مفهوم توسيع المجموعات العددية. توسيع مجموعات الأرقام عند دراسة الأرقام في دورة المدرسة الثانوية
لكي تكون مجموعة Q+ من الأعداد النسبية الموجبة امتدادًا لمجموعة N من الأعداد الطبيعية، يجب استيفاء عدد من الشروط.
الشرط الأول هو وجود علاقة تضمين بين N وQ+. دعونا نثبت أن N Q+.
دع طول الجزء Xمع شريحة واحدة هويعبر عنها كعدد طبيعي ت.دعونا نقسم قطعة الوحدة إلى صاجزاء متساوية. ثم نسوف يتناسب الجزء العاشر من قطعة الوحدة مع القطعة Xمرات بالضبط، أي طول الجزء Xسيتم التعبير عنها ككسر. لذلك طول الجزء Xويمكن أيضا التعبير عنها كعدد طبيعي تي،وعدد منطقي موجب. لكن يجب صيكون نفس الرقم.
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image003.png)
لذلك، على سبيل المثال، يمكن تمثيل العدد الطبيعي 6 بالكسور التالية: ، إلخ.
تظهر العلاقة بين المجموعتين N وQ+ في الشكل 28 .
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image004.jpg)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image005.png)
تسمى الأعداد التي تكمل مجموعة الأعداد الطبيعية لمجموعة الأعداد النسبية الموجبة كسور.
الشرط الثاني الذي يجب توافره عند توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية هو اتساق العمليات، أي أن نتائج العمليات الحسابية التي تتم وفقا للقواعد الموجودة للأعداد الطبيعية يجب أن تتطابق مع نتائج العمليات عليها، ولكن تتم وفقا لها. القواعد المصاغة للأعداد العقلانية الإيجابية. ومن السهل التحقق من استيفاء هذا الشرط أيضًا.
يترك أو ب- الأعداد الصحيحة، - تم الحصول على مجموعها وفقا لقواعد الجمع في N. دعونا نحسب مجموع الأرقام أو ببقاعدة الجمع في Q+.
منذ ذلك الحين
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image007.png)
الشرط الثالث الذي يجب تحقيقه عند توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية هو الجدوى في Q+ لعملية ليست ممكنة دائمًا في N. وقد تم استيفاء هذا الشرط: التقسيم، الذي لا يتم تنفيذه دائمًا في المجموعة N، يكون دائمًا راض في مجموعة Q+.
لنقم ببعض الإضافات التي تكشف عن العلاقات بين الأعداد العقلانية الطبيعية والموجبة.
1. يمكن اعتبار الخط الموجود في الكسر علامة قسمة.
في الواقع، دعونا نأخذ عددين طبيعيين تو صو دعونا نوجد حاصلهما باستخدام القاعدة (4) لقسمة الأعداد النسبية الموجبة:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image008.png)
على العكس من ذلك، إذا تم إعطاء كسر، فيمكن اعتباره خارج قسمة الأعداد الطبيعية تو ص.
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image009.png)
2. يمكن تمثيل أي كسر غير حقيقي إما كعدد طبيعي أو ككسر مختلط.
اسمحوا أن يكون جزءا غير لائق. ثم ر > ص.لو تعديد ف،ففي هذه الحالة يكون الكسر تمثيلًا لعدد طبيعي. إذا كان الرقم تليست متعددة ف،ثم سوف نقسم تعلى صمع الباقي:، أين. دعونا نستبدل بدلاً من تفي التدوين وتطبيق القاعدة (1) لإضافة أرقام منطقية موجبة:
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image010.png)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image011.png)
لأن , ثم الكسر صحيح. ونتيجة لذلك، تبين أن الكسر غير الصحيح يمثل مجموع عدد طبيعي سوالكسر المناسب . يسمى هذا الإجراء فصل الجزء كله عن الكسر غير الحقيقي. على سبيل المثال،.
من المعتاد كتابة مجموع عدد طبيعي وكسر حقيقي بدون علامة الجمع: أي بدلاً من كتابة واستدعاء مثل هذا الترميز جزء مختلط.
العبارة التالية صحيحة أيضًا: يمكن كتابة كل كسر مختلط ككسر غير فعلي. على سبيل المثال:
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image013.png)
منذ زمن سحيق، كانت الكائنات الرياضية الرئيسية هي الأرقام والمجموعات وعناصر المجموعة وخصائصها. الرقم هو تجريد يستخدم لتحديد كمية الأشياء. وبعد أن نشأ في المجتمع البدائي من احتياجات العد، تغير مفهوم العدد واثرى وتحول إلى المفهوم الرياضي الأكثر أهمية. العلامات المكتوبة (الرموز) لتسجيل الأرقام هي أعداد. حديث الرياضياتيعمل مع مفاهيم رياضية مختلفة قليلا. إذا قمت بتحليل جوهرها بعناية، فهي بشكل عام مكافئة أو متماثلة لمفاهيم "الرقم"، "المجموعة"، "الخريطة"، "الملكية".
بالمعنى النظري للمجموعات، الأعداد هي فئة من المجموعات ذات خصائص معينة. يتم التعبير عن هذه الخصائص من خلال نوع الترتيب والأبعاد والخصائص الطوبولوجية والمترية للمجموعات المبنية عليها. الخاصية الرئيسية للأرقام هي قوتها، والتي يمكن أن تكون محدودة أو قابلة للعد أو مستمرة. وبناء على ذلك، يمكن أن تكون الأرقام ممثلة لأي فئة من المجموعات ذات العلاقة الأساسية المناسبة. حتى المجموعات ذات العدد الأساسي الأكبر من السلسلة يمكن تمثيلها كمجموعة من جميع الوظائف المحددة في مجموعة رقمية. وهذا يدل على عالمية مفهوم "الرقم".
خاصية أخرى مهمة للأرقام هي أبعادها. هناك عدة فئات من الأرقام ذات خصائص مختلفة. هناك أرقام خطية (أحادية البعد) - وهي N الطبيعية، وN + الموجبة، والعدد الصحيح Z، والعقلاني R، وأرقام Q الحقيقية. هناك أرقام مركبة متعددة الأبعاد أو مفرطة التعقيد - وهي أرقام معقدة C، وquaternions H، وbiquaternions ب، المصفوفات المربعة غير المفردة M، أرقام كليفورد K وغيرها. الموتر (بما في ذلك المتجه) بالمعنى المعتاد ليس رقمًا.
هناك نوع مثير للاهتمام من الأرقام وهي الأرقام الحقيقية. تظهر في التحليل غير القياسي، باستخدام مفاهيم الأعداد "متناهية الصغر" و"الكبيرة بلا حدود" كامتداد لمجموعة الحقائق لهذه الأعداد "اللانهائية".
دعونا نحاول تحديد ما هو "الرقم". بتعبير أدق، أنواع الأرقام.
أبسط الأعداد هي الأعداد الصحيحة، والكسرية، والحقيقية، والأعداد المركبة. فهي تبادلية وترابطية وتوزيعية.
الأنواع الرئيسية للأرقام التي لها خصائص مماثلة هي أربعة أنواع من الأرقام. هذه هي الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والكواتيرنيونات والأوكتافات. لا تصمد تبديلية الضرب للنوعين الأخيرين من الأرقام. ولكن لديهم جميعا الجبربدون قواسم صفر.
