مشتق من أمثلة الدالة الأسية. المشتقات المعقدة
عند التفريق بين دالة قوة أسية أو تعبيرات كسرية مرهقة ، من الملائم استخدام المشتق اللوغاريتمي. في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على أمثلة لتطبيقه مع حلول مفصلة.
يتضمن العرض التقديمي الإضافي القدرة على استخدام جدول المشتقات وقواعد التفاضل ومعرفة صيغة مشتق دالة معقدة.
اشتقاق صيغة المشتق اللوغاريتمي.
أولاً ، نأخذ اللوغاريتم إلى الأساس e ، ونبسط شكل الدالة باستخدام خصائص اللوغاريتم ، ثم نوجد مشتق الدالة المعطاة ضمنيًا:
على سبيل المثال ، لنجد مشتقة دالة الأس الأسية x أس x.
يعطي اللوغاريتم. حسب خصائص اللوغاريتم. يؤدي التفريق بين جزأي المساواة إلى النتيجة:
إجابه: .
يمكن حل نفس المثال دون استخدام المشتق اللوغاريتمي. يمكنك إجراء بعض التحولات والانتقال من تمييز دالة قوة أسية إلى إيجاد مشتق وظيفة معقدة:
مثال.
أوجد مشتق دالة .
المحلول.
في هذا المثال ، الوظيفة هو كسر ويمكن إيجاد مشتقه باستخدام قواعد الاشتقاق. لكن بسبب التعبير المرهق ، سيتطلب هذا العديد من التحولات. في مثل هذه الحالات ، من المعقول أكثر استخدام صيغة المشتق اللوغاريتمي . لماذا ا؟ سوف تفهم الآن.
لنجده أولاً. في التحولات ، سنستخدم خصائص اللوغاريتم (لوغاريتم الكسر يساوي فرق اللوغاريتمات ، ولوغاريتم المنتج يساوي المجموعاللوغاريتمات ، ودرجة التعبير تحت علامة اللوغاريتم يمكن أخذها كمعامل أمام اللوغاريتم):
قادتنا هذه التحولات إلى تعبير بسيط إلى حد ما ، من السهل العثور على مشتق منه:
نعوض بالنتيجة التي تم الحصول عليها في صيغة المشتق اللوغاريتمي ونحصل على الإجابة:
لدمج المادة ، نقدم بعض الأمثلة الأخرى بدون تفسيرات مفصلة.
مثال.
أوجد مشتق دالة أسية
الوظيفة الأسية هي دالة لها شكل دالة أسص = ش ت ،
التي قاعدتها u والأس v هي بعض وظائف المتغير x:
ش = ش (خ)؛ ت = ت (خ).
هذه الوظيفة تسمى أيضا القوة الأسيةأو .
لاحظ أنه يمكن تمثيل الوظيفة الأسية في شكل أسي:
.
لذلك ، يطلق عليه أيضًا دالة أسية معقدة.
مشتق من الدالة الأسية
الحساب باستخدام المشتق اللوغاريتمي
أوجد مشتق التابع الأسي
(2)
,
أين و هي وظائف المتغير.
للقيام بذلك ، نأخذ لوغاريتم المعادلة (2) باستخدام خاصية اللوغاريتم :
.
اشتق بالنسبة إلى x:
(3)
.
يتقدم قواعد لتمييز دالة معقدةو يعمل :
;
.
البديل في (3):
.
من هنا
.
لذلك وجدنا مشتق الدالة الأسية:
(1)
.
إذا كان الأس ثابتًا ، إذن. ثم المشتق يساوي مشتق دالة القدرة المركبة:
.
إذا كانت قاعدة الدرجة ثابتة ، إذن. ثم المشتق يساوي مشتق الدالة الأسية المركبة:
.
عندما تكون دالة x ودوالها ، فإن مشتق الدالة الأسية يساوي مجموع مشتقات القوة المركبة والوظائف الأسية.
حساب المشتق بالاختزال إلى دالة أسية معقدة
الآن نجد مشتقة الدالة الأسية
(2)
,
تمثيلها كدالة أسية معقدة:
(4)
.
لنفرق المنتج:
.
نطبق القاعدة لإيجاد مشتقة دالة معقدة:
.
وحصلنا مرة أخرى على الصيغة (1).
مثال 1
أوجد مشتق الوظيفة التالية:
.
احسب باستخدام المشتق اللوغاريتمي. نأخذ لوغاريتم الوظيفة الأصلية:
(P1.1) .
من جداول المشتقاتنجد:
;
.
