الرسم البياني لسرعة الحركة الدائرية. حركة نقطة مادية على طول دائرة
الحركة الدائرية المنتظمة- هذا هو أبسط مثال. على سبيل المثال ، تتحرك نهاية عقرب الساعة على طول القرص على طول الدائرة. سرعة الجسم في دائرة تسمى سرعة الخط.
مع حركة منتظمة للجسم على طول دائرة ، لا يتغير معامل سرعة الجسم بمرور الوقت ، أي v = const ، ولكن فقط اتجاه متجه السرعة يتغير في هذه الحالة (a r = 0) ، والتغير في متجه السرعة في الاتجاه يتميز بقيمة تسمى تسارع الجاذبية() a n أو CA. في كل نقطة ، يتم توجيه متجه التسارع المركزي إلى مركز الدائرة على طول نصف القطر.
وحدة العجلة المركزية تساوي
أ CS \ u003d v 2 / R
حيث v هي السرعة الخطية ، R هي نصف قطر الدائرة
أرز. 1.22. حركة الجسم في دائرة.
عند وصف حركة الجسم في دائرة ، استخدم زاوية تحول الشعاعهي الزاوية φ التي يتم بها رسم نصف القطر من مركز الدائرة إلى النقطة التي يكون فيها الجسم المتحرك في تلك اللحظة يدور في الزمن t. زاوية الدوران تقاس بالراديان. يساوي الزاويةبين نصف قطر دائرة ، طول القوس بينهما يساوي نصف قطر الدائرة (الشكل 1.23). هذا هو ، إذا كان l = R ، إذن
1 راديان = لتر / ص
لان محيطمساوي ل
ل = 2πR
360 درجة \ u003d 2πR / R \ u003d 2π راد.
بالتالي
1 راد. = 57.2958 حوالي \ u003d 57 حوالي 18 دقيقة
السرعة الزاويةالحركة المنتظمة للجسم في دائرة هي القيمة ω ، التي تساوي نسبة زاوية دوران نصف القطر إلى الفترة الزمنية التي يتم خلالها هذا الدوران:
ω = φ / ر
وحدة قياس السرعة الزاوية هي راديان في الثانية [rad / s]. يتم تحديد معامل السرعة الخطية من خلال نسبة المسافة المقطوعة l إلى الفترة الزمنية t:
ت = لتر / ر
سرعة الخطبحركة موحدة على طول دائرة ، يتم توجيهها بشكل عرضي عند نقطة معينة في الدائرة. عندما تتحرك النقطة ، فإن الطول l للقوس الدائري الذي تجتازه النقطة يرتبط بزاوية الدوران φ بالتعبير
ل = ص
حيث R هو نصف قطر الدائرة.
ثم ، في حالة الحركة المنتظمة للنقطة ، ترتبط السرعات الخطية والزاوية بالعلاقة:
v = l / t = Rφ / t = Rω أو v = Rω
أرز. 1.23. راديان.
فترة التداول- هذه هي الفترة الزمنية T ، التي يقوم خلالها الجسم (النقطة) بعمل ثورة واحدة حول المحيط. تردد الدورة الدموية- هذا هو مقلوب فترة الدوران - عدد الدورات لكل وحدة زمنية (بالثانية). يُشار إلى تكرار التداول بالحرف n.
ن = 1 / T.
في فترة واحدة ، تكون زاوية الدوران φ للنقطة 2π rad ، وبالتالي 2π = ωT ، من أين
T = 2π /
وهذا يعني أن السرعة الزاوية هي
ω = 2π / T = 2πn
تسارع الجاذبيةيمكن التعبير عنها من حيث الفترة T ووتيرة الثورة n:
أ CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
الحركة الدائرية هي حالة خاصة للحركة المنحنية. يتم توجيه سرعة الجسم في أي نقطة من المسار المنحني بشكل عرضي إليه (الشكل 2.1). في هذه الحالة ، يمكن أن تتغير السرعة كمتجه من حيث القيمة المطلقة (القيمة) والاتجاه. إذا كانت وحدة السرعة يبقى دون تغيير ، ثم يتحدث المرء عن حركة منحنية موحدة.
دع الجسم يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة من النقطة 1 إلى النقطة 2.
