Дискретна функция на разпределение. Функция на разпределение на случайна величина
Намирам:
а) параметър А ;
б) функция на разпределение F(x) ;
в) вероятността за попадане на случайна променлива X в интервала ;
г) математическо очакване MX и дисперсия DX.
Начертайте функциите f(x) и F(x) .
Задача 2. Намерете дисперсията на случайната променлива X, дадена от интегралната функция.
Задача 3. Намерете математическото очакване на случайна променлива X при дадена функция на разпределение.
Задача 4. Плътността на вероятността на някаква случайна променлива е дадена, както следва: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Намерете коефициент A , функция на разпределение F(x) , математическо очакване и дисперсия, както и вероятността една случайна променлива да приеме стойност в интервала . Начертайте f(x) и F(x) графики.
Задача. Функцията на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива е дадена, както следва:
Определете параметрите a и b , намерете израза за плътността на вероятността f(x) , математическото очакване и дисперсията, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала . Начертайте f(x) и F(x) графики.
Нека намерим функцията на плътността на разпределението като производна на функцията на разпределение.
F′=f(x)=a
Знаейки, че ще намерим параметъра a:
или 3a=1, откъдето a = 1/3
Намираме параметъра b от следните свойства:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, откъдето b = -1/3
Следователно функцията на разпределение е: F(x) = (x-1)/3
дисперсия.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Намерете вероятността една случайна променлива да приеме стойност в интервала
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Пример #1. Дадена е плътността на вероятностното разпределение f(x) на непрекъсната случайна променлива X. Задължително:
- Определете коефициента А.
- намерете функцията на разпределение F(x) .
- начертайте схематично F(x) и f(x) .
- намерете математическото очакване и дисперсията на X.
- намерете вероятността X да вземе стойност от интервала (2;3).
Решение:
Случайната променлива X е дадена от плътността на разпределение f(x):
Намерете параметъра A от условието:
или
14/3*A-1=0
Където,
А = 3/14
Функцията на разпределение може да се намери по формулата.
За да се намерят функциите на разпределение на случайни променливи и техните променливи, е необходимо да се проучат всички характеристики на тази област на знанието. Има няколко различни метода за намиране на въпросните стойности, включително промяна на променлива и генериране на момент. Разпределението е концепция, базирана на елементи като дисперсия, вариации. Те обаче характеризират само степента на разсейване.
По-важните функции на случайните променливи са тези, които са свързани и независими и равномерно разпределени. Например, ако X1 е теглото на произволно избран индивид от популация мъже, X2 е теглото на друг, ... и Xn е теглото на друг човек от мъжката популация, тогава трябва да знаем как случайната функция X е разпределена. В този случай се прилага класическата теорема, наречена централна гранична теорема. Това ни позволява да покажем, че за големи n функцията следва стандартни разпределения.
Функции на една случайна променлива
Централната гранична теорема е предназначена да приближи въпросните дискретни стойности, като бином и Поасон. Функциите на разпределение на случайни променливи се разглеждат на първо място върху прости стойности на една променлива. Например, ако X е непрекъсната случайна променлива със собствено вероятностно разпределение. В този случай ние изследваме как да намерим функцията на плътност на Y, използвайки два различни подхода, а именно метода на функцията на разпределение и промяната в променливата. Първо, разглеждат се само стойности едно към едно. След това трябва да промените техниката на промяна на променливата, за да намерите нейната вероятност. И накрая, човек трябва да научи как кумулативното разпределение може да помогне за моделиране на произволни числа, които следват определени последователни модели.
Метод на разпределение на разглежданите стойности
Методът на функцията на вероятностното разпределение на случайна променлива е приложим за намиране на нейната плътност. При използване на този метод се изчислява кумулативна стойност. След това, като го диференцирате, можете да получите плътността на вероятността. Сега, след като имаме метода на разпределителната функция, можем да разгледаме още няколко примера. Нека X е непрекъсната случайна променлива с определена плътност на вероятността.