بواسطة صيغة منتج مشتقنملك:
.
نفرق (A1.1):
.
بسبب ال
,
ومن بعد
.
من السهل جدًا تذكرها.
حسنًا ، لن نذهب بعيدًا ، سننظر على الفور في الدالة العكسية. ما هو معكوس الدالة الأسية؟ اللوغاريتم:
في حالتنا ، الأساس هو رقم:
مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو القاعدة) يسمى اللوغاريتم "الطبيعي" ، ونستخدم تدوينًا خاصًا له: نكتب بدلاً من ذلك.
ما يساوي؟ بالطبع، .
مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:
أمثلة:
- العثور على مشتق من وظيفة.
- ما هو مشتق الوظيفة؟
الإجابات: الأس واللوغاريتم الطبيعي دالات بسيطة بشكل فريد من حيث المشتق. سيكون للدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي قاعدة أخرى مشتق مختلف ، سنقوم بتحليله لاحقًا ، بعد أن ننتقل إلى قواعد التفاضل.
قواعد التمايز
ما هي القواعد؟ مصطلح جديد مرة أخرى؟! ...
التفاضلهي عملية إيجاد المشتق.
فقط وكل شيء. ما هي الكلمة الأخرى لهذه العملية؟ ليس proizvodnovanie ... يسمى التفاضل في الرياضيات بزيادة الوظيفة في. يأتي هذا المصطلح من الاختلاف اللاتيني - الاختلاف. هنا.
عند اشتقاق كل هذه القواعد ، سنستخدم وظيفتين ، على سبيل المثال ، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:
هناك 5 قواعد في المجموع.
يتم إخراج الثابت من علامة المشتق.
إذا - رقم ثابت (ثابت) ، إذن.
من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا مع الاختلاف:.
دعنا نثبت ذلك. اسمحوا ، أو أسهل.
أمثلة.
ابحث عن مشتقات الوظائف:
- عند النقطة
- عند النقطة
- عند النقطة
- في هذه النقطة.
حلول:
- (المشتق هو نفسه في جميع النقاط ، لأنه دالة خطية ، تذكر؟) ؛
مشتق من المنتج
كل شيء متشابه هنا: نقدم وظيفة جديدة ونجد زيادتها:
المشتق:
أمثلة:
- البحث عن مشتقات الوظائف و ؛
- أوجد مشتق دالة عند نقطة.
حلول:
مشتق من الدالة الأسية
الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتق أي دالة أسية ، وليس فقط الأس (هل نسيت ما هو عليه حتى الآن؟).
إذن أين يوجد عدد.
نحن نعلم بالفعل مشتقة الدالة ، لذلك دعونا نحاول نقل الدالة إلى أساس جديد:
للقيام بذلك ، نستخدم قاعدة بسيطة:. ثم:
حسنًا ، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة ، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.
حدث؟
هنا ، تحقق من نفسك:
تبين أن الصيغة تشبه إلى حد بعيد مشتق الأس: كما كانت ، لا تزال ، ظهر عامل فقط ، وهو مجرد رقم ، ولكن ليس متغيرًا.
أمثلة:
ابحث عن مشتقات الوظائف:
الإجابات:
هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة ، أي أنه لا يمكن كتابته بشكل أبسط. لذلك ، في الإجابة يتم تركها بهذا الشكل.
لاحظ أن هنا حاصل قسمة وظيفتين ، لذلك نطبق قاعدة التفاضل المناسبة:
في هذا المثال ، نتاج وظيفتين:
مشتق دالة لوغاريتمية
هذا مشابه: أنت تعرف بالفعل مشتق اللوغاريتم الطبيعي:
لذلك ، لإيجاد تعسفي من اللوغاريتم بأساس مختلف ، على سبيل المثال:
علينا إحضار هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف تغير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:
الآن فقط بدلاً من أن نكتب:
تبين أن المقام مجرد ثابت (رقم ثابت ، بدون متغير). المشتق بسيط للغاية:
لم يتم العثور على مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية في الامتحان تقريبًا ، ولكن لن يكون من الضروري معرفتها.
مشتق دالة معقدة.
ما هي "وظيفة معقدة"؟ لا ، هذا ليس لوغاريتمًا ، وليس ظلًا قوسيًا. قد يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنه إذا كان اللوغاريتم يبدو صعبًا بالنسبة لك ، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وسيعمل كل شيء) ، ولكن من حيث الرياضيات ، فإن كلمة "معقد" لا تعني "صعبة".