قد لا تحتوي الامتدادات الإضافية للأرقام على خاصية الترابط. يتم احترام التوزيع.
الأنواع الأساسية للأرقام
الأعداد الصحيحةتم الحصول عليها عن طريق الحساب الطبيعي. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بـ N. وهكذا. (في بعض الأحيان يتم تضمين الصفر أيضًا في مجموعة الأعداد الطبيعية، أي N = (0، 1، 2، 3، ...)). يتم إغلاق الأعداد الطبيعية تحت الجمع والضرب (ولكن ليس الطرح أو القسمة). الأعداد الطبيعية تبادلية وترابطية بالنسبة إلى الجمع والضرب، وضرب الأعداد الطبيعية توزيعية بالنسبة إلى الجمع.
الأعداد الكليةتم الحصول عليها من خلال الجمع بين الأعداد الطبيعية ومجموعة سلبييتم الإشارة إلى الأرقام والصفر بواسطة Z = (-2، -1، 0، 1، 2، ...). يتم إغلاق الأعداد الصحيحة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب (وليس القسمة).
أرقام نسبية- الأرقام ممثلة بالكسور م/ن (ن؟ 0) حيث مهو عدد صحيح، و ن- عدد طبيعي. بالنسبة للأعداد النسبية، يتم تعريف جميع العمليات الحسابية "الكلاسيكية" الأربع: الجمع والطرح والضرب والقسمة (باستثناء القسمة على صفر). يتم استخدام العلامة Q للدلالة على الأعداد النسبية.
أرقام حقيقيةتمثل امتدادًا لمجموعة الأعداد العقلانية، مغلقة تحت بعض (مهم لـ التحليل الرياضي) عمليات المرور إلى الحد. يُشار إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بالرمز R. ويمكن اعتبارها كذلك التجديدمجال الأعداد العقلانية Q باستخدام أعراف، وهو أمر شائع قيمه مطلقه. بالإضافة إلى الأعداد النسبية، يتضمن R المجموعة أرقام غير منطقيةوالتي لا يمكن تمثيلها كنسبة من الأعداد الصحيحة. بالإضافة إلى تقسيمها إلى أرقام عقلانية وغير عقلانية، تنقسم الأعداد الحقيقية أيضًا إلى جبريو متسام. علاوة على ذلك، فإن كل عدد متسامٍ هو غير نسبي، وكل عدد نسبي هو جبري.
ارقام مركبة، وهي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية. يمكن كتابتها في النموذج ض = س + iy، أين أنا- ما يسمى وحدة خيالية، والتي تحقق المساواة أنا 2 = -1. تستخدم الأعداد المركبة في حل المسائل الكمومية علم الميكانيكا، الهيدروديناميكية، نظرية المرونة، الخ.
بالنسبة لمجموعات الأرقام المدرجة، يكون التعبير التالي صالحًا: N ? ض؟ س؟ ص؟ ج.
أرقام هايبرريال- هذه أرقام النموذج:
1) أ+؟، أين أ- رقم عادي أ- عدد لا نهائي؛
2) ؟ = 1/؟ - عدد كبير بلا حدود.
الأرقام الواقعية المفرطة ليست أرقامًا بالمعنى المعتاد. يتم استخدامها في العديد من الأقسام علماء الرياضيات، خاصة في حساب التفاضل والتكامل، وكذلك في أي مكان يتم فيه استخدام تسلسلات رقمية محددة، حتى عند تحديد الأعداد الحقيقية.
مجموعة الأعداد النسبية هي تعميم طبيعي لمجموعة الأعداد الصحيحة. فمن السهل أن نرى أنه إذا كان عددا عقلانيا أ = م/نالمقام - صفة مشتركة - حالة ن= 1 إذن أ = مهو عدد صحيح. وهذا يثير بعض الافتراضات المضللة. أولاً، يبدو أن هناك أعدادًا منطقية أكثر من الأعداد الصحيحة، لكن في الواقع يوجد كلاهما عد الارقام. ثانيا، ينشأ افتراض أن هذه الأرقام يمكن أن تقيس بدقة أي مسافة في الفضاء. في الواقع، هذا هو ما يستخدم ل أرقام حقيقيةالأرقام العقلانية ليست كافية لهذا الغرض.
أنواع الكسور
الكسر الذي يكون معامل البسط فيه أقل من معامل المقام يسمى كسرا حقيقيا. الكسر الذي ليس كسرًا حقيقيًا يسمى كسرًا غير حقيقي.
على سبيل المثال، الكسور 3/5 و7/8 و1/2 هي كسور صحيحة، في حين أن 8/3 و9/5 و2/1 و1/1 هي كسور غير حقيقية. يمكن تمثيل كل عدد صحيح ككسر غير حقيقي مقامه 1.
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/178830/image015.png)
الكسر المكتوب كعدد صحيح وكسر حقيقي يسمى كسرًا مختلطًا ويُفهم على أنه مجموع هذا الرقم والكسر. على سبيل المثال، . في الأدبيات الرياضية الصارمة، يفضلون عدم استخدام هذا الترميز بسبب تشابه تدوين الكسر المختلط مع تدوين منتج عدد صحيح وكسر.
على الرغم من حقيقة أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد النسبية وحقيقة أننا لا نستطيع كتابة سوى أرقام ليست كبيرة بشكل لا نهائي، إلا أنه يمكننا الافتراض أنه يمكننا كتابة أي عدد نسبي بالطريقة الموضحة أعلاه، لأنه من الواضح أن أي رقم نسبي ليس كذلك لانهائي وكتابته سوف تحتوي على عدد محدود من الحروف.
ارتفاع النار
ارتفاع الكسر العادي هو معامل مجموع بسط ومقام هذا الكسر. ارتفاع الرقم العقلاني هو معامل مجموع البسط والمقام للكسر العادي غير القابل للاختزال المقابل لهذا الرقم.
على سبيل المثال، ارتفاع الكسر (-15/6) هو 15 + 6 = 21. ارتفاع الرقم النسبي المقابل هو 5 + 2 = 7، نظرًا لأن الكسر يُلغى بمقدار 3.
ونتيجة لذلك، فإن مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة قابلة للعد. الكسر العدد العقلاني العدد غير العقلاني
هذه المجموعة لها خاصية الاستمرارية. وهذا يعني أنه بين أي أرقام غير متساوية، يمكنك العثور على رقم ثالث لا يساوي الرقم السابق. علاوة على ذلك، يمكن فتح قسم من الأعداد النسبية مقسم إلى نصفين على طول أحد حدود هذا القسم أو كليهما.
مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة أبيلية لعمليات "الجمع" و"الضرب" بشكل منفصل.
مجموعة الأعداد النسبية هي مجال لعمليات "الجمع" و"الضرب".
