Juhuslike protsesside peamised omadused. juhuslikud muutujad
Juhuslikud (stohhastilised) protsessid on välised häired, fluktuatsioonimüra diskriminaatori ja teiste RAS-seadmete väljundis, sisemised häired RAS-is: PG sageduse ebastabiilsus, reguleeritavate viiteseadmete ebastabiilsus jne.
Põhimõtteliselt saab RAS-i uuringu juhuslike mõjude korral läbi viia tavapäraste meetoditega, määrates RAS-i kvaliteedi parameetrid häire kõige ebasoodsamate (maksimaalsete) väärtuste juures. halvimal juhul ).
Kuna aga juhusliku suuruse maksimaalne väärtus on ebatõenäoline ja seda täheldatakse harva, kehtestatakse RAS-ile ilmselgelt ranged nõuded. Kaaludes saab ratsionaalsemaid lahendusi kõige tõenäolisem väärtus juhuslik muutuja.
Lineaarses RAS-is võib vaadelda fluktuatsioonikomponentide jaotuse seadust normaalne (Gaussi). Normaaljaotuse seadus on iseloomulik sisemistele häiretele. Kui juhuslik protsess läbib lineaarset süsteemi, normaaljaotuse seadus jääb muutumatuks . Kui RAS-i sisendis või mõnes muus punktis (näiteks diskriminaatori väljundis) esineb häire tavalisest erineva jaotusseadusega, millel on lai spekter S(ω), see häirimine on efektiivne normaliseerub kitsaribalised PAC-filtrielemendid.
Normaaljaotusega juhuslik protsess on täielikult määratud matemaatiline ootus m(t) ja korrelatsioonifunktsioon R(τ).
Oodatud väärtus juhusliku protsessi (ootus). x(t) on mõned regulaarne funktsiooni mx(t), mille ümber on rühmitatud kõik selle protsessi teostused ( on tõenäosustihedus) . Seda nimetatakse ka seada keskmine (ansambel).
mx(t) = M{x(t)} = . (6.1)
juhuslik protsess ( t) ilma tavalise komponendita mx(t) kutsutakse tsentreeritud .
Võtta arvesse juhusliku protsessi dispersiooniastet selle keskmise väärtuse suhtes mx(t) tutvustada mõistet dispersioon :
Dx(t) = M{( (t)) 2 } = . (6.2)
Juhusliku protsessi ruudu keskmine väärtus on seotud selle ootusega mx(t) ja dispersioon Dx(t) valem: .
Praktikas on mugav hinnata juhuslikku protsessi statistiliste tunnuste järgi x hästi(t) ja s x(t), millel on sama mõõde kui protsessil endal.
RMS väärtus x hästi(t) juhuslik protsess:
Standardhälve x rms (t) juhuslik protsess:
. (6.4)
Matemaatiline ootus ja dispersioon ei anna piisavat ettekujutust juhusliku protsessi üksikute teostuste olemusest. Selleks et võtta arvesse protsessi varieeruvuse astet või selle väärtuste vahelist seost erinevatel ajahetkedel, on korrelatsiooni mõiste ( autokorrelatsioon ) funktsioonid.
korrelatsioonifunktsioon tsentreeritud protsess ( t) on võrdne
kus on kahemõõtmeline tõenäosustihedus.
Korrelatsioonifunktsioon on isegi : R(τ ) = R(–τ ).
Kui jaotusfunktsioonid ja protsessi tõenäosustihedus ei sõltu ajalisest nihkest kõigi ajaargumentide sama palju, nimetatakse sellist juhuslikku protsessi. paigal .
Kui statsionaarsel protsessil on samad väärtused määrata keskmine ja aja keskmine , nimetatakse sellist juhuslikku protsessi ergoodiline .
Teades R(τ) saab määrata statsionaarse protsessi dispersiooni:
Spektri tihedus S l y(ω) väljundprotsess y(t) sisse lineaarne süsteem ja spektraalne tihedus S Sisendtoimingu l (ω) on seotud seosega:
. (6.7)
korrelatsioonifunktsioon R(τ) statsionaarsest juhuslikust protsessist ja selle spektraaltihedusest S(ω) on seotud Fourier' teisendusega, seega viiakse analüüs sageli läbi sageduspiirkonnas. Pärast Fourier' teisenduse sooritamist (6.7) saame väljundprotsessi korrelatsioonifunktsiooni avaldise Ry(τ):
Spektritihedused S l y(ω) ja S l (ω) on kahepoolsed .
Saate siseneda ühepoolne spektraalne tihedus N(f), mis on määratud ainult positiivne sagedused ().
Pariteet R(τ) ja Euleri valemeid (6.8) saab lihtsustada:
. (6.9)
RAS-i töö kvaliteet on suhteliselt kõrge juhuslik signaale ja häireid iseloomustatakse keskmine ruutviga (SKO).
Vaatleme üldistatud RAS-i, mille skeem on näidatud joonisel fig. 2.11. Arvestame mõju λ( t) deterministlik ja häire ξ( t) diskriminaatori väljundis on juhuslik protsess. Valemite (2.28)–(2.31) abil määrame toimingu ja häirimise korral esineva vea TF.
Üldjuhul võib mõju- ja häirimisprotsesside vahel eksisteerida korrelatsioon (ühendus). Sel juhul peale autokorrelatsioon Vormi (6.8) funktsioone iga protsessi jaoks on vaja arvesse võtta vastastikune korrelatsioon protsessi funktsioonid üksteise suhtes. Kogemata spektraaltiheduse kaudu kirjutatakse sidestusandmed järgmiselt:
Pärast avaldise (6.11) asendamist valemiga (6.8) saame dispersiooni vastavad komponendid:
Kui protsesside vahel korrelatsiooni pole, siis S l x (ω) = S x l (ω) = 0 ja ka D l x = D x l = 0 ja valem (6.12) on lihtsustatud
Vea ootus X(t) on sarnane püsioleku definitsioonile: .
Kui spektraaltihedus S x(ω) kirjeldatakse ratsionaalse murdfunktsiooniga ω suhtes, seejärel arvutada Dx see on esitatud kujul:
kus on polünoom, mis sisaldab isegi kraadi iω kuni 2 n–2 kaasa arvatud; a on astme polünoom n, mille juured asuvad kompleksmuutuja ω ülemisel pooltasandil.
Integraalid (6.14) saab arvutada valemi (6.15) abil:
, (6.15)
kus D n on vormi (4.7) vanem Hurwitzi determinant, mis koosneb koefitsientidest a j, a Qn– D-tüüpi determinant n, kus esimeses reas koefitsiendid a j asendatud bj.
Integraali (6.15) jaoks on väärtuste tabelid n ≤ 7.
Väärtused kl n≤ 4 määratakse järgmiste valemitega:
, , ,
Näide 6.1. Defineerime PLL-süsteemi RMS näitest 4.2.
Laske signaalil λ( t) = 1 + 0,1t, ja häire ξ( t) on valge müra amplituudiga N0= 1 mV ().
Antud PAC veamäärad on juba leitud näitest 5.1.
.
