Näited kõvera trapetsi pindala arvutamiseks. Etteantud joontega piiratud kujundite pindalade arvutamine

Valmis tööd

KRAADITÖÖD

Palju on juba möödas ja nüüd olete lõpetaja, kui muidugi kirjutate lõputöö õigel ajal. Aga elu on selline, et alles nüüd saab sulle selgeks, et olles lõpetanud tudeng-olemise, kaotad sa kõik tudengirõõmud, millest paljusid sa pole kunagi proovinud, lükates kõik edasi ja lükates hilisemaks. Ja nüüd, selle asemel, et järele jõuda, töötate oma lõputöö kallal? Siin on suurepärane lahendus: laadige meie veebisaidilt alla vajalik lõputöö - ja teil on koheselt palju vaba aega!
Lõputööd on edukalt kaitstud Kasahstani Vabariigi juhtivates ülikoolides.
Tööde maksumus alates 20 000 tenge

KURSUSE TÖÖD

Kursuseprojekt on esimene tõsine praktiline töö. Just kursusetööde kirjutamisega algab ettevalmistus diplomiprojektide väljatöötamiseks. Kui üliõpilane õpib kursuseprojektis teema sisu õigesti esitama ja asjatundlikult vormistama, siis edaspidi ei teki tal probleeme aruannete kirjutamise ega lõputööde koostamise ega muude praktiliste ülesannete täitmisega. Selleks, et aidata õpilasi seda tüüpi õpilastööde kirjutamisel ja selgitada selle koostamisel tekkivaid küsimusi, loodi see teabejaotis.
Tööde maksumus alates 2500 tenge

MAGISTRITÖÖD

Praegu on Kasahstani ja SRÜ riikide kõrgkoolides väga levinud bakalaureuse kraadile järgnev erialase kõrghariduse tase - magistrikraad. Magistriõppes õpivad üliõpilased eesmärgiga omandada magistrikraad, mida tunnustatakse enamikus maailma riikides rohkem kui bakalaureusekraadi ning mida tunnustavad ka välismaised tööandjad. Magistriõppe tulemuseks on magistritöö kaitsmine.
Pakume Sulle ajakohast analüütilist ja tekstilist materjali, hind sisaldab 2 teadusartiklit ja referaadi.
Tööde maksumus alates 35 000 tenge

PRAKTIKAARUANDED

Pärast mistahes tüüpi üliõpilaste praktika (haridus-, tööstus-, eelõppe) läbimist on nõutav aruanne. See dokument on üliõpilase praktilise töö kinnitus ja praktika hinnangu kujundamise aluseks. Tavaliselt tuleb praktikaaruande koostamiseks koguda ja analüüsida ettevõtte kohta käivat infot, arvestada praktika toimumise organisatsiooni struktuuri ja töörutiini, koostada kalenderplaan ning kirjeldada oma praktilist tegevust. tegevused.
Aitame koostada praktika kohta aruande, arvestades konkreetse ettevõtte tegevuse spetsiifikat.

Punktis 4.3 seda on juba märgitud kindel integraal () of

mittenegatiivne funktsioon on arvuliselt võrdne kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mis on piiratud funktsiooni = (), sirgjooned = , = ja = 0 graafikuga.

Näide 4.24. Arvutage telje ja sinusoidi vahele jääva joonise pindala = sin (joonis 4.6).

Kui kujund ei ole kõverjooneline trapets, siis püütakse selle pindala esitada kõverjoonelisteks trapetsiks olevate kujundite pindalade summa või erinevusena. Eelkõige on teoreem tõene.

Teoreem 4.13. Kui joonis on alt ja ülalt piiratud pidevate funktsioonide = graafikutega 1 (), = 2 () (mitte tingimata mittenegatiivne, ( Joonis 4.7 ), siis saab selle pindala leida valemi abil

2 () − 1 () .

Näide 4.25. Arvutage joonise pindala, mis on piiratud kõveraga = 4 ja joontega = ja = 4.

I osa. Teooria

4. peatükk. Integratsiooni teooria 4.4. Integreeritud rakendused. Valed integraalid

4.4.2. Kõvera kaare pikkus

Kõverate pikkuste arvutamine toob kaasa ka integraalid. Olgu funktsioon = () pidev intervallil [ ; ] ja on intervallil (;) diferentseeruv. Selle graafik kujutab teatud kõverat (; ()), (; ()) (joonis 4.9). Jagame kõvera punktidega 0 = , 1 , 2 , . . . , = suvalised osad. Ühendame kaks naaberpunkti −1 ja akordid = 1, 2, . . . , . Saame kõverale kantud -linki katkendjoone. Lase

on kõõlu pikkus −1, = 1, 2, . . . , = max16 6 . Katkestatud joone pikkust väljendatakse valemiga

Loomulik on määratleda katkendjoonte pikkuste piirväärtusena kõvera pikkus, kui → 0, s.o.

