دالة التوزيع المنفصل. دالة التوزيع لمتغير عشوائي
تجد:
أ) المعلمة أ ؛
ب) دالة التوزيع F (x) ؛
ج) احتمال ضرب متغير عشوائي X في الفترة الزمنية ؛
د) التوقع الرياضي MX والتباين DX.
ارسم الدالتين f (x) و F (x).
المهمة 2. أوجد تباين المتغير العشوائي X المعطى من خلال الدالة المتكاملة.
المهمة 3. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X في ظل دالة توزيع.
المهمة 4. الكثافة الاحتمالية لبعض المتغيرات العشوائية معطاة على النحو التالي: f (x) = A / x 4 (x = 1؛ + ∞)
أوجد المعامل A ، دالة التوزيع F (x) ، التوقع والتباين الرياضي ، وكذلك احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة في الفترة. ارسم الرسوم البيانية f (x) و F (x).
مهمة. يتم إعطاء دالة التوزيع لبعض المتغيرات العشوائية المستمرة على النحو التالي:
حدد المعلمتين a و b ، وابحث عن التعبير عن كثافة الاحتمال f (x) ، والتوقع والتباين الرياضي ، بالإضافة إلى احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة في الفترة الزمنية. ارسم الرسوم البيانية f (x) و F (x).
لنجد دالة كثافة التوزيع كمشتق لدالة التوزيع.
و ′ = و (س) = أ
مع العلم أننا سنجد المعلمة أ:
أو 3 أ = 1 ، حيث أ = 1/3
نجد المعامل b من الخصائص التالية:
و (4) = أ * 4 + ب = 1
1/3 * 4 + ب = 1 من حيث ب = -1/3
لذلك ، فإن دالة التوزيع هي: F (x) = (x-1) / 3
تشتت.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
أوجد احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة في الفترة
ص (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
مثال 1. يتم إعطاء كثافة التوزيع الاحتمالي f (x) لمتغير عشوائي مستمر X. مطلوب:
- تحديد المعامل أ.
- أوجد دالة التوزيع F (x).
- ارسم تخطيطيًا F (x) و f (x).
- أوجد التوقع الرياضي والتباين لـ X.
- أوجد احتمال أن تأخذ X قيمة من الفترة (2 ؛ 3).
المحلول:
يتم إعطاء المتغير العشوائي X بواسطة كثافة التوزيع f (x):
ابحث عن المعلمة A من الشرط:
أو
14/3 * أ -1 = 0
أين،
أ = 3/14
يمكن العثور على دالة التوزيع بواسطة الصيغة.
للعثور على وظائف توزيع المتغيرات العشوائية ومتغيراتها ، من الضروري دراسة جميع ميزات هذا المجال المعرفي. هناك عدة طرق مختلفة للعثور على القيم المعنية ، بما في ذلك تغيير متغير وتوليد لحظة. التوزيع هو مفهوم يعتمد على عناصر مثل التشتت والاختلافات. ومع ذلك ، فإنها تميز فقط درجة نطاق التشتت.
الوظائف الأكثر أهمية للمتغيرات العشوائية هي تلك المرتبطة والمستقلة ، والموزعة بالتساوي. على سبيل المثال ، إذا كان X1 هو وزن فرد تم اختياره عشوائيًا من مجموعة من الذكور ، و X2 هو وزن شخص آخر ، ... ، و Xn هو وزن شخص آخر من السكان الذكور ، فنحن بحاجة إلى معرفة كيف يتم توزيع الدالة العشوائية X. في هذه الحالة ، تنطبق النظرية الكلاسيكية المسماة نظرية الحد المركزي. يسمح لنا بإظهار أنه بالنسبة للكبير n ، فإن الوظيفة تتبع التوزيعات القياسية.
وظائف متغير عشوائي واحد
تم تصميم نظرية الحد المركزي لتقريب القيم المنفصلة المعنية ، مثل ذات الحدين وبواسون. يتم النظر في وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية ، أولاً وقبل كل شيء ، على قيم بسيطة لمتغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كانت X عبارة عن متغير عشوائي مستمر له توزيع احتمالي خاص به. في هذه الحالة ، نستكشف كيفية العثور على دالة كثافة Y باستخدام طريقتين مختلفتين ، وهما طريقة دالة التوزيع والتغيير في المتغير. أولاً ، يتم أخذ القيم الفردية فقط في الاعتبار. ثم تحتاج إلى تعديل أسلوب تغيير المتغير لإيجاد احتماله. أخيرًا ، يحتاج المرء إلى معرفة كيف يمكن للتوزيع التراكمي أن يساعد في نمذجة أرقام عشوائية تتبع أنماطًا متسلسلة معينة.
