تقسيم الزاوية إلى 3 أجزاء متساوية. تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام بوصلة ومسطرة (زاوية ثلاثية)
يمكن تقسيم الخطوط المستقيمة والزوايا بطريقتين:بالعين وبمساعدة البناء الهندسي.
عند تقسيم الخط المستقيم إلى قسمين متساويين ، تابع ما يلي. يُؤخذ نصف هذا الخط المستقيم بالبوصلة بالعين ويضع هذا النصف جانبًا من طرفي الخط المستقيم. إذا تقاربت نهايات النصفين ، فسيتم تقسيم هذا الخط بشكل صحيح ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فسيتم تقسيم الخطأ (الاختلاف) مرة أخرى إلى النصف بالعين وإضافته (أو طرحه حسب الحاجة) إلى النصف المأخوذ بالبوصلة.
يفعلون الشيء نفسه عند التقسيم إلى 3 ، 5 ، إلخ. أجزاء متساوية. عند التقسيم إلى أربعة أجزاء متساوية ، قسّم الخط المستقيم أولًا إلى نصفين ، ثم قسمي كلاهما. عند التقسيم إلى 6 أجزاء متساوية ، قسّم الخط أولاً إلى 3 أجزاء متساوية ، ثم قسم كل جزء إلى نصفين.
يتم تقسيم الزاوية إلى أجزاء متساوية بنفس الطريقة ، مع اختلاف أن القوس المرسوم بأي نصف قطر من رأس الزاوية المعينة والمحاور بين جانبي الزاوية مقسم إلى أجزاء. ترتبط نقاط القسمة برأس الزاوية بخطوط مستقيمة.
إن تقسيم الخطوط والزوايا المستقيمة (الأقواس) بالعين يوفر الوقت. لذلك ، يجب على المرء أن يمارس باستمرار في مثل هذا التقسيم.
يتم تقسيم الخط المستقيم بالبناء على النحو التالي. افترض أن القطعة المعطاة AN ستقسم إلى 5 أجزاء متساوية. من نهاية السطر AB بزاوية اعتباطية ، نرسم الخط AC وعليه من النقطة A وضعنا جانباً خمسة أجزاء عشوائية بحيث AD = DE = EF = FG = GH ؛ نقوم بتوصيل H بـ N ومن خلال النقاط D و E و F و G نرسم خطوطًا مستقيمة موازية لـ NH ، والتي ستتقاطع مع AN عند النقاط I و K و L و M بحيث يكون AL = IK = KL = LM = MN.
يتم تقسيم الزوايا إلى أجزاء متساوية عن طريق البناء بثلاث طرق رئيسية.
1. قسّم زاوية BAC هذه إلى 2 ، 4 ، 8 ، إلخ. على أجزاء متساوية.
من النقاط D ومن المراكز ، نرسم أقواسًا بنصف أقطار متساوية تتقاطع عند F. سيقسم الخط المستقيم FA الزاوية BAC (والنقطة G - القوس DF) إلى النصف.
لتقسيم زاوية أو قوس إلى 4 أجزاء متساوية ، يجب أن تكرر نفس البنية لكل نصف ، إلخ. البناء مناسب لأي زوايا: مستقيمة ومنفرجة وحادة.
2. قسّم الزاوية اليمنى BAC إلى أجزاء متساوية 3 ، 6 ، 12 ، إلخ.
بنصف قطر AD من النقطتين D و E ، نصف الأقواس التي تتقاطع مع القوس عند النقطتين F و G ؛ نرسم AF و AG ، اللذين يقسمان الزاوية BAC والقوس DF إلى 3 أجزاء متساوية.
لتقسيم الزاوية إلى 6 أجزاء متساوية ، تحتاج إلى تقسيم كل ثلث إلى نصفين ، إلخ.
يمكن تقسيم أي زاوية من زوايا yarugoy ، باستثناء الزاوية اليمنى ، إلى 3 أجزاء متساوية بالعين أو بواسطة منقلة.
3. اقسم الزاوية المكونة من الخطين LV و CD إلى نصفين ، بشرط أن يتعذر الوصول إلى رأس الزاوية.
ارسم خطًا مستقيمًا EG من خلال نقطة عشوائية E على خط CD ، بالتوازي مع LP من نفس النقطة بنصف قطر عشوائي ، وصف القوس GH ؛ قم بتوصيل G و H بخط مستقيم وارسمه حتى يتقاطع مع LP عند النقطة I ؛ ثم نقسم الخط HI إلى نصفين عند النقطة M ونرسم KL عموديًا على الخط HI من خلال هذه النقطة ، وهذا العمودي سيقسم الزاوية التي يتعذر الوصول إلى رأسها إلى جزأين متساويين. في بعض الأحيان يكون من الضروري بناء انتقال لشريطين بعرض غير متساوٍ ، ويجب أن يتم ذلك باستخدام التقريب على طول قوس الدائرة ، كما هو موضح في الشكل.
نستمر في المقاطع a و c و b و d حتى التقاطع المتبادل عند النقطتين A و B ونقسم الزوايا الناتجة إلى النصف. إذا واصلنا DC العمودي على التقاطع مع منصف الزوايا EAC و FBD ، فإن النقاط التي تم الحصول عليها M و M 1 ستكون مراكز التقريب المرغوبة.
الزاوية مقسمة إلى أجزاء متساوية وبمساعدة منقلة. إذا كان مطلوبًا ، على سبيل المثال ، تقسيم زاوية معينة إلى 7 أجزاء متساوية ، فابحث عن الزاوية التي تساويها ، وقسم العدد الناتج من الدرجات على 7 ؛ عادة ما تكون النتيجة غير دقيقة ، حيث لا يتم تطبيق الدقائق والثواني على منقلة عادية. يتم التصحيح اللازم بالعين.
"تجديد الغرف أثناء التجديد" ،
NP كراسنوف
لقد قلنا بالفعل أنه من أجل أداء أنواع معينة من أعمال الطلاء ، يجب أن تكون قادرًا على الرسم. والقدرة على الرسم ، بدورها ، تتطلب معرفة قواعد بناء الأشكال الهندسية. يتم رسم الرسومات التخطيطية على الورق بمساعدة مثلثات وسلسلة T ونقل pa وبوصلة ، وعلى مستوى الجدران والسقوف ، يتم تنفيذ الإنشاءات باستخدام أوزان ومسطرة وبوصلة خشبية وسلك. في نفس الوقت تحتاج ...
