الدالة المعطاة ضمنيًا:
مثال 3أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:
.
المحلول. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x:
.
مثال 4أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:
.
المحلول. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x:
.
نعبر عن المشتق ونحصل عليه:
.
مثال 5أوجد مشتق دالة معطاة ضمنيًا:
المحلول. ننقل الحدود الموجودة في الجانب الأيمن من المعادلة إلى الطرف الأيسر ونترك صفرًا في الجانب الأيمن. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x.
مشتق دالة معقدة. المشتق الكلي
لنفترض أن z = ƒ (x ؛ y) دالة لمتغيرين x و y ، كل منهما دالة للمتغير المستقل t: x = x (t) ، y = y (t). في هذه الحالة ، الدالة z = f (x (t) ؛ y (t)) هي دالة معقدة لمتغير مستقل واحد t ؛ المتغيرات x و y متغيرات وسيطة.
إذا كانت z \ u003d ƒ (x ؛ y) دالة قابلة للتفاضل عند النقطة M (x ؛ y) є D و x \ u003d x (t) و y \ u003d y (t) هي وظائف قابلة للتفاضل للمتغير المستقل t ، ثم يتم حساب مشتق الدالة المعقدة z (t) = f (x (t)؛ y (t)) بالصيغة
لنجعل المتغير المستقل t زيادة Δt. بعد ذلك ، ستتلقى الدالتان x = x (t) و y = y (t) زيادات Δx و y على التوالي. هم ، بدورهم ، سوف يتسببون في زيادة الدالة z من Az.
نظرًا لأن الوظيفة z - (x ؛ y) قابلة للتفاضل ، حسب الشرط ، عند النقطة M (x ؛ y) ، يمكن تمثيل الزيادة الإجمالية على أنها
حيث a → 0، β → 0 كـ Δх → 0، Δу → 0 (انظر البند 44.3). نقسم التعبير Δz على Δt ونمرر إلى النهاية كـ Δt → 0. ثم Δх → 0 و Δу → 0 بسبب استمرارية الدوال x = x (t) و y = y (t) (وفقًا لحالة النظرية ، تكونان قابلة للتفاضل). نحن نحصل:
حالة خاصة: z = ƒ (x ؛ y) ، حيث y = y (x) ، أي z = ƒ (x ؛ y (x)) هي دالة معقدة لمتغير مستقل واحد x. تختصر هذه الحالة إلى الحالة السابقة ، حيث تلعب x دور المتغير t. وفقًا للصيغة (44.8) لدينا:
الصيغة (44.9) تسمى صيغة المشتق الكلي.
الحالة العامة: z = ƒ (x ؛ y) ، حيث x = x (u ؛ v) ، y = y (u ؛ v). ثم z = f (x (u ؛ v) ؛ y (u ؛ v)) هي دالة معقدة للمتغيرات المستقلة u و v. يمكن إيجاد مشتقاته الجزئية باستخدام الصيغة (44.8) على النحو التالي. بعد إصلاح v ، نستبدلها بالمشتقات الجزئية المقابلة