طريقة توزيع القيم المدروسة
طريقة دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي قابلة للتطبيق من أجل إيجاد كثافته. عند استخدام هذه الطريقة ، يتم حساب القيمة التراكمية. بعد ذلك ، من خلال تمييزها ، يمكنك الحصول على كثافة الاحتمال. الآن بعد أن أصبح لدينا طريقة دالة التوزيع ، يمكننا إلقاء نظرة على بعض الأمثلة الأخرى. لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر بكثافة احتمالية معينة.
ما هي دالة الكثافة الاحتمالية لـ x2؟ إذا نظرت إلى الوظيفة أو رسمتها (أعلى ويمين) y \ u003d x2 ، يمكنك ملاحظة أنها زيادة X و 0 في المثال الأخير ، تم استخدام عناية كبيرة لفهرسة الدوال التراكمية وكثافة الاحتمال إما مع X أو Y للإشارة إلى المتغير العشوائي الذي ينتمون إليه. على سبيل المثال ، عند إيجاد دالة التوزيع التراكمي Y ، حصلنا على X. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد متغير عشوائي X وكثافته ، فكل ما عليك فعله هو اشتقاقه. لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر تعطى بواسطة دالة توزيع ذات مقام مشترك f (x). في هذه الحالة ، إذا وضعت قيمة y في X = v (Y) ، فستحصل على قيمة x ، على سبيل المثال v (y). الآن ، نحتاج إلى الحصول على دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر Y. حيث تحدث المساواة الأولى والثانية من تعريف Y التراكمي.تثبت المساواة الثالثة لأن جزء الوظيفة الذي من أجله u (X) ≤ y هو صحيح أيضًا أن X ≤ v (Y). ويتم إجراء الأخير لتحديد الاحتمال في المتغير العشوائي المستمر X. والآن نحتاج إلى أخذ مشتق FY (y) ، دالة التوزيع التراكمي لـ Y ، للحصول على كثافة الاحتمال Y. لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر مع تعريف f (x) المشترك على c1 لمعالجة هذه المشكلة ، يمكن جمع البيانات الكمية واستخدام دالة التوزيع التراكمي التجريبية. مع هذه المعلومات وجاذبيتها ، تحتاج إلى الجمع بين عينات الوسائل والانحرافات المعيارية وبيانات الوسائط وما إلى ذلك. وبالمثل ، حتى النموذج الاحتمالي البسيط إلى حد ما يمكن أن يكون له عدد كبير من النتائج. على سبيل المثال ، إذا قمت بقلب عملة معدنية 332 مرة. ثم يكون عدد النتائج التي تم الحصول عليها من التقلبات أكبر من عدد google (10100) - وهو رقم ، ولكن ليس أقل من 100 كوينتيليون مرة أعلى من الجسيمات الأولية في الكون المعروف. غير مهتم بتحليل يعطي إجابة لكل نتيجة محتملة. ستكون هناك حاجة إلى مفهوم أبسط ، مثل عدد الرؤوس ، أو أطول ضربة للذيول. للتركيز على القضايا ذات الاهتمام ، يتم قبول نتيجة محددة. التعريف في هذه الحالة هو كما يلي: المتغير العشوائي هو وظيفة حقيقية مع مساحة احتمالية. يُطلق أحيانًا على النطاق S للمتغير العشوائي مساحة الحالة. وبالتالي ، إذا كانت X هي القيمة المعنية ، إذن N = X2 و exp X و X2 + 1 و tan2 X و bXc وما إلى ذلك. آخرها ، تقريب X إلى أقرب رقم صحيح ، تسمى دالة الأرضية. بمجرد تحديد دالة التوزيع ذات الأهمية للمتغير العشوائي x ، يصبح السؤال عادة: "ما هي فرص أن يقع X في مجموعة فرعية من قيم B؟". على سبيل المثال ، B = (أرقام فردية) ، B = (أكبر من 1) ، أو B = (بين 2 و 7) للإشارة إلى تلك النتائج التي تحتوي