أمثلة لحساب مساحة شبه منحرف منحني. حساب مساحات الأشكال التي يحدها خطوط معينة

الأعمال النهائية

درجة الأعمال

لقد مر الكثير بالفعل وأنت الآن خريج، إذا قمت بالطبع بكتابة أطروحتك في الوقت المحدد. لكن الحياة شيء من هذا القبيل الآن فقط أصبح من الواضح لك أنه بعد أن توقفت عن أن تكون طالبًا، ستفقد كل أفراح الطلاب، والتي لم تجرب الكثير منها أبدًا، وتأجيل كل شيء وتأجيله إلى وقت لاحق. والآن، بدلاً من اللحاق بالركب، تعمل على أطروحتك؟ يوجد حل ممتاز: قم بتنزيل الأطروحة التي تحتاجها من موقعنا على الإنترنت - وسيكون لديك على الفور الكثير من وقت الفراغ!
وقد تم الدفاع عن الأطروحات بنجاح في الجامعات الرائدة في جمهورية كازاخستان.
تكلفة العمل من 20000 تنغي

أعمال الدورة

مشروع الدورة هو أول عمل عملي جاد. مع كتابة الدورات الدراسية يبدأ التحضير لتطوير مشاريع الدبلوم. إذا تعلم الطالب تقديم محتوى الموضوع بشكل صحيح في مشروع الدورة التدريبية وتنسيقه بكفاءة، فلن يواجه في المستقبل أي مشاكل في كتابة التقارير أو كتابة الأطروحات أو أداء المهام العملية الأخرى. ومن أجل مساعدة الطلاب في كتابة هذا النوع من الأعمال الطلابية وتوضيح الأسئلة التي تطرح أثناء إعدادها، في الواقع تم إنشاء قسم المعلومات هذا.
تكلفة العمل من 2500 تنغي

رسائل الماجستير

حاليًا، في مؤسسات التعليم العالي في كازاخستان ودول رابطة الدول المستقلة، يكون مستوى التعليم المهني العالي الذي يلي درجة البكالوريوس شائعًا جدًا - درجة الماجستير. في برنامج الماجستير يدرس الطلاب بهدف الحصول على درجة الماجستير، وهي درجة معترف بها في معظم دول العالم أكثر من درجة البكالوريوس، ومعترف بها أيضًا من قبل أصحاب العمل الأجانب. نتيجة دراسات الماجستير هي الدفاع عن أطروحة الماجستير.
سنزودك بمواد تحليلية ونصية حديثة، السعر يشمل مقالتين علميتين وملخصًا.
تكلفة العمل من 35000 تنغي

تقارير الممارسة

بعد الانتهاء من أي نوع من التدريب الطلابي (التعليمي، الصناعي، ما قبل التخرج)، يلزم تقديم تقرير. ستكون هذه الوثيقة تأكيدًا للعمل العملي للطالب وأساسًا لتشكيل تقييم للممارسة. عادة، من أجل إعداد تقرير عن التدريب، تحتاج إلى جمع وتحليل المعلومات حول المؤسسة، والنظر في هيكل وروتين العمل للمنظمة التي يجري فيها التدريب، ووضع خطة تقويمية ووصف عملك العملي أنشطة.
سنساعدك في كتابة تقرير عن فترة تدريبك، مع الأخذ في الاعتبار تفاصيل أنشطة مؤسسة معينة.

في القسم 4.3 وقد سبق أن لوحظ ذلكالتكامل المحدد () ل

الدالة غير السالبة تساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني الذي يحده الرسم البياني للدالة = ()، والخطوط المستقيمة = و = و = 0.

مثال 4.24. احسب مساحة الشكل المحصور بين المحور والجيوب الأنفية = الخطيئة (الشكل 4.6).

إذا لم يكن الشكل شبه منحرف منحني الأضلاع، فإنهم يحاولون تمثيل مساحته كمجموع أو اختلاف في مساحات الأشكال التي هي شبه منحرف منحني الأضلاع. على وجه الخصوص، النظرية صحيحة.