الزاوية القائمة ، التي تساوي 90 درجة ، تتكون من خطين متعامدين بشكل متبادل. العمودي مبني على النحو التالي. خفض عمودي. من نقطة معينة C (تقع خارج الخط المستقيم) ، كما هو الحال من المركز ، نصف قوسًا بنصف قطر تعسفي بحيث يتقاطع مع خط معين عند نقطتين D و E من هذه النقاط ، كما هو الحال من المراكز ، نصف الأقواس بنفس نصف القطر حتى يتمكنوا من ...
قسمة الزاوية إلى النصف (الشكل 26 ، أ). من الأعلى في ركن ABC نصف قطر تعسفي ص 1 ارسم قوسًا حتى يتقاطع مع جوانب الزاوية عند نقاط م و ن . ثم من النقاط م و ن ارسم أقواسًا بنصف قطر > ص 1 حتى تتقاطع عند نقطة ما د . مستقيم BD شطر الزاوية المعطاة.
يتم تقسيم الزاوية إلى 4 ، 8 ، إلخ. أجزاء متساوية عن طريق النصف المتتالي لكل جزء من الزاوية (الشكل 26 ، ب).
الشكل 26
في حالة ضبط الزاوية بواسطة جوانب لا تتقاطع مع الرسم ، على سبيل المثال AB و قرص مضغوط في الشكل 26 ، ج ، يتم تقسيم الزاوية إلى النصف على النحو التالي. على مسافة اعتباطية ولكن متساوية ل ارسم خطوطًا مستقيمة من جانبي الزاوية كوالا لمبور || AB و مينيسوتا || قرص مضغوط وتابعهم حتى يتقاطعوا عند نقطة ما ا . زاوية الاستلام إل على شطر مستقيم من . مستقيم من سينصف أيضًا الزاوية المعطاة.
تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية (الشكل 27). من رأس الزاوية اليمنى - النقاط في ارسم قوسًا بنصف قطر عشوائي ص حتى يتقاطع مع جانبي الزاوية عند نقاط أ و ج . نفس الشعاع ص من النقاط أ و من ارسم أقواسًا للتقاطع مع القوس تيار متردد في نقاط م و ن . خطوط مستقيمة عبر رأس الزاوية في ونقاط م و ن ، قسّم الزاوية اليمنى إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
الشكل 27
2.4 تقسيم الدائرة إلى أجزاء متساوية ، وبناء مضلعات منتظمة
2.4.1 تقسيم الدائرة إلى أجزاء متساوية وإنشاء مضلعات منتظمة منقوشة
لتقسيم دائرة إلى نصفين ، يكفي رسم أي منها قطر الدائرة. سيقسم قطران متعامدان بشكل متبادل الدائرة إلى أربعة أجزاء متساوية (الشكل 28 ، أ). بقسمة كل جزء رابع إلى نصفين ، يحصلون على الأجزاء الثامنة ، وبقسمة أخرى - الجزء السادس عشر ، والثاني والثلاثين ، وما إلى ذلك (الشكل 28 ، ب). إذا كانت متصلة بخطوط مستقيمة نقاط التقسيم ، ثم يمكنك الحصول على جوانب مربع منقوش منتظم (أ 4 ) ، مثمن ( أ 8 ) و ت . د (الشكل 28 ، ج).
الشكل 28
تقسيم الدائرة إلى 3 ، 6 ، 12 ، إلخ ، أجزاء متساوية ، إلى جانب بناء المضلعات المقابلة المنتظمة المنقوشة نفذت على النحو التالي. يتم رسم قطرين متعامدين في دائرة 1–2 و 3–4 (الشكل 29 أ). من النقاط 1 و 2 كيفية وصف الأقواس من المراكز بنصف قطر الدائرة ص قبل التقاطع معها عند بعض النقاط أ ، ب ، ج و د . نقاط أ ,ب ,1 ، ج ، د و 2 قسّم الدائرة إلى ستة أجزاء متساوية. نفس النقاط ، المأخوذة من خلال واحدة ، ستقسم الدائرة إلى ثلاثة أجزاء متساوية (الشكل 29 ، ب). لتقسيم الدائرة إلى 12 جزءًا متساويًا ، صف قوسين آخرين بنصف قطر دائرة من النقاط 3 و 4 (الشكل 29 ، ج).
الشكل 29
يمكنك أيضًا بناء مثلث منقوش منتظم ، مسدس ، إلخ باستخدام مسطرة ومربع عند 30 و 60 درجة. يوضح الشكل 30 بنية مماثلة لمثلث محفور.
الشكل 30
تقسيم الدائرة إلى سبعة أجزاء متساوية ويتم إنشاء سباعي أضلاع منتظم منقوش (الشكل 31) باستخدام نصف جانب المثلث المنقوش ، يساوي تقريبًا جانب سباعي الشكل المنقوش.
الشكل 31
لتقسيم دائرة على خمسة أو عشرة اجزاء متساوية يتم تنفيذ قطرين متعامدين بشكل متبادل (الشكل 32 ، أ). نصف القطر OA تقسم إلى النصف ، وبعد أن حصلت على نقطة في ، صِف منه قوسًا بنصف قطر ص = قبل الميلاد حتى يتقاطع عند نقطة د بقطر أفقي. المسافة بين النقاط ج و د يساوي طول ضلع خماسي منقوش منتظم ( أ 5 ) والجزء التطوير التنظيمي يساوي طول ضلع من عشري منقوش منتظم ( أ 10 ). يوضح الشكل 32 ، ب تقسيم الدائرة إلى خمسة وعشرة أجزاء متساوية ، وكذلك بناء الخماسي المنتظم المنقوش والعشري. مثال على استخدام تقسيم الدائرة إلى خمسة أجزاء هو النجمة الخماسية (الشكل 32 ، ج).
الشكل 32
يوضح الشكل 33 طريقة عامة للتقسيم التقريبي لدائرة إلى أجزاء متساوية . دعه مطلوبًا لتقسيم الدائرة إلى تسعة أجزاء متساوية. يتم رسم قطرين متعامدين بشكل متبادل وقطر رأسي في دائرة. AB مقسمة إلى تسعة أجزاء متساوية باستخدام خط مستقيم إضافي (الشكل 33 ، أ). من وجهة نظر ب وصف قوس بنصف قطر ص =AB , وعند تقاطعها مع استمرار القطر الأفقي ، يتم الحصول على النقاط من و د . من النقاط ج و د من خلال نقاط تقسيم القطر الزوجي أو الفردي AB إجراء الأشعة. ستقسمها نقاط تقاطع الأشعة مع الدائرة إلى تسعة أجزاء متساوية (الشكل 33 ، ب).