PF puhul valemi (2.30) häiringuviga pärast muutujate muutmist R ® iω saame ( K 1 = S d , k 0 = k 1 S d , k 1 = k f k ja):
Pärast valemi (6.17) asendamist (6.13) ( D l = 0) saame:
Võrreldes (6.18) avaldisega (6.14), leiame polünoomide (6.14) järjekorra ja koefitsiendid: n = 3, b 2 = 0, b 1\u003d - (T 2) 2, b 0 = 1; a 3 = T f T d, a 2 = T f+ T d , a 1 = 1 + k 0 T2, a 0 = k 0 .
Pärast arvväärtuste asendamist on tulemus:
mx= 5 × 10 -4 (1/s), Dx\u003d 1,06 × 10 -3 (1/s 2) (at k 0 = 200, S d = 10, k 1 = 20) või
mx= 5 × 10 -4 (1/s), Dx\u003d 0,66 (1/s 2) (at k 0 = 200, S d = 0,4 , k 1 = 500).
(6.3), (6.4) järeldub, et x kiirus≈ s x= 0,032 (1/s) at S d= 10, samas S d = 0,4 x kiirus≈ s x= 0,81 (1/s).
Näide 6.2. Määrame RAS RAS samade signaalide jaoks näitest 4.5: λ( t) = 1 + 0,1t ja ξ( t) = N0= 1 mV. λ′( t) = λ 1 , λ″( t) = 0
Antud RAS-i veamäärad leiate valemi (5.19) abil: .
v = 0, d1 = 0, d0 = S d, b 3 = T 1 T 2 T 3, b 2 = T 1 T 2+T 2 T 3+T 1 T 3, b 1 = T 1 + T 2 + T 3, b 0 = 1.
Valemitest (5.19)–(5.22) saame
PF puhul häireviga valemist (2.30) pärast muutujate p ® muutmist iω (6.20) saame:
Pärast valemi (6.20) asendamist valemiga (6.13) (D l = 0) saame:
Võrreldes (6.21) avaldisega (6.14), leiame polünoomide (6.14) kordajad: n = 3, b 2 = b 1 = 0, b 0 = 1; a 3 = T 1 T 2 T 3, a 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, a 1 = T 1 + T 2 + T 3, a 0 = S d + 1.
Pärast asendamist valemiga (6.16) ja teisendusi saame:
Pärast arvväärtuste asendamist saame tulemuseks:
mx= (9,2 + 0,9 t)10 -2, Dx\u003d 4,2 × 10 -4.
6.2. Graafiline analüütiline meetod dispersiooni määramiseks.
Käsitledes juhuslikku protsessi kolme või nelja juhusliku muutuja süsteemina, tekivad raskused juhusliku protsessi jaotusseaduste analüütilises väljendamises. Seetõttu piirduvad need mõnel juhul juhusliku protsessi tunnustega, mis on sarnased juhuslike muutujate arvuliste tunnustega.
Juhusliku protsessi karakteristikud, erinevalt juhuslike muutujate arvulistest karakteristikutest, on mittejuhuslikud funktsioonid. Nende hulgas kasutatakse juhusliku protsessi hindamiseks laialdaselt juhusliku protsessi matemaatilise ootuse ja dispersiooni funktsioone, samuti juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsiooni.
Juhusliku protsessi matemaatiline ootus X(t)nimetatakse mittejuhuslikuks funktsiooniks, mis argumendi t iga väärtuse korral on võrdne juhusliku protsessi vastava lõigu matemaatilise ootusega
.
Juhusliku protsessi matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et kui on teada ühemõõtmeline tõenäosustihedus, siis
. (6.3)
juhuslik protsess X(t) saab alati esitada elementaarsete juhuslike funktsioonide summana
, kus on elementaarne juhuslik funktsioon.
. (6.4)
Kui on antud juhusliku protsessi realisatsioonide hulk X(t), siis matemaatilise ootuse graafiliseks esitamiseks viiakse läbi rida lõike ja igas neist leitakse vastav matemaatiline ootus (keskmine väärtus) ning seejärel tõmmatakse läbi nende punktide kõver (joonis 6.3).
Joonis 6.3 – Ootusfunktsiooni graafik
Mida rohkem sektsioone joonistatakse, seda täpsemalt kõver koostatakse.
Oodatud väärtus juhuslik protsess on mingi mittejuhuslik funktsioon, mille ümber juhusliku protsessi teostused on rühmitatud.
Kui juhusliku protsessi teostus on vool või pinge, siis tõlgendatakse matemaatilist ootust voolu või pinge keskmise väärtusena.
Juhusliku protsessi dispersioon X(t)nimetatakse mittejuhuslikuks funktsiooniks, mis argumendi t iga väärtuse korral on võrdne juhusliku protsessi vastava lõigu dispersiooniga.
.
Juhusliku protsessi dispersiooni definitsioonist järeldub, et kui on teada ühemõõtmeline tõenäosustihedus, siis
või (6.5)
Kui juhuslik protsess on kujutatud kui , siis
Juhusliku protsessi dispersioon iseloomustab teostuste hajumist või hajumist ootusfunktsiooni suhtes.
Kui juhusliku protsessi realisatsioonid on vool või pinge, siis dispersioon tõlgendatakse kui erinevust kogu protsessi võimsuse ja antud sektsiooni keskmise voolu- või pingekomponendi võimsuse vahel, s.o.
. (6.7)
Mõnel juhul kasutatakse juhusliku protsessi dispersiooni asemel juhusliku protsessi standardhälvet
.
Juhusliku protsessi matemaatiline ootus ja dispersioon võimaldavad tuvastada keskmise funktsiooni tüüpi, mille ümber juhusliku protsessi teostused rühmitatakse, ja hinnata nende levikut selle funktsiooni suhtes. Juhusliku protsessi sisemine struktuur, s.o. protsessi erinevate osade omavahelise sõltuvuse (seotuse) olemus ja aste jääb teadmata (joon. 6.4).
Joonis 6.4 - Juhuslike protsesside rakendamine X(t) ja Y(t)
Juhusliku protsessi osade vahelise seose iseloomustamiseks võetakse kasutusele teist järku segamomendi funktsiooni mõiste - korrelatsioonifunktsioon.
korrelatsioonifunktsioon juhuslik protsess X(t) nimetatakse mittejuhuslikuks funktsiooniks, mis iga väärtuste paari puhul on võrdne juhusliku protsessi vastavate sektsioonide korrelatsioonimomendiga:
Kus , .
Seos (vt joonis 6.4) juhusliku protsessi osade vahel X(t) rohkem kui juhusliku protsessi osade vahel Y(t), st.
.
Definitsioonist järeldub, et kui on antud kahemõõtmeline tõenäosustihedus juhuslik protsess X(t), siis
Korrelatsioonifunktsioon on kahe juhusliku muutuja korrelatsioonimomentide kogum aeg-ajalt ja mõlemat hetke võetakse arvesse argumendi kõigi praeguste võimalike väärtuste mis tahes kombinatsioonis. t juhuslik protsess. Seega iseloomustab korrelatsioonifunktsioon statistilist seost hetkeväärtuste vahel erinevatel ajahetkedel.
Korrelatsioonifunktsiooni omadused.
1) Kui , siis . Seetõttu on juhusliku protsessi dispersioon korrelatsioonifunktsiooni erijuhtum.
- poiste arv 10 vastsündinu hulgas.
