Դիսկրետ բաշխման ֆունկցիա: Պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա
Գտնել.
ա) պարամետր A;
բ) բաշխման ֆունկցիա F(x) ;
գ) միջակայքում X պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը.
դ) մաթեմատիկական ակնկալիք MX և շեղում DX:
Գծե՛ք f(x) և F(x) ֆունկցիաները:
Առաջադրանք 2. Գտե՛ք ինտեգրալ ֆունկցիայի կողմից տրված պատահական X փոփոխականի շեղումը:
Առաջադրանք 3. Գտե՛ք X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ տրված բաշխման ֆունկցիայից:
Առաջադրանք 4. Որոշ պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը տրված է հետևյալ կերպ. f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Գտեք A գործակիցը, բաշխման ֆունկցիան F(x), մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը, ինչպես նաև այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք է ընդունում միջակայքում: Կազմեք f(x) և F(x) գրաֆիկները:
Առաջադրանք. Որոշ շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան տրված է հետևյալ կերպ.
Որոշեք a և b պարամետրերը, գտեք f(x) հավանականության խտության արտահայտությունը, մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը, ինչպես նաև այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում: Կազմեք f(x) և F(x) գրաֆիկները:
Գտնենք բաշխման խտության ֆունկցիան որպես բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալ։
F′=f(x)=a
Իմանալով, որ մենք կգտնենք a պարամետրը.
կամ 3a=1, որտեղից a = 1/3
Մենք գտնում ենք b պարամետրը հետևյալ հատկություններից.
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 որտեղից b = -1/3
Հետևաբար, բաշխման ֆունկցիան հետևյալն է՝ F(x) = (x-1)/3
Ցրվածություն.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Գտեք հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք է ընդունում միջակայքում
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Օրինակ #1. Տրված է շարունակական պատահական X փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունը f(x): Պահանջվում է:
- Որոշեք գործակից Ա.
- գտեք բաշխման ֆունկցիան F(x):
- սխեմատիկորեն գծագրել F(x) և f(x) .
- գտե՛ք X-ի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու շեղումը:
- գտե՛ք այն հավանականությունը, որ X-ը արժեք է վերցնում (2;3) միջակայքից:
Լուծում:
Պատահական X փոփոխականը տրվում է f(x) բաշխման խտությամբ.
Գտեք A պարամետրը պայմանից.
կամ
14/3*Ա-1=0
Որտեղ,
A = 3/14
Բաշխման ֆունկցիան կարելի է գտնել բանաձևով.
Պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաները և դրանց փոփոխականները գտնելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել գիտելիքի այս ոլորտի բոլոր հատկանիշները։ Քննարկվող արժեքները գտնելու մի քանի տարբեր մեթոդներ կան, ներառյալ փոփոխականը փոխելը և պահ ստեղծելը: Բաշխումը հասկացություն է, որը հիմնված է այնպիսի տարրերի վրա, ինչպիսիք են դիսպերսիան, տատանումները: Այնուամենայնիվ, նրանք բնութագրում են միայն ցրման տիրույթի աստիճանը:
Պատահական փոփոխականների ավելի կարևոր գործառույթներն այն գործառույթներն են, որոնք կապված են և անկախ, և հավասարապես բաշխված են: Օրինակ, եթե X1-ը արական պոպուլյացիայից պատահականորեն ընտրված անհատի կշիռն է, X2-ը մյուսի կշիռն է, ... և Xn-ը արական պոպուլյացիայից մեկ այլ անձի կշիռն է, ապա մենք պետք է իմանանք, թե ինչպես է պատահական X ֆունկցիան բաշխված է: Այս դեպքում կիրառվում է դասական թեորեմը, որը կոչվում է կենտրոնական սահմանային թեորեմ։ Այն թույլ է տալիս մեզ ցույց տալ, որ մեծ n-ի դեպքում ֆունկցիան հետևում է ստանդարտ բաշխմանը:
Մեկ պատահական փոփոխականի ֆունկցիաներ
Կենտրոնական սահմանային թեորեմը նախատեսված է խնդրո առարկա դիսկրետ արժեքներին մոտավորելու համար, ինչպիսիք են երկանդամը և Պուասոնը: Պատահական փոփոխականների բաշխման գործառույթները դիտարկվում են, առաջին հերթին, մեկ փոփոխականի պարզ արժեքների վրա: Օրինակ, եթե X-ը շարունակական պատահական փոփոխական է, որն ունի իր հավանականության բաշխումը: Այս դեպքում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես գտնել Y-ի խտության ֆունկցիան՝ օգտագործելով երկու տարբեր մոտեցումներ, մասնավորապես բաշխման ֆունկցիայի մեթոդը և փոփոխականի փոփոխությունը: Նախ, դիտարկվում են միայն մեկ առ մեկ արժեքներ: Այնուհետև դուք պետք է փոփոխեք փոփոխականը փոխելու տեխնիկան՝ գտնելու դրա հավանականությունը։ Վերջապես, պետք է սովորել, թե ինչպես կուտակային բաշխումը կարող է օգնել մոդելավորել պատահական թվեր, որոնք հետևում են որոշակի հաջորդական օրինաչափություններին:
Դիտարկվող արժեքների բաշխման եղանակը
Պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման ֆունկցիայի մեթոդը կիրառելի է դրա խտությունը գտնելու համար։ Այս մեթոդը կիրառելիս հաշվարկվում է կուտակային արժեքը: Այնուհետև, տարբերակելով այն, կարող եք ստանալ հավանականության խտությունը։ Այժմ, երբ մենք ունենք բաշխման ֆունկցիայի մեթոդը, մենք կարող ենք դիտել ևս մի քանի օրինակ: Թող X-ը լինի որոշակի հավանականության խտությամբ շարունակական պատահական փոփոխական:
Ո՞րն է x2-ի հավանականության խտության ֆունկցիան: Եթե նայեք կամ գծագրեք ֆունկցիան (վերևից և աջից) y \u003d x2, կարող եք նշել, որ այն աճող X և 0 է: Վերջին օրինակում մեծ ուշադրություն է դարձվել կուտակային ֆունկցիաները և հավանականության խտությունը X կամ Y-ով ինդեքսավորելու համար՝ ցույց տալու համար, թե որ պատահական փոփոխականին են դրանք պատկանում: Օրինակ՝ Y կուտակային բաշխման ֆունկցիան գտնելիս ստացանք X։ Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել X պատահական փոփոխական և դրա խտությունը, ապա պարզապես անհրաժեշտ է տարբերակել այն։ Թող X լինի շարունակական պատահական փոփոխական, որը տրված է f(x) ընդհանուր հայտարարով բաշխման ֆունկցիայի կողմից: Այս դեպքում, եթե դուք դնում եք y արժեքը X = v (Y) մեջ, ապա դուք ստանում եք x-ի արժեքը, օրինակ v (y): Այժմ մենք պետք է ստանանք Y շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան: Որտեղ առաջին և երկրորդ հավասարությունը տեղի է ունենում կուտակային Y-ի սահմանումից: Երրորդ հավասարությունը գործում է, քանի որ ֆունկցիայի այն մասը, որի համար u (X) ≤ y է: ճիշտ է նաև, որ X ≤ v (Y ): Իսկ վերջինս արվում է X շարունակական պատահական փոփոխականում հավանականությունը որոշելու համար։ Այժմ մենք պետք է վերցնենք FY (y) ածանցյալը՝ Y-ի կուտակային բաշխման ֆունկցիան, որպեսզի ստանանք Y-ի հավանականության խտությունը։ Ենթադրենք, որ X-ը շարունակական պատահական փոփոխական է՝ c1-ով սահմանված ընդհանուր f(x): Այս խնդիրը լուծելու համար կարելի է քանակական տվյալներ հավաքել և կիրառել էմպիրիկ կուտակային բաշխման ֆունկցիա: Այս տեղեկատվության հետ և դրան դիմելով, դուք պետք է միավորեք միջոցների նմուշները, ստանդարտ շեղումները, լրատվամիջոցների տվյալները և այլն: Նմանապես, նույնիսկ բավականին պարզ հավանական մոդելը կարող է հսկայական քանակությամբ արդյունքներ ունենալ: Օրինակ, եթե մետաղադրամը շուռ եք տալիս 332 անգամ: Այնուհետև պտույտներից ստացված արդյունքների թիվն ավելի մեծ է, քան google-ը (10100)՝ մի թիվ, բայց ոչ պակաս, քան 100 կվինտիլիոն անգամ ավելի, քան հայտնի տիեզերքի տարրական մասնիկները: Հետաքրքրված չեմ վերլուծությամբ, որը պատասխան է տալիս ամեն հնարավոր արդյունքի։ Կպահանջվի ավելի պարզ հայեցակարգ, օրինակ՝ գլուխների քանակը կամ պոչերի ամենաերկար հարվածը: Հետաքրքրող հարցերի վրա կենտրոնանալու համար ընդունվում է կոնկրետ արդյունք։ Սահմանումը այս դեպքում հետևյալն է՝ պատահական փոփոխականը իրական ֆունկցիա է՝ հավանականության տարածությամբ։ Պատահական փոփոխականի S միջակայքը երբեմն կոչվում է վիճակի տարածություն։ Այսպիսով, եթե X-ը խնդրո առարկա արժեքն է, ապա N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc և այլն: Դրանցից վերջինը՝ X-ը կլորացնելով մոտակա ամբողջ թվին, կոչվում է հատակային ֆունկցիա։ Երբ որոշվում է x պատահական փոփոխականի համար հետաքրքրող բաշխման ֆունկցիան, սովորաբար հարց է ծագում. Օրինակ, B = (կենտ թվեր), B = (1-ից մեծ) կամ B = (2-ի և 7-ի միջև) ցույց տալու այն արդյունքները, որոնք ունեն X, պատահական փոփոխականի արժեքը, A ենթաբազմությունում: Այսպիսով, վերը նշված Օրինակ, դուք կարող եք նկարագրել իրադարձությունները հետևյալ կերպ. (X-ը կենտ թիվ է), (X-ը մեծ է 1-ից) = (X > 1), (X-ը 2-ի և 7-ի միջև է) = (2) Այսպիսով, հնարավոր է հաշվարկել հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան արժեքներ կընդունի միջակայքում՝ հանելով: Պետք է հաշվի առնել վերջնակետերը ներառելու կամ բացառելու հարցը: Մենք պատահական փոփոխականը կանվանենք դիսկրետ, եթե այն ունի վերջավոր կամ հաշվելիորեն անսահման վիճակի տարածություն: Այսպիսով, X-ը կողմնակալ մետաղադրամի երեք անկախ շրջադարձերի գլխիկների թիվն է, որը բարձրանում է p հավանականությամբ: Մենք պետք է գտնենք X-ի համար դիսկրետ պատահական FX փոփոխականի կուտակային բաշխման ֆունկցիան: Թող X լինի գագաթների թիվը երեք քարտերից բաղկացած հավաքածուում: Այնուհետև Y = X3 FX-ի միջոցով: FX-ը սկսվում է 0-ից, ավարտվում է 1-ով և չի նվազում, քանի որ x արժեքները մեծանում են: Դիսկրետ պատահական X փոփոխականի կուտակային FX բաշխման ֆունկցիան հաստատուն է, բացառությամբ թռիչքների: Ցատկելիս FX-ը շարունակական է: Բաշխման ֆունկցիայի ճիշտ շարունակականության մասին պնդումը հնարավոր է ապացուցել հավանականության հատկությունից՝ օգտագործելով սահմանումը։ Այն հնչում է այսպես. հաստատուն պատահական փոփոխականն ունի կուտակային FX, որը տարբերվում է: Ցույց տալու համար, թե ինչպես դա կարող է տեղի ունենալ, մենք կարող ենք օրինակ բերել՝ միավորի շառավղով թիրախ: Ենթադրաբար. նետը հավասարաչափ բաշխված է նշված տարածքում: Որոշ λ> 0. Այսպիսով, շարունակական պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաները սահուն աճում են: FX-ն ունի բաշխման ֆունկցիայի հատկություններ: Տղամարդը կանգառում սպասում է մինչև ավտոբուսի ժամանումը։ Ինքն իրեն որոշելով, որ կհրաժարվի, երբ սպասելը հասնի 20 րոպեի։ Այստեղ անհրաժեշտ է գտնել T-ի կուտակային բաշխման ֆունկցիան: Այն ժամանակը, երբ մարդը դեռ կլինի ավտոկայանում կամ չի հեռանա: Չնայած այն հանգամանքին, որ կուտակային բաշխման ֆունկցիան սահմանված է յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի համար։ Միևնույն է, բավականին հաճախ կօգտագործվեն այլ բնութագրիչներ. զանգվածը դիսկրետ փոփոխականի համար և բաշխման խտության ֆունկցիան պատահական փոփոխականի համար: Սովորաբար արժեքը թողարկվում է այս երկու արժեքներից մեկի միջոցով: Այս արժեքները դիտարկվում են հետևյալ հատկություններով, որոնք ունեն ընդհանուր (զանգվածային) բնույթ. Առաջինը հիմնված է այն բանի վրա, որ հավանականությունները բացասական չեն։ Երկրորդը հետևում է այն դիտարկումից, որ բոլոր x=2S-ի բազմությունը, X-ի վիճակի