نظرية 4.13. إذا كان الشكل محددًا من الأسفل والأعلى برسوم بيانية للدوال المستمرة = 1 (), = 2 () (ليس بالضرورة غير سلبي، (الشكل 4.7 ) ، فيمكن العثور على مساحتها باستخدام الصيغة

2 () − 1 () .

مثال 4.25. احسب مساحة الشكل الذي يحده المنحنى = 4 والخطين = و = 4.

الجزء الأول. النظرية

الفصل 4. نظرية التكامل 4.4. تطبيقات متكاملة. التكاملات غير الصحيحة

4.4.2. طول القوس المنحنى

حساب أطوال المنحنيات يؤدي أيضًا إلى التكاملات. دع الدالة = () تكون متصلة على الفترة [ ; ] ويمكن تمييزه على الفاصل الزمني (؛). يمثل الرسم البياني الخاص به منحنى معين، (؛ ())، (؛ ()) (الشكل 4.9). نقسم المنحنى بالنقاط 0 = , 1 , 2 , . . . ، = أجزاء عشوائية. دعونا نربط نقطتين متجاورتين −1 والأوتار = 1، 2، . . . ، . نحصل على خط مكسور -link منقوش في المنحنى. يترك

هو طول الوتر −1, = 1, 2, . . . , = الحد الأقصى16 6 . سيتم التعبير عن طول الخط المكسور بالصيغة

من الطبيعي تحديد طول المنحنى باعتباره القيمة المحددة لأطوال الخطوط المتقطعة عند → 0، أي.

ثم إحداثيات النقاط هي (؛ ())، وباستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، سوف نجد

وبالتالي، يوجد مجموع متكامل للدالة √ 1 + (′ ())2 على الفترة [ ; ]. ثم، على أساس المساواة (4.31)، لدينا:

حل. لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة المحددة (الشكل 4.10).