On üsna selge, et see arv pole ette teada ja järgmise kümne jooksul võib sündida:
Või poisid - üks ja ainus loetletud valikutest.
Ja vormis hoidmiseks väike kehaline kasvatus:
- kaugushüppe kaugus (mõnedes ühikutes).
Seda ei oska isegi spordimeister ette ennustada :)
Samas, millised on teie hüpoteesid?
2) Pidev juhuslik muutuja – võtab kõik numbrilised väärtused mõnest lõplikust või lõpmatust vahemikust.
Märge : õppekirjanduses on populaarsed lühendid DSV ja NSV
Esiteks analüüsime diskreetset juhuslikku muutujat, seejärel - pidev.
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus
- see on vastavus selle suuruse võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste vahel. Enamasti on seadus kirjutatud tabelisse:
Mõiste on üsna levinud rida
levitamine, kuid mõnes olukorras kõlab see mitmetähenduslikult ja seetõttu pean ma "seadusest" kinni.
Ja nüüd väga oluline punkt
: kuna juhuslik suurus tingimata võtab vastu üks väärtustest, siis moodustuvad vastavad sündmused täisgrupp ja nende esinemise tõenäosuste summa on võrdne ühega:
või, kui see on volditud:
Näiteks täringu punktide tõenäosuste jaotamise seadus on järgmisel kujul:
Ei kommenteeri.
Teile võib jääda mulje, et diskreetne juhuslik muutuja võib omandada ainult "häid" täisarvulisi väärtusi. Hajutame illusiooni – need võivad olla ükskõik millised:
Näide 1
Mõnel mängul on järgmine väljamaksete jaotamise seadus:
...ilmselt oled sa sellistest ülesannetest juba ammu unistanud :) Annan sulle saladuse - mina ka. Eriti pärast töö lõpetamist väljateooria.
Lahendus: kuna juhuslik suurus võib võtta ainult ühe kolmest väärtusest, moodustuvad vastavad sündmused täisgrupp, mis tähendab, et nende tõenäosuste summa on võrdne ühega:
Me paljastame "partisani":
– seega on tavaliste ühikute võitmise tõenäosus 0,4.
Kontroll: mida peate veenduma.
Vastus:
Pole harvad juhud, kui jaotusseadus tuleb koostada iseseisvalt. Selle kasutuse jaoks klassikaline tõenäosuse määratlus, sündmuste tõenäosuste korrutamise / liitmise teoreemid ja muud kiibid tervera:
Näide 2
Karbis on 50 loteriipiletit, millest 12 on võidukad ja 2 neist võidavad igaüks 1000 rubla ja ülejäänud - igaüks 100 rubla. Koostage juhusliku suuruse jaotusseadus - võidusumma, kui kastist loositakse juhuslikult välja üks pilet.
Lahendus: nagu märkasite, on tavaks paigutada juhusliku suuruse väärtused kasvavas järjekorras. Seetõttu alustame väikseimate võitudega, nimelt rubladega.
Kokku on selliseid pileteid 50 - 12 = 38 ja vastavalt klassikaline määratlus:
on tõenäosus, et juhuslikult loositud pilet ei võida.
Ülejäänud juhtumid on lihtsad. Rublade võitmise tõenäosus on:
Kontrollimine: - ja see on selliste ülesannete jaoks eriti meeldiv hetk!
Vastus: nõutav väljamaksete jaotamise seadus:
Järgmine ülesanne iseseisvaks otsuseks:
Näide 3
Tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki, on . Tee juhuslikule suurusele jaotusseadus – tabamuste arv pärast 2 lööki.
... Ma teadsin, et sa igatsed teda :) Mäletame korrutamise ja liitmise teoreemid. Lahendus ja vastus tunni lõpus.
Jaotusseadus kirjeldab juhuslikku muutujat täielikult, kuid praktikas on kasulik (ja mõnikord kasulikum) sellest ainult osa teada. numbrilised omadused .
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Lihtsamalt öeldes, see keskmine eeldatav väärtus korduva testimisega. Laske juhuslikul muutujal võtta väärtused tõenäosustega vastavalt. Siis on selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus võrdne toodete summa kõik selle väärtused vastavate tõenäosustega:
või volditud kujul:
Arvutame näiteks juhusliku suuruse matemaatilise ootuse – täringule langenud punktide arvu:
Tuletagem nüüd meelde meie hüpoteetilist mängu:
Tekib küsimus: kas seda mängu on üldse tasuv mängida? ... kellel on muljeid? Nii et te ei saa öelda "välispidiselt"! Kuid sellele küsimusele saab hõlpsasti vastata matemaatilise ootuse arvutamisega, sisuliselt - kaalutud keskmine võidu tõenäosus:
Seega selle mängu matemaatiline ootus kaotamas.
Ära usalda muljeid – usalda numbreid!
Jah, siin võib võita 10 või isegi 20-30 korda järjest, aga pikas perspektiivis oleme paratamatult rikutud. Ja ma ei soovita teil selliseid mänge mängida :) No võib-olla ainult lõbu pärast.
Kõigest eelnevast järeldub, et matemaatiline ootus EI OLE JUHUSLIK väärtus.
Loominguline ülesanne iseseisvaks uurimistööks:
Näide 4
Hr X mängib Euroopa ruletti järgmise süsteemi järgi: ta panustab pidevalt 100 rubla punasele. Koostage juhusliku suuruse jaotuse seadus - selle tasuvus. Arvutage matemaatiline võiduootus ja ümardage see kopikateks. Kuidas keskmine kas mängija kaotab iga saja panuse eest?
Viide : Euroopa rulett sisaldab 18 punast, 18 musta ja 1 rohelist sektorit ("null"). "Punase" väljalangemise korral makstakse mängijale topeltpanus, vastasel juhul läheb see kasiino tuludesse
On palju muid ruletisüsteeme, mille jaoks saate luua oma tõenäosustabeleid. Aga see on juhtum, kui me ei vaja mingeid jaotusseadusi ja tabeleid, sest on kindel, et mängija matemaatiline ootus on täpselt sama. Muutused ainult süsteemiti
Sidesüsteemide häireid kirjeldatakse juhuslike protsesside teooria meetoditega.
Funktsiooni nimetatakse juhuslikuks, kui see eksperimendi tulemusena võtab ühe või teise kuju, pole ette teada, millise. Juhuslik protsess on aja juhuslik funktsioon. Spetsiifilist vormi, mille juhuslik protsess katse tulemusena omandab, nimetatakse juhusliku protsessi realiseerimiseks.
Joonisel fig. 1.19 näitab juhusliku protsessi , , mitme (kolme) teostuse komplekti. Sellist komplekti nimetatakse teostuste ansambliks. Fikseeritud ajahetke väärtusega esimeses katses saame konkreetse väärtuse , teises - , kolmandas - .
Juhuslikul protsessil on kahekordne iseloom. Ühelt poolt esindab seda igas konkreetses katses selle enda teostus – aja mittejuhuslik funktsioon. Teisest küljest kirjeldab juhuslikku protsessi juhuslike muutujate hulk.