على X ، قيمة المتغير العشوائي ، في المجموعة الفرعية A. لذلك في ما سبق على سبيل المثال ، يمكنك وصف الأحداث على النحو التالي. (X هو رقم فردي) ، (X أكبر من 1) = (X> 1) ، (X بين 2 و 7) = (2 وبالتالي ، من الممكن حساب احتمال أن تأخذ دالة التوزيع لمتغير عشوائي x قيمًا في الفترة الزمنية عن طريق الطرح. يجب النظر في تضمين أو استبعاد نقاط النهاية. سوف نسمي متغير عشوائي منفصل إذا كان يحتوي على مساحة حالة محدودة أو غير محدودة. وبالتالي ، X هو عدد الرؤوس على ثلاث تقلبات مستقلة لعملة منحازة ترتفع مع الاحتمال p. نحتاج إلى إيجاد دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي FX متغير لـ X. لنفترض أن X هو عدد القمم في مجموعة من ثلاث بطاقات. ثم Y = X3 عبر FX. يبدأ FX عند 0 وينتهي عند 1 ولا ينقص مع زيادة قيم x. دالة توزيع FX التراكمية لمتغير عشوائي X متغير ثابت ، باستثناء القفزات. عند القفز على FX مستمر. من الممكن إثبات العبارة المتعلقة بالاستمرارية الصحيحة لوظيفة التوزيع من خاصية الاحتمالية باستخدام التعريف. يبدو الأمر كما يلي: المتغير العشوائي الثابت لديه FX تراكمي قابل للتفاضل. لتوضيح كيف يمكن أن يحدث هذا ، يمكننا إعطاء مثال: هدف بنصف قطر وحدة. محتمل. يتم توزيع السهام بالتساوي على المنطقة المحددة. بالنسبة للبعض> 0. وهكذا ، تزداد وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة بسلاسة. FX لها خصائص دالة التوزيع. رجل ينتظر في محطة للحافلات حتى وصول الحافلة. بعد أن قرر بنفسه أنه سيرفض عندما يصل الانتظار إلى 20 دقيقة. من الضروري هنا العثور على دالة التوزيع التراكمي لـ T. الوقت الذي سيظل فيه الشخص في محطة الحافلات أو لن يغادر. على الرغم من حقيقة أن دالة التوزيع التراكمي محددة لكل متغير عشوائي. على الرغم من ذلك ، سيتم استخدام خصائص أخرى في كثير من الأحيان: كتلة المتغير المنفصل ودالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي. عادة ما تكون القيمة ناتجة من خلال إحدى هاتين القيمتين. يتم النظر في هذه القيم من خلال الخصائص التالية ، والتي لها طبيعة عامة (جماعية). الأول يعتمد على حقيقة أن الاحتمالات ليست سالبة. يتبع الثاني من الملاحظة أن المجموعة لكل x = 2S ، مساحة الحالة لـ X ، تشكل قسمًا للحرية الاحتمالية لـ X. مثال: رمي عملة منحازة تكون نتائجها مستقلة. يمكنك الاستمرار في أداء بعض الإجراءات حتى تحصل على رمية الرأس. دع X تشير إلى متغير عشوائي يعطي عدد ذيول أمام الرأس الأول. وتشير p إلى الاحتمال في أي إجراء معين. لذا ، فإن دالة احتمالية الكتلة لها السمات المميزة التالية. لأن المصطلحات تشكل متوالية رقمية ، فإن X تسمى متغير هندسي عشوائي. مخطط هندسي c ، cr ، cr2 ،. ، crn لديها مبلغ. وبالتالي ، فإن sn لها حد مثل n 1. في هذه الحالة ، يكون المجموع اللانهائي هو النهاية. تشكل دالة الكتلة أعلاه تسلسلًا هندسيًا بنسبة. لذلك ، الأعداد الطبيعية أ وب. الفرق في القيم في دالة التوزيع يساوي قيمة دالة الكتلة. قيم الكثافة قيد النظر لها التعريف التالي: X هو متغير عشوائي له توزيع FX له مشتق. FX المرضية Z xFX (x) = fX (t) dt-1 تسمى دالة كثافة الاحتمال. و X يسمى متغير عشوائي مستمر. في النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، فإن دالة الكثافة هي مشتق من التوزيع. يمكنك حساب الاحتمالات عن طريق حساب التكاملات المحددة. نظرًا لأنه يتم جمع البيانات من عدة ملاحظات ، يجب مراعاة أكثر من متغير عشوائي في وقت واحد من أجل نمذجة الإجراءات التجريبية. لذلك ، فإن مجموعة هذه القيم وتوزيعها المشترك للمتغيرين X1 و X2 تعني عرض الأحداث. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ، يتم تحديد وظائف الكتلة الاحتمالية المشتركة. بالنسبة للأشكال المستمرة ، يتم أخذ fX1 ، X2 في الاعتبار ، حيث يتم استيفاء كثافة الاحتمالية المشتركة. يكون المتغيران العشوائيان X1 و X2 مستقلين إذا كان هناك حدثان مرتبطان بهما متماثلان. بالكلمات ، فإن احتمال وقوع حدثين (X1 2 B1) و (X2 2 B2) في نفس الوقت ، y ، يساوي حاصل ضرب المتغيرات أعلاه ، أن كل منهما يحدث على حدة. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة المستقلة ، توجد دالة كتلة احتمالية مشتركة ، وهي نتاج حجم الأيونات المحدد. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة المستقلة ، فإن دالة كثافة الاحتمال المشتركة هي نتاج قيم الكثافة الهامشية. أخيرًا ، يتم اعتبار n ملاحظات مستقلة x1 ، x2. ، xn الناشئة عن كثافة غير معروفة أو دالة كتلة f. على سبيل المثال ، معلمة غير معروفة في وظائف متغير عشوائي أسي يصف وقت انتظار الحافلة. الهدف الرئيسي من هذا المجال النظري هو توفير الأدوات اللازمة لتطوير الإجراءات الاستنتاجية على أساس المبادئ السليمة للعلوم الإحصائية. وبالتالي ، فإن إحدى حالات الاستخدام المهمة جدًا للبرنامج هي القدرة على إنشاء بيانات زائفة لتقليد المعلومات الفعلية. هذا يجعل من الممكن اختبار وتحسين طرق التحليل قبل الاضطرار إلى استخدامها في قواعد البيانات الحقيقية. هذا مطلوب لاستكشاف خصائص البيانات من خلال النمذجة. بالنسبة للعديد من عائلات المتغيرات العشوائية الشائعة الاستخدام ، يوفر R أوامر لتوليدها. بالنسبة للظروف الأخرى ، ستكون هناك حاجة إلى طرق لنمذجة سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة التي لها توزيع مشترك. المتغيرات العشوائية المنفصلة وأمر العينة. يتم استخدام أمر العينة لإنشاء عينات عشوائية بسيطة وطبقية. نتيجة لذلك ، إذا تم إدخال تسلسل x ، فإن العينة (x ، 40) تختار 40 سجلًا من x بحيث يكون لجميع اختيارات الحجم 40 نفس الاحتمال. يستخدم هذا الأمر R الافتراضي للجلب بدون استبدال. يمكن استخدامها أيضًا لنمذجة المتغيرات العشوائية المنفصلة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى توفير مساحة حالة في المتجه x ودالة الكتلة f. تشير استدعاء الاستبدال = TRUE إلى أن أخذ العينات يحدث مع الاستبدال. بعد ذلك ، لإعطاء عينة من n متغيرات عشوائية مستقلة لها دالة كتلة مشتركة f ، يتم استخدام العينة (x ، n ، استبدال = TRUE ، prob = f). تم تحديد أن 1 هي أصغر قيمة ممثلة ، و 4 هي أكبر قيمة على الإطلاق. إذا تم حذف الأمر prob = f ، فستقوم العينة بأخذ عينات بشكل موحد من القيم الموجودة في المتجه x. يمكنك التحقق من المحاكاة مقابل دالة الكتلة التي أنشأت البيانات من خلال النظر إلى علامة المساواة المزدوجة ==. وإعادة حساب الملاحظات