Mitme muutuja komplekssete ja kaudsete funktsioonide tuletised. Mitme muutuja kaudse funktsiooni tuletis
Kaudselt antud funktsiooni tuletis.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis
Selles artiklis käsitleme kahte tüüpilisemat ülesannet, mida sageli leidub kõrgema matemaatika testides. Materjali edukaks valdamiseks on vaja osata leida tuletisi vähemalt keskmisel tasemel. Saate õppida tuletisinstrumentide leidmist praktiliselt nullist kahes põhitunnis ja Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui eristamisoskusega on kõik korras, siis las käia.
Kaudselt defineeritud funktsiooni tuletis
Või lühidalt tuletis kaudne funktsioon. Mis on kaudne funktsioon? Tuletagem kõigepealt meelde ühe muutuja funktsiooni määratlust:
Ühe muutuja funktsioon on reegel, et iga sõltumatu muutuja väärtus vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele.
Muutujat nimetatakse sõltumatu muutuja või argument.
Muutujat nimetatakse sõltuv muutuja või funktsiooni
.
Siiani oleme arvestanud funktsioonidega, mis on määratletud selgesõnaline vormi. Mida see tähendab? Korraldame arutelu konkreetsete näidete kohta.
Mõelge funktsioonile
Näeme, et vasakul on meil üksik "y" ja paremal - ainult x-id. See tähendab, funktsioon selgesõnaliselt väljendatuna sõltumatu muutuja kaudu .
Vaatleme veel ühte funktsiooni:
Siin on muutujad ja "segatud". Ja kuidagi võimatu väljendage "Y" ainult "X" kaudu. Mis need meetodid on? Mõistete ülekandmine osast osasse koos märgi muutmisega, sulud, visketegurid vastavalt proportsioonireeglile jne. Kirjutage võrdsus ümber ja proovige "y" selgesõnaliselt väljendada:. Võid võrrandit tunde väänata, aga see ei õnnestu.
Lubage mul tutvustada: - näidet kaudne funktsioon.
Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et kaudne funktsioon on olemas(kuid mitte alati) on sellel graafik (nagu "tavalisel" funktsioonil). See kehtib ka kaudse funktsiooni kohta. on olemas esimene tuletis, teine tuletis jne. Nagu öeldakse, austatakse kõiki seksuaalvähemuste õigusi.
Ja selles õppetükis õpime, kuidas leida kaudselt antud funktsiooni tuletist. See pole nii raske! Kõik diferentseerimisreeglid, elementaarfunktsioonide tuletiste tabel jäävad kehtima. Erinevus on ühes omapärases punktis, mida me praegu kaalume.
Jah, ja ma ütlen teile hea uudise - allpool käsitletavad ülesanded täidetakse üsna jäiga ja selge algoritmi järgi, ilma kivita kolme raja ees.
Näide 1
1) Esimeses etapis riputame mõlemale osale löögid:
2) Kasutame tuletise lineaarsuse reegleid (tunni kaks esimest reeglit Kuidas tuletist leida? Lahendusnäited):
3) Otsene eristamine.
Kuidas eristada ja täiesti arusaadav. Mida teha seal, kus löökide all on “mängud”?
- lihtsalt häbiks, funktsiooni tuletis on võrdne selle tuletisega: .
Kuidas eristada
Siin meil on keeruline funktsioon. Miks? Tundub, et siinuse all on ainult üks täht "Y". Kuid fakt on see, et ainult üks täht "y" - ON ISE FUNKTSIOON(vt definitsiooni tunni alguses). Seega siinus on väline funktsioon, on sisemine funktsioon. Kasutame diferentseerimisreeglit keeruline funktsioon :
Toode on tavapärase reegli järgi eristatav :
Pange tähele, et see on ka keeruline funktsioon, iga "keeratav mänguasi" on keeruline funktsioon:
Lahenduse enda disain peaks välja nägema umbes selline:
Kui sulgudes on, avage need:
4) Vasakul pool kogume terminid, milles on kriipsuga “y”. Paremal küljel - edastame kõik muu:
5) Vasakul küljel võtame sulgudest tuletise välja:
6) Ja vastavalt proportsioonireeglile kukutame need sulud parema külje nimetajasse:
Tuletis on leitud. Valmis.