الشكل 33
عند البناء ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن طريقة تقسيم الدائرة هذه إلى أجزاء متساوية تتطلب دقة عالية بشكل خاص في تنفيذ جميع العمليات.
الأكاديمي في الأكاديمية الروسية للعلوم ن.
الأكاديمي نيكولاي أنتونوفيتش دولزهال ، مؤلف المجلة منذ فترة طويلة ، هو متخصص بارز في مجال الطاقة. في أوقات فراغه ، يشارك نيكولاي أنتونوفيتش في دراسة المشكلات الشهيرة في العصور القديمة ، والمعروفة باسم تقسيم الزاوية ، ومضاعفة المكعب وتربيع الدائرة (انظر "العلم والحياة" رقم 7 ، 1993 ؛ رقم 3 ، 8 ، 1994 ؛ رقم 9 ، 1995 G.). يكمن تعقيد كل هذه المهام في حقيقة أنه يجب حلها بدون حسابات وحسابات ، هندسيًا بحتًا ، فقط بمساعدة بوصلة ومسطرة بدون أقسام. باستخدام هذه الطريقة الكلاسيكية ، نجح N. A. Dollezhal في إيجاد حل أنيق للغاية لمشكلة تقسيم الزاوية العشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
العلم والحياة // الرسوم التوضيحية
يكمن جوهر هذه المسألة الهندسية في إيجاد طريقة بيانية لتقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام بوصلة ومسطرة عادية. فيما يلي وصف للطريقة التي تحل هذه المشكلة بغض النظر عن حجم ونوع (حاد ، منفرج) الزاوية المقترحة للفصل. لا توجد قيود على أشكال الأشكال الهندسية ، ولا يتم عمل قياسات أو حسابات رقمية. على سبيل المثال ، يتم أخذ زاوية عشوائية.
يتم الجمع بين العناصر الهندسية وشكل هندسي يتكون من مثلث متساوي الساقين ABC بزاوية سفلية B ، مقسم إلى ثلاث زوايا متساوية ، وشبه منحرف متساوي الأضلاع ADFC ، وجميع زواياه الأربعة على مسافة متساوية من أعلى الزاوية B المثلث وشبه المنحرف مغلقان بقاعدتيهما AC. الطريقة المقترحة لحل المشكلة هي كما يلي:
1) أساس بناء الشكل الهندسي المذكور هو المعادلات التي تربط عناصره الرئيسية:
حيث S هي قاعدة المثلث وشبه المنحرف ؛ أ - جانب شبه منحرف. ر هو ارتفاع المثلث ؛ ح هو ارتفاع شبه منحرف.
تعتمد العناصر الرئيسية للشكل على بعضها البعض: نسب القاعدة إلى جانب شبه المنحرف وارتفاعات شبه المنحرف للمثلث مرتبطة بالمعادلة (2).
النسبتان S / a و h / t لها حدود قابلية للتطبيق: نسبة قاعدة شبه المنحرف إلى جانبها في حدود 2 ... 3 ، وتتغير نسبة ارتفاعات شبه المنحرف والمثلث من اللانهاية إلى 0 خارج هذه الحدود ، بناء مثلث زائد الشكل شبه منحرف أمر مستحيل.
في الجدول ، على سبيل المثال واختيار المؤشرات الرئيسية لبناء مثلث وشبه منحرف ، يتم إعطاء بعض القيم العددية للمتغيرات المدرجة في المعادلات. بمساعدتها ، يمكنك ضبط النسبة S / a والحصول على النسبة h / t.
على التين. 1 يقدم حل المشكلة بالطريقة المقترحة. كمثال ، وهو ليس ذا أهمية أساسية ، يتم أخذ مساواة ارتفاعات المثلث وشبه المنحرف. لمزيد من الوضوح ، يوضح الشكل تراكيب هندسية إضافية: تقسيم الزاوية إلى قسمين ، رسم خطوط متوازية وتطبيق تقسيمات موحدة.
يبدأ حل المشكلة بقسمة الزاوية المعطاة ABC إلى النصف على الخط BE ورسم خط أفقي XY عند الزوايا القائمة عبر النقطة B. على الخط XY على جانبي النقطة B ، يتم تطبيق التقسيمات المقابلة لنسبة قاعدة شبه المنحرف إلى جانبها ، في هذه الحالة 5 و 2. يتم الحصول على هذه النسبة من المعادلة (2) بشرط المساواة مرتفعات - انظر الجدول.
من النقاط المقابلة للقسم 5 ، يتم رسم المتوازيات للمنصف BE حتى تتقاطع مع جوانب الزاوية عند النقطتين A و C. يعمل الخط AC كقاعدة مشتركة للمثلث وشبه المنحرف ، والجزءان AB و BC هما مساو. من النقاط المقابلة للعلامة 2 على المقطع XY ، يتم رسم الخطوط التي تكون أيضًا موازية لمنصف الزاوية ABC ، وعليها ، المقاطع BD و BF ، تساوي جانبي المثلث BA \ u003d BC ، ضع علامة النقاط D و F - رؤوس زوايا شبه منحرف ADFC. تحدد النقطتان D و F الارتفاع BE ، والذي يساوي مجموع ارتفاعات المثلث وشبه المنحرف.
للتحقق والإثبات ، يتم رسم قطري AF و DC لشبه المنحرف ADFC ، متقاطعين عند النقطة Z على خط الوسط للمثلث ABC. المثلثان الناتجان ADF و DFC هما متساوي الساقين ، حيث أن قاعدتهما ، أي أقطار شبه منحرف ، مقسمة إلى قسمين عند النقطتين T ، يتقاطعان عندهما مع نصف القطر BD و BF وخط الوسط PP من شبه المنحرف. ينتمي الجانب DF إلى كلا المثلثين ، لذا فإن المثلثات ABD و DBF و FBC متساوية. جميع زواياها الثلاث التي تكون رءوسها عند النقطة B متساوية مع بعضها البعض وتشكل في المجموع الزاوية المعطاة ABC.
تشكل مقاطع الخط DM و FN جوانب المعينين ADFN و DFCM ، مع خصائصها الهندسية التي تؤكد صحة البناء.