في هذه الحالة ، سيغطي الجسم مسارًا يساوي طول القوس ℓ 12 بين النقطتين 1 و 2 في الزمن t. خلال نفس الوقت t ، فإن متجه نصف القطر R المرسوم من مركز الدائرة 0 إلى النقطة سوف يدور خلال الزاوية Δφ.
يختلف متجه السرعة عند النقطة 2 عن متجه السرعة عند النقطة 1 بمقدار اتجاهبواسطة ΔV:
;
لوصف التغيير في متجه السرعة بواسطة v ، نقدم التسارع:
(2.4)
المتجه في أي نقطة من المسار يتم توجيهها على طول نصف القطر Rk المركزدائرة عمودية على متجه السرعة V 2. لذلك ، فإن التسارع ، الذي يميز التغير في السرعة أثناء الحركة المنحنية في الاتجاه ، ودعا جاذبية أو طبيعية. وبالتالي ، فإن حركة نقطة على طول دائرة بسرعة نمطية ثابتة هي معجل.
إذا كانت السرعة يتغير ليس فقط في الاتجاه ، ولكن أيضًا في القيمة المطلقة (القيمة) ، ثم بالإضافة إلى التسارع العادي يعرض أيضا ظل (مماسي)التسريع ، الذي يميز التغير في السرعة في الحجم:
أو
موجه موجه عرضيًا في أي نقطة من المسار (أي يتزامن مع اتجاه المتجه ). الزاوية بين النواقل و يساوي 90 0.
يتم تعريف التسارع الكلي لنقطة تتحرك على طول مسير منحني على أنه مجموع متجه (الشكل 2.1).
.
معامل المتجه
.
السرعة الزاوية والتسارع الزاوي
عند تحريك نقطة مادية حول المحيطمتجه نصف القطر R ، المرسوم من مركز الدائرة O إلى النقطة ، يدور من خلال الزاوية Δφ (الشكل 2.1). لتوصيف الدوران ، يتم تقديم مفاهيم السرعة الزاوية ω والتسارع الزاوي ε.
يمكن قياس الزاوية φ بوحدات الراديان. 1 رادتساوي الزاوية التي تقع على القوس ℓ تساوي نصف قطر الدائرة R ، أي
أو ℓ 12 = صφ (2.5.)
نفرق المعادلة (2.5.)
(2.6.)
القيمة dℓ / dt = V inst. القيمة ω \ u003d dφ / dt تسمى السرعة الزاوية(يقاس بالرادار / ثانية). نحصل على العلاقة بين السرعات الخطية والزاوية:
الكمية ω متجه. اتجاه متجه يحدد قاعدة المسمار (gimlet): يتزامن مع اتجاه حركة البرغي ، موجهًا على طول محور دوران النقطة أو الجسم وتدويره في اتجاه دوران الجسم (الشكل 2.2) ، أي
.
التسارع الزاويتسمى مشتق الكمية المتجهة للسرعة الزاوية (التسارع الزاوي اللحظي)
, (2.8.)
المتجه يتزامن مع محور الدوران ويتم توجيهه في نفس اتجاه المتجه ، إذا تم تسريع الدوران ، وفي الاتجاه المعاكس ، إذا كان الدوران بطيئًا.
سرعةنيسمى الجسم لكل وحدة زمنيةسرعة .
يسمى الوقت T لدوران كامل للجسمفترة الدوران . حيثصيصف الزاوية Δφ = 2π راديان
مع ذلك قال
, (2.9)
يمكن كتابة المعادلة (2.8) على النحو التالي:
(2.10)
ثم المكون المماسي للتسارع
و = R (2.11)
يمكن التعبير عن التسارع الطبيعي a n على النحو التالي:
في ضوء (2.7) و (2.9)
(2.12)
ثم التسارع الكامل
بالنسبة للحركة الدورانية ذات التسارع الزاوي الثابت ، يمكن كتابة معادلة الكينماتيكا عن طريق القياس مع المعادلة (2.1) - (2.3) للحركة الانتقالية:
,
.
تعتبر الحركة الدورانية حول محور ثابت حالة خاصة أخرى للحركة جسم صلب.
الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت
تسمى حركتها ، حيث تصف جميع نقاط الجسم الدوائر ، التي تقع مراكزها على خط مستقيم واحد يسمى محور الدوران ، بينما المستويات التي تنتمي إليها هذه الدوائر تكون عمودية محاور الدوران
(شكل 2.4).
في التكنولوجيا ، هذا النوع من الحركة شائع جدًا: على سبيل المثال ، دوران أعمدة المحركات والمولدات والتوربينات ومراوح الطائرات.
السرعة الزاوية
. كل نقطة من الجسم تدور حول محور يمر عبر نقطة ا، يتحرك في دائرة ، وتنتقل نقاط مختلفة في مسارات مختلفة في الوقت المناسب. إذن ، مقياس سرعة النقطة لكنأكثر من نقطة في (شكل 2.5). لكن أنصاف أقطار الدوائر تدور في الوقت المناسب بنفس الزاوية. Angle - الزاوية بين المحور أوهومتجه نصف القطر ، الذي يحدد موضع النقطة A (انظر الشكل 2.5).
دع الجسم يدور بشكل موحد ، أي يدور بنفس الزوايا لأي فترات زمنية متساوية. تعتمد سرعة دوران الجسم على زاوية دوران متجه نصف القطر ، والتي تحدد موضع إحدى نقاط الجسم الصلب لفترة زمنية معينة ؛ يتميز السرعة الزاوية
.
على سبيل المثال ، إذا كان أحدهما يدور بزاوية كل ثانية ، والآخر بزاوية ، فإننا نقول إن الجسم الأول يدور مرتين أسرع من الثاني.
السرعة الزاوية للجسم مع دوران منتظم
تسمى قيمة مساوية لنسبة زاوية دوران الجسم إلى الفترة الزمنية التي حدث فيها هذا الدوران.
سوف نشير إلى السرعة الزاوية بالحرف اليوناني ω
(أوميغا). ثم بالتعريف
يتم التعبير عن السرعة الزاوية بالتقدير الدائري في الثانية (راديان / ثانية).
على سبيل المثال ، السرعة الزاوية لدوران الأرض حول محورها هي 0.0000727 راديان / ثانية ، وسرعة عجلة الطحن حوالي 140 راديان / ثانية 1.
يمكن التعبير عن السرعة الزاوية بدلالة سرعة الدوران
، أي عدد الثورات الكاملة في 1 ثانية. إذا قام الجسم بثورات (الحرف اليوناني "nu") في 1 ثانية ، فإن وقت الثورة الواحدة يساوي الثواني. هذا الوقت يسمى فترة الدوران
ويشار إليها بالحرف تي. وبالتالي ، يمكن تمثيل العلاقة بين فترة التكرار والدوران على النحو التالي:
الدوران الكامل للجسم يتوافق مع الزاوية. لذلك ، وفقًا للصيغة (2.1)
إذا كانت السرعة الزاوية ، مع الدوران المنتظم ، معروفة وفي اللحظة الأولى من الوقت تكون زاوية الدوران ، ثم زاوية دوران الجسم خلال الوقت روفقًا للمعادلة (2.1) يساوي:
إذا ، إذن ، أو .
تأخذ السرعة الزاوية قيمًا موجبة إذا كانت الزاوية بين متجه نصف القطر ، والتي تحدد موضع إحدى نقاط الجسم الصلب والمحور أوهيزيد ، وسالب عندما ينقص.
وبالتالي ، يمكننا وصف موضع نقاط الجسم الدوار في أي وقت.
العلاقة بين السرعات الخطية والزاوية.
غالبًا ما تسمى سرعة النقطة التي تتحرك في دائرة السرعة الخطية
للتأكيد على اختلافها عن السرعة الزاوية.
لقد لاحظنا بالفعل أنه عندما يدور جسم صلب ، فإن نقاطه المختلفة لها سرعات خطية غير متساوية ، لكن السرعة الزاوية لجميع النقاط هي نفسها.
