Diskreetne jaotusfunktsioon. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon
Leia:
a) parameeter A ;
b) jaotusfunktsioon F(x) ;
c) juhusliku suuruse X tabamise tõenäosus vahemikus ;
G) oodatud väärtus MX ja dispersioon DX .
Joonistage funktsioonid f(x) ja F(x) .
2. ülesanne. Leidke integraalfunktsiooniga antud juhusliku suuruse X dispersioon.
3. ülesanne. Leidke juhusliku suuruse X matemaatiline ootus antud funktsioon levitamine.
4. ülesanne. Mõne juhusliku suuruse tõenäosustihedus on antud järgmiselt: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Leia koefitsient A , jaotusfunktsioon F(x) , matemaatiline ootus ja dispersioon, samuti tõenäosus, et juhuslik muutuja saab väärtuse vahemikus . Joonistage f(x) ja F(x) graafikud.
Ülesanne. Mõne pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on esitatud järgmiselt:
Määrake parameetrid a ja b , leidke tõenäosustiheduse f(x) avaldis, matemaatiline ootus ja dispersioon, samuti tõenäosus, et juhuslik muutuja saab väärtuse vahemikus . Joonistage f(x) ja F(x) graafikud.
Leiame jaotusfunktsiooni tuletise jaotustiheduse funktsiooni.
F'=f(x)=a
Teades, et leiame parameetri a:
või 3a = 1, millest a = 1/3
Leiame parameetri b järgmiste omaduste hulgast:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, kust b = -1/3
Seetõttu on jaotusfunktsioon: F(x) = (x-1)/3
Dispersioon.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Leidke tõenäosus, et juhuslik muutuja saab intervallis väärtuse
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Näide nr 1. Pideva juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuse tihedus f(x) on antud. Nõutud:
- Määrake koefitsient A.
- leida jaotusfunktsioon F(x) .
- skemaatiliselt joonistada F(x) ja f(x) .
- leida X matemaatiline ootus ja dispersioon.
- leida tõenäosus, et X võtab väärtuse vahemikust (2;3).
Lahendus:
Juhusliku suuruse X annab jaotustihedus f(x):
Leidke tingimusest parameeter A:
või
14/3*A-1=0
kus,
A = 3/14
Jaotusfunktsiooni saab leida valemiga.
Juhuslike suuruste ja nende muutujate jaotusfunktsioonide leidmiseks on vaja uurida kõiki selle teadmusvaldkonna tunnuseid. Kõnealuste väärtuste leidmiseks on mitu erinevat meetodit, sealhulgas muutuja muutmine ja hetke genereerimine. Jaotus on mõiste, mis põhineb sellistel elementidel nagu dispersioon, variatsioonid. Kuid need iseloomustavad ainult hajumise ulatust.
Juhuslike muutujate olulisemad funktsioonid on omavahel seotud ja sõltumatud ning võrdselt jaotunud funktsioonid. Näiteks kui X1 on meessoost populatsioonist juhuslikult valitud isendi kaal, X2 on teise inimese kaal, ... ja Xn on veel ühe inimese kaal meessoost populatsioonist, siis peame teadma, kuidas juhuslik funktsioon X on jaotatud. Sel juhul kehtib klassikaline teoreem, mida nimetatakse keskpiiri teoreemiks. See võimaldab meil näidata, et suure n korral järgib funktsioon standardjaotusi.
Ühe juhusliku suuruse funktsioonid
Keskne piirteoreem on loodud kõnealuste diskreetsete väärtuste, näiteks binoomväärtuse ja Poissoni, ligikaudseks lähendamiseks. Juhuslike suuruste jaotusfunktsioone vaadeldakse ennekõike ühe muutuja lihtväärtustel. Näiteks kui X on pidev juhuslik muutuja, millel on oma tõenäosusjaotus. Sel juhul uurime, kuidas leida Y tihedusfunktsiooni, kasutades kahte erinevat lähenemisviisi, nimelt jaotusfunktsiooni meetodit ja muutuja muutust. Esiteks võetakse arvesse ainult üks-ühele väärtusi. Seejärel peate selle tõenäosuse leidmiseks muutma muutuja muutmise tehnikat. Lõpuks tuleb õppida, kuidas kumulatiivne jaotus võib aidata modelleerida juhuslikke numbreid, mis järgivad teatud järjestikuseid mustreid.