تعريف رسمي
رسميا، يتم تعريف الأرقام العقلانية على أنها مجموعة فئات التكافؤ من الأزواج (( م, ن) | م؟ ض، ن؟ ن) بواسطة علاقة التكافؤ (م, ن) ~ (م", ن")، لو م ن" = م" ن. وفي هذه الحالة يتم تعريف عمليتي الجمع والضرب على النحو التالي:
- (م 1 , ن 1) + (م 2 , ن 2) = (م 1 , ن 2 + م 2 , ن 1 , ن 1 ن 2),
- (م 1 , ن 1) (م 2 , ن 2) = (م 1 م 2 , ن 1 ن 2).
خصائص الأعداد النسبية
الأرقام العقلانية تلبي ستة عشر أساسية ملكياتوالتي يمكن الحصول عليها بسهولة من الخصائص الأعداد الصحيحة.
- 1. الانتظام. بالنسبة لأي أرقام منطقية a وb، هناك قاعدة تسمح لك بتحديد علاقة واحدة فقط من العلاقات الثلاثة بينهما: "
- ?أ, ب؟ س: أب؟ بأ؟ أ = ب
- 2. انتقالية العلاقة النظامية. بالنسبة لأي ثلاثية من الأعداد النسبية a وb وc، إذا كانت a أقل من b وb أقل من c، فإن a أقل من c، وإذا كان a يساوي b وb يساوي c، فإن a يساوي إلى ج.
- ?س, ذ, ض؟ س:( سذ) ؟ ( ذض)> سض (متعدية النظام)؛
- 3. عملية الإضافة. بالنسبة لأي أرقام نسبية a وb، هناك ما يسمى بقاعدة الجمع، والتي تربطهم بعدد نسبي معين c. في هذه الحالة، يسمى الرقم ج نفسه مجموع الأرقام أ و ب ويشار إليه (أ + ب)، وتسمى عملية العثور على مثل هذا الرقم بالجمع. قاعدة الجمع لها الشكل التالي: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 n2 + m2 n1)/(n1 n2).
- ?أ, ب؟ س: ؟( أ + ب) ؟ س
- 4. إبدالية الإضافة. تغيير مواضع الحدود العقلانية لا يغير المجموع.
- (?س, ذ؟ س):( س + ذ) = (ذ + س)
- 5. ترابط الإضافة. الترتيب الذي يتم به إضافة ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
- (?س, ذ, ض؟ س):( س + ذ) + ض = س + (ذ + ض)
- 6. وجود الصفر. هناك رقم منطقي 0 يحافظ على كل الأرقام المنطقية الأخرى عند إضافتها.
- (?0؟ س) (؟ س؟ س) :( س + 0 = س)
- 7. وجود أرقام متضادة. أي رقم نسبي له رقم نسبي معاكس، والذي عند إضافته يعطي 0.
- (?س, ذ؟ س) ؟(- س؟ س):( س + (-س) = 0).
- 8. ربط علاقة الأمر بعملية الإضافة. يمكن إضافة نفس العدد النسبي إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة المنطقية.
- ?س, ذ, ض؟ س:( سذ) > ( س + ض) ذ + ض
- 9. عملية الضرب. بالنسبة لأي أرقام منطقية a وb، هناك ما يسمى بقاعدة الضرب، والتي تربطهم بعدد منطقي معين c. في هذه الحالة، يسمى الرقم ج نفسه منتج الأرقام أ و ب ويشار إليه (أ · ب)، وتسمى عملية العثور على مثل هذا الرقم أيضا بالضرب. قاعدة الضرب هي كما يلي:ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.
- ?أ, ب?س: ?( أ · ب) ؟ س
- 10. إبدال الضرب. تغيير أماكن العوامل العقلانية لا يغير المنتج.
- ?س, ذ؟ س:( س ذ) = (ذ س);
- 11. ترابط الضرب. الترتيب الذي يتم به ضرب ثلاثة أرقام منطقية لا يؤثر على النتيجة.
- ?س, ذ, ض؟ س:( س ذ) ض = س (ذ ض);
- 12. توفر الوحدة. هناك رقم نسبي 1 يحافظ على كل الأعداد النسبية الأخرى عند ضربها.
- ?1? س(0): ؟ س؟ س: س 1 = س;
- 13. وجود أرقام متبادلة. أي رقم نسبي له رقم نسبي معكوس، والذي عند ضربه يعطي 1.
- ?س؟ س(0):؟ س- 1: س س- 1 = 1.
- 14. ربط علاقة الترتيب بعملية الضرب. يمكن ضرب الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة المنطقية في نفس العدد المنطقي الموجب.
- ?س, ذ, ض؟ س:( سذ) ؟ ( ض > 0) > ذ ضس ض
- 15. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع. يتم تنسيق عملية الضرب مع عملية الجمع من خلال قانون التوزيع:
- (?س, ذ, ض؟ س:( س + ذ) ض = س ض + ذ ض
- 16. بديهية أرخميدس. مهما كان العدد النسبي a، يمكنك أن تأخذ عددًا كبيرًا من الوحدات بحيث يتجاوز مجموعها a.
?أ؟ س؟ ن؟ ن: > أ
خصائص إضافية
لا يتم تمييز جميع الخصائص الأخرى المتأصلة في الأعداد النسبية على أنها خصائص أساسية، لأنها، بشكل عام، لم تعد تعتمد بشكل مباشر على خصائص الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إثباتها بناءً على الخصائص الأساسية المعطاة أو مباشرة عن طريق تعريف بعض الأشياء الرياضية . هناك الكثير من هذه الخصائص الإضافية. ومن المنطقي أن نذكر هنا القليل منها فقط.
العلاقة من الدرجة الثانية ">" هي أيضًا علاقة متعدية.
?س, ذ, ض؟ س:( س > ذ) ? (ذ > ض)> س > ض(عبورية النظام)؛
حاصل ضرب أي عدد نسبي مع صفر يساوي صفرًا.
?س؟ س: س· 0 = 0؛
لا يوجد مقسومات صفر.
يمكن إضافة المتباينات العقلانية لنفس العلامة مصطلحًا تلو الآخر.
?أ, ب, ج, د؟ س: أ > ب ? ج > د > أ + ج > ب + د
مجموعة الأعداد النسبية Q هي مجال(يسمى، المجال الخاصحلقات الأعداد الصحيحة Z) فيما يتعلق بعمليات جمع وضرب الكسور.
كل عدد منطقي هو جبري.
توفر الرياضيات، بسبب خصوصيتها، فرصا كبيرة للمعلمين من حيث تنمية تفكير الأطفال. يمكنك تطوير تفكير الطلاب عند دراسة أي موضوع رياضي تقريبًا. لقد استقرينا على النظر في الكسور والكسور، وهذا ما حدد اختيار موضوع بحثنا: "تنمية تفكير تلاميذ المدارس الابتدائية في عملية العمل التمهيدي لدراسة الكسور".
منذ سن ما قبل المدرسة، يعمل الطفل بالأعداد الطبيعية، إما بعد الأشياء أو بعد العديد من أصابع يديه. المفهوم الرئيسي عند تقديم مفهوم مجموعة الأعداد الطبيعية نهي العلاقة ، والذي يتم تحديده من خلال بديهيات بيانو التالية.
اكسيوم 1. بوفرة نهناك عنصر لا يتبع مباشرة أي عنصر من هذه المجموعة، ويسمى واحد ويشار إليه بالرمز 1.