على التين. 2 يوضح نسبة الزوايا الناتجة. بشكل مميز ، الزوايا السفلية لشبه المنحرف DAC = FCA تساوي ثلث الزاوية المشتركة ABC.
عند بناء شكل هندسي في الشكل. 1 ، كانت نسبة حجم قاعدة شبه المنحرف إلى جانبها 5: 2 لسهولة البناء: هذه النسبة تتوافق مع المساواة بين ارتفاعات شبه المنحرف والمثلث.
على التين. 3 تم إنشاء شكل "المثلث - شبه المنحرف" لزاوية ABC حادة نسبيًا. النسبة الأولية لارتفاع المثلث إلى مجموع ارتفاعات المثلث وشبه المنحرف هي 5: 6 ، والتي ، وفقًا للمعادلة (1) ، تتوافق مع القيمة S / а = 17/6. كما في الحالة الأولى ، تكون هذه القيمة متساوية ، أي يتم إيداع 8 1/2 إلى 3 على الخط XY على جانبي النقطة B ، ويتم إجراء إنشاءات مماثلة.
بشكل عام ، ليست هناك حاجة للافتراض المسبق للقيم العددية لـ S / a. يكفي أن نضع جانباً ثلاثة أجزاء متساوية على الخطين BX و BY من النقطة B ، مع تحديد نهايتيهما ، ومن أي نقطة بين العلامتين الثانية والثالثة ، نبني عمودية حتى تتقاطع مع جانبي الزاوية B عند النقطتين A و C بعد ذلك ، من العلامة الأولى ، قم أيضًا باستعادة الخطوط العمودية ووضع النقطتين D و F عليها على مسافة من النقطة B تساوي ضلع المثلث ABC.
إذا قمنا من النقطتين A و C على الخطين BD و BF بتخصيص نقطتين متباعدتين بشكل متساوٍ N و M ، فسنحصل على الجزء NM ، الذي يساوي S-2a. تحدد نسبة هذا الطول إلى نسبة ارتفاع شبه المنحرف والمثلث وفقًا للصيغة (2).
بالنسبة للباقي ، تابع كما في الحالة الأولى. يمكن التحقق من صحة البناء من خلال الصيغة
يتبع من (2). لا يتجاوز مجموع t + h أبدًا الضلع BA (BD) للمثلث.
بيانياً ، يتم التحقق من المساواة (4) على النحو التالي (الشكل 4). تؤخذ زاوية اعتباطية PQN مقسومة على المنصف QQ ؟. على الجانب الأيسر من الزاوية من النقطة Q ، يتم وضع المقاطع S-a و a ببوصلة ، وتشكيل النقطتين P و L. علاوة على ذلك ، فإن النقطة P متصلة بالنقطة Q؟ ويتم رسم PQ موازية من النقطة L؟ خط LQ ؟؟؟. هذا يعني أن علامة Q ظهرت على منصف الزاوية ، و / (S-a) \ u003d QQ ؟؟ / QQ ؟. على الجانب الأيمن من الزاوية ، نضع جانباً مع البوصلة المقاطع 2t + h و t + h من الرسم المركب. نهاية الجزء 2t + h - النقطة N - متصلة أيضًا بالنقطة Q؟ ومن النقطة M - نهاية المقطع t + h - نرسم خطًا موازيًا لـ NQ ؟. النسبة (t + h) / (2t + h) = QQ ؟؟؟ / س ف ؟. إذا كانت الخطوط هي LQ ؟؟ و MQ ؟؟؟ تتقاطع عند خط الوسط للزاوية ، وهذا يعني أن الجزأين الأيمن والأيسر في الصيغة متساويان. وهو ما هو مطلوب.
هل من الممكن تحديد طولها عن طريق قياس المقاطع المقابلة ، وخاصة قواعد المثلثات؟ إنه مستحيل ، لأن كل منها يعمل كوتر للقوس التخيلي المقابل لدائرة تحتوي على حصة لا يمكن قياسها. يمكن استخدام الطريقة الرسومية فقط لتحديد دقة حل المشكلة.
وبالتالي ، فقد اقترحنا إثباتًا لإمكانية التقسيم الرسومي لزاوية إلى ثلاثة باستخدام البوصلة والمسطرة. العلاقة بين عناصر شبه المنحرف والمثلثات لا تزال غير موضحة بيانياً ، وبعبارة أخرى ، العلاقة بين جانب شبه المنحرف أ وارتفاع المثلث ر. يمكن أن تكون هذه المهمة مستقلة لمبدأ بناء شبه منحرف.
أود أن أعرب عن امتناني للبروفيسور في جامعة موسكو الحكومية التقنية V.I. Solonin على نقده اللطيف.
يعني تقسيم الزاوية تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. إن القيام بذلك ، بالطبع ، ليس بالأمر الصعب على الإطلاق. يمكنك ، على سبيل المثال ، قياس زاوية معينة بمنقلة ، وقسمة العدد الذي تم العثور عليه من الدرجات على ثلاث ، ثم استخدام المنقلة نفسها لوضع الزاوية التي تحتوي على عدد الدرجات التي تم الحصول عليها على انفراد جانبًا. لكن يمكنك الحصول عليها
وبدون منقلة ، باستخدام طريقة "التقريبات المتتالية": بعد إنشاء قوس بنصف قطر تعسفي تكون الزاوية المعينة مركزية له ، نأخذ بالعين الوتر المقابل للجزء الثالث من القوس ، ونضع هذا الوتر على التوالي ثلاث مرات على طول القوس ، بدءًا من إحدى نهاياته. إذا وجدنا أنفسنا بعد ذلك في الطرف الآخر من القوس ، فقد تم حل المشكلة. ومع ذلك ، إذا لم نصل ، كما هو الحال عادة ، إلى الطرف الآخر من القوس ، أو نمر من خلاله ، فيجب تصحيح الوتر الذي أخذناه بالعين عن طريق زيادته أو إنقاصه بمقدار ثلث المسافة من حصلنا على نقطة إلى نهاية القوس ، وهذا الثلث دعونا نلقي نظرة مرة أخرى. يتم وضع هذا الوتر المصحح جانبًا مرة أخرى على القوس ، وإذا لزم الأمر ، يتم تصحيحه مرة أخرى بنفس الطريقة. سيعطي كل وتر جديد (مصحح) حلاً أكثر دقة ، وأخيرًا ، من خلال تكرار العملية عدة مرات ، سنحصل على وتر يتناسب مع قوس معين تقريبًا ثلاث مرات تقريبًا ، وسيتم تنفيذ تقسيم الزاوية. بالطبع ، تتيح هاتان الطريقتان إمكانية تقسيم زاوية معينة ليس فقط إلى ثلاثة ، ولكن إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية.