الشكل 4.10

لنفكر في شبه منحرف منحني يحده محور الثور، المنحنى y=f(x) وخطين مستقيمين: x=a وx=b (الشكل 85). لنأخذ قيمة عشوائية لـ x (فقط ليس a وليس b). لنعطيها زيادة h = dx ونفكر في شريط يحده خطوط مستقيمة AB وCD، ومحور الثور والقوس BD ينتميان إلى المنحنى قيد النظر. سوف نسمي هذا الشريط شريطًا أوليًا. تختلف مساحة شريط أولي عن مساحة المستطيل ACQB بالمثلث المنحني الأضلاع BQD، ومساحة الأخير أقل من مساحة المستطيل BQDM بأضلاعه BQ = =h= dx) QD=Ay ومساحة تساوي hAy = Ay dx. مع انخفاض الجانب h، يتناقص الجانب Du أيضًا وفي نفس الوقت مع h يميل إلى الصفر. ولذلك، فإن مساحة BQDM متناهية الصغر من الدرجة الثانية. مساحة الشريط الأولي هي زيادة المساحة، ومساحة المستطيل ACQB، التي تساوي AB-AC ==/(x) dx> هي تفاضل المساحة. وبالتالي، فإننا نجد المنطقة نفسها من خلال تكامل تفاضلها. في الشكل قيد النظر، يتغير المتغير المستقل l: من a إلى b، وبالتالي فإن المساحة المطلوبة 5 ستكون مساوية لـ 5= \f(x) dx. (ط) مثال 1. لنحسب المساحة المحصورة بالقطع المكافئ y - 1 -x*، والخطوط المستقيمة X =--Fj-، x = 1 والمحور O* (الشكل 86). في الشكل. 87. الشكل. 86. 1 هنا f(x) = 1 - l?، حدود التكامل هي a = - و £ = 1، لذلك J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* مثال 2. لنحسب المساحة المحددة بالجيب y = sinXy ومحور الثور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf المثال 3. احسب المساحة المحددة بقوس الشكل الجيبي ^у = sin jc، المحاط بين نقطتي تقاطع متجاورتين مع محور الثور (على سبيل المثال، بين الأصل والنقطة مع الإحداثي السيني i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية يتضح أن هذه المساحة ستكون ضعف مساحة المثال السابق. ومع ذلك، دعونا نقوم بالحسابات: I 5= | s\nxdx= [ - cosx)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o بالفعل، تبين أن افتراضنا صحيح. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها المحور الجيبي والثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الحسابات الأولية إلى أن المساحة ستكون أكبر بأربع مرات مما كانت عليه في المثال 2. ومع ذلك، بعد إجراء الحسابات، نحصل على "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. هذه النتيجة تتطلب التوضيح. لتوضيح جوهر الأمر، نحسب أيضًا المساحة المحدودة بنفس الجيوب الأنفية y = sin l: ومحور الثور في المدى من l إلى 2i. بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على 2l $2l sin xdx=[ - cosx]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. وهكذا نرى أن هذه المنطقة أصبحت سلبية. وبمقارنتها بالمساحة المحسوبة في التمرين 3 نجد أن قيمها المطلقة هي نفسها ولكن الإشارات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر، § 4)، فسنحصل على 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 ما حدث في هذا المثال ليس حادثًا. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل محور الثور، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين، عند حسابها باستخدام التكاملات. في هذه الدورة سنأخذ بعين الاعتبار دائمًا المناطق التي لا تحتوي على علامات. ولذلك، فإن الإجابة في المثال الذي ناقشناه للتو ستكون: المساحة المطلوبة هي 2 + |-2| = 4. مثال 5. لنحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور، والقطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x+\. مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع المنطقة المطلوبة OAB تتكون من جزأين: OAM وMAV. بما أن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y = mx. (نحن بحاجة فقط إلى العثور على نهاية النقطة أ). بحل النظام نجد l; = ~. ولذلك، لا بد من حساب المساحة في أجزاء، المربع الأول. OAM ثم رر. المركبة الفضائية: .... جي 3 2، 3 جي x بي 3 1/2 يو 2. QAM-^x مساحة شبه منحرف منحني الشكل بواسطة الوظيفة F،يساوي زيادة المشتق العكسي لهذه الوظيفة:

التمرين 1:

أوجد مساحة شبه منحرف منحني يحدها الرسم البياني للوظيفة: و(خ) = س 2ومستقيم ص = 0، س = 1، س = 2.

حل: ( وفقًا لشريحة الخوارزمية 3)

لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة والخطوط

دعونا نجد أحد المشتقات العكسية للدالة و(خ) = س 2 :

الاختبار الذاتي على الشريحة

أساسي

النظر في شبه منحرف منحني الخطوط المحددة بواسطة الوظيفة Fعلى المقطع [ أ؛ ب]. دعونا نقسم هذا الجزء إلى عدة أجزاء. سيتم تقسيم مساحة شبه المنحرف بالكامل إلى مجموع مساحات شبه المنحرف الأصغر حجمًا. ( الشريحة 5). يمكن اعتبار كل شبه منحرف تقريبًا مستطيلاً. مجموع مساحات هذه المستطيلات يعطي فكرة تقريبية عن كامل مساحة شبه المنحرف المنحني. أصغر نقوم بتقسيم الجزء [ أ؛ ب]، كلما قمنا بحساب المنطقة بشكل أكثر دقة.

دعونا نكتب هذه الحجج في شكل صيغ.

تقسيم القطعة [ أ؛ ب] إلى أجزاء n بالنقاط س 0 =أ، x1،...،xn = ب.طول ك-ذ للدلالة به س ك = س ك – س ك-1. دعونا نجعل المبلغ

هندسياً، يمثل هذا المجموع مساحة الشكل المظلل في الشكل ( ش.م.)

تسمى مجاميع النموذج مجاميع متكاملة للدالة F. (ش.م.)