Huvitav on märkida, et iga funktsiooni saab kaudselt ümber kirjutada. Näiteks funktsioon saab ümber kirjutada nii: . Ja eristage seda äsja vaadeldud algoritmi järgi. Tegelikult erinevad fraasid "kaudne funktsioon" ja "implitsiitne funktsioon" ühe semantilise nüansi poolest. Väljend "kaudselt määratletud funktsioon" on üldisem ja õigem, - see funktsioon on antud kaudselt, kuid siin saate väljendada "y" ja esitada funktsiooni eksplitsiitselt. Sõnu "implitsiitne funktsioon" mõistetakse sagedamini "klassikalise" kaudse funktsioonina, kui "y" ei saa väljendada.
Samuti tuleb märkida, et "kaudne võrrand" võib kaudselt määratleda kaks või isegi enam funktsiooni korraga, näiteks ringi võrrand defineerib kaudselt funktsioonid , , mis defineerivad poolringe. Kuid selle artikli raames me ei hakka terminitel ja nüanssidel erilist vahet tegema, see oli lihtsalt informatsioon üldiseks arenguks.
Teine lahendus
Tähelepanu! Teise meetodiga saate tutvuda ainult siis, kui teate, kuidas enesekindlalt leida osatuletised. Calculus algajad ja mannekeenid palun ära loe ja jäta see lõik vahele, muidu läheb pea täitsa sassi.
Leidke kaudse funktsiooni tuletis teisel viisil.
Viime kõik terminid vasakule poole:
Ja kaaluge kahe muutuja funktsiooni:
Siis saab meie tuletise leida valemiga
Leiame osatuletised:
Seega:
Teine lahendus võimaldab teil kontrollida. Kuid pole soovitav koostada talle ülesande lõplikku versiooni, kuna osatuletisi omandatakse hiljem ja teemat “Ühe muutuja funktsiooni tuletis” õppiv õpilane ei peaks osatuletisi teadma.
Vaatame veel paar näidet.
Näide 2
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis
Me riputame löögid mõlemale osale:
Kasutame lineaarsuse reegleid:
Tuletisinstrumentide leidmine:
Kõigi sulgude laiendamine:
Me kanname kõik terminid vasakule küljele, ülejäänud - paremale küljele:
Lõplik vastus:
Näide 3
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis
Täislahendus ja kujundusnäidis tunni lõpus.
Pole harvad juhud, kui pärast diferentseerumist tekivad fraktsioonid. Sellistel juhtudel tuleb fraktsioonid ära visata. Vaatame veel kahte näidet.
Näide 4
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis
Lõpetame mõlemad osad tõmmetega ja kasutame lineaarsusreeglit:
Diferentseerime kasutades kompleksfunktsiooni diferentseerimisreeglit ja jagatise diferentseerimise reegel :
Sulgude laiendamine:
Nüüd peame murdosast lahti saama. Seda saab teha hiljem, kuid ratsionaalsem on seda teha kohe. Murru nimetaja on . Korrutada peal . Üksikasjalikult näeb see välja järgmine:
Mõnikord pärast diferentseerumist ilmub 2-3 fraktsiooni. Kui meil oleks näiteks üks murdosa rohkem, siis tuleks toimingut korrata – korrutada iga osa iga termin peal
Vasakul küljel paneme selle sulgudest välja:
Lõplik vastus:
Näide 5
Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis
See on tee-seda-ise näide. Ainus asi selles, enne murdosast vabanemist peate kõigepealt vabanema murdosa enda kolmekorruselisest struktuurist. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis
Ärge pingutage, ka selles lõigus on kõik üsna lihtne. Parameetriliselt etteantud funktsiooni üldvalemi saab kirja panna, aga selle arusaadavuse huvides panen kohe kirja konkreetse näite. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandeid mitte lokkis sulgude alla, vaid järjestikku:,.
Muutujat nimetatakse parameetriks ja võib võtta väärtusi "miinus lõpmatusest" kuni "pluss lõpmatuseni". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub "tavalisse" funktsiooni, siis parameetriliselt antud funktsiooni Ameerika indiaanlastel on samuti kõik õigused austatud: saab joonistada graafikut, leida tuletisi jne. Muide, kui on vaja koostada parameetriliselt antud funktsioonist graafik, võid kasutada minu programmi.
Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.