التي تأخذ كل قيمة ممكنة لـ x. يمكنك صنع طاولة. كرر هذا لـ 1000 وقارن المحاكاة مع وظيفة الكتلة المقابلة. أولاً ، قم بمحاكاة وظائف التوزيع المتجانسة للمتغيرات العشوائية u1 ، u2 ،. ، الأمم المتحدة في الفترة الفاصلة. يجب أن يكون حوالي 10٪ من الأرقام ضمن. هذا يتوافق مع 10٪ من عمليات المحاكاة على الفاصل الزمني لمتغير عشوائي مع عرض دالة توزيع FX. وبالمثل ، يجب أن يكون حوالي 10٪ من الأرقام العشوائية في الفترة الزمنية. هذا يتوافق مع 10٪ من عمليات المحاكاة على الفاصل الزمني المتغير العشوائي مع دالة التوزيع FX. يمكن الحصول على هذه القيم على المحور x بأخذ المعكوس من FX. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا مع كثافة fX موجبة في كل مكان في مجاله ، فإن دالة التوزيع تتزايد بشكل صارم. في هذه الحالة ، يحتوي FX على دالة FX-1 معكوسة تُعرف باسم دالة الكم. FX (x) u فقط عندما x FX-1 (u). يتبع التحول الاحتمالي من تحليل المتغير العشوائي U = FX (X). FX لها نطاق من 0 إلى 1. لا يمكن أن تأخذ قيمًا أقل من 0 أو أعلى 1. لقيم u بين 0 و 1. إذا كان من الممكن نمذجة U ، فمن الضروري محاكاة متغير عشوائي مع توزيع FX عن طريق دالة الكم. خذ المشتق لترى أن الكثافة u تتفاوت في حدود 1. نظرًا لأن المتغير العشوائي U له كثافة ثابتة خلال الفترة الزمنية لقيمه المحتملة ، فإنه يسمى منتظم على الفترة. تم تصميمه في R باستخدام الأمر runif. تسمى الهوية تحولًا احتماليًا. يمكنك أن ترى كيف يعمل في مثال لوحة النبال. X بين 0 و 1 ، دالة التوزيع u = FX (x) = x2 ، وبالتالي دالة التوزيع x = FX-1 (u). من الممكن نمذجة ملاحظات مستقلة للمسافة من مركز لوحة السهام ، مع توليد متغيرات عشوائية موحدة U1 ، U2 ،. ، الأمم المتحدة. تعتمد وظيفة التوزيع والوظيفة التجريبية على 100 محاكاة لتوزيع لوحة السهام. بالنسبة للمتغير العشوائي الأسي ، يفترض أن u = FX (x) = 1 - exp (- x) ، وبالتالي x = - 1 ln (1 - u). يتكون المنطق أحيانًا من عبارات مكافئة. في هذه الحالة ، تحتاج إلى ربط جزأي الوسيطة. تتشابه هوية التقاطع مع كل 2 (S i) S ، بدلاً من بعض القيمة. الاتحاد Ci يساوي مساحة الولاية S وكل زوج متنافي. منذ بي - ينقسم إلى ثلاث بديهيات. يعتمد كل فحص على الاحتمال المقابل P. لأي مجموعة فرعية. استخدام هوية للتأكد من أن الإجابة لا تعتمد على ما إذا كانت نقاط نهاية الفاصل الزمني متضمنة أم لا. لكل نتيجة في جميع الأحداث ، يتم استخدام الخاصية الثانية لاستمرارية الاحتمالات في النهاية ، والتي تعتبر بديهية. يوضح قانون توزيع دالة المتغير العشوائي هنا أن لكل متغير حله وإجابته. يمكن توصيف نتيجة أي تجربة عشوائية نوعيا وكميا. نوعينتيجة تجربة عشوائية - عشوائي
حدث. أي الخاصية الكمية، والتي نتيجة لتجربة عشوائية يمكن أن تأخذ واحدة من مجموعة معينة من القيم ، - قيمة عشوائية.قيمة عشوائية
هو أحد المفاهيم المركزية لنظرية الاحتمالات. اسمحوا الفضاء الاحتمال التعسفي. متغير عشوائيهي وظيفة عددية حقيقية x \ u003d x (w) ، w W ، مثل أي وظيفة حقيقية x . حدث
عادة ما يتم كتابته كـ x< x. في ما يلي ، سيتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف يونانية صغيرة x ، h ، z ، ...