Vaadeldavate väärtuste jaotamise meetod
Juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse funktsiooni meetod on rakendatav selle tiheduse leidmiseks. Selle meetodi kasutamisel arvutatakse kumulatiivne väärtus. Seejärel saate seda eristades tõenäosustiheduse. Nüüd, kui meil on jaotusfunktsiooni meetod, võime vaadata veel mõnda näidet. Olgu X teatud tõenäosustihedusega pidev juhuslik suurus.
Mis on x2 tõenäosustiheduse funktsioon? Kui vaatate funktsiooni (üleval ja paremal) y \u003d x2 või kujutate selle graafikut, võite märkida, et see on kasvav X ja 0 Viimases näites kasutati väga hoolikalt kumulatiivsete funktsioonide ja tõenäosustiheduse indekseerimist kas X või Y-ga, et näidata, millisesse juhuslikus muutujasse need kuuluvad. Näiteks kumulatiivse jaotusfunktsiooni Y leidmisel saime X. Kui on vaja leida juhuslik suurus X ja selle tihedus, siis tuleb see lihtsalt eristada. Olgu X pidev juhuslik suurus, mis on antud jaotusfunktsiooniga ühise nimetajaga f(x). Sel juhul, kui paned y väärtuse X = v (Y), siis saad x väärtuse, näiteks v (y). Nüüd peame saama pideva juhusliku suuruse Y jaotusfunktsiooni. Kus kumulatiivse Y definitsioonist lähtuvad esimene ja teine võrdsus. Kolmas võrdus kehtib, kuna funktsiooni osa, mille puhul u (X) ≤ y on tõsi on ka see, et X ≤ v (Y ). Ja viimast tehakse selleks, et määrata tõenäosus pidevas juhuslikus suuruses X. Nüüd peame Y tõenäosustiheduse saamiseks võtma FY (y) tuletise, Y kumulatiivse jaotusfunktsiooni. Olgu X pidev juhuslik suurus, mille ühine f(x) on defineeritud üle c1 Selle probleemi lahendamiseks saab koguda kvantitatiivseid andmeid ja kasutada empiirilist kumulatiivset jaotusfunktsiooni. Selle teabe ja sellele ahvatleva teabega peate ühendama vahendite näidised, standardhälbed, meediumiandmed ja nii edasi. Samamoodi võib isegi üsna lihtsal tõenäosusmudelil olla tohutult palju tulemusi. Näiteks kui viskad münti 332 korda. Siis on ümberpööramisest saadud tulemuste arv suurem kui google'il (10100) – see arv, kuid mitte vähem kui 100 kvintiljonit korda suurem kui elementaarosakesed teadaolevas universumis. Pole huvitatud analüüsist, mis annab vastuse igale võimalikule tulemusele. Vaja oleks lihtsamat kontseptsiooni, näiteks peade arvu või sabade pikima lööki. Huvipakkuvatele küsimustele keskendumiseks aktsepteeritakse konkreetne tulemus. Definitsioon on antud juhul järgmine: juhuslik suurus on tõenäosusruumiga reaalfunktsioon. Juhusliku muutuja vahemikku S nimetatakse mõnikord olekuruumiks. Seega, kui X on kõnealune väärtus, siis N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc jne. Neist viimast, ümardades X lähima täisarvuni, nimetatakse põrandafunktsiooniks. Kui juhusliku suuruse x huvipakkuv jaotusfunktsioon on kindlaks määratud, tekib tavaliselt küsimus: "Kui suur on tõenäosus, et X satub B mõnda alamhulka?" Näiteks B = (paaritud arvud), B = (suurem kui 1) või B = (2 ja 7 vahel), et näidata neid tulemusi, mille alamhulgas A on X, juhusliku muutuja väärtus. Näiteks võite sündmusi kirjeldada järgmiselt. (X on paaritu arv), (X on suurem kui 1) = (X > 1), (X on vahemikus 2 kuni 7) = (2) Seega on võimalik arvutada tõenäosus, et juhusliku suuruse x jaotusfunktsioon võtab intervallis väärtused lahutamise teel. Kaaluda tuleb lõpp-punktide kaasamist või välistamist. Me nimetame juhuslikku