"Raskematel" juhtudel selline nipp ei tööta. Kuid see pole probleem, sest tuletise leidmiseks parameetriline funktsioon seal on valem:
Leiame tuletise "mängija muutuja te suhtes":
Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "x" tähega "te".
Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:
Nüüd jääb üle vaid leitud tuletised meie valemiga asendada:
Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist .
Mis puutub märgetesse, siis valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on “tavaline” tuletis “x-ga”. Aga kirjanduses on alati mingi variant, nii et standardist ma kõrvale ei kaldu.
Näide 6
Me kasutame valemit
Sel juhul:
Seega:
Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise tunnuseks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Nii et vaadeldavas näites avasin leidmisel juure all olevad sulgud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et asendamisel ja valemisse sisenemisel vähenevad paljud asjad hästi. Kuigi kohmakate vastustega näiteid on muidugi ka.
Näide 7
Leia parameetriliselt antud funktsiooni tuletis
See on tee-seda-ise näide.
Artiklis Lihtsamad tüüpilised ülesanded tuletisega käsitlesime näiteid, mille puhul oli vaja leida funktsiooni teine tuletis. Parameetriliselt antud funktsiooni jaoks võib leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemiga: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.
Näide 8
Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine tuletis
Leiame kõigepealt esimese tuletise.
Me kasutame valemit
Sel juhul:
Valemi (1) järjestikuse diferentseerimise teel leitakse kõrgema järgu tuletised.
Näide. Leidke ja kui (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.
Lahendus. Tähistades selle võrrandi vasakut külge läbi f(x, y) leidke osatuletised
f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],
f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].
Seega, rakendades valemit (1), saame:
.
Teise tuletise leidmiseks eristame X leidis esimese tuletise, pidage meeles juures seal on funktsioon x:
.
2°. Mitme sõltumatu muutuja juhtum. Samamoodi, kui võrrand F(x, y, z)=0, Kus F(x, y, z) on muutujate diferentseeruv funktsioon x, y Ja z, määratleb z sõltumatute muutujate funktsioonina X Ja juures Ja Fz(x, y, z)≠ 0, siis on selle kaudselt antud funktsiooni osatuletised üldiselt leitavad valemite abil
. |
Veel üks võimalus funktsiooni z tuletisi leidmiseks on järgmine: võrrandi diferentseerimine F(x, y, z) = 0, saame:
.
Siit on võimalik kindlaks teha dz, ja seega ka.
Näide. Leia ja kui x ² - 2y²+3z² -yz +y=0.
1. viis. Tähistades selle võrrandi vasakut külge läbi F(x, y, z), leidke osatuletised F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.
Rakendades valemeid (2), saame:
2. viis. Seda võrrandit eristades saame:
2xdx-4ydy+6zdz-ydz-zdy +dy=0
Siit me otsustame dz, st kaudse funktsiooni kogudiferentsiaal:
.
Võrreldes valemiga , me näeme seda
.
3°. Kaudsete funktsioonide süsteem. Kui kahe võrrandi süsteem
määratleb u Ja v muutujate x ja y ning Jacobi funktsioonidena
,
siis võib võrrandisüsteemist leida nende funktsioonide diferentsiaalid (ja järelikult ka nende osatuletised)
|
Näide: võrrandid u+v=x+y, xu+yv=1 määratleda u Ja v funktsioonina X Ja juures; leida .
Lahendus. 1. viis. Diferentseerides mõlemad võrrandid x-i suhtes, saame:
.
Samamoodi leiame:
.
2. viis. Diferentseerimise teel leiame kaks võrrandit, mis on seotud kõigi nelja muutuja diferentsiaalidega: du +dv=dx +dy ,xdu +udx +ydv +vdy=0.
Olles selle süsteemi diferentsiaalide osas lahendanud du Ja dv, saame:
4°. Parameetrilise funktsiooni määratlus. Kui r muutujate funktsioon X Ja juures antud parameetriliselt võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Ja
,
siis võib võrrandisüsteemist leida selle funktsiooni diferentsiaali
Diferentsiaali tundmine dz=p dx+q dy, leidke osatuletised ja .
Näide. Funktsioon z argumendid X Ja juures võrranditega antud x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).
Otsige üles ja.
Lahendus. 1. viis. Diferentseerimise teel leiame kolm võrrandit, mis on seotud kõigi viie muutuja diferentsiaalidega:
Kahe esimese võrrandi põhjal määrame du Ja dv:
.