اكسيوم 2.لكل عنصر صمجموعات ن،هناك عنصر واحد فقط ( ن+1)، متابعة فورية ص.
اكسيوم 3.لكل عنصر صمن نيوجد عنصر واحد على الأكثر ( ص-1)، والذي يتبعه مباشرة ص.
اكسيوم 4.أي مجموعة فرعية رمجموعات نيتزامن مع نإذا توافرت له الخصائص التالية: 1) 1 ورد فيه ر; 2) من حقيقة ذلك صالواردة في ر، إنه يتبع هذا ( ن+1)الواردة في ر.
استنادا إلى بديهيات بيانو، نقوم بصياغة تعريف مجموعة الأعداد الطبيعية.
تعريف. مجموعة من ن،التي تلبي عناصرها البديهيات 1-4، أي. هم في علاقة "متابعة مباشرة"، مُسَمًّى مجموعة الأعداد الطبيعية,وعناصرها أعداد طبيعية.
توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية نيكون مجموعة من الأعداد الصحيحة Z,وهو اتحاد الأعداد الطبيعية، العدد صفر والأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية.
امتداد مجموعة الأعداد الصحيحة هو مجموعة من الأعداد النسبية س،وهو مزيج من الأعداد الصحيحة والكسرية. مجموعة جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها ككسر غير قابل للاختزال م / ن، أين ميمكن أن يكون أي عدد صحيح (باستثناء الصفر)، أي. مÎ ض،أ ن -العدد الطبيعي، أي نÎ ن،تشكل مجموعة الأعداد النسبية . يمكن كتابة أي رقم نسبي ككسر عشري دوري لا نهائي، وعلى العكس من ذلك، فإن أي كسر عشري دوري لا نهائي هو رقم نسبي.
هناك أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر غير قابل للاختزال، أي. لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية. هذه الأرقام هي مجموعة الأعداد غير النسبية I، يمكن تمثيلها ككسر عشري غير دوري لا نهائي. على سبيل المثال، يجب التعبير عن الطول القطري للمربع الذي طول ضلعه 1 برقم موجب ص 2=1 2 +1 2 (حسب نظرية فيثاغورس)، أي. مثل ذلك ص 2=2. رقم صلا يمكن أن يكون عددًا صحيحًا، 1 2 = 1، 2 2 = 4، إلخ. رقم صلا يمكن أن يكون كسريًا: إذا ص = م / نهو كسر غير قابل للاختزال، حيث n¹1، ثم r 2 =m 2 /n 2 سيكون أيضًا كسرًا غير قابل للاختزال، حيث n 2 ¹ 1؛ هذا يعني أن m 2 /n 2 ليس عددًا صحيحًا، وبالتالي لا يمكن أن يساوي 2. لذلك، يتم التعبير عن طول قطر المربع برقم غير نسبي، ويشار إليه بـ . وبالمثل، لا يوجد عدد نسبي مربعه 5، 7، 10. يتم الإشارة إلى الأعداد غير النسبية المقابلة بالرمز , , . الأعداد المقابلة لها هي أيضًا غير منطقية، ويُشار إليها بـ - ، - ، - .
مجموعة الأعداد غير المنطقية لا نهائية. على سبيل المثال، الرقم p، الذي يعبر عن نسبة المحيط إلى القطر، لا يمكن تمثيله ككسر عادي - فهو رقم غير نسبي.
تسمى المجموعة التي عناصرها أعداد نسبية وغير نسبية مجموعة من الأعداد الحقيقيةويتم تحديده بالحرف ر.كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على خط الإحداثيات. كل نقطة على خط الإحداثيات تقابل رقمًا حقيقيًا واحدًا. وتسمى أيضًا مجموعة الأعداد الحقيقية رقم الخط.
لقد درسنا عملية توسيع مفهوم العدد من الطبيعي إلى الحقيقي، والذي ارتبط باحتياجات الممارسة واحتياجات الرياضيات نفسها. أدت الحاجة إلى إجراء القسمة من الأعداد الطبيعية إلى مفهوم الأعداد الكسرية الموجبة؛ ثم أدت عملية الطرح إلى مفاهيم الأعداد السالبة والصفر؛ علاوة على ذلك، الحاجة إلى استخراج الجذور من الأعداد الموجبة - لمفهوم العدد غير العقلاني. المجموعة التي تكون كل هذه العمليات ممكنة عليها هي مجموعة الأعداد الحقيقية، ولكن ليست كل العمليات ممكنة على هذه المجموعة. على سبيل المثال، ليس من الممكن استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب أو حل المعادلة التربيعية x 2 + x + 1 = 0. وهذا يعني أن هناك حاجة لتوسيع مجموعة الأعداد الحقيقية.
دعونا ندخل رقما أنا، مثل ذلك ط 2= - 1. سيسمح لك هذا الرقم باستخراج الجذور من الأعداد السالبة. إذن، امتداد مجموعة الأعداد الحقيقية هو مجموعة من الأعداد المركبة، وهو ما يُشار إليه بالحرف مع. وسنتعرف على مجموعة الأعداد المركبة بالتفصيل لاحقاً.
سوف نستخدم الرموز التالية:
ن- مجموعة من الأعداد الطبيعية.
ز- مجموعة من الأعداد الصحيحة.
س- تعيين الأرقام المنطقية،
ر- مجموعة من الأعداد الحقيقية
مع- مجموعة من الأعداد المركبة.
الامتداد الأول لمفهوم العدد الذي يتعلمه الطلاب بعد التعرف على الأعداد الطبيعية هو إضافة الصفر. يحدث هذا حتى في المدرسة الابتدائية.
أولا، "O" هي علامة تشير إلى عدم وجود رقم. لماذا لا تستطيع القسمة على صفر؟
والتقسيم يعني العثور على مثل هذا X ، ماذا: س-0 = أ. هناك نوعان من الحالات الممكنة:
1) أ * العاشر: المديرية العامة-0 * 0. هذا مستحيل؛
2) أ = 0، لذلك نحن بحاجة إلى العثور عليها xg. س-0 = 0. مثل X بقدر ما تريد، وهو ما يتناقض مع شرط أن تكون كل عملية حسابية فريدة من نوعها:
هناك كتب مدرسية تعتبر فيها قوانين العمل الأساسية عادلة دون المبررات اللازمة.
في دورة الرياضيات للصف الخامس والسادس، يتم بناء مجموعة الأعداد النسبية. تجدر الإشارة إلى أن تسلسل ملحقات المجموعة ليس فريدًا. الخيارات الممكنة:
![](https://i0.wp.com/studme.org/htm/img/16/3319/59.png)
يتم تقديم المفهوم الأولي للرقم الكسري بالفعل في المدرسة الابتدائية على شكل عدة كسور من الوحدة.
في المدرسة الأساسية، عادة ما يتم تقديم الكسور والإجراءات المتعلقة بها من خلال طريقة المشكلات الملائمة، التي اخترعها S. I. Shokhor-Trotsky، على سبيل المثال، عند النظر في المشكلة التالية.