muutujat diskreetseks, kui sellel on lõplik või loendatavalt lõpmatu olekuruum. Seega on X peade arv kolmel sõltumatul kallutatud mündil, mis tõuseb tõenäosusega p. Peame leidma diskreetse juhusliku muutuja FX kumulatiivse jaotusfunktsiooni X jaoks. Olgu X piikide arv kolmest kaardist koosnevas kogumis. Siis Y = X3 FX kaudu. FX algab 0-st, lõpeb 1-ga ega vähene, kui x väärtused suurenevad. Diskreetse juhusliku suuruse X kumulatiivne FX jaotusfunktsioon on konstantne, välja arvatud hüpped. Hüppamisel on FX pidev. Tõenäosuse omadusest on võimalik definitsiooni abil tõestada väidet jaotusfunktsiooni õige pidevuse kohta. See kõlab järgmiselt: konstantsel juhuslikul muutujal on kumulatiivne FX, mis on diferentseeritav. Näitamaks, kuidas see võib juhtuda, võime tuua näite: ühikulise raadiusega sihtmärk. Arvatavasti. nool on ühtlaselt jaotatud määratud alale. Mõnel λ> 0. Seega suurenevad pidevate juhuslike suuruste jaotusfunktsioonid sujuvalt. FX-l on jaotusfunktsiooni omadused. Mees ootab bussipeatuses, kuni buss tuleb. Olles ise otsustanud, et keeldub, kui ooteaeg jõuab 20 minutini. Siin on vaja leida kumulatiivne jaotusfunktsioon T jaoks. Aeg, millal inimene veel bussijaamas on või ei lahku. Vaatamata sellele, et kumulatiivne jaotusfunktsioon on iga juhusliku muutuja jaoks defineeritud. Samas kasutatakse üsna sageli muid tunnuseid: diskreetse muutuja massi ja juhusliku suuruse jaotustiheduse funktsiooni. Tavaliselt väljastatakse väärtus ühe neist kahest väärtusest. Neid väärtusi arvestatakse järgmiste omadustega, mis on üldise (massi) iseloomuga. Esimene põhineb asjaolul, et tõenäosused ei ole negatiivsed. Teine tuleneb tähelepanekust, et kogu x=2S, X olekuruum, moodustab X tõenäosusliku vabaduse jaotuse. Näide: kallutatud mündi ümberlöögid, mille tulemused on sõltumatud. Saate jätkata teatud toimingute tegemist, kuni saate päid viskama. Olgu X juhuslik suurus, mis annab esimese pea ees olevate sabade arvu. Ja p tähistab tõenäosust mis tahes antud tegevuses. Seega on massitõenäosusfunktsioonil järgmised iseloomulikud tunnused. Kuna terminid moodustavad arvulise jada, nimetatakse X-i geomeetriliseks juhuslikuks muutujaks. Geomeetriline skeem c, cr, cr2,. , crn-il on summa. Ja seetõttu on sn-i piirväärtus n 1. Sel juhul on piirväärtuseks lõpmatu summa. Ülaltoodud massifunktsioon moodustab suhtega geomeetrilise jada. Seetõttu naturaalarvud a ja b. Jaotusfunktsiooni väärtuste erinevus on võrdne massifunktsiooni väärtusega. Vaadeldavatel tiheduse väärtustel on järgmine määratlus: X on juhuslik suurus, mille jaotusel FX on tuletis. FX, mis rahuldab Z xFX (x) = fX (t) dt-1, nimetatakse tõenäosustiheduse funktsiooniks. Ja X-i nimetatakse pidevaks juhuslikuks muutujaks. Arvutuse põhiteoreemis on tihedusfunktsioon jaotuse tuletis. Tõenäosusi saab arvutada kindlate integraalide arvutamisega. Kuna andmeid kogutakse mitmest vaatlusest, tuleb katseprotseduuride modelleerimiseks arvestada korraga rohkem kui ühe juhusliku muutujaga. Seetõttu tähendab nende väärtuste kogum ja nende ühine jaotus kahe muutuja X1 ja X2 jaoks sündmuste vaatamist. Diskreetsete juhuslike suuruste jaoks on defineeritud ühised tõenäosuslikud massifunktsioonid. Pidevate puhul arvestatakse fX1, X2, kus ühine tõenäosustihedus on täidetud. Kaks juhuslikku muutujat X1 ja X2 on sõltumatud, kui