Siis on punktide koordinaadid (; ()), ja kasutades kahe punkti vahelise kauguse valem, leiame

Järelikult on funktsiooni √ 1 + (′ ())2 jaoks intervallil [ ; ]. Seejärel on meil võrdsete (4.31) põhjal:

Lahendus. Koostame määratud funktsiooni graafiku (joonis 4.10).

Joonis 4.10

Vaatleme kõverat trapetsi, mida piirab Ox-telg, kõver y=f(x) ja kaks sirget: x=a ja x=b (joonis 85). Võtame x suvalise väärtuse (lihtsalt mitte a ja mitte b). Anname sellele juurdekasvu h = dx ja vaatleme vaadeldavale kõverale kuuluvat riba, mida piiravad sirged AB ja CD, Ox telg ja kaar BD. Me nimetame seda riba elementaarseks ribaks. Elementaarriba pindala erineb ristküliku ACQB pindalast kõverjoonelise kolmnurga BQD võrra ja viimase pindala on väiksem kui ristküliku BQDM pindala, mille küljed on BQ = =h= dx) QD = Ay ja pindala on võrdne heinaga = Ay dx. Kui külg h väheneb, väheneb ka külg Du ja samaaegselt h-ga kipub olema null. Seetõttu on BQDM-i pindala teist järku lõpmatult väike. Elementaarriba pindala on pindala juurdekasv ja ristküliku ACQB pindala, mis on võrdne AB-AC ==/(x) dx>, on pindala diferentsiaal. Järelikult leiame ala enda, integreerides selle diferentsiaali. Vaadeldaval joonisel muutub sõltumatu muutuja l: a-st b-ks, seega on nõutav pindala 5 võrdne 5= \f(x) dx. (I) Näide 1. Arvutame parabooli y - 1 -x*, sirgete X =--Fj-, x = 1 ja O* teljega piiratud ala (joonis 86). joonisel fig. 87. Joon. 86. 1 Siin f(x) = 1 - l?, integreerimise piirid on a = - ja £ = 1, seega J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Näide 2. Arvutame siinuse y = sinXy, Ox-telje ja sirgjoonega piiratud pindala (joonis 87). Rakendades valemit (I) saame A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Näide 3. Arvutage siinuskaarega piiratud ala ^у = sin jc, suletud kahe kõrvuti asetseva lõikepunkti vahel Ox-teljega (näiteks lähtepunkti ja abstsiss i-ga punkti vahel). Pange tähele, et geomeetrilistest kaalutlustest lähtudes on selge, et see pindala on kaks korda suurem kui eelmises näites. Teeme siiski arvutused: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Tõepoolest, meie oletus osutus õigeks. Näide 4. Arvutage pindala, mis on piiratud sinusoidi ja Ox-teljega ühel perioodil (joonis 88). Esialgsed arvutused näitavad, et pindala on neli korda suurem kui näites 2. Pärast arvutuste tegemist saame aga “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. See tulemus vajab täpsustamist. Asja olemuse selgitamiseks arvutame välja ka pindala, mis on piiratud sama siinuse y = sin l: ja Ox teljega vahemikus l kuni 2i. Rakendades valemit (I), saame 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Seega näeme, et see ala osutus negatiivseks. Võrreldes seda harjutuses 3 arvutatud pindalaga, leiame, et nende absoluutväärtused on samad, kuid märgid erinevad. Kui rakendada omadust V (vt XI peatükk, § 4), saame 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Selles näites juhtunu ei ole juhus. Alati Ox-telje all asuv ala, eeldusel, et sõltumatu muutuja muutub vasakult paremale, saadakse integraalide abil arvutamisel. Sellel kursusel käsitleme alati alasid, kus pole märke. Seetõttu on äsja käsitletud näite vastus järgmine: nõutav pindala on 2 + |-2| = 4. Näide 5. Arvutame joonisel fig. näidatud BAB pindala. 89. Seda ala piiravad Ox-telg, parabool y = - xr ja sirge y - = -x+\. Kõverajoonelise trapetsi pindala Vajalik pindala OAB koosneb kahest osast: OAM ja MAV. Kuna punkt A on parabooli ja sirge lõikepunkt, leiame selle koordinaadid võrrandisüsteemi 3 2 Y = mx lahendamisel. (peame leidma ainult punkti A abstsissi). Süsteemi lahendades leiame l; = ~. Seetõttu tuleb pindala arvutada osade kaupa, esimene ruut. OAM ja siis pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Funktsiooniga moodustatud kõverjoonelise trapetsi QAM-^x pindala f, on võrdne selle funktsiooni antiderivaadi juurdekasvuga:

1. harjutus:

Leia kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni graafikuga: f(x) = x 2 ja sirge y = 0, x = 1, x = 2.