Asendage leitud väärtused kolmanda võrrandiga du Ja dv:
.
2. viis. Kolmandast antud võrrandist võib leida:
Esmalt eristage kaks esimest võrrandit X, siis poolt juures:
Esimesest süsteemist leiame: .
Teisest süsteemist leiame: .
Asendades avaldised valemisse (5), saame:
Muutujate muutmine
Muutujate muutmisel diferentsiaalavaldistes tuleks neis sisalduvad tuletised vastavalt kompleksfunktsiooni diferentseerimisreeglitele väljendada muude tuletiste kaudu.
1°. Muutujate muutumine tavalisi tuletisi sisaldavates avaldistes.
,
eeldades .
juures Kõrval X tuletiste kaudu juures Kõrval t. Meil on:
,
.
Tuletiste leitud avaldiste asendamine selle võrrandiga ja asendamine X kaudu saame:
Näide. Teisenda võrrand
,
võttes seda argumendina juures, ja funktsiooni x jaoks.
Lahendus. Me väljendame tuletisi juures Kõrval X tuletiste kaudu X Kõrval y.
.
Asendades need tuletisväljendid selles võrrandis, saame:
,
või lõpuks
.
Näide. Teisenda võrrand
läheb polaarkoordinaatidele
x=r cos φ, y=r cos φ. |
Lahendus. Arvestades r funktsioonina φ , valemitest (1) saame:
dх = сosφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,
Olgu pidev funktsioon juures alates X on seatud kaudselt F(x, y) = 0, kus F(x, y), F" x(x, y), F"y(x, y) Seal on pidevad funktsioonid mõnes domeenis D, mis sisaldab punkti ( X, juures), mille koordinaadid vastavad seostele F (x, y) = 0, F"y(x, y) ≠ 0. Seejärel funktsioon juures alates X on tuletis
Tõestus (vt joonist). Lase F"y(x, y) > 0. Kuna tuletis F"y(x, y) on pidev, siis saame konstrueerida ruudu [ X 0 - δ" , X 0 + δ" , juures 0 - δ" , juures 0 + δ" ], nii et kõigi selle punktide jaoks F"y (x, y) > 0, st. F(x, y) on monotoonne juures fikseeritud juures X. Seega on täidetud kõik kaudse funktsiooni olemasolu teoreemi tingimused juures = f (x), selline, et F(x, f (x)) º 0.
Määrame juurdekasvu Δ X. uus väärtus X + Δ X sobiks juures + Δ juures = f (x + Δ x), nii et need väärtused vastavad võrrandile F (x + Δ x, y + Δ y) = 0. Ilmselgelt
Δ F = F(x + Δ x, y + Δ y) − F(x, y) = 0
ja sel juhul
.
Alates (7) oleme
.
Kuna kaudne funktsioon juures = f (x) on pidev, siis Δ juures→ 0 kui Δ X→ 0, seega α → 0 ja β → 0. Kust me lõpuks oleme saanud
.
Q.E.D.
Kõrgema järgu osatuletised ja diferentsiaalid.
Olgu funktsioonide osatuletised z = f (x, y), mis on määratletud punkti M naabruses, eksisteerivad selle naabruskonna igas punktis. Sel juhul on osatuletised kahe muutuja funktsioonid X Ja juures defineeritud punkti M näidatud läheduses. Nimetagem neid esimest järku osatuletisteks. Omakorda osatuletised muutujate suhtes X Ja juures funktsioonidest punktis M, kui need on olemas, nimetatakse funktsiooni teist järku osatuletisteks f (M) ja on tähistatud järgmiste sümbolitega
Teise järgu osatuletisi kujul , nimetatakse segaosatuletisteks.
Kõrgema järgu diferentsiaalid
Me kaalume dx väljendis jaoks dy konstantse tegurina Siis funktsioon dy on ainult argumendi funktsioon x ja selle diferentsiaal punktis x on vorm (kui arvestada erinevust dy kasutame diferentsiaalide jaoks uut tähistust):
δ ( d a) = δ [ f " (x) d x] = [f " (x) d x] " δ x = f "" (x) d(x) δ x .
