Valemid kaudselt määratletud funktsioonide eristamiseks. Kaudselt defineeritud funktsiooni tuletis
Väga sageli ilmnevad praktiliste ülesannete lahendamisel (näiteks kõrgemas geodeesias või analüütilises fotogrammeetrias) mitme muutuja keerukad funktsioonid ehk argumendid. x, y, z üks funktsioon f(x,y,z) ) on ise uute muutujate funktsioonid U, V, W ).
Nii juhtub see näiteks fikseeritud koordinaatsüsteemist liikudes Oxyz mobiilisüsteemile O 0 UVW ja tagasi. Sel juhul on oluline teada kõiki osatuletisi "fikseeritud" - "vana" ja "liikuva" - "uue" muutujate osas, kuna need osatuletised iseloomustavad tavaliselt objekti asukohta nendes koordinaatsüsteemides, ja eelkõige mõjutada aerofotode vastavust reaalsele objektile . Sellistel juhtudel kehtivad järgmised valemid:
See tähendab, et antud keeruline funktsioon T kolm "uut" muutujat U, V, W kolme "vana" muutuja kaudu x, y, z siis:
Kommenteeri. Muutujate arvus on võimalikud kõikumised. Näiteks: kui
Eelkõige siis, kui z = f(xy), y = y(x) , siis saame nn "kogutuletise" valemi:
Sama valem "kogutuletise" jaoks järgmistel juhtudel:
toimub järgmisel kujul:
Võimalikud on ka muud valemite (1.27) - (1.32) variatsioonid.
Märkus: "kogutuletise" valemit kasutatakse vedeliku liikumise põhivõrrandisüsteemi tuletamisel füüsika peatükis "Hüdrodünaamika".
Näide 1.10. Arvestades:
Vastavalt (1.31):
§7 Mitme muutuja kaudselt antud funktsiooni osatuletised
Nagu teate, defineeritakse ühe muutuja kaudselt määratletud funktsioon järgmiselt: sõltumatu muutuja funktsioon x nimetatakse kaudseks, kui see on antud võrrandiga, mille suhtes ei ole lahendatud y :
Näide 1.11.
Võrrand
määratleb kaudselt kaks funktsiooni:
Ja võrrand
ei määratle ühtegi funktsiooni.
Teoreem 1.2 (implitsiitse funktsiooni olemasolu).
Laske funktsioonil z \u003d f (x, y) ja selle osatuletised f" x ja f" y määratletud ja pidev mõnes naabruskonnas U M0 punktid M 0 (x 0 y 0 ) . Pealegi, f(x 0 ,y 0 )=0 ja f"(x 0 ,y 0 )≠0 , siis võrrand (1.33) määrab naabruses U M0 kaudne funktsioon y= y(x) , pidev ja mõnes intervallis diferentseeruv D keskendunud punktile x 0 ja y(x 0 )=y 0 .
Ilma tõendita.
Teoreemist 1.2 järeldub, et sellel intervallil D :
see tähendab, et sees on identiteet
kus "kogu" tuletis leitakse vastavalt (1.31)
See tähendab, et (1.35) annab valemi tuletise kaudseks leidmiseks antud funktsioonüks muutuja x .
Kahe või enama muutuja kaudne funktsioon on defineeritud sarnaselt.
Näiteks kui mõnes piirkonnas V ruumi Oxyz võrrand on täidetud:
siis teatud tingimustel funktsiooni F see määratleb kaudselt funktsiooni
Samal ajal leitakse analoogselt punktiga (1.35) selle osatuletised järgmiselt:
Näide 1.12. Eeldusel, et võrrand
defineerib kaudselt funktsiooni
leida z" x , z" y .
seetõttu saame (1.37) järgi vastuse.
§8 Teist ja kõrgemat järku osatuletised
Definitsioon 1.9 Funktsiooni teist järku osatuletised z=z(x,y) on määratletud järgmiselt:
Neid oli neli. Veelgi enam, teatud tingimustel funktsioonide kohta z(x,y) võrdsus kehtib:
Kommenteeri. Teist järku osatuletisi võib tähistada ka järgmiselt:
Definitsioon 1.10 Kolmandat järku osatuletised - kaheksa (2 3).
Funktsiooni Z= f(x; y) nimetatakse kaudseks, kui see on antud võrrandiga F(x, y, z)=0, mis on Z suhtes lahendamata. Leiame kaudselt antud funktsiooni Z osatuletised. Selleks asendades võrrandis Z asemel funktsiooni f (x; y), saame identiteedi F (x, y, f (x, y)) \u003d 0. Funktsiooni, mis on identselt võrdne nulliga, osatuletised x ja y suhtes on samuti võrdsed nulliga.
F(x, y, f(x, y)) =
=0 (y loetakse konstantseks)
F(x, y, f(x, y)) =
=0 (xarvesta konstanti)
Kus
ja
Näide: Leia võrrandis antud funktsiooni Z osatuletised
.