- 1 كجم من السكر المحبب يكلف 15 روبل. كم تكلفة 4 كجم من الرمال؟ 5 كجم؟
- - كلغ؟
يمكن للطلاب ضرب 15 في 4، أو في 5، وعليهم الآن إيجاد العدد
من 15. يمكن للطلاب القسمة على 3 من خلال إيجاد تكلفة الكسر الواحد من 3.
كيلوغرام، واضرب في 2 لتحديد تكلفة سهمين من هذا القبيل. وبما أنه من المعقول حل نفس المشكلة باستخدام نفس العملية الحسابية، فقد توصلوا إلى نتيجة مفادها أن هاتين العمليتين المتتاليتين تعادل ضرب 15 في -.
عند إدخال الأعداد الكسرية ينصح بمراعاة تجربة الطلاب والاعتماد عليها. يواجه الطلاب الكسور في الموسيقى. والكسور الأكثر شيوعاً فيها هي: ربعان، ثلاثة أرباع، وترجمتها إلى اللغة الرياضية: ربعان، ثلاثة أرباع. يشير الرقم العلوي إلى عدد الضربات لكل قياس: اثنان أو ثلاثة. يشير الرقم السفلي إلى مدة هذه النبضة. وفي حالتنا هو الربع. صوت المسيرات والبولكا في ربعين من الزمن. في ثلاثة أرباع الوقت تكون رقصة الفالس. ستساعد هذه الذكريات الطلاب على ربط المعرفة الجديدة بتجاربهم، وهو أمر ضروري لتحقيق الفهم.
عند دراسة تصرفات المرحلة الثانية، يوصى بترتيب حالات الضرب المختلفة بكسر مناسب من أجل زيادة الصعوبة: 1) الضرب بعدد صحيح؛ 2) ضرب عدد صحيح في عدد كسري. 3) ضرب الكسر في عدد مختلط؛ 4) الضرب بكسر مناسب. 5) الضرب في كسر يكون بسطه مساويا للمقام.
لإظهار هذا الرقم عند قسمته على كسر مناسب
يتم تحديده، يمكننا النظر في الحالة التالية: 6: -.
تم قطع ست دوائر إلى أربعة أجزاء، وبطبيعة الحال، كان هناك أجزاء أكثر من الدوائر.
ولتقديم حالات معقدة، تم اقتراح مسألة حساب مساحة المستطيل.
هناك إيجابيات وسلبيات لأي تسلسل لكسور التعلم.
إذا تم تقديم الكسور العشرية قبل الكسور العادية، فإن الإيجابي هو أن:
- يمكن إدخال الكسور العشرية عند النظر في نظام الترقيم العشري للأعداد الصحيحة الموجبة (وحدة الرقم الأول بعد العلامة العشرية هي أعشار الوحدة، والرقم التالي هو أجزاء من المئات...)؛
- جميع العمليات الحسابية أسهل في تنفيذها للكسور العشرية؛
- لها تطبيق عملي أكبر من تلك العادية.
السلبية هي أنه بالنسبة للكسور العادية كلها
يجب إعادة بناء نظرية الكسور، لأنه من المستحيل استخلاص استنتاجات عامة من حالة معينة.
إذا تم إدخال الكسور العادية قبل الكسور العشرية، فيجب مراعاة ما يلي:
- الكسور العشرية هي حالة خاصة من الكسور العادية، وبالتالي فإن جميع قواعد العمل هي عواقب؛
- إجراءات المرحلة الثانية للكسور العشرية كمجموعة من الوحدات الرقمية الجديدة (لإجراءات المرحلة الأولى) مستحيلة؛
- الإجراءات على بعض الأشياء العادية أبسط (المرحلة الثانية)؛
- الخاصية الرئيسية للكسر فقط على أساس المفهوم العام للكسر.
يتم استخدام تقنيات مختلفة لتقديم الأرقام السالبة.
وبالتالي، لتوفير الدافع، يمكن استخدام موقف مشكلة قريب من تجربة الطفل.
روبن هود، الفارين من مطارده، سبح في النهر أكم، ولكن عندما وجد نفسه أمام فورد، اضطر للسباحة في النهر والسباحة بكم. وأين انتهى به الأمر منذ بداية رحلته (على أي مسافة من مدخل النهر)؟ بعد كتابة عبارة لإيجاد المجهول: س = أ - ب صفمن الضروري النظر في جميع العلاقات الممكنة بين aik
1) أ> ك، 2) أ = ب؛ 3) لكن مستحيل.
يمكن أيضًا إدخال الأرقام السالبة:
- من خلال النظر في الكميات التي لها معاني معاكسة (أ.ب. كيسيليف)؛
- عند النظر في خصائص التغيرات (الزيادة والنقصان) في الكميات؛
- بناءً على التمثيلات الرسومية، والأرقام السالبة كعلامات للنقاط على المحور (V. L. Goncharov)؛
- من خلال مشكلة تغيير منسوب المياه في النهر لمدة يومين (D.K. Faddeev و I.S Sominsky): أثناء هطول الأمطار الغزيرة، ارتفع منسوب المياه في النهر بمقدار أ سم خلال النهار. خلال الـ 24 ساعة التالية، انخفض مستوى المياه ب سم كم سيكون مستوى الماء بعد يومين؟ (أ - ب)؛
- عند تصوير المسافات على مقياس درجة الحرارة (A. N. Barsukov).
يمكن أيضًا استخدام هذه التقنيات كأحد جوانب التحفيز. جانب آخر هو عدم القدرة على القيام بأي إجراء كما في المهمة أعلاه.
من خلال إدخال المقارنة والعمليات على الأعداد النسبية وخصائص الأفعال، حصلنا على حقل رقم. ولم يعد من الممكن أن يملي توسعها الإضافي الفشل في اتخاذ الإجراءات اللازمة. إن التوسع في مفهوم العدد كان سببه اعتبارات هندسية، وهي: عدم وجود تطابق واحد لواحد بين مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة النقاط على خط الأعداد. بالنسبة للهندسة، من الضروري أن تحتوي كل نقطة على خط الأعداد على قاطع، أي. بحيث يتوافق كل مقطع بوحدة قياس معينة مع رقم يمكن اعتباره طوله.
كما أن الحاجة إلى هذا الامتداد ترجع أيضًا إلى استحالة استخراج جذر عدد موجب وإيجاد لوغاريتم أي رقم موجب لأي قاعدة موجبة. يتم تحقيق هذا الهدف بعد أن يخضع مجال الأعداد النسبية (عن طريق إضافة نظام من الأعداد غير المنطقية إليه) للتوسع إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.
أرقام عقلانية إيجابية.
المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر.
علامات قابلية القسمة.
مجموعة المعنى النظري للفرق.
مجموعة المعنى النظري للمجموع.
أسئلة للندوة
1. من تاريخ ظهور مفهوم العدد الطبيعي.
2. الأعداد الطبيعية الترتيبية والكاردينالية. يفحص.
3. المعنى النظري للعدد الطبيعي الأساسي والصفر.
4. المعنى النظري للعلاقة "أقل" و"متساوي"
6. قوانين الجمع.
8. العلاقات "أكثر" و"أقل".
9. قواعد طرح رقم من مجموع ومجموع من رقم.