Tõepoolest, mõelge juhuslikule protsessile kindlal ajahetkel. Seejärel võtab igas katses üks väärtus ja pole ette teada, milline. Seega on kindlal ajahetkel vaadeldav juhuslik protsess juhuslik muutuja. Kui kaks ajapunkti ja on fikseeritud, siis igas katses saame kaks väärtust ja . Sel juhul viib nende väärtuste ühine arvestamine kahe juhusliku muutuja süsteemini. Analüüsides juhuslikke protsesse N ajahetkel, jõuame N juhusliku muutuja hulga või süsteemini .
Juhusliku protsessi matemaatiline ootus, dispersioon ja korrelatsioonifunktsioon Kuna kindlal ajahetkel vaadeldav juhuslik protsess on juhuslik suurus, saame rääkida juhusliku protsessi matemaatilisest ootusest ja dispersioonist:
, .
Nagu ka juhusliku suuruse puhul, iseloomustab dispersioon juhusliku protsessi väärtuste levikut keskmise väärtuse suhtes. Mida suurem , seda suurem on väga suurte positiivsete ja negatiivsete protsessiväärtuste tõenäosus. Mugavam tunnus on ruutkeskmine hälve (MSD), millel on sama mõõde kui juhuslikul protsessil endal.
Kui juhuslik protsess kirjeldab näiteks kauguse muutumist objektini, siis on matemaatiline ootus keskmine kaugus meetrites; dispersiooni mõõdetakse ruutmeetrites ja Sco - meetrites ning see iseloomustab võimalike vahemike väärtuste levikut keskmise suhtes.
Keskmine ja dispersioon on väga olulised omadused, mis võimaldab hinnata juhusliku protsessi käitumist kindlal ajahetkel. Kui aga on vaja hinnata protsessi muutumise "kiirust", siis vaatlustest ühel ajahetkel ei piisa. Selleks kasutage kahte juhuslikku muutujat, mida vaadeldakse koos. Nii nagu juhuslike muutujate puhul, tuuakse sisse ja vahelise seose või sõltuvuse tunnus. Juhusliku protsessi puhul sõltub see tunnus kahest ajahetkest ja seda nimetatakse korrelatsioonifunktsiooniks: .
Statsionaarsed juhuslikud protsessid. Paljud protsessid juhtimissüsteemides kulgevad ajas ühtlaselt. Nende põhiomadused ei muutu. Selliseid protsesse nimetatakse statsionaarseteks. Täpse määratluse saab anda järgmiselt. Juhuslikku protsessi nimetatakse statsionaarseks, kui mõni selle tõenäosuslikest omadustest ei sõltu ajaviite nihkest. Statsionaarse juhusliku protsessi korral on matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve konstantsed: , .
Statsionaarse protsessi korrelatsioonifunktsioon ei sõltu alguspunktist t, st. sõltub ainult ajavahest:
Statsionaarse juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioonil on järgmised omadused:
1) ; 2) ; 3) .
Sageli on sidesüsteemide protsesside korrelatsioonifunktsioonid joonisel fig. 1.20.
Riis. 1.20. Protsessi korrelatsioonifunktsioonid
Ajavahemik, mille jooksul korrelatsioonifunktsioon, st. juhusliku protsessi väärtuste vahelise seose suurust, mis väheneb M korda, nimetatakse juhusliku protsessi intervalliks või korrelatsiooniajaks. Tavaliselt või. Võib öelda, et juhusliku protsessi väärtused, mis ajaliselt erinevad korrelatsiooniintervalli järgi, on omavahel nõrgalt seotud.
Seega võimaldab korrelatsioonifunktsiooni tundmine hinnata juhusliku protsessi muutumise kiirust.
Teine oluline omadus on juhusliku protsessi energiaspekter. Seda määratletakse kui korrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendust:
.
Ilmselt kehtib ka vastupidine teisendus:
.
Energiaspekter näitab juhusliku protsessi, näiteks müra, võimsusjaotust sagedusteljel.
ACS-i analüüsimisel on väga oluline määrata lineaarse süsteemi väljundis juhusliku protsessi karakteristikud, mille protsessi tunnused on ACS-i sisendis teada. Oletame, et lineaarsüsteemi annab impulssreaktsioon . Seejärel määrab väljundsignaali ajahetkel Duhameli integraal:
,
kus on protsess süsteemi sisendis. Korrelatsioonifunktsiooni leidmiseks kirjutame ja pärast korrutamist leiame matemaatilise ootuse
Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium
Tšerepovetsi Riiklik Ülikool
Tehnika- ja Majandusinstituut
Juhusliku protsessi mõiste matemaatikas
Esineb üliõpilane
rühm 5 GMU-21
Ivanova Julia
Tšerepovets
Sissejuhatus
Põhiosa
Juhusliku protsessi määratlus ja selle omadused
Markovi diskreetsete olekutega stohhastilised protsessid
Statsionaarsed juhuslikud protsessid
Statsionaarsete juhuslike protsesside ergoodiline omadus
Kirjandus
Sissejuhatus
Juhusliku protsessi mõiste võeti kasutusele 20. sajandil ja seda seostatakse A.N. Kolmogorov (1903-1987), A.Ya. Khinchin (1894-1959), E.E. Slutski (1880-1948), N. Wiener (1894-1965).
See kontseptsioon on tänapäeval üks keskseid mitte ainult tõenäosusteoorias, vaid ka loodusteadustes, inseneriteaduses, majanduses, tootmiskorralduses ja kommunikatsiooniteoorias. Juhuslike protsesside teooria kuulub kõige kiiremini arenevate matemaatiliste distsipliinide kategooriasse. Kahtlemata määrab selle asjaolu suuresti selle sügav seos praktikaga. 20. sajand ei saanud rahulduda minevikust saadud ideoloogilise pärandiga. Tõepoolest, kui füüsik, bioloog, insener tundis protsessi vastu huvi, s.t. uuritava nähtuse muutumine ajas, tõenäosusteooria pakutud matemaatilise aparaadina tähendab ainult seda, et uuritud statsionaarseid seisundeid.
Ajamuutuste uurimiseks ei olnud 19. sajandi lõpu - 20. sajandi alguse tõenäosusteoorial välja töötatud eraskeeme, veel vähem. üldised tehnikad. Ja nende loomise vajadus koputas sõna otseses mõttes matemaatikateaduse akendele ja ustele. Browni liikumise uurimine füüsikas viis matemaatika juhuslike protsesside teooria loomise lävele.
Pean vajalikuks nimetada veel kahte olulisemat erinevatel aegadel ja põhjustel algatatud uuringute gruppi.
Esiteks, see töö A.A. Markov (1856-1922) ahelasõltuvuste uurimisest. Teiseks, E.E. Slutsky (1880-1948) juhuslike funktsioonide teooriast.
Mõlemad need suunad mängisid väga olulist rolli juhuslike protsesside üldteooria kujunemisel.
Selleks oli juba kogunenud arvestatav algmaterjal ja vajadus teooria konstrueerimiseks justkui hõljus õhus.
Jäi üle teha olemasolevate tööde, neis väljendatud ideede ja tulemuste süvaanalüüs ning selle põhjal läbi viia vajalik süntees.
Juhusliku protsessi määratlus ja selle omadused
Definitsioon: juhuslik protsess X(t) on protsess, mille argumendi t mis tahes väärtuse väärtus on juhuslik muutuja.