ومع ذلك ، عندما يتحدث علماء الرياضيات عن مشكلة التقسيم الثلاثي للزاوية ، فإنهم لا يقصدون هذه القيمة جدًا من الناحية العملية ، ولكن لا يزالون يقصدون الأساليب التقريبية فقط ، ولكن الطريقة الدقيقة ، علاوة على ذلك ، تعتمد على استخدام البوصلة والاستقامة حصريًا. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن استخدام حافة واحدة فقط للمسطرة هو المقصود وأن المسطرة يجب أن تستخدم فقط لرسم خطوط مستقيمة (على سبيل المثال ، لا يُسمح بتقسيمات المقياس) ، ويجب استخدام البوصلة فقط لرسم الدوائر. أخيرًا ، يجب أن تعطي الطريقة المرغوبة حلاً للمشكلة من خلال عدد محدود من العمليات لرسم الخطوط والدوائر. الملاحظة الأخيرة مهمة للغاية. لذلك ، بعد أن أثبت (وفقًا لصيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي) ذلك
يمكننا اقتراح الحل التالي لمشكلة تقسيم الزاوية ، والتي تتطلب استخدام مسطرة وبوصلة فقط: نقسم الزاوية المعطاة إلى 4 أجزاء متساوية ، والتي ، كما تعلم ، يمكن إجراؤها باستخدام بوصلة و المسطرة ، ثم أضف تصحيحًا يساوي ربع نفسه إلى الزاوية الناتجة ، أي الزاوية المعطاة ، ثم التصحيح الثاني ،
يساوي الأول ، أي زاوية معينة ، وما إلى ذلك. يتطلب الحل الدقيق للمشكلة بهذه الطريقة عددًا لا حصر له من العمليات (تقسيم الزوايا إلى 4 أجزاء متساوية) ، وبالتالي ليس الحل الكلاسيكي الذي يقصدونه عندما تحدث عن حل مشكلة التقسيم الثلاثي للزاوية ومشاكل البناء الأخرى.
لذلك ، سوف نتحدث عن الحل الدقيق لمشكلة تقسيم الزاوية عن طريق رسم عدد محدود من الخطوط والدوائر.
بالنسبة لبعض الزوايا ، تم حل هذه المشكلة بكل بساطة. لذلك ، من أجل التقسيم الثلاثي لزاوية 180 درجة ، يكفي إنشاء زاوية 60 درجة ، أي زاوية مثلث متساوي الأضلاع ، ولثلاثي الزوايا 90 درجة و 45 درجة - زوايا 30 درجة و 15 درجة ، أي نصف وربع زاوية مثلث متساوي الأضلاع. ومع ذلك ، فقد ثبت أنه إلى جانب مجموعة لا حصر لها من الزوايا التي تسمح بالتثليث ، هناك مجموعة لا حصر لها من الزوايا التي لا تسمح بالتثليث (بالمعنى الموضح أعلاه). وبالتالي ، من المستحيل التقسيم إلى ثلاثة أجزاء متساوية (برسم عدد محدود من الخطوط والدوائر) لا زاوية 60 درجة ولا زاوية 30 درجة ولا زاوية 15 درجة ولا زاوية 40 درجة ولا زاوية 120 درجة زاوية ، ولا مجموعة لا نهائية من الزوايا الأخرى.
الآن دعنا نكتشف ما إذا كانت الطريقة التالية الموصى بها غالبًا لتقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية صحيحة. من الرأس B مع نصف قطر عشوائي ، نرسم قوسًا لدائرة تتقاطع مع جوانب الزاوية عند النقاط (الشكل 39). نقسم الوتر إلى ثلاثة أجزاء متساوية ونوصل نقاط القسمة بـ B. ستصبح الزوايا متساوية ، وبالتالي ، سيتم إجراء تقسيم ثلاثي للزاوية التعسفية
مطلوب ، أي عن طريق رسم عدد محدود من الخطوط والدوائر: تقسيم مقطع إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، وهو أمر مطلوب هنا ، يمكن تنفيذه ، كما هو معروف ، بهذه الطريقة.
يعتقد أولئك الذين يقترحون مثل هذا الحل أن المساواة في المقاطع التي قسمنا إليها الوتر تستلزم المساواة في الأقواس التي سيتم الحصول عليها إذا واصلنا التقاطع مع الدائرة. هو كذلك؟ إذا كانت هذه الأقواس متساوية ، فإن الزوايا متساوية أيضًا (دع كل منهما تساوي أ) ، والأوتار التي تطرحها متساوية أيضًا. لكن المقطع أكبر من المقطع (يقترح الرسم هذا البيان ، لكننا سيثبت ذلك أدناه) ، والجزء يساوي المقطع حيث أن الزوايا ومتساوية:
وبالتالي ، إذا كانت المقاطع متساوية ، فإن المقاطع ، وخلافًا للشرط ، غير متساوية ، ويجب رفض افتراض المساواة.
بعد أن خفضنا العمود العمودي من الرأس B إلى الوتر ، نلاحظ أن الشكل بأكمله متماثل بالنسبة إلى VC: من خلال ثني الرسم على طول ، سنجعل كلا النصفين متطابقين. من هنا نستنتج أن المقطع III عمودي على ، وبسبب هذا ، يكون المقطع موازياً والمثلثات متشابهة ، مما يعطي: لكن وبالتالي ، كما ذكرنا أعلاه.
إن ظهور مشكلة تقسيم الزاوية (أي تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية) مشروط بالحاجة إلى حل مشكلة بناء المضلعات المنتظمة. يجب أن يكون لبناء البنتاغون المنتظم ببوصلة وحاكم تأثير كبير على فيثاغورس ، لأن النجمة الخماسية المنتظمة كانت علامة تعريفهم (ترمز إلى الصحة). الأسطورة التالية معروفة.
كان أحد فيثاغورس يحتضر في أرض أجنبية ولم يستطع دفع المال للرجل الذي كان يعتني به. قبل وفاته ، أمره بتصوير نجمة خماسية في مسكنه: إذا مر أحد فيثاغورس ، فسوف يسأل عن ذلك بالتأكيد. وبالفعل ، بعد بضع سنوات ، رأى فيثاغورس هذه العلامة وكافأ صاحب المنزل.