Diferentsiaal δ ( d a) diferentsiaalist dy punktis x, võetud δ x = dx, nimetatakse funktsiooni teist järku diferentsiaaliks f (x) punktis x ja tähistatud d 2 y, st.
d 2 y = f ""(x)·( dx) 2 .
Omakorda diferentsiaal δ( d 2 y) diferentsiaalist d 2 y, võetud δ x = dx, nimetatakse funktsiooni kolmandat järku diferentsiaaliks f(x) ja tähistatud d 3 y jne. Diferentsiaal δ( d n-1 y) diferentsiaalist d n -1 f, võetud δ x = dx, nimetatakse diferentsiaaliks n- järjekorras (või n- m diferentsiaal) funktsioonid f(x) ja tähistatud d n a.
Tõestame selle eest n-funktsiooni diferentsiaal, valem
d n y = y (n) ·( dx)n, n = 1, 2, … (3.1)
Tõestuses kasutame matemaatilise induktsiooni meetodit. Sest n= 1 ja n= 2 valem (3.1) on tõestatud. Olgu see õige järjekorra erinevuste kohta n - 1
d n −1 y=y( n−1) ( dx)n −1 ,
ja funktsioon y (n-1) (x) on mingil hetkel eristatav x. Siis
Lases δ x = dx, saame
Q.E.D.
Kellelegi nõiglane võrdsus
või
need. n- funktsiooni i tuletis y= f (x) punktis x on võrdne suhtega n-selle funktsiooni diferentsiaal punktis x To n-argumendi diferentsiaali aste.
Mitme muutuja funktsioonide suunatuletis.
Vaadeldakse funktsiooni ja ühikvektorit. Otsene l läbi t. M 0 koos suunavektoriga
Definitsioon 1. Funktsiooni tuletis u = u(x, y, z) muutuja järgi t helistas tuletis suunas l
Alates sellest liinist u on ühe muutuja kompleksfunktsioon, siis tuletis selle suhtes t suhtes on võrdne kogutuletisega t(§ 12).
See on tähistatud ja võrdne
Kompleksfunktsiooni tuletis. kogutuletis
Olgu z=ƒ(x;y) kahe muutuja x ja y funktsioon, millest kumbki on sõltumatu muutuja t funktsioon: x = x(t), y = y(t). Sel juhul on funktsioon z = f(x(t);y(t)) ühe sõltumatu muutuja t kompleksfunktsioon; muutujad x ja y on vahepealsed muutujad.
Kui z \u003d ƒ (x; y) on punktis M (x; y) є D diferentseeruv funktsioon ja x \u003d x (t) ja y \u003d y (t) on sõltumatu muutuja t diferentseeruvad funktsioonid, siis arvutatakse kompleksfunktsiooni z (t ) = f(x(t);y(t)) tuletis valemiga
Anname sõltumatule muutujale t juurdekasvu Δt. Siis saavad funktsioonid x = x(t) ja y = y(t) vastavalt sammud Δx ja Δy. Need omakorda põhjustavad funktsiooni z suurenemise Az.
Kuna tingimuse kohaselt on funktsioon z - ƒ(x; y) punktis M(x; y) diferentseeruv, saab selle kogukasvu esitada kui
kus a→0, β→0 kui Δх→0, Δу→0 (vt punkt 44.3). Jagame avaldise Δz Δt-ga ja läheme piirini Δt→0. Siis Δх→0 ja Δу→0 funktsioonide x = x(t) ja y = y(t) pidevusest (vastavalt teoreemi tingimusele on need diferentseeruvad). Saame:
Erijuhtum: z=ƒ(x;y), kus y=y(x), st z=ƒ(x;y(x)) on ühe sõltumatu muutuja x kompleksfunktsioon. See juhtum taandub eelmisele, kusjuures x mängib muutuja t rolli. Vastavalt valemile (44.8) on meil:
Valemit (44.9) nimetatakse summaarseks tuletisvalemiks.
Üldjuhtum: z=ƒ(x;y), kus x=x(u;v), y=y(u;v). Siis z= f(x(u;v);y(u;v)) on sõltumatute muutujate u ja v kompleksfunktsioon. Selle osatuletised on leitavad valemi (44.8) abil järgmiselt. Olles fikseerinud v, asendame selle vastavate osatuletistega
Implitsiitselt antud funktsiooni tuletise valem. Selle valemi kasutamise tõendid ja näited. Esimest, teist ja kolmandat järku tuletiste arvutamise näited.