Каква е функцията на вероятностната плътност на x2? Ако погледнете или начертаете графиката на функцията (горе и вдясно) y \u003d x2, можете да забележите, че това е нарастващ X и 0 В последния пример беше използвано голямо внимание за индексиране на кумулативните функции и плътността на вероятността с X или Y, за да се посочи към коя случайна променлива принадлежат. Например, когато намираме кумулативната функция на разпределение Y, получаваме X. Ако трябва да намерите случайна променлива X и нейната плътност, тогава просто трябва да я диференцирате. Нека X е непрекъсната случайна променлива, дадена от функция на разпределение с общ знаменател f(x). В този случай, ако поставите стойността на y в X = v (Y), тогава ще получите стойността на x, например v (y). Сега трябва да получим функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Y. Където първото и второто равенство произтичат от дефиницията на кумулативното Y. Третото равенство е в сила, защото частта от функцията, за която u (X) ≤ y е също е вярно, че X ≤ v (Y ). И последното се прави, за да се определи вероятността в непрекъсната случайна променлива X. Сега трябва да вземем производната на FY (y), кумулативната функция на разпределение на Y, за да получим плътността на вероятността на Y. Нека X е непрекъсната случайна променлива с обща f(x), дефинирана върху c1 За да се реши този проблем, могат да се събират количествени данни и да се използва емпирична кумулативна функция на разпределение. С тази информация и привличането към нея трябва да комбинирате извадки от средни стойности, стандартни отклонения, медийни данни и т.н. По същия начин, дори един доста прост вероятностен модел може да има огромен брой резултати. Например, ако хвърлите монета 332 пъти. Тогава броят на получените резултати от flips е по-голям от този на google (10100) - число, но не по-малко от 100 квинтилиона пъти по-високо от елементарните частици в познатата ни вселена. Не се интересувам от анализ, който дава отговор на всеки възможен резултат. Ще бъде необходима по-проста концепция, като например броя на главите или най-дългия удар на опашките. За да се съсредоточи върху въпроси от интерес, се приема конкретен резултат. Дефиницията в този случай е следната: случайна променлива е реална функция с вероятностно пространство. Диапазонът S на случайна променлива понякога се нарича пространство на състоянието. Така, ако X е въпросната стойност, тогава N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и т.н. Последната от тях, закръгляваща X до най-близкото цяло число, се нарича подова функция. След като функцията на разпределение, която представлява интерес за случайната променлива x, е определена, въпросът обикновено става: "Какви са шансовете X да попадне в някакво подмножество от стойностите на B?". Например B = (нечетни числа), B = (по-големи от 1) или B = (между 2 и 7), за да посочите тези резултати, които имат X, стойността на случайната променлива, в подмножество A. Така че в горното Например, можете да опишете събитията по следния начин. (X е нечетно число), (X е по-голямо от 1) = (X > 1), (X е между 2 и 7) = (2 По този начин е възможно да се изчисли вероятността функцията на разпределение на случайна променлива x да приеме стойности в интервала чрез изваждане. Трябва да се обмисли включването или изключването на крайни точки. Ще наречем случайна променлива дискретна, ако има крайно или изброимо безкрайно пространство на състоянията. По този начин X е броят на главите при три независими хвърляния на монета с отклонение, която се покачва с вероятност p. Трябва да намерим кумулативната функция на разпределение на дискретна случайна променлива FX за X. Нека X е броят на пиковете в колекция от три карти. Тогава Y = X3 чрез FX. FX започва от 0, завършва при 1 и не намалява с увеличаване на стойностите на x. Кумулативната функция на разпределение на FX на дискретна случайна променлива X е постоянна, с изключение на скокове. При скок FX е непрекъснат. Възможно е да се докаже твърдението за правилната непрекъснатост на функцията на разпределение от свойството вероятност, като се използва дефиницията. Звучи така: постоянна случайна променлива има кумулативен FX, който е диференцируем. За да покажем как може да се случи това, можем да дадем пример: цел с единичен радиус. Предполага се. стрелата се разпределя равномерно върху определената площ. За някои λ> 0. По този начин функциите на разпределение на непрекъснати случайни променливи нарастват плавно. FX има свойствата на функция на разпределение. Мъж чака на автобусна спирка, докато автобусът пристигне. Като е решил за себе си, че ще откаже, когато чакането стане 20 минути. Тук е необходимо да се намери кумулативната функция на разпределение за T. Времето, когато човек все още ще бъде на автогарата или няма да тръгне. Въпреки факта, че кумулативната функция на разпределение е дефинирана за всяка случайна променлива. Все пак доста често ще се използват други характеристики: масата за дискретна променлива и функцията на плътност на разпределение на случайна променлива. Обикновено стойността се извежда чрез една от тези две стойности. Тези стойности се разглеждат от следните свойства, които са от общ (масов) характер. Първият се основава на факта, че вероятностите не са отрицателни. Второто следва от наблюдението, че множеството за всички x=2S, пространството на състоянията за X, образува дял на вероятностната свобода на X. Пример: хвърляне на монета с пристрастия, чиито резултати са независими. Можете да продължите да извършвате определени действия, докато получите хвърляне на глави. Нека X означава случайна променлива, която дава броя на опашките пред първата глава. И p означава вероятността за всяко дадено действие. И така, масовата