տարածությունը, կազմում է X-ի հավանականական ազատության բաժանումը: Օրինակ. շպրտել կողմնակալ մետաղադրամ, որի արդյունքներն անկախ են: Դուք կարող եք շարունակել կատարել որոշակի գործողություններ, մինչև չստանաք գլուխների նետում: Թող X-ը նշանակի պատահական փոփոխական, որը տալիս է առաջին գլխի առջև գտնվող պոչերի քանակը: Իսկ p-ն նշանակում է տվյալ գործողության հավանականությունը: Այսպիսով, զանգվածային հավանականության ֆունկցիան ունի հետևյալ բնորոշ հատկանիշները. Քանի որ տերմինները կազմում են թվային հաջորդականություն, X-ը կոչվում է երկրաչափական պատահական փոփոխական։ Երկրաչափական սխեման c, cr, cr2,. , crn ունի գումար. Եվ, հետևաբար, sn-ն ունի n 1 սահման: Այս դեպքում անսահման գումարը սահմանն է: Վերևում գտնվող զանգվածի ֆունկցիան կազմում է հարաբերակցությամբ երկրաչափական հաջորդականություն: Հետևաբար, a և b բնական թվերը. Բաշխման ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունը հավասար է զանգվածային ֆունկցիայի արժեքին: Քննարկվող խտության արժեքներն ունեն հետևյալ սահմանումը. X-ը պատահական փոփոխական է, որի բաշխումը FX ունի ածանցյալ: Z-ին բավարարող FX xFX (x) = fX (t) dt-1 կոչվում է հավանականության խտության ֆունկցիա։ Իսկ X-ը կոչվում է շարունակական պատահական փոփոխական։ Հաշվի հիմնարար թեորեմում խտության ֆունկցիան բաշխման ածանցյալն է։ Դուք կարող եք հաշվարկել հավանականությունները՝ հաշվարկելով որոշակի ինտեգրալներ։ Քանի որ տվյալները հավաքվում են բազմաթիվ դիտարկումներից, փորձարարական ընթացակարգերը մոդելավորելու համար պետք է միաժամանակ հաշվի առնել մեկից ավելի պատահական փոփոխականներ: Հետևաբար, այս արժեքների հավաքածուն և դրանց համատեղ բաշխումը երկու փոփոխականների համար՝ X1 և X2, նշանակում է իրադարձությունների դիտում: Դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար սահմանվում են համատեղ հավանականական զանգվածային ֆունկցիաներ: Շարունակականների համար համարվում են fX1, X2, որտեղ բավարարված է համատեղ հավանականության խտությունը։ Երկու պատահական փոփոխականներ X1 և X2 անկախ են, եթե դրանց հետ կապված որևէ երկու իրադարձություն նույնն են: Բառերով, հավանականությունը, որ երկու իրադարձություն (X1 2 B1) և (X2 2 B2) տեղի են ունենում միաժամանակ, y, հավասար է վերը նշված փոփոխականների արտադրյալին, որ դրանցից յուրաքանչյուրը տեղի է ունենում առանձին: Անկախ դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար գոյություն ունի համատեղ հավանականական զանգվածի ֆունկցիա, որը սահմանափակող իոնային ծավալի արտադրյալն է։ Շարունակական պատահական փոփոխականների համար, որոնք անկախ են, համատեղ հավանականության խտության ֆունկցիան սահմանային խտության արժեքների արտադրյալն է: Վերջապես դիտարկվում են n անկախ դիտարկումներ x1, x2: , xn, որը առաջանում է անհայտ խտության կամ զանգվածի ֆունկցիայից f. Օրինակ, անհայտ պարամետր ֆունկցիաներում էքսպոնենցիալ պատահական փոփոխականի համար, որը նկարագրում է ավտոբուսի սպասման ժամանակը: Այս տեսական ոլորտի հիմնական նպատակն է տրամադրել այն գործիքները, որոնք անհրաժեշտ են վիճակագրական գիտության հիմնավոր սկզբունքների վրա հիմնված եզրակացությունների ընթացակարգերի մշակման համար: Այսպիսով, ծրագրաշարի օգտագործման շատ կարևոր դեպքը կեղծ տվյալներ ստեղծելու ունակությունն է՝ իրական տեղեկատվությունը նմանակելու համար: Սա հնարավորություն է տալիս փորձարկել և բարելավել վերլուծության մեթոդները, նախքան դրանք իրական տվյալների բազաներում օգտագործելը: Սա պահանջվում է մոդելավորման միջոցով տվյալների հատկությունները ուսումնասիրելու համար: Պատահական