SisuEsimest järku tuletis
Olgu funktsioon antud võrrandi abil kaudselt
(1)
.
Ja olgu sellel võrrandil teatud väärtuse jaoks ainulaadne lahendus. Olgu funktsioon diferentseeruv funktsioon punktis , ja
.
Seejärel on selle väärtuse jaoks tuletis , mis määratakse valemiga:
(2)
.
Tõestus
Tõestuseks käsitlege funktsiooni muutuja kompleksfunktsioonina:
.
Rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit ja leiame tuletise võrrandi vasaku ja parema külje muutuja suhtes
(3)
:
.
Kuna konstandi tuletis on võrdne nulliga ja , siis
(4)
;
.
Valem on tõestatud.
Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid
Kirjutame võrrandi (4) ümber, kasutades teist tähistust:
(4)
.
Lisaks ja on muutuja keerulised funktsioonid:
;
.
Sõltuvus defineerib võrrandi (1):
(1)
.
Leiame tuletise muutuja suhtes võrrandi (4) vasakult ja paremalt küljelt.
Vastavalt kompleksfunktsiooni tuletise valemile on meil:
;
.
Vastavalt tuletistoote valemile:
.
Vastavalt tuletissumma valemile:
.
Kuna võrrandi (4) parema poole tuletis on võrdne nulliga, siis
(5)
.
Asendades siin tuletise, saame teist järku tuletise väärtuse kaudsel kujul.
Diferentseerides võrrandi (5) sarnasel viisil, saame võrrandi, mis sisaldab kolmandat järku tuletist:
.
Asendades siin esimest ja teist järku tuletise leitud väärtused, leiame kolmanda järgu tuletise väärtuse.
Diferentseerimist jätkates võib leida mis tahes järgu tuletise.
Näited
Näide 1
Leidke võrrandiga kaudselt antud funktsiooni esimene tuletis:
(P1) .
Vormel 2 lahendus
Leiame tuletise valemiga (2):
(2)
.
Liigutame kõik muutujad vasakule, nii et võrrand võtab kuju .
.
Siit.
Leiame tuletise suhtes , eeldades, et see on konstantne.
;
;
;
.
Leiame tuletise muutuja suhtes, eeldades, et muutuja on konstantne.
;
;
;
.
Valemi (2) abil leiame:
.
Saame tulemust lihtsustada, kui märgime, et algse võrrandi (A.1) kohaselt . Asendaja:
.
Korrutage lugeja ja nimetaja arvuga:
.
Lahendus teisel viisil
Lahendame selle näite teisel viisil. Selleks leiame tuletise algvõrrandi vasaku ja parema osa muutuja (P1) suhtes.
Rakendame:
.
Rakendame murdarvu tuletise valemit:
;
.
Rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit:
.
Diferentseerime algse võrrandi (P1).
(P1) ;
;
.
Korrutage ja rühmitage terminid.
;
.
Asendaja (võrrandist (P1)):
.
Korrutame arvuga:
.
Näide 2
Leidke võrrandi abil kaudselt antud funktsiooni teist järku tuletis:
(P2.1) .
Eristage algne võrrand muutuja suhtes, eeldades, et see on funktsioon:
;
.
Rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit.
.
Eristame algse võrrandi (A2.1):
;
.
Algsest võrrandist (A2.1) tuleneb, et . Asendaja:
.
Laiendage sulud ja rühmitage liikmed:
;
(P2.2) .
Leiame esimese järgu tuletise:
(P2.3) .
Teist järku tuletise leidmiseks diferentseerime võrrandi (A2.2).
;
;
;
.
Asendame avaldise esimest järku tuletise (A2.3):
.
Korrutame arvuga:
;
.
Siit leiame teist järku tuletise.
Näide 3
Leidke võrrandi abil kaudselt antud funktsiooni kolmandat järku tuletis:
(P3.1) .
Eristage algne võrrand muutuja suhtes, eeldades, et see on funktsioon.
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;
Diferentseerime võrrandit (A3.2) muutuja suhtes.
;
;
;
;
;
(P3.3) .
Diferentseerime võrrandit (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .
Võrranditest (A3.2), (A3.3) ja (A3.4) leiame tuletisinstrumentide väärtused .
;
;
.