المتغير العشوائي هو عدد النقاط التي سقطت عند رمي النرد ، أو ارتفاع طالب تم اختياره عشوائيًا من مجموعة الدراسة. في الحالة الأولى ، نحن نتعامل مع منفصله متغير عشوائي(يأخذ القيم من مجموعة أرقام منفصلة م =(1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6) ؛ في الحالة الثانية ، مع مستمر متغير عشوائي(يأخذ القيم من مجموعة أرقام متصلة - من الفاصل الزمني لخط الأرقام أنا=). يتم تحديد كل متغير عشوائي تمامًا من خلال دالة التوزيع. إذا كانت x متغيرًا عشوائيًا ، فإن الوظيفة F(x) = الفوركس(x)
= ص(x< x) يسمى دالة التوزيعالمتغير العشوائي x. هنا ص(x<x) - احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي x قيمة أقل من x. من المهم أن نفهم أن دالة التوزيع هي "جواز سفر" لمتغير عشوائي: فهي تحتوي على جميع المعلومات حول المتغير العشوائي وبالتالي تتكون دراسة المتغير العشوائي من دراسة المتغير العشوائي وظائف التوزيع ،غالبا ما يشار إليها ببساطة توزيع. دالة التوزيع لأي متغير عشوائي لها الخصائص التالية: إذا كانت x متغير عشوائي منفصل يأخذ القيم x 1
<x 2 < … <س ط < … с
вероятностями ص 1 <ص 2 < … <بي < …, то таблица вида اتصل توزيع متغير عشوائي منفصل. دالة التوزيع لمتغير عشوائي بهذا التوزيع لها الشكل المتغير العشوائي المنفصل له دالة توزيع تدريجية. على سبيل المثال ، بالنسبة لعدد عشوائي من النقاط التي سقطت برمية واحدة من النرد ، يبدو الرسم البياني لوظيفة التوزيع والتوزيع ودالة التوزيع كما يلي: إذا كانت دالة التوزيع الفوركس(x) مستمر ، ثم يسمى المتغير العشوائي x متغير عشوائي مستمر. إذا كانت دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر قابل للتفاضل، ثم يعطي تمثيل مرئي أكثر للمتغير العشوائي الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي ص(x),
والتي ترتبط بوظيفة التوزيع الفوركس(x) الصيغ و . من هذا ، على وجه الخصوص ، يتبع ذلك لأي متغير عشوائي. عند حل المشكلات العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري إيجاد القيمة x، حيث دالة التوزيع الفوركس(x) المتغير العشوائي x يأخذ قيمة معينة ص، بمعنى آخر. تحتاج إلى حل المعادلة الفوركس(x) = ص. حلول لمثل هذه المعادلة (القيم المقابلة x) في نظرية الاحتمالات تسمى الكميات. الكمية x ع ( ص-كمية ، مستوى الكم ص) متغير عشوائي له دالة توزيع الفوركس(x) ، يسمى الحل إكس بيالمعادلات الفوركس(x) = ص,
ص(0 ، 1). بالنسبة للبعض صالمعادلة الفوركس(x) = صقد يكون لها عدة حلول ، بالنسبة للبعض - لا شيء. هذا يعني أنه بالنسبة للمتغير العشوائي المقابل ، لم يتم تعريف بعض الكميات بشكل فريد ، وبعض الكميات غير موجودة. دالة التوزيع لمتغير عشوائي X هي الدالة F (x) ، معبرة لكل x عن احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X القيمة, أصغر x
مثال 2.5. بالنظر إلى سلسلة توزيع متغير عشوائي ابحث عن وظيفة التوزيع الخاصة به ورسمها بيانياً. المحلول. حسب التعريف F (jc) = 0 من أجل X X و (س) = 0.4 + 0.1 = 0.5 عند 4 درجة فهرنهايت (س) = 0.5 + 0.5 = 1 عند X > 5. لذلك (انظر الشكل 2.1): خصائص دالة التوزيع: 1. دالة التوزيع لمتغير عشوائي هي دالة غير سالبة محاطة بصفر وواحد: 2. دالة التوزيع لمتغير عشوائي هي دالة غير متناقصة على محور العدد بأكمله ، أي في X 2
> س 3. عند سالب اللانهاية ، دالة التوزيع تساوي صفرًا ، عند زائد ما لا نهاية ، تساوي واحدًا ، أي 4. احتمالية الوصول إلى متغير عشوائي Xفي الفترةيساوي التكامل المحدد لكثافة احتمالية تتراوح من أقبل ب(انظر الشكل 2.2) ، أي أرز. 2.2 3. يمكن التعبير عن دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر (انظر الشكل 2.3) بدلالة كثافة الاحتمال باستخدام الصيغة: و (س) = Jp (*) *. (2.10) 4. التكامل غير الصحيح في الحدود اللانهائية للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي مستمر يساوي واحدًا: الخصائص الهندسية / و 4
كثافات الاحتمالية تعني أن مؤامرة هذه هي منحنى التوزيع - لا تقع تحت المحور السيني, والمساحة الإجمالية للشكل, منحنى التوزيع المحدود والمحور السيني, يساوي واحد. لمتغير عشوائي مستمر Xالقيمة المتوقعة م (X)والتباين د (X)يتم تحديدها بواسطة الصيغ: (إذا كان التكامل يتقارب بشكل مطلق) ؛ أو (إذا تقاربت التكاملات المختزلة). إلى جانب الخصائص العددية المذكورة أعلاه ، يتم استخدام مفهوم الكميات والنقاط المئوية لوصف متغير عشوائي. ف المستوى الكمي(أو q-quantile) هي هذه القيمةس فمتغير عشوائي, حيث تأخذ دالة التوزيع القيمة, يساوي q ،بمعنى آخر. وفقًا للمثال 2.6 أوجد القيمة xqj و 30٪ نقطة عشوائية متغيرة x.