փոփոխականների շատ հաճախ օգտագործվող ընտանիքների համար R-ն տալիս է հրամաններ՝ դրանք ստեղծելու համար: Այլ հանգամանքների համար անհրաժեշտ կլինեն անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականության մոդելավորման մեթոդներ, որոնք ունեն ընդհանուր բաշխում: Դիսկրետ պատահական փոփոխականներ և նմուշի հրաման: Նմուշի հրամանն օգտագործվում է պարզ և շերտավորված պատահական նմուշներ ստեղծելու համար: Արդյունքում, եթե x հաջորդականությունը մուտքագրված է, նմուշը (x, 40) ընտրում է 40 գրառում x-ից այնպես, որ 40 չափի բոլոր ընտրություններն ունենան նույն հավանականությունը: Սա օգտագործում է լռելյայն R հրամանը առանց փոխարինման ստանալու համար: Կարող է օգտագործվել նաև դիսկրետ պատահական փոփոխականների մոդելավորման համար: Դա անելու համար x վեկտորում պետք է տրամադրել վիճակի տարածություն և f զանգվածային ֆունկցիա: Փոխարինելու կոչ = ՃՇՄԱՐԻՏ ցույց է տալիս, որ նմուշառումը կատարվում է փոխարինմամբ: Այնուհետև, ընդհանուր f զանգվածային ֆունկցիա ունեցող n անկախ պատահական փոփոխականների նմուշ տալու համար օգտագործվում է նմուշը (x, n, փոխարինում = ՃԻՇՏ, prob = f): Որոշվում է, որ 1-ը ներկայացված ամենափոքր արժեքն է, իսկ 4-ը բոլորից ամենամեծն է: Եթե prob = f հրամանը բաց է թողնվել, ապա նմուշը միատեսակ կընտրվի x վեկտորի արժեքներից: Դուք կարող եք ստուգել մոդելավորումը զանգվածային ֆունկցիայի նկատմամբ, որը գեներացրել է տվյալները՝ դիտելով կրկնակի հավասարման նշանը՝ ==: Եվ վերահաշվարկելով այն դիտարկումները, որոնք ընդունում են x-ի բոլոր հնարավոր արժեքը: Դուք կարող եք սեղան պատրաստել: Կրկնեք սա 1000 և համեմատեք սիմուլյացիան համապատասխան զանգվածային ֆունկցիայի հետ: Նախ, մոդելավորեք u1, u2, պատահական փոփոխականների միատարր բաշխման ֆունկցիաները: , un ինտերվալով . Թվերի մոտ 10%-ը պետք է լինի . Սա համապատասխանում է 10% սիմուլյացիաներին պատահական փոփոխականի միջակայքում, որտեղ ցուցադրված է FX բաշխման ֆունկցիան: Նմանապես, պատահական թվերի մոտ 10%-ը պետք է լինի միջակայքում: Սա համապատասխանում է FX բաշխման ֆունկցիայի պատահական փոփոխական միջակայքի 10% սիմուլյացիաներին: Այս արժեքները x առանցքի վրա կարելի է ստանալ՝ վերցնելով հակադարձ FX-ից: Եթե X-ը շարունակական պատահական փոփոխական է՝ իր տիրույթում ամենուր fX դրական խտությամբ, ապա բաշխման ֆունկցիան խիստ մեծանում է։ Այս դեպքում FX-ն ունի հակադարձ FX-1 ֆունկցիա, որը հայտնի է որպես քվական ֆունկցիա: FX (x) u միայն այն դեպքում, երբ x FX-1 (u): Հավանականության փոխակերպումը բխում է U = FX(X) պատահական փոփոխականի վերլուծությունից: FX-ն ունի 0-ից 1 միջակայք: Այն չի կարող վերցնել 0-ից ցածր կամ 1-ից բարձր արժեքներ: 0-ի և 1-ի միջև u արժեքների համար: Եթե U-ն կարելի է մոդելավորել, ապա անհրաժեշտ է մոդելավորել պատահական փոփոխական FX բաշխմամբ: Քվանտիլ ֆունկցիայի միջոցով: Վերցրեք ածանցյալը՝ տեսնելու, որ u խտությունը տատանվում է 1-ի սահմաններում: Քանի որ U պատահական փոփոխականը հաստատուն խտություն ունի իր հնարավոր արժեքների միջակայքում, այն կոչվում է միատեսակ միջակայքում: Այն մոդելավորվում է R-ում runif հրամանով։ Ինքնությունը կոչվում է հավանականական փոխակերպում: Դուք կարող եք տեսնել, թե ինչպես է այն աշխատում տեգերի տախտակի օրինակում: X 0-ի և 1-ի միջև, բաշխման ֆունկցիան u = FX(x) = x2, և հետևաբար քվանտիլ ֆունկցիան x = FX-1(u): Հնարավոր է մոդելավորել տեգերի վահանակի կենտրոնից հեռավորության անկախ դիտարկումները՝ միաժամանակ ստեղծելով U1, U2, պատահական միատեսակ փոփոխականներ: , Ուն. Բաշխման ֆունկցիան և էմպիրիկ ֆունկցիան հիմնված են նետ տախտակի բաշխման 100 մոդելավորման վրա։ Էքսպոնենցիալ պատահական փոփոխականի համար, ենթադրաբար, u = FX (x) = 1 - exp (- x), և հետևաբար x = - 1 ln (1 - u): Երբեմն տրամաբանությունը բաղկացած է համարժեք հայտարարություններից: Այս դեպքում դուք պետք է միացնեք փաստարկի երկու մասերը: Խաչմերուկի ինքնությունը նման է բոլոր 2 (S i i) S-ի համար՝ որոշ արժեքի փոխարեն: Ci միությունը հավասար է S վիճակի տարածությանը և յուրաքանչյուր զույգ իրարամերժ է։ Քանի որ Bi - բաժանված է երեք աքսիոմների. Յուրաքանչյուր ստուգում հիմնված է P հավանականության վրա: Ցանկացած ենթաբազմության համար: Ինքնության օգտագործումը՝ համոզվելու համար, որ պատասխանը կախված չէ նրանից, թե արդյոք ընդգրկված են միջակայքի վերջնակետերը: Բոլոր իրադարձությունների յուրաքանչյուր արդյունքի համար ի վերջո օգտագործվում է հավանականությունների շարունակականության երկրորդ հատկությունը, որը համարվում է աքսիոմատիկ: Այստեղ պատահական փոփոխականի ֆունկցիայի բաշխման օրենքը ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուրն ունի իր լուծումն ու պատասխանը։ Ցանկացած պատահական փորձի արդյունքը կարելի է բնութագրել որակապես և քանակապես։ Որակականպատահական փորձի արդյունք - պատահական
իրադարձություն. Ցանկացած քանակական բնութագիր, որը պատահական փորձի արդյունքում կարող է վերցնել որոշակի արժեքների շարքից մեկը, - պատահական արժեք.Պատահական արժեք
հավանականությունների տեսության կենտրոնական հասկացություններից է։ Թող լինի կամայական հավանականության տարածություն: Պատահական փոփոխականիրական թվային ֆունկցիա է x \u003d x (w), w W , այնպիսին, որ ցանկացած իրականի համար x . Իրադարձություն
սովորաբար գրվում է x< x. Հետևյալում պատահական փոփոխականները կնշանակվեն փոքրատառ հունարեն x, h, z,…
Պատահական փոփոխականը զառ նետելիս ընկած միավորների քանակն է կամ ուսումնասիրվող խմբից պատահականորեն ընտրված ուսանողի հասակը: Առաջին դեպքում գործ ունենք դիսկրետ պատահական փոփոխական(այն արժեքներ է վերցնում դիսկրետ թվերի հավաքածուից M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); երկրորդ դեպքում՝ հետ շարունակական պատահական փոփոխական(այն արժեքներ է վերցնում շարունակական թվերի հավաքածուից՝ թվային տողի միջակայքից Ի=). Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխական ամբողջությամբ որոշվում է իր կողմից բաշխման գործառույթ. Եթե x-ը պատահական փոփոխական է, ապա ֆունկցիան Ֆ(x) = Fx(x)
= Պ(x< x) կոչվում է բաշխման գործառույթպատահական փոփոխական x. Այստեղ Պ(x<x) - հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականն ավելի փոքր արժեք է վերցնում x. Կարևոր է հասկանալ, որ բաշխման ֆունկցիան պատահական փոփոխականի «անձնագիր» է. այն պարունակում է ամբողջ տեղեկատվությունը պատահական փոփոխականի մասին և հետևաբար. Պատահական փոփոխականի ուսումնասիրությունը բաղկացած է նրա ուսումնասիրությունից բաշխման գործառույթներ,հաճախ կոչվում է պարզապես բաշխում. Ցանկացած պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները. Եթե x-ը դիսկրետ պատահական փոփոխական է՝ հաշվի առնելով արժեքները x 1
<x 2 < … <x i < … с
вероятностями էջ 1 <էջ 2 < … <պի < …, то таблица вида կանչեց դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխում. Նման բաշխմամբ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ունի ձև Դիսկրետ պատահական փոփոխականն ունի փուլային բաշխման ֆունկցիա: Օրինակ, պատահական թվով միավորների համար, որոնք ընկել են զառի մեկ նետում, բաշխման, բաշխման ֆունկցիայի և բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է. Եթե բաշխման ֆունկցիան Fx(x) շարունակական է, ապա կանչվում է պատահական x փոփոխականը շարունակական պատահական փոփոխական: Եթե շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան տարբերակելի, ապա պատահական փոփոխականի ավելի տեսողական ներկայացում է տալիս p x պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը(x),