هناك علاقة بين السرعة الخطية لأي نقطة في جسم دوار وسرعته الزاوية. لنقم بتثبيته. نقطة على دائرة نصف قطرها ص، لثورة واحدة ستغطي المسار. منذ زمن ثورة واحدة للجسد هي الفترة تي، ثم يمكن العثور على وحدة السرعة الخطية للنقطة على النحو التالي:
ضمن أنواع مختلفةتعتبر الحركة المنحنية ذات أهمية خاصة حركة موحدة لجسم في دائرة. هذا هو أبسط شكل من أشكال الحركة المنحنية. في الوقت نفسه ، يمكن اعتبار أي حركة منحنية معقدة لجسم ما في جزء صغير بدرجة كافية من مساره بمثابة حركة منتظمة على طول الدائرة.
تتم هذه الحركة بواسطة نقاط من العجلات الدوارة ، ودوارات التوربينات ، والأقمار الصناعية التي تدور في مدارات ، وما إلى ذلك. مع الحركة المنتظمة في دائرة ، تظل القيمة العددية للسرعة ثابتة. ومع ذلك ، فإن اتجاه السرعة خلال هذه الحركة يتغير باستمرار.
يتم توجيه سرعة الجسم في أي نقطة من المسار المنحني بشكل عرضي إلى المسار عند هذه النقطة. يمكن ملاحظة ذلك من خلال مراقبة عمل حجر شحذ على شكل قرص: ضغط نهاية قضيب فولاذي على حجر دوار ، يمكنك رؤية جزيئات ساخنة تخرج من الحجر. هذه الجسيمات تطير بنفس السرعة التي كانت لها في لحظة انفصالها عن الحجر. يتزامن اتجاه الشرر دائمًا مع ظل الدائرة عند النقطة التي يلمس فيها القضيب الحجر. كما تتحرك البخاخات من عجلات السيارة المنزلقة بشكل عرضي إلى الدائرة.
وبالتالي ، فإن السرعة اللحظية للجسم في نقاط مختلفة من المسار المنحني لها اتجاهات مختلفة ، بينما يمكن أن يكون معامل السرعة إما هو نفسه في كل مكان أو يتغير من نقطة إلى أخرى. ولكن حتى لو لم يتغير معامل السرعة ، فلا يزال من غير الممكن اعتباره ثابتًا. بعد كل شيء ، السرعة هي كمية متجهة ، وبالنسبة للكميات المتجهة ، فإن المعامل والاتجاه متساويان في الأهمية. لهذا يتم دائمًا تسريع الحركة المنحنية، حتى لو كان معامل السرعة ثابتًا.
يمكن للحركة المنحنية أن تغير معامل السرعة واتجاهها. تسمى الحركة المنحنية ، حيث يظل معامل السرعة ثابتًا حركة منحنية موحدة. يرتبط التسارع أثناء هذه الحركة فقط بتغيير في اتجاه متجه السرعة.
يجب أن يعتمد كل من معامل واتجاه التسارع على شكل المسار المنحني. ومع ذلك ، ليس من الضروري النظر في كل من أشكاله التي لا تعد ولا تحصى. تمثيل كل قسم كدائرة منفصلة بنصف قطر معين ، سيتم تقليل مشكلة إيجاد التسارع في حركة منتظمة منحنية الخطوط إلى إيجاد التسارع في جسم يتحرك بشكل منتظم على طول دائرة.
تتميز الحركة المنتظمة في دائرة بفترة وتكرار الدورة الدموية.
يسمى الوقت الذي يستغرقه الجسم في إحداث ثورة واحدة فترة التداول.
مع الحركة المنتظمة في دائرة ، يتم تحديد فترة الثورة بقسمة المسافة المقطوعة ، أي محيط الدائرة على سرعة الحركة:
يسمى مقلوب الفترة تردد الدورة الدموية، تدل عليها الرسالة ν . عدد الثورات لكل وحدة زمنية ν اتصل تردد الدورة الدموية:
نظرًا للتغير المستمر في اتجاه السرعة ، فإن الجسم المتحرك في دائرة له تسارع يميز سرعة التغيير في اتجاهه ، ولا تتغير القيمة العددية للسرعة في هذه الحالة.
مع حركة منتظمة لجسم على طول دائرة ، فإن التسارع في أي نقطة فيه يتم توجيهه دائمًا بشكل عمودي على سرعة الحركة على طول نصف قطر الدائرة إلى مركزها ويسمى تسارع الجاذبية.