kaks nendega seotud sündmust on samad. Sõnades on kahe sündmuse (X1 2 B1) ja (X2 2 B2) samaaegse toimumise tõenäosus y võrdne ülaltoodud muutujate korrutisega, et igaüks neist toimub eraldi. Sõltumatute diskreetsete juhuslike suuruste jaoks on ühine tõenäosuslik massifunktsioon, mis on piirava ioonimahu korrutis. Sõltumatute pidevate juhuslike muutujate korral on ühine tõenäosustiheduse funktsioon piirtiheduse väärtuste korrutis. Lõpuks võetakse arvesse n sõltumatut vaatlust x1, x2. , xn, mis tuleneb tundmatust tihedus- või massifunktsioonist f. Näiteks siini ooteaega kirjeldava eksponentsiaalse juhusliku muutuja funktsioonide tundmatu parameeter. Selle teoreetilise valdkonna peamine eesmärk on pakkuda tööriistu, mis on vajalikud statistikateaduse usaldusväärsetel põhimõtetel põhinevate järeldusprotseduuride väljatöötamiseks. Seega on tarkvara üks väga oluline kasutusjuht võime genereerida pseudoandmeid tegeliku teabe jäljendamiseks. See võimaldab testida ja täiustada analüüsimeetodeid, enne kui neid päris andmebaasides kasutama hakata. See on vajalik andmete omaduste uurimiseks modelleerimise kaudu. Paljude tavaliselt kasutatavate juhuslike muutujate perekondade jaoks pakub R nende genereerimiseks käske. Muudel juhtudel on vaja meetodeid sõltumatute juhuslike muutujate jada modelleerimiseks, millel on ühine jaotus. Diskreetsed juhuslikud muutujad ja näidiskäsk. Näidiskäsku kasutatakse lihtsate ja stratifitseeritud juhuslike valimite loomiseks. Selle tulemusel, kui sisestatakse jada x, valib valim (x, 40) x hulgast 40 kirjet, nii et kõik valikud suurusega 40 on ühesuguse tõenäosusega. See kasutab ilma asendamiseta toomiseks vaikekäsku R. Saab kasutada ka diskreetsete juhuslike muutujate modelleerimiseks. Selleks tuleb vektoris x anda olekuruum ja massifunktsioon f. Kutse asendamiseks = TRUE näitab, et asendusega toimub diskreetimine. Seejärel kasutatakse valimit (x, n, asenda = TRUE, prob = f) n sõltumatust juhuslikust muutujast koosneva valimi saamiseks, millel on ühine massifunktsioon f. Tehtakse kindlaks, et 1 on väikseim esitatud väärtus ja 4 on kõigist suurim. Kui käsk prob = f jäetakse välja, valitakse proov ühtlaselt vektori x väärtustest. Simulatsiooni saate võrrelda massifunktsiooniga, mis andmed genereeris, vaadates topeltvõrdusmärki ==. Ja vaatluste ümberarvutamine, mis võtavad x jaoks kõik võimalikud väärtused. Saate teha laua. Korrake seda 1000 jaoks ja võrrelge simulatsiooni vastava massifunktsiooniga. Esiteks simuleerige juhuslike suuruste u1, u2, homogeenseid jaotusfunktsioone. , un intervallil . Umbes 10% arvudest peaks olema vahemikus . See vastab FX-jaotuse funktsiooniga juhusliku muutuja intervalli 10% simulatsioonidele. Samamoodi peaks umbes 10% juhuslikest numbritest olema vahemikus . See vastab 10% simulatsioonidele juhusliku muutuja intervallil jaotusfunktsiooniga FX. Need väärtused x-teljel saab saada, võttes FX-i pöördväärtuse. Kui X on pidev juhuslik suurus, mille tihedus fX on kõikjal oma domeenis positiivne, siis jaotusfunktsioon on rangelt kasvav. Sel juhul on FX-il FX-1 pöördfunktsioon, mida tuntakse kvantiilifunktsioonina. FX (x) u ainult siis, kui x FX-1 (u). Tõenäosusteisendus tuleneb juhusliku suuruse U = FX(X) analüüsist. FX-i vahemik on 0 kuni 1. See ei saa võtta väärtusi alla 0 või üle 1. Väärtuste