تعطي المبالغ المتكاملة قيمة تقريبية للمنطقة. يتم الحصول على القيمة الدقيقة عن طريق المرور إلى الحد الأقصى. لنتخيل أننا نقوم بتحسين قسم المقطع [ أ؛ ب] بحيث تميل أطوال جميع القطع الصغيرة إلى الصفر. ثم مساحة الشكل المكون ستقترب من مساحة شبه المنحرف المنحني. يمكننا القول أن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي نهاية المجاميع التكاملية، SC.t. (ش.م.)أو متكامل، أي،

تعريف:

جزء لا يتجزأ من وظيفة و (خ)من أقبل بتسمى نهاية المجاميع التكاملية

= (ش.م.)

صيغة نيوتن-لايبنتز.

نتذكر أن نهاية المجاميع التكاملية تساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع، مما يعني أنه يمكننا كتابة:

SC.t. = (ش.م.)

من ناحية أخرى، يتم حساب مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة

إس كيه تي. (ش.م.)

وبمقارنة هذه الصيغ نحصل على:

وتسمى هذه المساواة بصيغة نيوتن-لايبنتز.

ولتسهيل الحساب يتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

المهام: (ش.م.)

1. احسب التكامل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز: ( تحقق من الشريحة 5)

2. قم بتكوين التكاملات حسب الرسم ( تحقق من الشريحة 6)

3. أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( الشريحة 7)

إيجاد مساحات الأشكال المستوية ( الشريحة 8)

كيف تجد مساحة الأشكال التي ليست شبه منحرفة منحنية؟

دعونا نعطي وظيفتين، الرسوم البيانية التي تراها على الشريحة . (ش.م.)أوجد مساحة الشكل المظلل . (ش.م.). هل الشكل المعني شبه منحرف منحني؟ كيف يمكنك العثور على مساحتها باستخدام خاصية جمع المساحة؟ خذ بعين الاعتبار شبه منحرفين منحنيين واطرح مساحة الآخر من مساحة أحدهما ( ش.م.)

لنقم بإنشاء خوارزمية للعثور على المنطقة باستخدام الرسوم المتحركة على الشريحة:

1. وظائف الرسم البياني
2. قم بإسقاط نقاط تقاطع الرسوم البيانية على المحور السيني
3. قم بتظليل الشكل الذي تم الحصول عليه عند تقاطع الرسوم البيانية
4. أوجد شبه المنحرف المنحني الأضلاع الذي يكون تقاطعه أو اتحاده هو الشكل الموضح.
5. احسب مساحة كل منهم
6. أوجد الفرق أو مجموع المساحات

المهمة الشفهية: كيفية الحصول على مساحة الشكل المظلل (أخبر باستخدام الرسوم المتحركة، الشريحة 8 و9)

العمل في المنزل:العمل من خلال الملاحظات رقم 353 (أ) ورقم 364 (أ).

فهرس

1. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 9-11 من المدرسة المسائية (المناوبة) / إد. ج.د. جلاسر. - م: التنوير، 1983.
2. باشماكوف م. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 بالمدرسة الثانوية / باشماكوف م. - م: التنوير، 1991.
3. باشماكوف م. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات. والأربعاء البروفيسور التعليم / م. باشماكوف. - م: الأكاديمية، 2010.
4. كولموغوروف أ.ن. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11. المؤسسات التعليمية / أ.ن.كولموغوروف. - م: التربية، 2010.
5. أوستروفسكي إس. كيفية تقديم عرض تقديمي للدرس؟ / S.L. أوستروفسكي. – م: 1 سبتمبر 2010.

مساحة شبه منحرف منحني

شبه منحرف منحني الأضلاعهو رقم يحده رسم بياني معطى على القطعة [ أ, ب] وظيفة مستمرة وغير سلبية F(س) ، الإحداثيات المرسومة عند النقاط أو ب، وقطعة المحور ثوربين النقاط أو ب(انظر الشكل 2).

دعونا نثبت العبارة التالية.