المحلول. حسب التعريف (2.16) F (xo t3) = 0.3 ، أي ~ ص ~ = 0.3 ، من حيث القيمة × 0 3 = 0.6. 30٪ نقطة متغيرة عشوائية X، أو الكمية Х) _о ، з = xojتم العثور على »بالمثل من المعادلة ^ = 0.7. من أين * ، = 1.4. ؟ من بين الخصائص العددية للمتغير العشوائي ، هناك مبدئيت * و وسطص * لحظات ترتيب k-th، يتم تحديدها للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة بواسطة الصيغ: دالة التوزيع الاحتمالية وخصائصها. دالة التوزيع الاحتمالي F (x) لمتغير عشوائي X عند نقطة x هي احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي ، نتيجة للتجربة ، قيمة أقل من x ، أي و (س) = ف (س< х}. 1. F (-) = lim (x →-) F (x) = 0. في الواقع ، بحكم التعريف ، F (-) = P (X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F (∞) = lim (x → ∞) F (x) = 1 ، منذ ذلك الحين ، بحكم التعريف ، F (∞) = P (X)< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة من الفترة [Α Β] يساوي الزيادة في دالة التوزيع الاحتمالي في هذه الفترة. ص (Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F (x 2) ≥ F (x 1) ، إذا كانت x 2 ،> x 1 ، أي دالة التوزيع الاحتمالي هي دالة غير متناقصة. 5. دالة التوزيع الاحتمالي متصلة إلى اليسار. FΨ (x o -0) = limFΨ (x) = FΨ (x o) لـ x → x o توضح الرسوم البيانية الفروق بين وظائف التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن المتغير العشوائي المنفصل له قيم n محتملة ، واحتمالاتها هي P (X = x k) = p k ، k = 1،2 ، .. n. إذا كانت x ≤ x 1 ، فإن F (X) = 0 ، حيث لا توجد قيم محتملة للمتغير العشوائي على يسار x. إذا × 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . ومن ثم ، F (x) = P (X = x 1) = p 1. عندما x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. ضع في اعتبارك احتمال وقوع متغير عشوائي في الفترة الزمنية ، Δx> 0: P (x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: ليم (Δx → 0) الفوسفور (x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. إذا كان F (x) لديه انقطاع عند النقطة x ، فإن الاحتمال P (X = x) سيكون مساويًا لقفزة الوظيفة في تلك النقطة. وبالتالي ، فإن احتمال حدوث أي قيمة محتملة لكمية متصلة هو صفر. يجب فهم التعبير P (X = x) = 0 على أنه حد احتمالية أن يقع متغير عشوائي في منطقة صغيرة لا متناهية من النقطة x لـ P (Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. بالنسبة للمتغيرات المنفصلة ، فإن هذه الاحتمالات ليست هي نفسها في الحالة التي تتطابق فيها حدود الفاصل Α و (أو) Β مع القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية. بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل ، من الضروري مراعاة نوع عدم المساواة في الصيغة P (Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).تقنية المتغيرات المتغيرة
التعميم لوظيفة التخفيض
وظائف التوزيع
المتغيرات العشوائية ووظائف التوزيع
وظائف مجمعة
المتغيرات العشوائية المستقلة
محاكاة المتغيرات العشوائية
توضيح التحول الاحتمالي
الدالة الأسية ومتغيراتها
x 1
x 2
…
س ط
…
ص 1
ص 2
…
بي
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
ضع في اعتبارك خصائص الوظيفة F (x).