يرتبط أصل مشكلة التقسيم الثلاثي للزاوية أيضًا بالأنشطة العملية ، على وجه الخصوص ، كان من الضروري أن تكون قادرًا على تقسيم الدائرة إلى أجزاء متساوية في تصنيع عجلة ذات برامق ، أو تقسيم زاوية أو قوس من كانت الدائرة إلى عدة أجزاء متساوية ضرورية أيضًا في الهندسة المعمارية ، وفي صنع الزخارف ، وفي معدات البناء وعلم الفلك.
بمساعدة البوصلة والاستقامة لـ n = 6 و 8 n-gons العادية يمكن بناؤها ، لكن بالنسبة لـ n = 7 و 9 يكون ذلك مستحيلًا. يعد بناء سباعي منتظم مشكلة مثيرة للاهتمام: يمكن حلها باستخدام طريقة "insert". اقترح أرخميدس بناء سباعي منتظم. لكن محاولات بناء نوناجون عادي كان يجب أن تؤدي فقط إلى مشكلة تقسيم الزاوية ، لأنه لبناء زاوية غير مضلعة منتظمة كان من الضروري بناء زاوية 360 درجة / 9 \ u003d 120/3 ، أي قسمة زاوية 120 درجة إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
لماذا فضل الإغريق البوصلة والمسطرة على الأدوات الأخرى؟
لا يمكن للعلماء الإجابة على هذا السؤال بشكل لا لبس فيه وبشكل مقنع بما فيه الكفاية. هل لأن البوصلة والمسطرة هي أبسط الأدوات؟ ربما لذلك. ومع ذلك ، يمكن تحديد العديد من الأدوات الأخرى ، مثل البوصلات والمسطحات ، أو بسيطة تقريبًا. بمساعدة البعض منهم ، يتم أيضًا حل المهام المصاغة.
في الأدبيات ذات الصلة ، يمكن للمرء أن يجد محاولات لشرح مثل هذا التعاطف غير العادي لليونانيين على وجه التحديد مع البوصلة والحاكم. أي الشكل الهندسييتكون من نوعين من الخطوط - مستقيم أو منحني. وأي منحنى يتكون من أجزاء من دوائر بأقطار مختلفة. في هذه الحالة ، الخط المستقيم والدائرة هما الخطان الوحيدان للانحناء المستمر على المستوى.
تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية.
في بعض الحالات الخاصة ، من السهل إجراء تقسيم الزاوية. لذلك ، تمكن الفيثاغورس من تقسيم الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، بناءً على حقيقة أن كل زاوية في مثلث متساوي الأضلاع تساوي 60º.
دعه مطلوبًا للتقسيم إلى ثلاثة أجزاء متساوية من الخط المستقيم (MAN.
نضع جانباً قطعة اعتباطية AC على الشعاع AN ، والتي نبني عليها مثلثًا متساوي الأضلاع ASV. بما أن (CAB تساوي 60º ، إذن (BAM تساوي 30º. نحن نبني المنصف AD للزاوية CAB ، نحصل على التقسيم المطلوب للخط المستقيم (MAN إلى ثلاث زوايا متساوية: (NAD ، (DAB ، (BAM .
تبين أن مشكلة تقسيم الزاوية يمكن حلها في بعض القيم الخاصة الأخرى للزاوية (على سبيل المثال ، للزوايا 90 درجة / 2 ن ، حيث n هي عدد طبيعي). تم إثبات حقيقة أنه لا يمكن تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام البوصلة والمسطرة فقط في النصف الأول من القرن التاسع عشر.
الحل بطريقة "إدراج"
استخدمت بعض طرق تقسيم الزاوية التي اعتبرها الإغريق طريقة الإدخال المزعومة. كان يتألف من إيجاد موضع خط يمر عبر نقطة معينة O ، حيث يقطع خطان محددان (أو خط ودائرة) مقطعًا بطول معين a. يمكن تنفيذ هذا البناء باستخدام بوصلة ومسطرة من قسمين ، والمسافة بينهما تساوي a.
بمساعدة "إدراج" ، من السهل جدًا تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. خذ نقطة عشوائية أ على جانب الزاوية مع الرأس ب واسقط منها عموديًا متناوبًا على الجانب الآخر.
ارسم من خلال النقطة A شعاع اتجاهي مشفر باستخدام الشعاع BC. دعنا الآن ندخل قطعة DE بطول 2AB بين الأشعة AC و l بحيث يمر استمرارها عبر النقطة B. ثم (EBC \ u003d (ABC / 3. في الواقع ، دع G هي النقطة الوسطى للقطعة DE. تكمن النقطة A) على دائرة قطرها DE ، لذلك AG = GE = DE / 2 = AB ، والمثلثان BAG و AGE هما متساويان الساقين ، لذلك (ABG = (AGB = 2 (AEG = 2 (EBC.
أظهر بابوس للإسكندرية أن مهمة "إدخال" مقطع بين الخطوط العمودية المعطاة l1 و l2 يتم تقليلها إلى إنشاء نقطة تقاطع بين دائرة وقطع زائد. ضع في اعتبارك مستطيل ABCD ، تم إعطاء امتدادات ضلعيه BC و CD خطوطًا ، والرأس A هو نقطة معينة يجب من خلالها رسم خط يتقاطع مع الخطين l1 و l2 عند النقطتين E و F التي يمثلها المقطع EF لها طول معين.
نكمل المثلث DEF إلى متوازي الأضلاع DEFG. لإنشاء الخط المطلوب ، يكفي إنشاء النقطة G ، ثم من خلال النقطة A ، ارسم خطًا موازٍ للخط DG. تمت إزالة النقطة G من النقطة D بمسافة معينة DG = EF ، لذا فإن النقطة G تقع على دائرة يمكن بناؤها.
من ناحية أخرى ، من تشابه المثلثات ABF و EDA نحصل على AB: ED = BF: AD ، أي ED * BF = AB * AD. لذلك ، FG * BF = AB * AD = SABCD ، أي النقطة G تقع على القطع الزائد (إذا وجهت محوري Ox و Oy على طول الأشعة BF و BA ، فإن هذا القطع الزائد يتم الحصول عليه من خلال المعادلة xy = SABCD)
الحل باستخدام كوادريتريكس
تتضمن المسائل "النحوية" مشكلة قسمة الزاوية بأي شكل من الأشكال. اخترع هيبياس من إليس المنحنى الأول لحل مثل هذه المشكلة. لاحقًا (بدءًا من Dinostratus) تم استخدام هذا المنحنى أيضًا لحل تربيع الدائرة. أطلق لايبنيز على هذا المنحنى كوادريتريكس.