تخيل ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الأعمال باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال ، يلف الأول شريط شوكولاتة في غلاف ، والثاني يربطه بشريط. اتضح مثل هذا الكائن المركب: شريط شوكولاتة ملفوف ومربوط بشريط. لأكل لوح شوكولاتة ، عليك القيام بالخطوات المعاكسة بترتيب عكسي.
دعنا ننشئ خط أنابيب رياضيًا مشابهًا: أولاً سنجد جيب التمام لأحد الأرقام ، ثم سنقوم بتربيع الرقم الناتج. لذا ، يعطوننا رقمًا (شوكولاتة) ، أجد جيب التمام (غلاف) ، ثم تربّع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ دور. هذا مثال على دالة معقدة: عندما ، من أجل إيجاد قيمتها ، نقوم بتنفيذ الإجراء الأول مباشرة مع المتغير ، ثم إجراء آخر آخر مع ما حدث كنتيجة للأول.
بعبارات أخرى، الوظيفة المعقدة هي وظيفة تمثل حجة دالة أخرى: .
على سبيل المثال لدينا.
قد نقوم بنفس الإجراءات بترتيب عكسي: أولاً أنت تربيع ، ثم أبحث عن جيب التمام للعدد الناتج :. من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة مهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات ، تتغير الوظيفة.
المثال الثاني: (same). .
سيتم استدعاء الإجراء الأخير الذي نقوم به وظيفة "خارجية"، والإجراء الذي تم تنفيذه أولاً - على التوالي وظيفة "داخلية"(هذه أسماء غير رسمية ، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).
حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأيها داخلية:
الإجابات:الفصل بين الوظائف الداخلية والخارجية مشابه جدًا للمتغيرات المتغيرة: على سبيل المثال ، في الوظيفة
- ما هو الإجراء الذي سنتخذه أولاً؟ أولاً نحسب الجيب ، وعندها فقط نرفعها إلى مكعب. إذن فهي وظيفة داخلية وليست خارجية.
والوظيفة الأصلية هي تكوينها:. - داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: . - داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: . - داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: . - داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: .
نغير المتغيرات ونحصل على دالة.
حسنًا ، الآن سنستخرج الشوكولاتة - ابحث عن المشتق. يتم عكس الإجراء دائمًا: أولاً نبحث عن مشتق الدالة الخارجية ، ثم نضرب النتيجة في مشتق الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي ، يبدو كالتالي:
مثال آخر:
لذا ، دعنا أخيرًا نصيغ القاعدة الرسمية:
خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:
يبدو أنه بسيط ، أليس كذلك؟
دعنا نتحقق من الأمثلة:
حلول:
1) داخلي: ؛
خارجي: ؛
2) داخلي: ؛
(فقط لا تحاول التقليل الآن! لا شيء مأخوذ من تحت جيب التمام ، تذكر؟)
3) داخلي: ؛
خارجي: ؛
من الواضح على الفور أن هناك وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات هنا: بعد كل شيء ، هذه بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها ، وما زلنا نستخرج الجذر منها ، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (ضع الشوكولاتة في غلاف وشريط في حقيبة). لكن لا يوجد سبب للخوف: على أي حال ، سوف "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.
وهذا يعني أننا نفرق الجذر أولاً ، ثم جيب التمام ، وبعد ذلك فقط المقدار الموجود بين قوسين. ثم نضربها كلها.
في مثل هذه الحالات ، من الملائم ترقيم الإجراءات. أي دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سنقوم بتنفيذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:
كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا ، كلما كانت الوظيفة المقابلة "خارجية". تسلسل الإجراءات - كما كان من قبل:
هنا يكون التعشيش بشكل عام من 4 مستويات. دعونا نحدد مسار العمل.
1. التعبير الراديكالي. .
2. الجذر. .
3. الجيوب الأنفية. .
4. مربع. .
5. تجميعها جميعًا:
المشتق. باختصار حول الرئيسي
مشتق وظيفي- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة مع زيادة متناهية في الصغر للوسيطة:
المشتقات الأساسية:
قواعد التمايز:
يتم إخراج الثابت من علامة المشتق:
مشتق من المجموع:
منتج مشتق:
مشتق من حاصل القسمة:
مشتق من دالة معقدة:
خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:
- نحدد الوظيفة "الداخلية" ، ونجد مشتقها.
- نحدد الوظيفة "الخارجية" ، ونجد مشتقها.
- نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.
اشتقاق صيغة مشتق دالة القوة (x مرفوعًا للقوة a). تعتبر مشتقات الجذور من x. صيغة مشتق دالة القوة أعلى ترتيب. أمثلة على حساب المشتقات.