Teisisõnu, juhuslik protsess on funktsioon, mis testimise tulemusena võib võtta ühe või teise konkreetse kuju, mida ei teata ette. Fikseeritud t=t 0 korral on X(t 0) tavaline juhuslik suurus, st. osa juhuslik protsess ajahetkel t 0.
Näited juhuslikest protsessidest:
1. piirkonna rahvaarv ajas;
2. ettevõtte remonditeenistusele laekunud taotluste arv aja jooksul.
Juhusliku protsessi saab kirjutada funktsioonina kahest muutujast X(t,ω), kus ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ ja ω on elementaarsündmus, Ω on elementaarsündmuste ruum , Т on argumendi t väärtuste kogum, ≡ - juhusliku protsessi X(t, ω) võimalike väärtuste kogum.
Rakendamine juhuslik protsess X(t, ω) on mittejuhuslik funktsioon x(t), milleks juhuslik protsess X(t) muutub testimise tulemusena (fikseeritud ω korral), s.t. juhusliku protsessi X(t) poolt võetud spetsiifiline vorm, selle trajektoor.
Sellel viisil, juhuslik protsess X(t, ω) ühendab juhusliku suuruse ja funktsiooni tunnused. Kui fikseerime argumendi t väärtuse, muutub juhuslik protsess tavaliseks juhuslikuks muutujaks, kui fikseerime ω, siis iga testi tulemusena muutub see tavaliseks mittejuhuslikuks funktsiooniks. Järgnevalt jätame argumendi ω välja, kuid see eeldatakse vaikimisi.
Joonisel 1 on kujutatud mõne juhusliku protsessi mitut teostust. Olgu selle protsessi ristlõige antud t korral pidev juhuslik suurus. Siis on antud t juhuslik protsess X(t) täielikult määratud tõenäosusega φ(x‚ t). Ilmselgelt ei ole tihedus φ(x, t) juhusliku protsessi X(t) ammendav kirjeldus, sest see ei väljenda selle sektsioonide vahelist sõltuvust erinevatel aegadel.
Juhuslik protsess X(t) on kõigi sektsioonide kogum t kõigi võimalike väärtuste jaoks, seetõttu on selle kirjeldamiseks vaja arvestada mitmemõõtmelise juhusliku muutujaga (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), mis koosneb kõigist selle protsessi kombinatsioonidest. Põhimõtteliselt on selliseid kombinatsioone lõpmata palju, kuid juhusliku protsessi kirjeldamiseks on sageli võimalik läbi saada suhteliselt väikese arvu kombinatsioonidega.
Öeldakse, et juhuslik protsess on tellidan, kui see on täielikult määratud ühisjaotustihedusega φ(x 1, x 2 , …, x n ; t 1 , t 2, …, t n) n protsessi suvalist lõiku, s.o. n-mõõtmelise juhusliku suuruse tihedus (X(t 1), X(t 2), …, X(t n)), kus X(t i) on juhusliku protsessi X(t) kombinatsioon ajahetkel t i , i =1, 2, …, n.
Nagu juhuslikku muutujat, saab ka juhuslikku protsessi kirjeldada arvtunnustega. Kui juhusliku muutuja puhul on need tunnused konstantsed arvud, siis juhusliku protsessi puhul - mittejuhuslikud funktsioonid.
matemaatiline ootus juhuslik protsess X(t) on mittejuhuslik funktsioon a x (t), mis muutuja t mis tahes väärtuse korral on võrdne juhusliku protsessi X(t) vastava lõigu matemaatilise ootusega, s.t. ax(t)=M.
dispersioon juhuslik protsess X(t) on mittejuhuslik funktsioon D x (t), muutuja t mis tahes väärtuse korral, mis on võrdne juhusliku protsessi X(t) vastava kombinatsiooni dispersiooniga, s.o. Dx(t)=D.
Standardhälve Juhusliku protsessi σ x (t) X(t) on selle dispersiooni ruutjuure aritmeetiline väärtus, s.o. σx(t)=Dx(t).
Juhusliku protsessi matemaatiline ootus iseloomustab keskel kõigi selle võimalike realisatsioonide trajektoor ja selle dispersioon või standardhälve - hajutada realisatsioonid keskmise trajektoori suhtes.
Eespool kirjeldatud juhusliku protsessi tunnustest ei piisa, kuna need on määratud ainult ühemõõtmelise jaotusseadusega. Kui juhuslikku protsessi X 1 (t) iseloomustab teostuste väärtuste aeglane muutus t muutumisega, siis juhusliku protsessi X 2 (t) puhul on see muutus palju kiirem. Teisisõnu iseloomustab juhuslikku protsessi X 1 (t) tihe tõenäosuslik seos selle kahe kombinatsiooni X 1 (t 1) ja X 1 (t 2) vahel, samas kui juhusliku protsessi X 2 (t) vahel on see sõltuvus X 2 (t 1) ja X 2 (t 2) kombinatsioonid praktiliselt puuduvad. Seda kombinatsioonide vahelist sõltuvust iseloomustab korrelatsioonifunktsioon.
Definitsioon: korrelatsioonifunktsioon juhuslikku protsessi X(t) nimetatakse mittejuhuslikuks funktsiooniks
K x (t 1 , t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)
kaks muutujat t 1 ja t 2, mis iga muutujapaari t 1 ja t 2 puhul on võrdne juhusliku protsessi vastavate kombinatsioonide X(t 1) ja X(t 2) kovariatsiooniga.
Ilmselt väheneb juhusliku protsessi X (t 1) korral korrelatsioonifunktsioon K x 1 (t 1, t 2), kuna erinevus t 2 - t 1 suureneb palju aeglasemalt kui K x 2 (t 1, t 2) juhuslik protsess X (t2).
Korrelatsioonifunktsioon K x (t 1, t 2) ei iseloomusta mitte ainult kahe kombinatsiooni vahelise lineaarse seose tiheduse astet, vaid ka nende kombinatsioonide levikut matemaatilise ootuse a x (t) suhtes. Seetõttu võetakse arvesse ka juhusliku protsessi normaliseeritud korrelatsioonifunktsiooni.
Normaliseeritud korrelatsioonifunktsioon juhuslikku protsessi X(t) nimetatakse funktsiooniks:
P x (t 1 , t 2) = K x (t 1 , t 2) / σ x (t 1) σ x (t 2) (2)
Näide nr 1
Juhuslik protsess on defineeritud valemiga X(t) = X cosωt, kus X on juhuslik suurus. Leia selle protsessi põhikarakteristikud, kui M(X) = a, D(X) = σ 2 .
LAHENDUS:
Matemaatilise ootuse ja dispersiooni omaduste põhjal on meil:
a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,
D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.
Korrelatsioonifunktsiooni leiame valemiga (1.)
K x (t 1, t 2) = M[(X cosωt 1 - a cosωt 1) (X cos ωt 2 - a cosωt 2)] =
Cosωt 1 kulu 2 * M[(X - a)(X - a)] = kulu 1 kulu 2 * D(X) = σ 2 kulu 1 kulu 2.
Leiame normaliseeritud korrelatsioonifunktsiooni valemiga (2.):
P x (t 1, t 2) \u003d σ 2 kulu 1 kulu 2 / (σ cosωt 1) (σ cosωt 2) ≡ 1.