puhul u vahemikus 0 kuni 1. Kui U-d saab modelleerida, siis on vaja simuleerida juhuslikku muutujat FX jaotusega kvantiilfunktsiooni kaudu. Kasutage tuletist, et näha, et tihedus u muutub 1 piires. Kuna juhusliku suuruse U tihedus on tema võimalike väärtuste intervalli ulatuses konstantne, nimetatakse seda intervallil ühtlaseks. See on modelleeritud R-is käsuga runif. Identiteeti nimetatakse tõenäosuslikuks teisenduseks. Näete, kuidas see töötab noolelaua näites. X vahemikus 0 kuni 1, jaotusfunktsioon u = FX(x) = x2 ja sellest ka kvantiilfunktsioon x = FX-1(u). Võimalik on modelleerida sõltumatuid vaatlusi kauguse kohta noolepaneeli keskpunktist, genereerides samal ajal ühtseid juhuslikke suurusi U1, U2,. , Un. Jaotusfunktsioon ja empiiriline funktsioon põhinevad 100 noolelaua jaotuse simulatsioonil. Eksponentsiaalse juhusliku suuruse puhul arvatavasti u = FX (x) = 1 - exp (- x) ja seega x = - 1 ln (1 - u). Mõnikord koosneb loogika samaväärsetest väidetest. Sel juhul peate argumendi kaks osa ühendama. Ristmiku identiteet on mõne väärtuse asemel sarnane kõigi 2 (S i i) S jaoks. Ühend Ci on võrdne olekuruumiga S ja iga paar välistab üksteist. Kuna Bi - jaguneb kolmeks aksioomiks. Iga kontroll põhineb vastaval tõenäosusel P. Mis tahes alamhulga puhul. Identiteedi kasutamine tagamaks, et vastus ei sõltuks intervalli lõpp-punktide kaasamisest. Kõigi sündmuste iga tulemuse puhul kasutatakse lõpuks tõenäosuste pidevuse teist omadust, mida peetakse aksiomaatiliseks. Juhusliku suuruse funktsiooni jaotusseadus näitab siin, et igaühel on oma lahendus ja vastus. Iga juhusliku katse tulemust saab iseloomustada kvalitatiivselt ja kvantitatiivselt. Kvalitatiivne juhusliku katse tulemus - juhuslik
sündmus. Ükskõik milline kvantitatiivne omadus, mis juhusliku katse tulemusena võib võtta ühe teatud väärtuste hulgast, - juhuslik väärtus. Juhuslik väärtus
on tõenäosusteooria üks keskseid mõisteid. Laskma olla suvaline tõenäosusruum. Juhuslik muutuja on reaalne arvfunktsioon x \u003d x (w), w W , nii et iga reaalfunktsiooni korral x . Sündmus
tavaliselt kirjutatakse x-ina< x. Järgnevalt tähistatakse juhuslikke muutujaid väikeste kreeka tähtedega x, h, z, …
Juhuslik suurus on täringuviskamisel langenud punktide arv või õpperühmast juhuslikult valitud õpilase pikkus. Esimesel juhul on meil tegemist diskreetne juhuslik muutuja(see võtab väärtused diskreetsest arvukomplektist M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; teisel juhul koos pidev juhuslik muutuja(see võtab väärtused pidevast arvukomplektist - arvurea intervallist I=). Iga juhusliku muutuja määrab täielikult tema jaotusfunktsioon. Kui x on juhuslik suurus, siis funktsioon F(x) = F x(x)
= P(x< x) kutsutakse jaotusfunktsioon juhuslik suurus x . Siin P(x<x) - tõenäosus, et juhuslik suurus x võtab väärtuse, mis on väiksem kui x. Oluline on mõista, et jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse "pass": see sisaldab kogu teavet juhusliku muutuja kohta ja seega juhusliku suuruse uurimine seisneb selle uurimises jaotusfunktsioonid, sageli viidatakse lihtsalt levitamine. Iga juhusliku muutuja jaotusfunktsioonil on järgmised omadused: Kui x on diskreetne juhuslik suurus, võttes väärtused x 1
<x 2 < … <x i < … с