يتم الحصول عليها بالطريقة التالية. دع في المربع ABCD ، تتحرك أطراف المقطع B′C ′ بشكل موحد على طول الجانبين ، على التوالي ، BA و CD ، ويدور الجزء AN بشكل موحد حول النقطة A. الجزء BC ، ويتطابق الجزء AN مع المقطع AB ؛ كلا الجزأين يصلان في وقت واحد إلى موضعهما النهائي AD. التربيع هو منحنى يوصف بنقطة تقاطع المقطعين B′C ′ و AN.
لتقسيم الزاوية الحادة φ في نسبة ما ، من الضروري تنحية الزاوية DAL = φ في الرسم أعلاه ، حيث تقع L في التربيعية. دعونا نسقط LH العمودي للجزء AD. دعونا نقسم هذا عمودي في النسبة المطلوبة على النقطة P. ارسم خلال P قطعة موازية لـ AD حتى يتقاطع مع التربيع عند النقطة Q ؛ يقسم الشعاع AQ الزاوية LAD في النسبة اللازمة ، منذ ذلك الحين ، من خلال تعريف التربيعية ، (LAQ: (QAD = (LP: (LH.
عمل عملي على بناء ثلاثيات لزاوية
طريقة الإدراج
بمساعدة كوادريتريكس
الحل باستخدام نظرية مورلي
نظرًا لأنه لا يمكن تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، يمكننا حل مشكلة تقسيم الزاوية بترتيب عكسي باستخدام نظرية مورلي.
نظرية. دع المثلثات الثلاثية للزوايا B و C الأقرب إلى الجانب BC تتقاطع عند النقطة A1 ؛ يتم تعريف النقاط B1 و C1 بشكل مشابه. ثم يكون المثلث A1B1C1 متساوي الأضلاع والجزء C1C متعامد على قاعدة المثلث العادي.
دعنا نحل المشكلة التالية: سننشئ مثلثًا ، نرسم من جميع أركانه ثلاثية الأبعاد.
خطة البناء.
1) أنشئ زاويتين اعتباطيتين (BAC1 و (ABC1) ، أحدهما شائع.
يجب أن تلبي الزوايا المبنية عدم المساواة:
2) اجعل الشعاع AC1 هو محور التناظر. اعكس (BAC1 حول المحور AC1. وبالمثل ، انعكس حول المحور BC1 (ABC1.
3) اجعل الشعاع AC2 هو محور التناظر. اعكس (C1AC2 حول محور AC2. وبالمثل ، انعكس حول محور BC2 (C1BC2.
4) قم بتوصيل نقاط التقاطع الخاصة بالمجسمات الثلاثية C1 و C2 بقطعة C1C2.
5) تنص نظرية مورلي على أنه عندما تتقاطع المستعرضات الثلاثية للمثلث ، يتم الحصول على مثلث منتظم ، ويكون الجزء C1C2 متعامدًا على قاعدة المثلث المنتظم ويمر عبر رأس هذا المثلث. من أجل بناء مثلث منتظم ، مع معرفة ارتفاعه ، من الضروري: أ) تكوين أشعة تنبعث من النقطة C1 بزاوية 30 درجة بالنسبة للمقطع C1C2 ؛ ب) حدد نقاط تقاطع الأشعة المركبة مع المسامير الثلاثية بالحرفين B1 و A1 ؛ ج) قم بتوصيل النقاط A1 ، B1 ، C1. نحصل على مثلث متساوي الأضلاع A1B1C1.
6) لنرسم أشعة من النقطة C ، مروراً برؤوس المثلث العادي B1 و A1.
دعنا نترك شرائح ثلاثية الأبعاد للمثلث في الشكل.
لقد قمنا ببناء مثلث ABC ، من جميع الزوايا يتم رسم المتجهات الثلاثية.
عدم القدرة على تقرير ثلاثية الزاوية باستخدام البوصلة والمسطرة
لإثبات استحالة تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية بمساعدة البوصلة والاستقامة ، يكفي إثبات أنه من المستحيل تقسيم زاوية معينة بهذه الطريقة. سوف نثبت أنه لا يمكن تقسيم زاوية 30 درجة باستخدام البوصلة والمسطرة. دعنا نقدم نظام إحداثيات Oxy ، باختيار رأس الزاوية المعطاة AOB كأصل الإحداثيات وتوجيه محور Ox على طول جانب OA. يمكننا أن نفترض أن النقطتين A و B تقعان على مسافة 1 من النقطة O. ثم ، في مسألة تقسيم الزاوية ، يلزم إنشاء نقطة (cosφ ، sinφ) من نقطة ذات إحداثيات (cos Зφ ، الخطيئة Зφ). في الحالة التي تكون فيها = 10 ° ، يكون لنقطة البداية إحداثيات. يتم التعبير عن كلا إحداثياتها بالجذور التربيعية. لذلك ، يكفي إثبات أن العدد sin 10 ° لا يُعبَّر عنه بالجذور التربيعية.
بما أن sin3φ = sin (φ + 2φ) =
الخطيئة (α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =
cos2α = cos2α - sin2α
sin2α = 2sinα cosα
Sinφ (cos2φ - sin2φ) + cosφ (2sinφ cosφ) =
sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α
Sinφ (1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =
Sinφ (1 - 2sin2φ) + 2sinφ (1 - sin2φ) =
Sinφ (1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =
Sinφ (3 - 4sin2φ) =
3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ ، إذن الرقم x = sin 10 ° يفي بالمعادلة التكعيبية
3x - 4x3 = ½ (φ = 10 ° ، 3φ = 30 درجة ، sin3φ =)
8x3 - 6x + 1 = 0
(2x) 3 -3 * 2x + 1 = 0
يكفي إثبات أن هذه المعادلة ليس لها جذور عقلانية. افترض أن 2x = p / q ، حيث p و q عدد صحيح ليس لهما القواسم المشتركة. ثم p3 - 3pq2 + q3 = 0 ، أي q3 = p (3q2-p2). لذلك ، فإن الرقم q قابل للقسمة على p ، وبالتالي فإن p = ± 1. لذلك ، ± 13q2 + q3 = 0 ، أي q2 (q ± 3) = ± 1. الرقم 1 قابل للقسمة على q ، لذا q = ± 1. نتيجة لذلك ، نحصل على x \ u003d ± 1/2. من السهل التحقق من أن القيم ± 1/2 ليست من جذور المعادلة. تم الحصول على تناقض ، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور منطقية ، مما يعني أن الرقم sin10 ° لا يتم التعبير عنه في الجذور التربيعية.