որը կապված է բաշխման ֆունկցիայի հետ Fx(x) բանաձևեր և . Սրանից, մասնավորապես, հետևում է, որ ցանկացած պատահական փոփոխականի համար . Գործնական խնդիրներ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում արժեքը գտնել x, որի դեպքում բաշխման ֆունկցիան է Fx(x) պատահական x փոփոխականը վերցնում է տրված արժեք էջ, այսինքն. դուք պետք է լուծեք հավասարումը Fx(x) = էջ. Նման հավասարման լուծումներ (համապատասխան արժեքներ x) հավանականությունների տեսության մեջ կոչվում են քվանտիլներ։ Քվանտիլ x p ( էջ-քվանտիլ, մակարդակի քվանտիլ էջ) բաշխման ֆունկցիա ունեցող պատահական փոփոխական Fx(x), կոչվում է լուծում xpհավասարումներ Fx(x) = էջ,
էջ(0, 1): Ոմանց համար էջհավասարումը Fx(x) = էջկարող է ունենալ մի քանի լուծում, ոմանց համար՝ ոչ մեկը։ Սա նշանակում է, որ համապատասխան պատահական փոփոխականի համար որոշ քվանտիլներ եզակիորեն սահմանված չեն, իսկ որոշ քվանտիլներ գոյություն չունեն: X պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան F(x) ֆունկցիան է՝ յուրաքանչյուր x-ի համար արտահայտելով X պատահական փոփոխականի արժեքը վերցնելու հավանականությունը:, ավելի փոքր x
Օրինակ 2.5. Տրված է պատահական փոփոխականի բաշխման մի շարք Գտեք և գրաֆիկորեն պատկերեք դրա բաշխման գործառույթը: Լուծում. Ըստ սահմանման F(jc) = 0 համար X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 ժամը X > 5. Այսպիսով (տես նկ. 2.1): Բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները. 1. Պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան զրոյի և մեկի միջև պարփակված ոչ բացասական ֆունկցիա է. 2. Պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա չնվազող ֆունկցիա է, այսինքն. ժամը X 2
> x 3. Մինուս անվերջության դեպքում բաշխման ֆունկցիան հավասար է զրոյի, գումարած անսահմանության դեպքում այն հավասար է մեկի, այսինքն. 4. Պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը Xմիջակայքումհավասար է նրա հավանականության խտության որոշակի ինտեգրալին՝ սկսած անախքան բ(տես նկ. 2.2), այսինքն. Բրինձ. 2.2 3. Շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան (տես նկ. 2.3) կարելի է արտահայտել հավանականության խտությամբ՝ օգտագործելով բանաձևը. F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտության անվերջ սահմաններում ոչ պատշաճ ինտեգրալը հավասար է մեկի. Երկրաչափական հատկություններ / և 4
հավանականության խտությունները նշանակում են, որ դրա սյուժեն է բաշխման կորը - գտնվում է x առանցքից ցածր, և նկարի ընդհանուր մակերեսը, սահմանափակ բաշխման կոր և x առանցք, հավասար է մեկին։ Շարունակական պատահական փոփոխականի համար Xակնկալվող արժեքը M(X)և շեղում D(X)որոշվում են բանաձևերով. (եթե ինտեգրալը բացարձակապես համընկնում է); կամ (եթե կրճատված ինտեգրալները համընկնում են): Վերևում նշված թվային բնութագրերի հետ մեկտեղ, պատահական փոփոխականը նկարագրելու համար օգտագործվում է քվանտիլների և տոկոսային կետերի հասկացությունը: q մակարդակի քվանտիլ(կամ q-quantile) այդպիսի արժեք էx քպատահական փոփոխական, որի բաշխման ֆունկցիան ընդունում է արժեքը, հավասար է q-ին,այսինքն. Համաձայն օրինակ 2.6-ի, գտե՛ք քվականը xqj և 30% պատահական փոփոխական կետ x.