вероятностями lk 1 <lk 2 < … <pi < …, то таблица вида helistas diskreetse juhusliku suuruse jaotus. Sellise jaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsioonil on vorm Diskreetsel juhuslikul muutujal on astmelise jaotuse funktsioon. Näiteks juhusliku arvu punktide puhul, mis ühe täringuheitega välja kukkusid, näeb jaotuse, jaotusfunktsiooni ja jaotusfunktsiooni graafik välja järgmine: Kui jaotusfunktsioon F x(x) on pidev, siis kutsutakse juhuslikku suurust x pidev juhuslik suurus. Kui pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon eristatav, siis annab juhusliku suuruse visuaalsem esitus juhusliku suuruse tõenäosustihedus p x(x),
mis on seotud jaotusfunktsiooniga F x(x) valemid ja . Eelkõige sellest järeldub, et iga juhusliku muutuja puhul . Praktiliste probleemide lahendamisel on sageli vaja leida väärtus x, mille juures jaotusfunktsioon F x(x) juhuslik muutuja x saab antud väärtuse lk, st. peate võrrandi lahendama F x(x) = lk. Sellise võrrandi lahendused (vastavad väärtused x) nimetatakse tõenäosusteoorias kvantilid. Kvantiil x p ( lk-kvantiil, tasemekvantiil lk) juhuslik suurus, millel on jaotusfunktsioon F x(x), nimetatakse lahenduseks xp võrrandid F x(x) = lk,
lk(0, 1). Mõne jaoks lk võrrand F x(x) = lk võib olla mitu lahendust, mõne jaoks mitte ühtegi. See tähendab, et vastava juhusliku muutuja puhul ei ole mõned kvantiilid üheselt määratletud ja mõnda kvantiili ei eksisteeri. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon on funktsioon F(x), mis väljendab iga x puhul tõenäosust, et juhuslik suurus X saab väärtuse, väiksem x
Näide 2.5. Antud juhusliku suuruse jaotuse jada Leidke ja kujutage graafiliselt selle jaotusfunktsiooni. Lahendus. Definitsiooni järgi F(jc) = 0 X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 at 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 at X > 5. Niisiis (vt joonis 2.1): Jaotusfunktsiooni omadused: 1. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on mittenegatiivne funktsioon, mis jääb nulli ja ühe vahele: 2. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon kogu arvuteljel, s.o. juures X 2
>x 3. Miinuslõpmatuse korral on jaotusfunktsioon võrdne nulliga, pluss lõpmatuse korral on võrdne ühega, s.t. 4. Juhusliku suuruse tabamise tõenäosus X intervallis on võrdne selle tõenäosustiheduse kindla integraaliga vahemikus a enne b(vt joon. 2.2), s.o. Riis. 2.2 3. Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni (vt joonis 2.3) saab väljendada tõenäosustiheduse kaudu valemi abil: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Vale integraal pideva juhusliku suuruse tõenäosustiheduse lõpmatutes piirides on võrdne ühega: Geomeetrilised omadused / ja 4
tõenäosustihedused tähendavad, et selle graafik on jaotuskõver - ei asu x-telje all, ja joonise kogupindala, piiratud jaotuskõver ja x-telg, on võrdne ühega. Pideva juhusliku suuruse jaoks X oodatud väärtus M(X) ja dispersioon D(X) määratakse valemitega: (kui integraal koondub absoluutselt); või (kui taandatud integraalid koonduvad). Lisaks ülaltoodud numbrilistele tunnustele kasutatakse juhusliku suuruse kirjeldamiseks kvantiilide ja protsendipunktide mõistet. q taseme kvantiil(või q-kvantiil) on selline väärtusx qjuhuslik muutuja, mille korral selle jaotusfunktsioon võtab väärtuse, võrdne q-ga, st. Leia kvantiil vastavalt näitele 2.6 xqj ja 30% juhusliku muutuja punkt x.