طلب
يعد تقسيم الزاوية ثلاثي الأبعاد ضروريًا عند إنشاء مضلعات منتظمة. سننظر في عملية البناء باستخدام مثال غير مضلع منتظم محفور في دائرة.
نقوم ببناء مثلث قائم الزاوية ABC. نقوم ببناء ثلاث قاطعات BC1 و BC2. الزوايا 30 درجة. نقسم إحدى الزوايا المشكلة إلى قسمين 15º منصفين. إلى زاوية مستقيمة"أضف" 15 درجة على كل جانب. مرة أخرى نبني المتجهات ثلاثية الأبعاد للزاوية الناتجة DBE. نكرر هذا مرتين أخريين ، ونقلب المثلث عند النقطة B بحيث يتزامن DB مع الموضع السابق BE. نقوم بتوصيل النقاط المستلمة.
لقد تمكنا من بناء نوناجون منتظم باستخدام بناء ثلاثي القطاعات.
تريسيكتور
لا يمكن حل مشكلة تقسيم الزاوية عمومًا بالبوصلة والاستقامة ، لكن هذا لا يعني على الإطلاق أن هذه المشكلة لا يمكن حلها بوسائل مساعدة أخرى.
لتحقيق هذا الهدف ، تم اختراع العديد من الأجهزة الميكانيكية ، والتي تسمى trisectors. من السهل صنع أبسط trisector من الورق السميك أو الكرتون أو القصدير الرفيع. سيكون بمثابة أداة رسم مساعدة.
Trisector ومخطط تطبيقه.
الشريط AB المجاور لنصف الدائرة يساوي في الطول نصف قطر نصف الدائرة. تشكل حافة الشريط BD زاوية قائمة مع الخط المستقيم AC ؛ تلامس نصف الدائرة عند النقطة B ؛ طول هذا الشريط تعسفي. يوضح نفس الشكل تطبيق trisector. دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب تقسيم الزاوية KSM إلى ثلاثة أجزاء متساوية
يتم وضع trisector بحيث يكون رأس الزاوية S على الخط BD ، ويمر جانب واحد من الزاوية عبر النقطة A ، ويلامس الجانب الآخر نصف الدائرة. ثم يتم رسم الخطوط المستقيمة SB و SO ، ويكتمل تقسيم هذه الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. لإثبات ذلك ، نقوم بتوصيل مركز نصف الدائرة O بنقطة الظل N بواسطة مقطع ، ومن السهل أن نرى أن المثلث ASB يساوي المثلث SBO ، والمثلث SBO يساوي المثلث OSN. ويترتب على المساواة بين هذه المثلثات الثلاثة أن الزوايا ASB و BS0 و 0SN متساوية مع بعضها البعض ، وهو ما كان يجب إثباته.
هذه الطريقة في تثليث الزاوية ليست هندسية بحتة ؛ يمكن أن يسمى ميكانيكي.
ساعة Trisector
(تعليمات للإستخدام)
المعدات: بوصلات ، مسطرة ، ساعة بالسهام ، قلم رصاص ، ورق شفاف.
تقدم:
انقل شكل هذه الزاوية إلى ورق شفاف وفي اللحظة التي يتم فيها الجمع بين عقارب الساعة ، ضع الرسم على القرص بحيث يتزامن الجزء العلوي من الزاوية مع مركز دوران اليدين وجانب واحد من الزاوية يسير على طول اليدين.
في اللحظة التي يتحرك فيها عقرب الدقائق للساعة ليتزامن مع اتجاه الجانب الثاني من هذه الزاوية ، ارسم شعاعًا من أعلى الزاوية في اتجاه عقارب الساعة. يتم تكوين زاوية مساوية لزاوية دوران عقرب الساعة. الآن ، بمساعدة البوصلة والمسطرة ، ضاعف هذه الزاوية وضاعف الزاوية المضاعفة مرة أخرى. الزاوية التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة ستكون ⅓ من هذا.
في الواقع ، في كل مرة يصف فيها عقرب الدقائق زاوية معينة ، يتحرك عقرب الساعات خلال هذا الوقت إلى زاوية أصغر بمقدار 12 مرة ، وبعد زيادة هذه الزاوية بمقدار 4 مرات ، تكون الزاوية (a / 12) * 4 = ⅓ a هي تم الحصول عليها.
استنتاج
وبالتالي ، لعبت مشاكل البناء غير القابلة للحل دورًا خاصًا في تاريخ الرياضيات. بعد كل شيء ، ثبت أن هذه المشاكل لا يمكن حلها باستخدام البوصلة والاستقامة فقط. لكن صياغة المشكلة ذاتها - "لإثبات عدم القدرة على الحل" - كانت خطوة جريئة إلى الأمام.
ومع ذلك ، تم اقتراح العديد من الحلول باستخدام أدوات غير تقليدية. كل هذا أدى إلى ظهور وتطوير أفكار جديدة تمامًا في الهندسة والجبر.
بعد الانتهاء من عملي البحثي وتحليله ، توصلت إلى الاستنتاجات التالية:
ظهور مثل هذه المشاكل كان بسبب أهميتها العملية (على وجه الخصوص ، بناء المضلعات المنتظمة) ؛
✓ تسبب مثل هذه المشاكل في تطوير أساليب ونظريات جديدة (طريقة "الإدراج" ، ظهور تربيعية ، نظريات مورلي) ؛
✓ المشاكل غير القابلة للحل تجذب المزيد من الانتباه إلى العلوم: إيجاد حل أو إثبات الاستحالة هو شرف عظيم.
واكتشفت أيضًا:
✓ حول علماء الرياضيات الذين درسوا هذه المسألة ؛
مفاهيم ومصطلحات جديدة (trisection ، trisector ، quadratrix) ونظريات (Morley) وتعلمها:
✓ البحث بكفاءة واختيار المواد اللازمة;
✓ لتنظيم المعرفة المكتسبة ؛
قم بإعداد ورقة بحثية بشكل صحيح.