Լուծում. Ըստ սահմանման (2.16) F(xo t3)= 0.3, այսինքն. ~Y~ = 0.3, որտեղից էլ քվ x 0 3 = 0,6: 30% պատահական փոփոխական կետ X, կամ քանակական Х)_о,з = xoj» գտնված է նմանապես ^ = 0,7 հավասարումից: որտեղից *,= 1.4. ? Պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերի թվում կան սկզբնական v* և կենտրոնական R* k-րդ կարգի պահերըԴիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների համար որոշվում են բանաձևերով. Հավանականության բաշխման ֆունկցիան և դրա հատկությունները: X-ի պատահական փոփոխականի F(x) հավանականության բաշխման ֆունկցիան x կետում այն հավանականությունն է, որ փորձի արդյունքում պատահական փոփոխականը կստանա x-ից պակաս արժեք, այսինքն. F(x)=P(X< х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0: Իսկապես, ըստ սահմանման, F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, քանի որ, ըստ սահմանման, F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կվերցնի [Α Β] միջակայքից, հավասար է այս ինտերվալի վրա հավանականության բաշխման ֆունկցիայի ավելացմանը։ P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), եթե x 2, > x 1, այսինքն. հավանականության բաշխման ֆունկցիան չնվազող ֆունկցիա է: 5. Հավանականության բաշխման ֆունկցիան ձախ կողմում շարունակական է: FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) x→ x o-ի համար Դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների հավանականության բաշխման ֆունկցիաների տարբերությունները լավ պատկերված են գրաֆիկներով: Թող, օրինակ, դիսկրետ պատահական փոփոխականն ունենա n հնարավոր արժեք, որի հավանականություններն են՝ P(X=x k )=p k , k=1,2,..n։ Եթե x ≤ x 1, ապա F(X)=0, քանի որ x-ի ձախ կողմում պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքներ չկան: Եթե x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Հետևաբար, F(x)=P(X=x 1)=p 1. Երբ x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Դիտարկենք պատահական փոփոխականի՝ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը, Δx>0՝ P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Եթե F(x) x կետում ունի դադար, ապա P(X=x) հավանականությունը հավասար կլինի տվյալ կետում ֆունկցիայի ցատկին։ Այսպիսով, շարունակական մեծության համար ցանկացած հնարավոր արժեքի առաջացման հավանականությունը զրո է։ P(X=x)=0 արտահայտությունը պետք է հասկանալ որպես այն հավանականության սահմանը, որ պատահական փոփոխականը կհայտնվի x կետի անսահման փոքր հարևանությամբ P(Α-ի համար):< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Դիսկրետ փոփոխականների համար այդ հավանականությունները նույնը չեն այն դեպքում, երբ Α և (կամ) Β միջակայքի սահմանները համընկնում են պատահական փոփոխականների հնարավոր արժեքների հետ։ Դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար անհրաժեշտ է խստորեն հաշվի առնել P(Α ≤X) բանաձևի անհավասարության տեսակը.<Β}=F(Β)-F(Α).Փոփոխականների փոփոխման տեխնիկա
Ընդհանրացում նվազեցման ֆունկցիայի համար
Բաշխման գործառույթներ
Պատահական փոփոխականներ և բաշխման ֆունկցիաներ
Զանգվածային գործառույթներ
Անկախ պատահական փոփոխականներ
Պատահական փոփոխականների մոդելավորում
Հավանականության փոխակերպման նկարազարդում
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան և դրա փոփոխականները
x 1
x 2
…
x i
…
էջ 1
էջ 2
…
պի
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Դիտարկենք F(x) ֆունկցիայի հատկությունները։