Siin F(x,y,z)=
;
;
;
. Vastavalt ülaltoodud valemitele on meil:
ja
Suunatuletis
Olgu kahe muutuja funktsioon Z = f(x; y) antud m naabruses M (x, y). Vaatleme mõnda ühikuvektoriga määratud suunda
, kus
(vt joonis).
Selles suunas punkti M läbival sirgel võtame punkti M 1 (
), nii et pikkus
segment MM 1 on võrdne
. Funktsiooni f(M) juurdekasvu määrab seos, kus
seotud suhetega. suhte piir juures
nimetatakse funktsiooni tuletiseks
punktis
poole ja olla määratud .
=
Kui funktsioon Z on punktis diferentseeruv
, siis selle juurdekasv selles punktis, võttes arvesse suhteid
saab kirjutada järgmisel kujul.
jagades mõlemad osad
ja üleminek piirini kl
saame funktsiooni Z \u003d f (x; y) tuletise valemi suunas:
Gradient
Vaatleme kolme muutuja funktsiooni
mingil hetkel eristuvad
.
Selle funktsiooni gradient
punktis M nimetatakse vektorit, mille koordinaadid on vastavalt võrdsed osatuletistega
sel hetkel. Gradiendi tähistamiseks kasutatav sümbol on
.
=
.
.Gradient näitab funktsiooni kiireima kasvu suunda antud punktis.
Kuna ühikvektor on koordinaadid (
), siis kirjutatakse kolme muutuja funktsiooni puhul suunatuletis kujul, s.o. on vektorite punktkorrutise valem ja
. Kirjutame viimase valemi ümber järgmiselt:
, kus - vektori vaheline nurk ja
. Kuna
, siis järeldub, et funktsiooni suunatuletis saab maksimaalse väärtuse at =0, st. kui vektorite suund ja
vaste. Kus
.St tegelikult iseloomustab funktsiooni gradient selle funktsiooni maksimaalse kasvukiiruse suunda ja suurust punktis.
Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum
Kahe muutuja funktsiooni max, min, ekstreemumi mõisted on sarnased ühe muutuja funktsiooni vastavate mõistetega. Olgu funktsioon Z = f(x; y) defineeritud mingis domeenis D jne. M
kuulub sellesse piirkonda. Punkt M
nimetatakse funktsiooni Z= f(x; y) punktiks max, kui punktil on selline δ-naabrus
, et iga selle naabruskonna punkti jaoks on ebavõrdsus
. Punkt min on defineeritud sarnaselt, sel juhul muutub ainult ebavõrdsuse märk
. Funktsiooni väärtust punktis max(min) nimetatakse maksimumiks (minimumiks). Funktsiooni maksimumi ja miinimumi nimetatakse äärmusteks.
Ekstreemumiks vajalikud ja piisavad tingimused
Teoreem:(Vajalikud ekstreemtingimused). Kui punktis M
diferentseeruval funktsioonil Z= f(x; y) on ekstreemum, siis on selle osatuletised selles punktis võrdsed nulliga:
,
.
Tõestus: fikseerides ühe muutujatest x või y, teisendame Z= f(x; y) ühe muutuja funktsiooniks, mille ekstreemumi korral peavad eeltoodud tingimused olema täidetud. Geomeetriliselt võrdne
ja
tähendab, et funktsiooni Z= f(x; y) ekstreempunktis on funktsiooni f(x, y)=Z esindava pinna puutujatasand paralleelne OXY tasapinnaga, sest puutujatasandi võrrand on Z=Z 0. Punkt, kus funktsiooni Z= f(x; y) esimest järku osatuletised on võrdsed nulliga, s.o.
,
, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum punktides, kus vähemalt üht osatuletist ei eksisteeri. Näiteks Z=|-
| on max väärtusel O(0,0), kuid sellel hetkel pole tuletisi.
Nimetatakse statsionaarseid punkte ja punkte, kus vähemalt ühte osatuletist ei eksisteeri kriitilised punktid. Kriitilistes punktides võib funktsioonil olla ekstreemum või mitte. Osatuletisi nulliga võrdsus on ekstreemumi olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus. Näiteks kui Z=xy, on punkt O(0,0) kriitiline. Funktsioonil Z=xy aga ekstreemumit sees ei ole. (Kuna veerandil I ja III Z>0 ning II ja IV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.
Teoreem: (Piisav seisund ekstreemi jaoks). Laske statsionaarses punktis
ja mõnes naabruses on funktsioonil f(x; y) pidevad osatuletised kuni 2. järku (kaasa arvatud). Arvutage punktis
väärtused
,
ja
. Tähistage
Kui
, ekstreemum punktis
võib olla või mitte. Vaja on rohkem uuringuid.
Õpime leidma tuletisi funktsioonidest, mis on antud kaudselt, st antud mõne võrrandiga, mis seostavad muutujaid üksteisega x ja y. Näited kaudselt määratletud funktsioonidest:
,
Implitsiitsete funktsioonide tuletisi või kaudsete funktsioonide tuletisi on üsna lihtne leida. Nüüd analüüsime vastavat reeglit ja näidet ning uurime siis, milleks seda üldse vaja on.