10. من تاريخ ظهور وتطور طرق كتابة الأعداد الطبيعية والصفر.
11. مفهوم نظام الأعداد.
12. أنظمة الأعداد الموضعية وغير الموضعية.
13. كتابة وتسمية الأعداد بنظام الأعداد العشرية.
14. الجمع في نظام الأعداد العشرية.
15. الضرب في نظام الأعداد العشرية
16. ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية.
17. الطرح في نظام الأعداد العشرية.
18. القسمة في نظام الأعداد العشرية.
19. مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة.
20. علاقة القسمة وخصائصها.
23. الأعداد الأولية. طرق إيجاد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر للأعداد.
24. مفهوم الكسر.
27. كتابة الأعداد النسبية الموجبة على هيئة أعداد عشرية.
28. الأعداد الحقيقية.
الوحدة 4. الأشكال الهندسية والكميات
ومن المعروف أن الأعداد نشأت من الحاجة إلى العد والقياس، ولكن إذا كانت الأعداد الطبيعية كافية للعد، فإن هناك حاجة إلى أرقام أخرى لقياس الكميات. ومع ذلك، فإننا سوف نأخذ في الاعتبار الأعداد الطبيعية فقط كنتيجة لقياس الكميات. بعد تحديد معنى العدد الطبيعي كمقياس للحجم، سنكتشف معنى العمليات الحسابية على هذه الأعداد. يحتاج معلم المدرسة الابتدائية إلى هذه المعرفة ليس فقط لتبرير اختيار الإجراءات عند حل المشكلات بالكميات، ولكن أيضًا لفهم نهج آخر لتفسير الأعداد الطبيعية الموجودة في تدريس الرياضيات الابتدائية.
سنتناول العدد الطبيعي فيما يتعلق بقياسات الكميات العددية الموجبة - الأطوال والمساحات والكتل والزمن وما إلى ذلك، لذلك قبل الحديث عن العلاقة بين الكميات والأعداد الطبيعية، دعونا نتذكر بعض الحقائق المتعلقة بالحجم والقياس خاصة وأن مفهوم الكمية مع العدد أساسي في مقرر الرياضيات الأولي.
في السنوات الأخيرة، كان هناك اتجاه لإدراج كمية كبيرة من المواد الهندسية في دورة الرياضيات الأولية. ولكن لكي يتمكن المعلم من تعريف الطلاب بأشكال هندسية مختلفة (المستوى والفضاء)، وتعليمهم كيفية تصوير الأشكال الهندسية بشكل صحيح، فإنه يحتاج إلى تدريب رياضي مناسب. بالطبع، هناك حاجة إلى معرفة تاريخ ظهور وتطور الهندسة، لأن الطالب في عملية تطوير المفاهيم الهندسية يمر بشكل مكثف بالمراحل الرئيسية لإنشاء العلوم الهندسية. ويجب أن يكون المعلم على دراية بالأفكار الرائدة في مقرر الهندسة، وأن يعرف الخصائص الأساسية للأشكال الهندسية، وأن يكون قادراً على بنائها.
ستساعد المواد الموجودة في هذه الوحدة المعلم على إتقان هذه المادة. مع الأخذ في الاعتبار الإعداد الذي تلقاه الطلاب في دورة الرياضيات المدرسية، فإنه يقدم المواد الهندسية اللازمة لتعليم تلاميذ المدارس الابتدائية عناصر الهندسة.
يجب أن يكون الطالب قادرا على:
توضيح بأمثلة من كتب الرياضيات المدرسية في المدرسة الابتدائية تعريف الأعداد الطبيعية والعمليات على الأعداد نتيجة لقياس الكميات؛
حل مسائل البناء الأولية باستخدام البوصلة والمسطرة بالقدر الذي يحدده محتوى التدريب؛
حل المسائل البسيطة التي تتضمن إثبات وحساب القيم العددية للأشكال الهندسية؛
ارسم منشورًا ومتوازي مستطيلات وهرمًا وأسطوانة ومخروطًا وكرة على مستوى باستخدام قواعد التصميم.
محاضرة رقم 19
الرياضيات
مقدمة
2. مفهوم الكسر
6. الأعداد الحقيقية
مقدمة
مفهوم الكسر
في تدوين الكسر
الكسر - يسمى صحيح ، إذا كان بسطه أقل من مقامه، و خطأ إذا كان بسطه أكبر من أو يساوي المقام.
دعنا نعود إلى الشكل 2، حيث يظهر أن الجزء الرابع من القطعة e يتناسب مع القطعة x بالضبط 14 مرة. من الواضح أن هذا ليس هو الخيار الوحيد لاختيار جزء من المقطع e الذي يتناسب مع المقطع d: عدد صحيح من المرات. يمكنك أن تأخذ الجزء الثامن من القطعة e، ثم القطعة d: ستتكون من 28
يوجد 28 جزءًا من هذا القبيل وسيتم التعبير عن طوله ككسر.
يمكنك أن تأخذ الجزء السادس عشر من المقطع e، ثم يتكون المقطع x من 56 جزءًا وسيتم التعبير عن طوله ككسر.
بشكل عام، يمكن التعبير عن طول نفس القطعة x لقطعة وحدة معينة e بكسور مختلفة، وإذا تم التعبير عن الطول بكسر ، فيمكن التعبير عنها بأي جزء من النموذج، حيث k هو عدد طبيعي.
نظرية. لعمل الكسور ويعبر عن طول نفس القطعة، فمن الضروري والكافي أن تكون المساواة mq = nР ثابتة.
نحذف إثبات هذه النظرية.
تعريف. كسرين وتسمى متساوية إذا كان mq = np.
إذا كانت الكسور متساوية، فاكتب = .
على سبيل المثال، = ، بما أن 17 21 = 119 3 = 357، و ≠ ، لأن 17 27 = 459، 19 23 = 437 و 459≠437.
من النظرية والتعريف المذكورين أعلاه، يترتب على ذلك أن الكسرين متساويان إذا وفقط إذا كانا يعبران عن طول نفس القطعة.
نحن نعلم أن علاقة تساوي الكسور هي علاقة انعكاسية ومتماثلة ومتعدية، أي. هي علاقة التكافؤ. والآن، باستخدام تعريف الكسور المتساوية، يمكن إثبات ذلك.
نظرية. مساواة الكسور هي علاقة تكافؤ.
دليل. في الواقع، المساواة بين الكسور هي انعكاسية: = حيث أن المساواة mn = mn صحيحة لأي نوع من الأعداد الطبيعية. مساواة الكسور متناظرة: إذا = ثم = ، لأنه من mq = nσ يترتب على ذلك أن Р n = qm (m، n، p، q N). وهي متعدية: إذا = و = إذن = . في الواقع، منذ ذلك الحين =، ثم mq = nР، ومنذ =، ثم ps = qr. بضرب طرفي المساواة mq = nσ في s، والمساواة Рs = qr في n، نحصل على mqs = nps وnps = qrs. حيث mqs = qrn أو ms = nr. المساواة الأخيرة تعني ذلك = . إذن، مساواة الكسور هي علاقة انعكاسية ومتماثلة ومتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ.
الخاصية الأساسية للكسر تأتي من تعريف الكسور المتساوية. دعونا نذكره.
إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي، فستحصل على كسر مساوٍ للكسر المعطى.
تعتمد هذه الخاصية على تقليل الكسور وتقريب الكسور إلى قاسم مشترك.
تقليل الكسور هو استبدال كسر معين بآخر يساوي الكسر المعطى، ولكن ببسط ومقام أصغر.
إذا كان بسط ومقام الكسر قابلين للقسمة على واحد فقط في نفس الوقت، فإن الكسر يسمى غير قابل للاختزال. على سبيل المثال، - جزء غير قابل للاختزال، حيث أن البسط والمقام قابلان للقسمة في نفس الوقت على واحد فقط، أي. د(5، 17) =1.
إن اختزال الكسور إلى مقام مشترك هو استبدال الكسور المعطاة بكسور متساوية لها نفس المقامات. القاسم المشترك بين كسرين وهو المضاعف المشترك لـ n و q، والمقام المشترك الأصغر هو المضاعف الأصغر لـ K(n, q).
مهمة. تقليل إلى أدنى قاسم مشترك و .
حل. دعونا نحلل الرقمين 15 و35 إلى عوامل أولية: 15 = 3·5، 35 = 5·7. ثم K(15, 35) = 3·5·7 = 105. بما أن 105= 15·7 = 35·3، إذن = = , = = .
أرقام حقيقية
أحد مصادر ظهور الكسور العشرية هو تقسيم الأعداد الطبيعية، والآخر هو قياس الكميات. لنكتشف، على سبيل المثال، كيف يمكن الحصول على الكسور العشرية عند قياس طول القطعة.
اجعل x هو القطعة التي سيتم قياس طولها، ودع e هو قطعة الوحدة. دع طول المقطع x يُشار إليه بالحرف X، وطول المقطع e بالحرف E. دع المقطع x يتكون من مقاطع n تساوي e وقطعة x 1، وهي أقصر من المقطع e (الشكل 3)، أي.
ن·ه< X < (n + 1) ·Е. Числа n и n+ 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.
للحصول على الإجابة بدقة أكبر، لنأخذ القطعة e 1 - عُشر القطعة e ونضعها في القطعة x 1. في هذه الحالة، هناك حالتان ممكنتان.
1) القطعة e 1 تتناسب مع القطعة x 1 بالضبط n مرات. ثم يتم التعبير عن طول القطعة x ككسر عشري محدود:
X = ·E= ·E. على سبيل المثال، X = 3.4 E.
2) تبين أن القطعة x 1 تتكون من قطع n تساوي e 1، وقطعة x 2، وهي أقصر من القطعة e 1. ثم إي<Х ·Е, где и
القيم التقريبية لطول المقطع x مع النقص والزائدة بدقة 0.1.
من الواضح أنه في الحالة الثانية يمكن مواصلة عملية قياس طول المقطع x بأخذ قطعة وحدة جديدة e 2 - الجزء المائة من المقطع e.
ومن الناحية العملية، ستنتهي عملية قياس طول المقطع في مرحلة ما. وستكون نتيجة قياس طول القطعة إما عددًا طبيعيًا أو كسرًا عشريًا منتهيًا. إذا تخيلنا هذه العملية لقياس طول القطعة بشكل مثالي (كما هو الحال في الرياضيات)، فمن المحتمل وجود نتيجتين:
1) في الخطوة k ستنتهي عملية القياس. ثم سيتم التعبير عن طول المقطع x ككسر عشري محدود من النموذج.
2) تستمر العملية الموصوفة لقياس طول المقطع x إلى أجل غير مسمى. ومن ثم يمكن تمثيل التقرير عنه بالرمز الذي يسمى الكسر العشري اللانهائي.
كيف يمكنك التأكد من أن النتيجة الثانية ممكنة؟ للقيام بذلك، يكفي قياس طول هذا الجزء الذي من المعروف أن طوله يتم التعبير عنه، على سبيل المثال، بالرقم العقلاني 5-. إذا اتضح أنه نتيجة لقياس طول هذا الجزء، يتم الحصول على كسر عشري محدود، فهذا يعني أنه يمكن تمثيل الرقم 5 ككسر عشري محدود، وهو أمر مستحيل: 5 = 5.666.. ..
لذلك، عند قياس أطوال المقاطع، يمكن الحصول على كسور عشرية لا نهاية لها. لكن هل هذه الكسور دورية دائمًا؟ الجواب على هذا السؤال هو سلبي؛ هناك أجزاء لا يمكن التعبير عن أطوالها ككسر دوري لا نهائي (أي رقم نسبي موجب) بوحدة الطول المختارة. كان هذا اكتشافًا كبيرًا في الرياضيات، والذي نتج عنه أن الأعداد النسبية ليست كافية لقياس أطوال القطع.
نظرية. إذا كانت وحدة الطول هي طول ضلع المربع، فلا يمكن التعبير عن طول قطر هذا المربع كرقم نسبي موجب.
دليل. لنعبر عن طول ضلع المربع بالرقم 1. لنفترض عكس ما يجب إثباته، أي أن طول قطر AC للمربع ABCD يتم التعبير عنه بكسر غير قابل للاختزال . ومن ثم، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن المساواة 1 2 +1 2 = ستظل قائمة. ويترتب على ذلك أن م 2 = 2 ع 2. هذا يعني أن m 2 هو رقم زوجي، ثم الرقم m هو زوجي (مربع الرقم الفردي لا يمكن أن يكون زوجي). إذن م = 2 ع. باستبدال الرقم m في المساواة m 2 = 2n 2 بـ 2p، نحصل على أن 4p 2 = 2n 2، أي. 2ع 2 = ن 2. ويترتب على ذلك أن n 2 زوجي، وبالتالي فإن n عدد زوجي. وبالتالي، فإن الأرقام m و n زوجية، مما يعني الكسر يمكن تخفيضها بمقدار 2، وهو ما يتعارض مع افتراض عدم قابليتها للاختزال. ويثبت التناقض الثابت أنه إذا كانت وحدة الطول هي طول ضلع المربع، فإن طول قطر هذا المربع لا يمكن التعبير عنه بعدد نسبي.
ويترتب على النظرية المثبتة أن هناك شرائح لا يمكن التعبير عن أطوالها كرقم موجب (بوحدة الطول المختارة)، أو بمعنى آخر، كتابتها في شكل كسر دوري لا نهائي. وهذا يعني أن الكسور العشرية اللانهائية التي يتم الحصول عليها عند قياس أطوال المقاطع يمكن أن تكون غير دورية.
من المعتقد أن الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية هي تمثيل لأرقام جديدة - أرقام غير منطقية موجبة. وبما أن مفاهيم العدد وترميزه يتم تحديدها في كثير من الأحيان، فإنهم يقولون إن الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية هي أرقام غير منطقية موجبة
لقد توصلنا إلى مفهوم العدد غير النسبي الموجب من خلال عملية قياس أطوال القطع. ولكن يمكن أيضًا الحصول على الأعداد غير النسبية عن طريق أخذ جذور بعض الأعداد النسبية. لذا،،،، هي أرقام غير عقلانية. Tan5، sin 31، الأعداد π = 3.14...، e = 2.7828... وغيرها غير منطقية أيضًا
يُشار إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية الموجبة بالرمز J +.