لإيجاد قيمتها ، ضع في اعتبارك نسبة التغيير في متجه السرعة إلى الفترة الزمنية التي حدث خلالها هذا التغيير. نظرًا لأن الزاوية صغيرة جدًا ، لدينا
نظرًا لأن السرعة الخطية تغير الاتجاه بشكل موحد ، فلا يمكن تسمية الحركة على طول الدائرة بأنها موحدة ، بل يتم تسريعها بشكل موحد.
السرعة الزاوية
اختر نقطة على الدائرة 1 . دعونا نبني نصف قطر. بالنسبة لوحدة زمنية ، ستنتقل النقطة إلى النقطة 2 . في هذه الحالة ، نصف القطر يصف الزاوية. السرعة الزاوية تساوي عدديًا زاوية دوران نصف القطر لكل وحدة زمنية.
الفترة والتكرار
فترة الدوران تيهو الوقت الذي يستغرقه الجسد ليصنع ثورة واحدة.
RPM هو عدد الدورات في الثانية.
التكرار والفترة مرتبطان بالعلاقة
العلاقة مع السرعة الزاوية
سرعة الخط
كل نقطة في الدائرة تتحرك بسرعة معينة. هذه السرعة تسمى الخطية. يتطابق اتجاه متجه السرعة الخطية دائمًا مع مماس الدائرة.على سبيل المثال ، تتحرك الشرر من تحت مطحنة ، وتكرر اتجاه السرعة اللحظية.
تأمل في نقطة على دائرة تصنع ثورة واحدة ، الوقت الذي ينقضي - هذه هي الفترة تي. المسار الذي تسلكه نقطة هو محيط الدائرة.
تسارع الجاذبية
عند التحرك على طول دائرة ، يكون متجه التسارع دائمًا عموديًا على متجه السرعة ، موجهًا إلى مركز الدائرة.
باستخدام الصيغ السابقة ، يمكننا اشتقاق العلاقات التالية
النقاط الواقعة على نفس الخط المستقيم المنبثق من مركز الدائرة (على سبيل المثال ، يمكن أن تكون هذه النقاط تقع على دعامة العجلة) سيكون لها نفس السرعات الزاوية والدورة والتردد. أي أنها ستدور بنفس الطريقة ، ولكن بسرعات خطية مختلفة. كلما كانت النقطة بعيدة عن المركز ، زادت سرعة تحركها.
قانون إضافة السرعات صالح أيضًا للحركة الدورانية. إذا كانت حركة الجسم أو الإطار المرجعي غير موحدة ، فإن القانون ينطبق على السرعات اللحظية. على سبيل المثال ، سرعة الشخص الذي يمشي على طول حافة دائري دوار تساوي مجموع متجه للسرعة الخطية للدوران لحافة دائري وسرعة الشخص.
تشارك الأرض في نقطتين رئيسيتين حركات دورانية: نهاري (حول محوره) ومداري (حول الشمس). فترة دوران الأرض حول الشمس هي سنة واحدة أو 365 يومًا. تدور الأرض حول محورها من الغرب إلى الشرق ، وتكون فترة هذا الدوران يومًا أو 24 ساعة. خط العرض هو الزاوية بين مستوى خط الاستواء والاتجاه من مركز الأرض إلى نقطة على سطحه.
وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن سبب أي تسارع هو القوة. إذا كان الجسم المتحرك يعاني من تسارع الجاذبية ، فإن طبيعة القوى التي تسبب هذا التسارع قد تكون مختلفة. على سبيل المثال ، إذا كان الجسم يتحرك في دائرة على حبل مربوط به ، فإن القوة المؤثرة هي القوة المرنة.
إذا كان جسم ممدد على قرص يدور مع القرص حول محوره ، فإن هذه القوة هي قوة الاحتكاك. إذا توقفت القوة عن العمل ، فسيستمر الجسم في التحرك في خط مستقيم
ضع في اعتبارك حركة نقطة على دائرة من أ إلى ب. السرعة الخطية تساوي الخامس أو الخامس بعلى التوالى. التسارع هو التغير في السرعة لكل وحدة زمنية. لنجد فرق المتجهات.