Lahendus: ( algoritmi slaidi järgi 3)

Joonistame funktsiooni ja joonte graafiku

Leiame ühe funktsiooni antiderivaatidest f(x) = x 2 :

Enesetest slaidil

Integraalne

Vaatleme funktsiooniga määratletud kõverjoonelist trapetsi f segmendil [ a; b]. Jagame selle segmendi mitmeks osaks. Kogu trapetsi pindala jagatakse väiksemate kõverate trapetsi pindalade summaks. ( slaid 5). Iga sellist trapetsi võib ligikaudu pidada ristkülikuks. Nende ristkülikute pindalade summa annab ligikaudse ettekujutuse kogu kõvera trapetsi pindalast. Mida väiksemaks jagame lõigu [ a; b], seda täpsemalt me ​​pindala arvutame.

Kirjutame need argumendid valemite kujul.

Jagage segment [ a; b] n osaks punktide kaupa x 0 =a, x1,...,xn = b. Pikkus k- th tähistama xk = xk – xk-1. Teeme summa

Geomeetriliselt tähistab see summa joonisel varjutatud joonise pindala ( sh.m.)

Vormi summasid nimetatakse funktsiooni integraalsummadeks f. (sh.m.)

Integraalsummad annavad pindala ligikaudse väärtuse. Täpne väärtus saadakse piirini üle minnes. Kujutame ette, et täpsustame segmendi [ a; b] nii, et kõigi väikeste segmentide pikkused kipuvad olema nullid. Seejärel läheneb koostatud kujundi pindala kõvera trapetsi pindalale. Võib öelda, et kõvera trapetsi pindala on võrdne integraalsummade piiriga, Sc.t. (sh.m.) või integraal, st

Definitsioon:

Funktsiooni integraal f(x) alates a enne b nimetatakse integraalsummade piiriks

= (sh.m.)

Newtoni-Leibnizi valem.

Peame meeles, et integraalsummade piir on võrdne kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mis tähendab, et võime kirjutada:

Sc.t. = (sh.m.)

Teisest küljest arvutatakse kõvera trapetsi pindala valemi abil

S k.t. (sh.m.)

Neid valemeid võrreldes saame:

Seda võrdsust nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.

Arvutamise hõlbustamiseks on valem kirjutatud järgmiselt:

Ülesanded: (sh.m.)

1. Arvutage integraal Newtoni-Leibnizi valemi abil: ( kontrollige slaidi 5)

2. Koostage integraalid vastavalt joonisele ( kontrollige slaidi 6)

3. Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slaid 7)

Tasapinnaliste kujundite pindalade leidmine ( slaid 8)

Kuidas leida kujundite pindala, mis pole kõverad trapetsid?

Olgu antud kaks funktsiooni, mille graafikuid näed slaidil . (sh.m.) Leidke varjutatud joonise pindala . (sh.m.). Kas kõnealune kujund on kõver trapets? Kuidas leida selle pindala, kasutades pindala liitlikkuse omadust? Mõelge kahele kõverjoonelisele trapetsile ja lahutage teise pindala ühe pindalast ( sh.m.)

Loome algoritmi ala leidmiseks slaidil animatsiooni abil:

1. Graafiku funktsioonid
2. Projekteerige graafikute lõikepunktid x-teljele
3. Varjutage graafikute lõikumisel saadud joonist
4. Leia kõverjoonelised trapetsid, mille lõikepunkt või liit on antud kujund.
5. Arvutage igaühe pindala
6. Leidke pindalade erinevus või summa

Suuline ülesanne: kuidas saada varjutatud figuuri pindala (rääkige animatsiooni abil, slaid 8 ja 9)

Kodutöö: Töötage läbi märkmed, nr 353 (a), nr 364 (a).