Juhuslikke protsesse saab klassifitseerida sõltuvalt sellest, kas süsteemi olekud, milles need esinevad, muutuvad sujuvalt või järsult, loomulikult (loendavalt) või lõpmatu arv neid olekuid jne. Juhuslike protsesside hulgas on eriline koht Markovi juhuslikul protsessil.
Teoreem. Juhuslik protsess X(t) on Hilbert siis ja ainult siis, kui kõigi (t, t^) e T*T jaoks on olemas R(t, t^).
Hilberti juhuslike protsesside teooriat nimetatakse korrelatsiooniteooriaks.
Pange tähele, et hulk T võib olla diskreetne ja pidev. Esimesel juhul nimetatakse juhuslikku protsessi X t diskreetse ajaga protsessiks, teisel - pideva ajaga.
Vastavalt sellele võivad X t kombinatsioonid olla diskreetsed ja pidevad juhuslikud muutujad.
Juhuslikku protsessi nimetatakse X(t) valikuliselt ebaregulaarne, diferentseeruv ja integreeritav punktis ω€Ω, kui selle realisatsioon x(t) = x(t, ω) on vastavalt pidev, diferentseeruv ja integreeritav.
Juhuslikku protsessi X(t) nimetatakse pidevaks: peaaegu, ilmselt kui
P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))
AT keskmine ruut, kui
Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0
Tõenäosuse järgi, kui
Aδ ≥ 0: limP[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0
Ruutkeskmist konvergentsi tähistatakse ka järgmiselt:
X(t) = limX(t n)
Selgub, et selektiivsest järjepidevusest järgneb pidevus peaaegu kindlalt, pidevusest peaaegu kindlalt ja keskmises ruudus eeldab pidevust tõenäosuses.
Teoreem. Kui X(t) on Hilberti juhuslik protsess, mis on pidev keskmises ruudus, siis m x (t) on pidev funktsioon ja seos
Lim M = M = M.
Teoreem. Hilberti juhuslik protsess X(t) on keskmine ruutpidev siis ja ainult siis, kui selle kovariatsioonifunktsioon R(t, t^) on pidev punktis (t, t).
Hilberti juhuslikku protsessi X(t) nimetatakse keskmiseks ruutdiferentseeruvaks, kui on olemas juhuslik funktsioon X(t) = dX(t)/dt, nii et
X(t) = dX(t)/ dt = limX(t+∆t) – X(t) / ∆t
(t € T, t + ∆t € T),
need. millal
Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0
Kutsutakse välja juhuslik funktsioon X(t). keskmine ruuttuletis juhuslik protsess X(t) vastavalt punktis t või punktis T.
Teoreem. Hilberti juhuslik protsess X(t) on keskmine ruut diferentseeruv punktis t siis ja ainult siis, kui see on olemas
δ 2 R(t, t^) / δtδt^ punktis (t, t^). Kus:
R x (t, t^) = M = 8 2 R(t, t^) / δtδt^.
Kui Hilberti juhuslik protsess on diferentseeruv T-l, siis on selle keskmine ruuttuletis samuti Hilberti juhuslik protsess; kui protsessi valimitrajektoorid on diferentseeruvad T-l tõenäosusega 1, siis tõenäosusega 1 langevad nende tuletised kokku T keskmiste ruuttuletistega.
Teoreem. Kui X(t) on Hilberti juhuslik protsess, siis
M = (d/dt) M = dm x (t) / dt.
Olgu (0, t) lõplik intervall, 0
X(t) – Hilberti juhuslik protsess.
Y n \u003d ∑ X (t i) (t i - t i-1) (n \u003d 1,2, ...).
Siis juhuslik suurus
max (t i – t i -1)→0
helistas keskmine ruutintegraal protsess X(t) on (0, t) ja seda tähistatakse:
Y(t) = ∫ X(τ)dτ.
Teoreem . Keskmine ruutintegraal Y(t) eksisteerib siis ja ainult siis, kui Hilberti protsessi X(t) kovariatsioonifunktsioon R(t, t^) on pidev T×T ja integraal on olemas.
R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^
Kui integraal keskmises ruutfunktsioonis X(t) on olemas, siis
M = ∫ Mdτ,
R Y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^
K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^
Siin on R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M juhusliku protsessi Y(t) kovariatsiooni- ja korrelatsioonifunktsioonid.
Teoreem. Olgu X(t) Hilberti juhuslik protsess kovariatsioonifunktsiooniga R(t, t^), φ(t) reaalfunktsioon ja integraal
∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^
Siis on olemas keskmine ruutintegraal
∫ φ(t)X(t)dt.
Juhuslikud protsessid:
X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)
Kus φ i (t) on antud reaalfunktsioonid
V i - tunnustega juhuslikud suurused
Neid nimetatakse elementaarseteks.
Kanooniline lagunemine juhuslikku protsessi X(t) nimetatakse selle esituseks kujul
Kus V i on koefitsiendid ja φ i (t) on protsessi X(t) kanoonilise laienduse koordinaatfunktsioonid.
Suhetest:
M(VI = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t ∈ T)
K(t, t^) = ∑ D i φ i (t) φ i (t^)
Seda valemit nimetatakse kanooniline lagunemine juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioon.
Võrrandi puhul
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t ∈ T)
Seal on valemid:
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)
∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.
Seega, kui protsessi X(t) kujutatakse selle kanoonilise laiendiga, siis selle tuletist ja integraali saab esitada ka kanooniliste laiendustena.
Markovi diskreetsete olekutega stohhastilised protsessid
Juhuslikku protsessi, mis toimub mõnes süsteemis S võimalike olekutega S 1 , S 2 , S 3 , … nimetatakse Markovski, või juhuslik protsess ilma tagajärgedeta, kui mis tahes ajahetkel t 0 sõltuvad protsessi tõenäolised karakteristikud tulevikus (hetkel t>t 0) ainult selle olekust hetkemomendil t 0 ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas süsteem sellesse olekusse jõudis ; need. ei sõltu tema käitumisest minevikus (t
Markovi protsessi näide: süsteem S on taksos olev loendur. Süsteemi olekut ajahetkel t iseloomustab auto poolt selle hetkeni läbitud kilomeetrite (kümnendike kilomeetrite) arv. Olgu loendur S 0 hetkel t 0 / Tõenäosus, et hetkel t>t 0 näitab loendur üht või teist kilomeetrite arvu (täpsemalt vastavat rublade arvu) S 1 sõltub S 0 , kuid ei sõltu sellest, mis ajahetkedel on loenduri näidud muutunud kuni hetkeni t 0 .
Paljusid protsesse võib ligikaudselt pidada Markovi protsessideks. Näiteks male mängimise protsess; süsteem S - rühm malenupud. Süsteemi olekut iseloomustab hetkel t 0 lauale jäänud vastase nuppude arv. Tõenäosus, et hetkel t>t 0 on materiaalne eelis mõne vastase poolel, sõltub eelkõige süsteemi seisust hetkel t 0, mitte aga sellest, millal ja mis järjestuses lauad üles tõstetakse. hetkeni t 0 .
Mõnel juhul võib vaadeldavate protsesside eelloo lihtsalt tähelepanuta jätta ja kasutada nende uurimiseks Markovi mudeleid.