يُطلق على اتحاد مجموعتين من الأرقام: العقلاني الموجب والإيجابي غير العقلاني مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ويشار إليه بالرمز R +. وبالتالي، Q + J + = R + . باستخدام دوائر أويلر، تظهر هذه المجموعات في الشكل 4.
يمكن تمثيل أي عدد حقيقي موجب بكسر عشري لا نهائي - دوري (إذا كان عقلانيًا) أو غير دوري (إذا كان غير عقلاني).
العمليات على الأعداد الحقيقية الموجبة تختزل إلى العمليات على الأعداد النسبية الموجبة.
جمع وضرب الأعداد الحقيقية الموجبة له خصائص الإبدال والترابط، والضرب توزيعي بالنسبة إلى الجمع والطرح.
باستخدام الأعداد الحقيقية الموجبة، يمكنك التعبير عن نتيجة قياس أي كمية قياسية: الطول، المساحة، الكتلة، إلخ. ولكن في الممارسة العملية، غالبا ما يكون من الضروري التعبير عن عدد ليس نتيجة قياس الكمية، ولكن تغيرها. علاوة على ذلك، يمكن أن يحدث تغييره بطرق مختلفة - يمكن أن يزيد أو ينقص أو يظل دون تغيير. لذلك، من أجل التعبير عن التغير في الكمية، بالإضافة إلى الأرقام الحقيقية الموجبة، هناك حاجة إلى أرقام أخرى، ولهذا من الضروري توسيع المجموعة R + بإضافة الرقم 0 (صفر) والأرقام السالبة إليها.
محاضرة رقم 19
الرياضيات
الموضوع: "في مفكوك مجموعة الأعداد الطبيعية"
مقدمة
2. مفهوم الكسر
3. الأعداد العقلانية الإيجابية
4. مجموعة الأعداد النسبية الموجبة كامتداد لمجموعة الأعداد الطبيعية
5. كتابة الأعداد النسبية الموجبة على هيئة أعداد عشرية
6. الأعداد الحقيقية
مقدمة
تتضمن معظم تطبيقات الرياضيات قياس الكميات. ومع ذلك، لهذه الأغراض، فإن الأعداد الطبيعية ليست كافية: فوحدة الكمية لا تتناسب دائمًا مع عدد صحيح من المرات في الكمية التي يتم قياسها. ومن أجل التعبير بدقة عن نتيجة القياس في مثل هذه الحالة، من الضروري توسيع مخزون الأرقام بإدخال أرقام أخرى غير الأرقام الطبيعية. توصل الناس إلى هذا الاستنتاج في العصور القديمة: أدى قياس الأطوال والمساحات والكتل والكميات الأخرى أولاً إلى ظهور الأعداد الكسرية - فقد حصلوا على أرقام عقلانية، وفي القرن الخامس قبل الميلاد. وجد علماء الرياضيات من مدرسة فيثاغورس أن هناك أجزاء لا يمكن التعبير عن طولها، بالنظر إلى وحدة الطول المختارة، كرقم منطقي. في وقت لاحق، فيما يتعلق بحل هذه المشكلة، ظهرت أرقام غير عقلانية. تسمى الأرقام العقلانية وغير العقلانية بالأرقام الحقيقية. تم تقديم تعريف صارم للعدد الحقيقي وتبرير خصائصه في القرن التاسع عشر.
يمكن تصور العلاقات بين مجموعات مختلفة من الأرقام (N وZ وQ وR) باستخدام دوائر أويلر (الشكل 1).
الأرقام الحقيقية ليست الأخيرة في سلسلة من الأرقام المختلفة. تستمر العملية التي بدأت بتوسيع مجموعة الأعداد الطبيعية حتى يومنا هذا - وهذا يتطلب تطور العلوم المختلفة والرياضيات نفسها.
عادة ما يتم تعريف الطلاب على الأعداد الكسرية في الصفوف الابتدائية. يتم بعد ذلك تحسين مفهوم الكسر وتوسيعه في المدرسة المتوسطة. وفي هذا الصدد، يحتاج المعلم إلى إتقان مفهوم الكسور والأعداد النسبية، ومعرفة قواعد إجراء العمليات على الأعداد النسبية، وخصائص هذه الإجراءات. كل هذا ضروري ليس فقط لتقديم مفهوم الكسور بشكل صحيح رياضيًا وتعليم تلاميذ المدارس الأصغر سنًا كيفية إجراء العمليات معهم، ولكن أيضًا، وهو أمر لا يقل أهمية، لرؤية العلاقات بين مجموعات الأعداد العقلانية والحقيقية ومجموعة الأعداد الطبيعية . وبدون فهمهم، من المستحيل حل مشكلة الاستمرارية في تدريس الرياضيات في الصفوف الابتدائية واللاحقة من المدرسة.
دعونا نلاحظ خصوصية عرض المادة في هذه الفقرة، والتي ترجع إلى الحجم الصغير لدورة الرياضيات لمعلمي المدارس الابتدائية والغرض منها: سيتم تقديم المادة إلى حد كبير في شكل ملخص، غالبًا بدون أدلة صارمة؛ سيتم عرض المواد المتعلقة بالأرقام العقلانية بمزيد من التفصيل.
سيحدث توسيع المجموعة N من الأعداد الطبيعية بالتسلسل التالي: أولاً، يتم إنشاء المجموعة Q + من الأعداد النسبية الموجبة، ثم يظهر كيف يمكن توسيعها إلى المجموعة R+ من الأعداد الحقيقية الموجبة، وأخيرًا ، تم وصف توسيع المجموعة R+ إلى المجموعة R لجميع الأعداد الحقيقية بإيجاز شديد.
مفهوم الكسر
فليكن من الضروري قياس طول المقطع x باستخدام مقطع الوحدة e (الشكل 2). عند القياس تبين أن المقطع x يتكون من ثلاثة أجزاء تساوي e، وقطعة أقصر من القطعة e. وفي هذه الحالة، لا يمكن التعبير عن طول المقطع x كرقم طبيعي. ومع ذلك، إذا تم تقسيم القطعة e إلى 4 أجزاء متساوية، فإن القطعة x ستتكون من 14 قطعة تساوي الجزء الرابع من القطعة e.
وبعد ذلك، عند الحديث عن طول المقطع x، يجب أن نشير إلى رقمين 4 و 14: الجزء الرابع من المقطع e يناسب تمامًا 14 مرة في المقطع. ولذلك اتفقنا على كتابة طول القطعة x على الصورة ·E، حيث E هو طول قطعة الوحدة e، والرمز يسمى كسراً.
بشكل عام، يتم تعريف مفهوم الكسر على النحو التالي.
دع المقطع x وقطعة الوحدة e، طولهما E، إذا كان المقطع x يتكون من مقاطع m تساوي الجزء n من المقطع e، فيمكن تمثيل طول المقطع x في شكل ·E، حيث الرمز - يسمى كسرًا (ويقرأ "أم nth منها").
في تدوين الكسر الأرقام m و n هي أعداد طبيعية، m يسمى البسط، n هو مقام الكسر.