شبه المنحرف المنحني هو شكل مربع، مساحة ص

دليل. منذ المستمر على المقطع [ أ, ب] الدالة قابلة للتكامل، ثم لأي رقم موجب ε يمكنك تحديد مثل هذا القسم تشريحة [ أ, ب]، ماهو الفرق س - س < ε ، أين سو س- مجموع القسم العلوي والسفلي على التوالي ت. لكن سو سمتساوية على التوالي س دو س أنا، أين س دو س أنا- مساحات من الأشكال المتدرجة (المضلعات)، أولها يحتوي على شبه منحرف منحني الأضلاع، والثاني موجود في شبه منحرف منحني الأضلاع (الشكل 2 يوضح أيضًا هذه الأشكال المتدرجة). لأن س د - س أنا < ε إذن، بموجب النظرية 1، فإن شبه المنحرف المنحني يكون مربعًا. نظرًا لأن الحد الأقصى لـ Δ → 0 للمجموعين العلوي والسفلي يساوي س ≤ ص ≤ س، ثم المنطقة صيمكن إيجاد شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة (1).

تعليق. إذا كانت الوظيفة F(س) مستمر وغير موجب على المقطع [ أ, ب]، فإن قيمة التكامل تساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع مأخوذة بعلامة سلبية، محدودة بالرسم البياني للدالة F(س) ، الإحداثيات في النقاط أو بوقطعة المحور ثوربين النقاط أو ب. لذلك، إذا F(س) علامة التغييرات، فهي تساوي مجموع مساحات شبه المنحرف المنحني الموجود أعلى وأسفل المحور المأخوذ بعلامة معينة ثور، ويتم أخذ مساحات الأول بعلامة +، ومساحات الأخير بعلامة -.

مساحة القطاع المنحني

دع المنحنى ليتم تقديمه في نظام الإحداثيات القطبية بواسطة المعادلة ص = ص(θ ), α ≤ θ ≤ β (انظر الشكل 3)، والوظيفة ص(θ ) مستمر وغير سالب على المقطع [ α , β ]. شكل مسطح يحده منحنى لوشعاعان يصنعان زوايا مع المحور القطبي α و β ، سنطالب القطاع المنحني.

دعونا نثبت العبارة التالية. القطاع المنحني هو شكل مربع، مساحة صوالتي يمكن حسابها باستخدام الصيغة

دليل. النظر في التقسيم تشريحة [ α , β ] النقاط α = θ 0 < θ 1 < ... < θ ن = β ولكل جزء جزئي [ θ أنا -1 , θ أنا] إنشاء قطاعات دائرية نصف أقطارها تساوي الحد الأدنى ص أناوالحد الأقصى ر أناقيم ص(θ ) على الجزء [ θ أنا -1 , θ أنا]. ونتيجة لذلك، نحصل على شكلين على شكل مروحة، الأول منهما موجود في القطاع المنحني، والثاني يحتوي على القطاع المنحني (تظهر هذه الأشكال على شكل مروحة في الشكل 3). مساحات الأشكال المروحية المشار إليها تساوي و على التوالي. لاحظ أن أول هذه المبالغ هو المبلغ الأدنى سلوظيفة لقسم محدد تشريحة [ α , β ]، والمجموع الثاني هو المبلغ الأعلى سلنفس الوظيفة ونفس القسم. بما أن الوظيفة قابلة للتكامل في المقطع [ α , β ]، فيمكن أن يكون الفرق صغيرًا حسب الرغبة. على سبيل المثال، لأي ثابت ε > 0 يمكن تصغير هذا الاختلاف ε /2. دعونا الآن نكتب مضلعًا في الشكل الداخلي على شكل مروحة س أنامع المنطقة س أنا، والتي وصفنا مضلعًا حول الشكل الخارجي على شكل مروحة س دمنطقة س د، لأي منهم * . ومن الواضح أن أول هذه المضلعات منقوش في قطاع منحني الخطوط، والثاني محاط حوله. وبما أن عدم المساواة صحيحة