Implitsiitselt antud funktsiooni tuletise leidmiseks on vaja võrrandi mõlemat poolt x suhtes diferentseerida. Need liikmed, milles esineb ainult x, muutuvad funktsiooni x tavaliseks tuletiseks. Ja y-ga termineid tuleb diferentseerida, kasutades kompleksfunktsiooni diferentseerimisreeglit, kuna y on x-i funktsioon. Kui see on üsna lihtne, peaks termini tuletis koos x-ga välja tulema: funktsiooni tuletis y-st, korrutatuna y-st saadud tuletisega. Näiteks termini tuletis kirjutatakse kujul , termini tuletis kirjutatakse kujul . Lisaks on kõige selle põhjal vaja väljendada seda "y-tõmmet" ja saadakse kaudselt antud funktsiooni soovitud tuletis. Vaatame seda näitega.
Näide 1
Lahendus. Me eristame võrrandi mõlemad pooled x suhtes, eeldades, et y on x funktsioon:
Siit saame ülesandes nõutava tuletise:
Nüüd midagi kaudselt määratletud funktsioonide mitmetähendusliku omaduse kohta ja selle kohta, miks on nende eristamiseks vaja erireegleid. Mõnel juhul võite veenduda, et asendus antud võrrandis (vt ülaltoodud näiteid) selle avaldise y asemel x kaudu viib selleni, et see võrrand muutub identiteediks. Niisiis. ülaltoodud võrrand määratleb kaudselt järgmised funktsioonid:
Pärast avaldise y ruudus läbi x asendamist algsesse võrrandisse saame identiteedi:
.
Avaldised, mille me asendasime, saadi y võrrandi lahendamisel.
Kui peaksime eristama vastavat eksplitsiitset funktsiooni
siis saame vastuse nagu näites 1 – kaudselt määratud funktsioonist:
Kuid mitte iga kaudselt antud funktsiooni ei saa vormis esitada y = f(x) . Näiteks kaudselt määratletud funktsioonid
ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, st neid võrrandeid ei saa mängija suhtes lahendada. Seetõttu on kaudselt antud funktsiooni eristamiseks reegel, mida oleme juba uurinud ja mida järjekindlalt rakendame ka teistes näidetes.
Näide 2 Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis:
.
Avaldame kaudselt antud funktsiooni y algarvu ja väljundis tuletist:
Näide 3 Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis:
.
Lahendus. Eristage võrrandi mõlemad pooled x suhtes:
.
Näide 4 Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis:
.
Lahendus. Eristage võrrandi mõlemad pooled x suhtes:
.
Väljendame ja saame tuletise:
.
Näide 5 Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis:
Lahendus. Tõstame võrrandi paremal küljel olevad terminid vasakule poole ja jätame paremale nulli. Eristage võrrandi mõlemad pooled x-i suhtes.
Kompleksfunktsiooni tuletis. kogutuletis
Olgu z=ƒ(x;y) kahe muutuja x ja y funktsioon, millest kumbki on sõltumatu muutuja t funktsioon: x = x(t), y = y(t). Sel juhul on funktsioon z = f(x(t);y(t)) ühe sõltumatu muutuja t kompleksfunktsioon; muutujad x ja y on vahepealsed muutujad.
Kui z \u003d ƒ (x; y) on punktis M (x; y) є D diferentseeruv funktsioon ja x \u003d x (t) ja y \u003d y (t) on sõltumatu muutuja t diferentseeruvad funktsioonid, siis arvutatakse kompleksfunktsiooni z (t ) = f(x(t);y(t)) tuletis valemiga
Anname sõltumatule muutujale t juurdekasvu Δt. Siis saavad funktsioonid x = x(t) ja y = y(t) vastavalt sammud Δx ja Δy. Need omakorda põhjustavad funktsiooni z suurenemise Az.
Kuna tingimuse kohaselt on funktsioon z - ƒ(x; y) punktis M(x; y) diferentseeruv, saab selle kogukasvu esitada kui
kus a→0, β→0 kui Δх→0, Δу→0 (vt punkt 44.3). Jagame avaldise Δz Δt-ga ja läheme piirini Δt→0. Siis Δх→0 ja Δу→0 funktsioonide x = x(t) ja y = y(t) pidevusest (vastavalt teoreemi tingimusele on need diferentseeruvad). Saame:
Erijuhtum: z=ƒ(x;y), kus y=y(x), st z=ƒ(x;y(x)) on ühe sõltumatu muutuja x kompleksfunktsioon. See juhtum taandub eelmisele, kusjuures x mängib muutuja t rolli. Vastavalt valemile (44.8) on meil:
Valemit (44.9) nimetatakse summaarseks tuletisvalemiks.
Üldjuhtum: z=ƒ(x;y), kus x=x(u;v), y=y(u;v). Siis z= f(x(u;v);y(u;v)) on sõltumatute muutujate u ja v kompleksfunktsioon. Selle osatuletised on leitavad valemi (44.8) abil järgmiselt. Olles fikseerinud v, asendame selle vastavate osatuletistega