Lahendus. Definitsiooni järgi (2.16) F(xo t3)= 0.3, s.o. ~Y~ = 0,3, kust kvantiil x 0 3 = 0,6. 30% juhusliku muutuja punkt X, või kvantiil Х)_о,з = xoj» leitakse sarnaselt võrrandist ^ = 0,7. kust *,= 1,4. ? Juhusliku suuruse arvuliste tunnuste hulgas on esialgne v* ja keskne R* k-nda järjekorra hetked, mis määratakse diskreetsete ja pidevate juhuslike suuruste jaoks valemitega: Tõenäosusjaotuse funktsioon ja selle omadused. Juhusliku suuruse X tõenäosusjaotusfunktsioon F(x) punktis x on tõenäosus, et eksperimendi tulemusena saab juhuslik suurus väärtuse, mis on väiksem kui x, s.o. F(x)=P(X< х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Tõepoolest, definitsiooni järgi F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, kuna definitsiooni järgi F(∞)=P(X)< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Tõenäosus, et juhuslik suurus võtab väärtuse vahemikust [Α Β], on võrdne tõenäosusjaotuse funktsiooni juurdekasvuga sellel intervallil. P(Α ≤ X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), kui x 2, > x 1, s.o. tõenäosusjaotuse funktsioon on mittekahanev funktsioon. 5. Tõenäosuse jaotusfunktsioon on vasakul pidev. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) x→ x o jaoks Diskreetsete ja pidevate juhuslike suuruste tõenäosusjaotusfunktsioonide erinevusi illustreerivad hästi graafikud. Olgu näiteks diskreetsel juhuslikul suurusel n võimalikku väärtust, mille tõenäosused on P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Kui x ≤ x 1, siis F(X)=0, kuna x-st vasakul oleva juhusliku suuruse võimalikud väärtused puuduvad. Kui x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Seega F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Kui x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Vaatleme tõenäosust, et juhuslik suurus langeb intervalli , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Kui F(x) on punktis x katkendlik, siis on tõenäosus P(X=x) võrdne funktsiooni hüppega selles punktis. Seega on pideva suuruse mis tahes võimaliku väärtuse esinemise tõenäosus null. Avaldist P(X=x)=0 tuleks mõista kui tõenäosuse piiri, et juhuslik suurus langeb punkti x lõpmatult väikesesse naabrusesse P(Α korral< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Diskreetsete muutujate puhul ei ole need tõenäosused samad, kui intervalli Α ja (või) Β piirid langevad kokku juhuslike suuruste võimalike väärtustega. Diskreetse juhusliku suuruse puhul on vaja rangelt arvesse võtta ebavõrdsuse tüüpi valemis P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).Muutujate tehnika muutmine
Üldistus vähendamise funktsiooni jaoks
Jaotusfunktsioonid
Juhuslikud muutujad ja jaotusfunktsioonid
Hulgifunktsioonid
Sõltumatud juhuslikud muutujad
Juhuslike suuruste simulatsioon
Tõenäosuse teisenduse illustreerimine
Eksponentfunktsioon ja selle muutujad
x 1
x 2
…
x i
…
lk 1
lk 2
…
pi
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Vaatleme funktsiooni F(x) omadusi.