Markovi juhuslik protsess diskreetsete olekute ja diskreetse ajaga (või Markovi ahel ) nimetatakse Markovi protsessiks, milles selle võimalikud olekud S 1, S 2, S 3, ... saab eelnevalt loetleda ja üleminek olekust olekusse toimub hetkega (hüpe), kuid ainult teatud ajahetkedel t 0, t 1 , t 2, ... kutsus sammud protsessi.
Tähista p ij – ülemineku tõenäosus juhuslik protsess (süsteem S) olekust I olekusse j. Kui need tõenäosused ei sõltu protsessi sammunumbrist, siis nimetatakse sellist Markovi ahelat homogeenseks.
Olgu süsteemi olekute arv lõplik ja võrdne m-ga. Siis saab seda iseloomustada üleminekumaatriks P 1 , mis sisaldab kõiki ülemineku tõenäosusi:
p 11 p 12 … p 1 p
p 21 p 22 … p 2m
P m1 p m2 … p mm
Loomulikult on iga rea jaoks ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.
Tähista p ij (n) tõenäosusena, et n sammu tulemusena liigub süsteem olekust I olekusse j. Sel juhul I = 1 korral on meil üleminekutõenäosused, mis moodustavad maatriksi P 1 , st. p ij (1) = p ij
Teades üleminekutõenäosusi p ij , on vaja leida p ij (n) – süsteemi ülemineku tõenäosused olekust I olekusse j n sammuga. Selleks käsitleme vahepealset (I ja j vahelist) olekut r, st. eeldame, et süsteem läheb algolekust I k sammuga vaheolekusse r tõenäosusega p ir (k), misjärel ülejäänud n-k sammu vaheolekust r läheb see üle lõppolekusse j tõenäosusega p rj (n-k). Seejärel kogu tõenäosuse valemi järgi
P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) on Markovi võrdsus.
Veendume, et teades kõiki üleminekutõenäosusi p ij = p ij (1), s.o. maatriksi P 1 üleminek olekust olekusse ühes etapis, leiad tõenäosuse p ij (2), s.o. maatriks P 2 üleminek olekust olekusse kahes etapis. Ja maatriksi P 2 tundmine - leidke maatriksi P 3 üleminek olekust olekusse kolmes etapis jne.
Tõepoolest, seadistus n = 2 valemis P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), st. k=1 (vaheseisund sammude vahel), saame
P ij (2) = ∑ p ir (1) p rj (2-1) = ∑ p ir p rj
Saadud võrdsus tähendab, et P 2 \u003d P 1 P 1 \u003d P 2 1
Eeldades n = 3, k = 2, saame samamoodi P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 ja üldjuhul P n = P 1 n
Näide
Teatud piirkonna perede kogumi võib jagada kolme rühma:
1. pered, kellel pole autot ja kes ei kavatse seda osta;
2. pered, kellel pole autot, kuid kes kavatsevad selle soetada;
3. pered autoga.
Läbiviidud statistiline uuring näitas, et üheaastase intervalli üleminekumaatriks on kujul:
(Maatriksis P 1 tähendab element p 31 = 1 tõenäosust, et perel, kellel on auto, on see ka, ja näiteks element p 23 = 0,3 on tõenäosus, et perel, kellel ei olnud autot auto, kuid otsustas soetada, järgmisel aastal oma kavatsuse täita jne)
Leidke tõenäosus, et:
1. pere, kellel polnud autot ja kes ei kavatsenud seda osta, on kahe aasta pärast samas olukorras;
2. Perekond, kellel polnud autot, kuid kavatseb selle osta, saab auto kahe aasta pärast.
LAHENDUS: leidke kahe aasta pärast üleminekumaatriks Р 2:
0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21
0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51
0 0 1 0 0 1 0 0 1
See tähendab, et näites 1) ja 2) otsitud tõenäosused on vastavalt võrdsed
p 11 \u003d 0,64, p 23 = 0,51
Järgmisena kaaluge Markovi stohhastiline protsess diskreetsete olekute ja pideva ajaga, milles erinevalt eelpool vaadeldud Markovi ahelast ei ole süsteemi võimalike olekust üleminekute hetked eelnevalt fikseeritud, vaid on juhuslikud.
Diskreetsete olekutega juhuslike protsesside analüüsimisel on mugav kasutada geomeetrilist skeemi - nn. sündmuste ajakava. Tavaliselt kujutatakse süsteemi olekuid ristkülikute (ringide) kujul ja võimalikke üleminekuid olekust olekusse kujutatakse olekuid ühendavate nooltega (orienteeritud kaared).
Näide. Koostage järgmise juhusliku protsessi olekute graafik: seade S koosneb kahest sõlmest, millest igaüks võib juhuslikul ajahetkel ebaõnnestuda, misjärel algab koheselt sõlme remont, mis jätkub varem teadmata juhusliku aja jooksul.
LAHENDUS. Võimalikud riigid süsteemid: S 0 - mõlemad sõlmed töötavad; S 1 - esimene sõlm on remondis, teine on töökorras; S 2 - teist sõlme parandatakse, esimene on töökorras; S 3 - mõlemad sõlmed on remondis.
Nool, suunad, näiteks S 0-st S 1-le, tähendab süsteemi üleminekut esimese sõlme rikke hetkel S1-lt S 0-le - üleminek hetkel, mil selle sõlme remont on lõpetatud. .
Graafikul S 0 kuni S 3 ja S 1 kuni S 2 nooled puuduvad. Seda seletatakse asjaoluga, et sõlmede rikkeid eeldatakse üksteisest sõltumatuks ja näiteks kahe sõlme samaaegse rikke tõenäosusega (üleminek S 0-lt S 3-le) või kahe sõlme samaaegse remondi lõpetamisega (üleminek S 3 kuni S 0) võib jätta tähelepanuta.
Statsionaarsed juhuslikud protsessid
statsionaarne kitsas tähenduses, kui
F(x 1 , …, x n ; t 1 , …, t n) = F(x 1 , …, x n ; t 1 +∆, …, t n + ∆)
Suvalise eest
n≥1, x1, …, xn, t1, …, tn; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.
Siin on F(x 1 , …, x n ; t 1 , …, t n) juhusliku protsessi X(t) n-mõõtmeline jaotusfunktsioon.
Kutsutakse juhuslikku protsessi X(t). statsionaarne laiemas mõttes, kui
Ilmselgelt tähendab statsionaarsus kitsamas tähenduses statsionaarsust laiemas tähenduses.
Valemitest:
m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)
(t € T, t^ € T, t + ∆ € T), t^ + ∆ € T)
Sellest järeldub, et laiemas mõttes statsionaarse protsessi jaoks võib kirjutada
m(t) = mx(0) = const;
D(t) = K(t, t) = K(0,0) = konst;
K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ – t)
Seega laiemas tähenduses statsionaarse protsessi puhul ei sõltu matemaatiline ootus ja dispersioon ajast ning K(t, t^) on vormi funktsioon:
On näha, et k(τ) on paarisfunktsioon, while
Siin D on statsionaarse protsessi dispersioon
X(t), α i (I = 1, n) on suvalised arvud.