محتوىأنظر أيضا: دالة الطاقة والجذور والصيغ والرسم البياني
مؤامرات وظيفة الطاقة
الصيغ الأساسية
مشتقة x أس أ هي أ في س أس ناقص واحد:
(1)
.
مشتق الجذر النوني لـ x أس mth هو:
(2)
.
اشتقاق صيغة مشتق دالة القوة
الحالة x> 0
ضع في اعتبارك دالة قوة للمتغير x مع الأس أ:
(3)
.
هنا هو رقم حقيقي تعسفي. لنفكر في الحالة أولاً.
للعثور على مشتق الوظيفة (3) ، نستخدم خصائص دالة الطاقة ونحولها إلى الشكل التالي:
.
الآن نجد المشتق عن طريق تطبيق:
;
.
هنا .
تم إثبات الصيغة (1).
اشتقاق صيغة مشتق جذر الدرجة n في x إلى الدرجة m
الآن ضع في اعتبارك وظيفة تمثل جذر النموذج التالي:
(4)
.
لإيجاد المشتق ، نحول الجذر إلى دالة أس:
.
بالمقارنة مع الصيغة (3) ، نرى ذلك
.
ثم
.
بالصيغة (1) نجد المشتق:
(1)
;
;
(2)
.
في الممارسة العملية ، ليست هناك حاجة لحفظ الصيغة (2). من الأنسب كثيرًا تحويل الجذور أولاً إلى وظائف طاقة ، ثم إيجاد مشتقاتها باستخدام الصيغة (1) (انظر الأمثلة في نهاية الصفحة).
الحالة x = 0
إذا ، فإن الوظيفة الأسية يتم تعريفها أيضًا لقيمة المتغير x = 0
. لنجد مشتق الوظيفة (3) من أجل x = 0
. للقيام بذلك ، نستخدم تعريف المشتق:
.
عوّض x = 0
:
.
في هذه الحالة ، نعني بالمشتقة النهاية اليمنى التي لها.
لذلك وجدنا:
.
من هذا يمكن أن نرى أنه في.
في ، .
في ، .
يتم الحصول على هذه النتيجة أيضًا بالصيغة (1):
(1)
.
لذلك ، فإن الصيغة (1) صالحة أيضًا لـ x = 0
.
حالة x< 0
ضع في اعتبارك الوظيفة (3) مرة أخرى:
(3)
.
بالنسبة لبعض قيم الثابت a ، يتم تعريفها أيضًا للقيم السالبة للمتغير x. على وجه التحديد ، فليكن رقم منطقي. ثم يمكن تمثيله ككسر غير قابل للاختزال:
,
حيث m و n هي أعداد صحيحة بدون القاسم المشترك.
إذا كانت n فردية ، يتم تعريف الدالة الأسية أيضًا للقيم السالبة للمتغير x. على سبيل المثال ، لـ n = 3
و م = 1
لدينا الجذر التكعيبي لـ x:
.
يتم تعريفه أيضًا للقيم السالبة لـ x.
لنجد مشتق دالة القدرة (3) من أجل القيم المنطقية للثابت a ، الذي تم تعريفه من أجله. للقيام بذلك ، نقوم بتمثيل x بالشكل التالي:
.
ثم ،
.
نجد المشتق بإخراج الثابت من علامة المشتق وتطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة:
.
هنا . ولكن
.
لأنه عندها
.
ثم
.
أي أن الصيغة (1) صالحة أيضًا لـ:
(1)
.
مشتقات الطلبات الأعلى
نوجد الآن المشتقات ذات الرتبة الأعلى لدالة القوة
(3)
.
لقد وجدنا بالفعل مشتق من الدرجة الأولى:
.
بإخراج الثابت a من علامة المشتق ، نجد المشتق من الدرجة الثانية:
.
وبالمثل ، نجد مشتقات من الرتبتين الثالثة والرابعة:
;
.
من هنا يتضح ذلك مشتق من الترتيب التعسفي nthلديه الشكل التالي:
.
لاحظ أن إذا كان أ عدد طبيعي
، ثم يكون المشتق n ثابتًا:
.
ثم جميع المشتقات اللاحقة تساوي الصفر:
,
في .
أمثلة مشتقة
مثال
العثور على مشتق من وظيفة:
.
لنحول الجذور إلى قوى:
;
.
ثم تأخذ الوظيفة الأصلية الشكل:
.
نجد مشتقات الدرجات:
;
.
مشتق الثابت هو صفر:
.