Bibliograafia

1. Algebra ja analüüsi alged : õpik õhtu(vahetus)kooli 9.-11.klassile / toim. G.D. Glaser. - M: Valgustus, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: õpik keskkooli 10-11 klassile / Bashmakov M.I. - M: Valgustus, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matemaatika: õpperaamat õppeasutustele alguseks. ja kolmapäeval prof. haridus / M.I. Bašmakov. - M: Akadeemia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra ja analüüsi algus: õpik 10.-11. klassile. õppeasutused / A.N. Kolmogorov. - M: Haridus, 2010.
5. Ostrovski S.L. Kuidas teha tunni jaoks ettekannet?/ S.L. Ostrovski. – M.: 1. september 2010.

Kumera trapetsi pindala

Kurviline trapets on joonis, mis on piiratud lõigul [ a, b] pidev ja mittenegatiivne funktsioon f(x), punktidesse tõmmatud ordinaadid a Ja b ja telje segment Ox punktide vahel a Ja b(vt joonis 2).

Tõestame järgmist väidet.

Kaarjas trapets on ruudukujuline kujund, pindala P

Tõestus. Kuna pidev lõigul [ a, b] funktsioon on integreeritav, siis mis tahes positiivse arvu korral ε saate määrata sellise partitsiooni T segment [ a, b], mis vahet sellel on S - s < ε , Kus S Ja s- vastavalt partitsiooni ülemine ja alumine summa T. Aga S Ja s on vastavalt võrdsed S d Ja S i, Kus S d Ja S i- astmeliste kujundite (hulknurkade) alad, millest esimene sisaldab kõverjoonelist trapetsi, teine ​​aga kõverjoonelist trapetsi (joonis 2 näitab ka neid astmelisi kujundeid). Sest S d - S i < ε , siis on kõverjooneline trapets 1. teoreemi kohaselt ruudukujuline. Kuna ülemise ja alumise summa Δ → 0 piir on võrdne s ≤ P ≤ S, seejärel piirkond P kõvera trapetsi saab leida valemi (1) abil.

Kommenteeri. Kui funktsioon f(x) on pidev ja mittepositiivne segmendis [ a, b], siis on integraali väärtus võrdne negatiivse märgiga kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mis on piiratud funktsiooni graafikuga f(x), ordinaadid punktides a Ja b ja telje segment Ox punktide vahel a Ja b. Seega, kui f(x) muudab märki, siis on see võrdne teatud märgiga võetud telje kohal ja all paiknevate kõverjooneliste trapetside pindalade summaga Ox, ja esimese alad võetakse + märgiga ja teise alad - märgiga.

Kumera sektori pindala

Lase kõveraks L on polaarkoordinaatide süsteemis antud võrrandiga r = r(θ ), α ≤ θ ≤ β (vt joonis 3) ja funktsiooni r(θ ) on pidev ja mittenegatiivne segmendis [ α , β ]. Lame kuju, mida piirab kõver L ja kaks kiirt, mis moodustavad polaarteljega nurki α Ja β , me helistame kõverjooneline sektor.

Tõestame järgmist väidet. Kõverjooneline sektor on ruudukujuline kujund, pindala P mida saab arvutada valemi abil

Tõestus. Mõelge partitsioonile T segment [ α , β ] punktid α = θ 0 < θ 1 < ... < θ n = β ja iga osalise segmendi kohta [ θ i -1 , θ i] konstrueerida ringikujulisi sektoreid, mille raadiused on võrdsed miinimumiga r i ja maksimum R i väärtused r(θ ) segmendil [ θ i -1 , θ i]. Selle tulemusena saame kaks lehvikukujulist kujundit, millest esimene sisaldub kõverjoonelises sektoris ja teine ​​sisaldab kõverjoonelist sektorit (need lehvikukujulised kujundid on näidatud joonisel 3). Näidatud lehvikukujuliste kujundite pindalad on võrdsed ja vastavalt. Pange tähele, et esimene neist summadest on väiksem summa s määratud partitsiooni funktsiooni jaoks T segment [ α , β ] ja teine ​​summa on suurim summa S sama funktsiooni ja sama partitsiooni jaoks. Kuna funktsioon on integreeritav segmendis [ α , β ], siis võib erinevus olla nii väike kui soovid. Näiteks mis tahes fikseeritud ε > 0 seda erinevust saab väiksemaks muuta ε /2. Kirjutame nüüd sisemise lehvikukujulise kujundi sisse hulknurga K i alaga S i, mille jaoks , ja kirjeldame välise lehvikukujulise kujundi ümber olevat hulknurka K d ala S d, mille jaoks * . Ilmselgelt on esimene neist hulknurkadest kantud kõverjoonelisse sektorisse ja teine ​​selle ümber. Kuna ebavõrdsused kehtivad