Süsteemi esimene võrdsus
K(0) \u003d B = σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
tuleneb võrrandist K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Esimene võrdsus
K(0) \u003d B = σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 on Schwartzi ebavõrdsuse lihtne tagajärg statsionaarse juhusliku protsessi X(t) lõikudele X(t), X(t^). Viimane ebavõrdsus:
K(0) \u003d B = σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
Hankige see nii:
∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(ti, t j) α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M [( i X ) i) 2] ≥0
Võttes arvesse juhusliku protsessi tuletise dX(t)/dt korrelatsioonifunktsiooni valemit, saame statsionaarse juhusliku funktsiooni X(t) korral
K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^
Kuna
δk(t^-t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,
δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)
siis K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.
Siin on K 1 (t, t^) ja k 1 (τ) statsionaarse juhusliku protsessi X(t) esimese tuletise korrelatsioonifunktsioon.
Statsionaarse juhusliku protsessi n-nda tuletise korral on korrelatsioonifunktsiooni valem järgmine:
K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)
Teoreem. Statsionaarne juhuslik protsess X(t) korrelatsioonifunktsiooniga k(τ) on keskmine ruut pidev punktis t ∈ T siis ja ainult siis, kui
Limk(τ) = k(0)
Selle tõestamiseks kirjutame üles ilmse võrdsuste ahela:
M [|X(t+τ)-X(T)| 2 ] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =
2D-2k(τ) = 2.
Seega on ilmne, et pidevuse tingimus keskmise ruudu protsessis X(t) punktis t ∈ T
LimM[|X(t+τ) – X(t)| 2] = 0
Esineb siis ja ainult siis, kui Lim k(τ) = k(0)
Teoreem. Kui statsionaarse juhusliku protsessi X(t) korrelatsioonifunktsioon k(τ) on pidev keskmises ruudus punktis τ=0, siis on see pidev keskmises ruudus mis tahes punktis τ ∈ R 1 .
Selle tõestamiseks paneme kirja ilmsed võrdsused:
k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =
M(X(t))
Seejärel rakendades Schwartzi ebavõrdsust lokkis sulgudes olevatele teguritele ja võttes arvesse seoseid:
K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.
K(0) \u003d B = σ 2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2] =
Üleminek piirini ∆τ→0 ja võttes arvesse k(τ) pidevuse teoreemi tingimust punktis τ=0, samuti süsteemi esimest võrdsust
K(0) \u003d B \u003d σ 2, leiame
Limk(τ+∆τ) = k(τ)
Kuna siin on τ suvaline arv, tuleks teoreem lugeda tõestatuks.
Statsionaarsete juhuslike protsesside ergoodiline omadus
Olgu X(t) karakteristikutega ajaintervalli statsionaarne juhuslik protsess
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.
Statsionaarse juhusliku protsessi ergoodiline omadus on see, et protsessi piisavalt pika realiseerimisega saab hinnata selle matemaatilist ootust, dispersiooni, korrelatsioonifunktsiooni.
Kutsutakse välja rangemalt statsionaarne juhuslik protsess X(t). ergoodiline ootuses, kui
Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
Teoreem
Statsionaarne juhuslik protsess X(t), mille omadused on:
M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T
kas ootus on ergoodiline siis ja ainult siis
Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.
Selle tõestamiseks piisab ilmselt võrdsuse kontrollimisest
Paneme kirja ilmsed seosed
C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.
Seades siin τ = t^ – t, dτ = dt^ ja võttes arvesse tingimusi (t^ = T) → (τ = T - t),
(t^ = 0)→(τ = -t), saame
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =
= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ
Eeldades, et selle võrrandi parema poole esimeses ja teises liikmes on vastavalt τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, leiame
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ
Rakendades Dirichleti valemit topeltintegraalidele, kirjutame
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) / τk (T – τ)dτ
Parempoolsesse teise liikmesse saame panna τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, mille järel saame
Sellest ja konstantide definitsioonist on selge, et võrdsus
M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
Õiglane.
Teoreem
Kui statsionaarse juhusliku protsessi X(t) korrelatsioonifunktsioon k(τ) rahuldab tingimust
Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0
Siis on X(t) ootus ergoodiline.
Tõepoolest, arvestades suhet
M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
Võib kirjutada
0 ≤ (2/Т) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1– τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ
See näitab, et kui tingimus on täidetud, siis
Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0
Nüüd, võttes arvesse võrdsust
C \u003d (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ - (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ \u003d 2 / T ∫ (1- (τ / T) )k(τ)dτ
Ja tingimus Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
Ergoodsus statsionaarse juhusliku protsessi X(t) ootuses, leiame, et nõutav on tõestatud.
Teoreem.
Kui statsionaarse juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsioon k(τ).
X(t) on integreeritav ja väheneb piiramatult kui τ → ∞, st. tingimus
Suvalise ε > 0 korral on X(t) ootusergoodiline statsionaarne juhuslik protsess.
Tõepoolest, väljendust arvestades
Meil on Т≥Т 0 jaoks
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).
Minnes piirini Т → ∞, leiame
0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.
Kuna siin ε > 0 on suvaline, suvaliselt väike väärtus, on ergoodilisuse tingimus matemaatilise ootuse suhtes täidetud. Kuna see tuleneb tingimusest
K(τ) piiramatul vähenemisel tuleks teoreem lugeda tõestatuks.
Tõestatud teoreemid kehtestavad statsionaarsete juhuslike protsesside ergoodilisuse konstruktiivsed kriteeriumid.
X(t) = m + X(t), m = konst.
Siis M = m ja kui X(t) on ergoodiline statsionaarne juhuslik protsess, siis ergoodilisuse tingimust Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 saab pärast lihtsaid teisendusi esitada järgmiselt
LimM([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0
Siit järeldub, et kui X(t) on statsionaarne juhuslik protsess, mis on ootuses ergoodiline, siis protsessi X(t) = m + X(t) ootuse saab ligikaudselt arvutada valemiga
M = (1/T)/x(t)dt
Siin on T piisavalt pikk ajavahemik;
x(t) on protsessi X(t) rakendamine ajavahemikul .
Statsionaarse juhusliku protsessi X(t) ergoodilisust saame arvestada korrelatsioonifunktsiooni suhtes.
Nimetatakse statsionaarne juhuslik protsess X(t). ergoodiline korrelatsioonifunktsioonis, kui
Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0
See tähendab, et statsionaarse juhusliku protsessi X(t) jaoks, mis on korrelatsioonifunktsioonis ergoodiline, saame panna
k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt
piisavalt suure T-ga.
Selgub, et tingimus
statsionaarse normaaljaotusega protsessi X(t) korrelatsioonifunktsioonis on ergoodilisuseks piisav k(τ) piir.
Pange tähele, et juhuslikku protsessi nimetatakse normaalselt jaotunud kui mõni selle lõplike mõõtmetega jaotusfunktsioonidest on normaalne.
Statsionaarse normaaljaotusega juhusliku protsessi ergoodilisuse vajalik ja piisav tingimus on seos
τ 0: piir (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0
Kirjandus
1. N.Sh. Kremer "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika" / UNITI / Moskva 2007.
2. Yu.V. Koževnikov "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika" / Masinaehitus / Moskva 2002.
3. B.V. Gnedenko "Tõenäosusteooria kursus" / Füüsikalise ja matemaatilise kirjanduse põhiväljaanne / Moskva 1988.