вероятностна функция има следните характерни черти. Тъй като термините образуват числова последователност, X се нарича геометрична случайна променлива. Геометрична схема c, cr, cr2,. , crn има сума. И следователно sn има граница като n 1. В този случай безкрайната сума е границата. Масовата функция по-горе образува геометрична последователност със съотношение. Следователно естествените числа a и b. Разликата в стойностите във функцията на разпределение е равна на стойността на масовата функция. Стойностите на разглежданата плътност имат следната дефиниция: X е случайна променлива, чието разпределение FX има производна. FX, удовлетворяващ Z xFX (x) = fX (t) dt-1, се нарича функция на плътност на вероятността. И X се нарича непрекъсната случайна променлива. В основната теорема на смятането функцията на плътността е производна на разпределението. Можете да изчислите вероятности чрез изчисляване на определени интеграли. Тъй като данните се събират от множество наблюдения, трябва да се вземат предвид повече от една случайна променлива наведнъж, за да се моделират експерименталните процедури. Следователно наборът от тези стойности и тяхното съвместно разпределение за двете променливи X1 и X2 означава гледане на събития. За дискретни случайни променливи се дефинират съвместни вероятностни масови функции. За непрекъснатите се разглеждат fX1, X2, където общата плътност на вероятността е изпълнена. Две случайни променливи X1 и X2 са независими, ако две събития, свързани с тях, са еднакви. С думи, вероятността две събития (X1 2 B1) и (X2 2 B2) да се случат едновременно, y, е равна на произведението на променливите по-горе, че всяко от тях се случва поотделно. За независими дискретни случайни променливи има съвместна вероятностна масова функция, която е произведение на ограничаващия йонен обем. За непрекъснати случайни променливи, които са независими, съвместната функция на плътност на вероятността е произведението на пределните стойности на плътност. Накрая се разглеждат n независими наблюдения x1, x2. , xn произтичащи от неизвестна функция на плътност или маса f. Например неизвестен параметър във функции за експоненциална случайна променлива, описваща времето за изчакване на автобус. Основната цел на тази теоретична област е да предостави инструментите, необходими за разработване на процедури за изводи, базирани на здрави принципи на статистическата наука. По този начин, един много важен случай на използване на софтуера е способността за генериране на псевдоданни, за да имитират действителна информация. Това прави възможно тестването и подобряването на методите за анализ, преди да се наложи да ги използвате в реални бази данни. Това е необходимо, за да се изследват свойствата на данните чрез моделиране. За много често използвани семейства от случайни променливи R предоставя команди за генерирането им. При други обстоятелства ще са необходими методи за моделиране на последователност от независими случайни променливи, които имат общо разпределение. Дискретни случайни променливи и примерна команда. Командата sample се използва за създаване на прости и стратифицирани произволни проби. В резултат на това, ако е въведена последователност x, sample(x, 40) избира 40 записа от x, така че всички избори с размер 40 да имат еднаква вероятност. Това използва командата R по подразбиране за извличане без заместване. Може да се използва и за моделиране на дискретни случайни променливи. За да направите това, трябва да предоставите пространство на състоянията във вектора x и масовата функция f. Извикване за замяна = TRUE показва, че вземането на проби се извършва със замяна. След това, за да се даде извадка от n независими случайни променливи, имащи обща масова функция f, се използва извадката (x, n, replace = TRUE, prob = f). Установено е, че 1 е най-малката представена стойност, а 4 е най-голямата от всички. Ако командата prob = f е пропусната, тогава извадката ще се взема равномерно от стойностите във вектор x. Можете да проверите симулацията спрямо масовата функция, която е генерирала данните, като погледнете двойния знак за равенство, ==. И преизчисляване на наблюденията, които приемат всяка възможна стойност за х. Можете да направите маса. Повторете това за 1000 и сравнете симулацията със съответната масова функция. Първо, симулирайте хомогенни функции на разпределение на случайни променливи u1, u2,. , un на интервала . Около 10% от числата трябва да са в рамките на . Това съответства на 10% симулации на интервала за случайна променлива с показаната функция на FX разпределение. По същия начин около 10% от произволните числа трябва да са в интервала. Това съответства на 10% симулации на интервала на случайната променлива с функцията на разпределение FX. Тези стойности на оста x могат да бъдат получени чрез вземане на обратната стойност от FX. Ако X е непрекъсната случайна променлива с плътност fX положителна навсякъде в своята област, тогава функцията на разпределение е строго нарастваща. В този случай FX има обратна функция FX-1, известна като квантилна функция. FX (x) u само когато x FX-1 (u). Трансформацията на вероятността следва от анализа на случайната променлива U = FX(X). FX има диапазон от 0 до 1. Не може да приема стойности под 0 или над 1. За стойности на u между 0 и 1. Ако U може да се моделира, тогава е необходимо да се симулира случайна променлива с FX разпределение чрез квантилна функция. Вземете производната, за да видите, че плътността u варира в рамките на 1. Тъй като случайната променлива U има постоянна плътност в интервала от нейните възможни стойности, тя се нарича равномерна в интервала. Той е моделиран в R с командата runif. Идентичността се нарича вероятностна трансформация. Можете да видите как работи в примера с дартс. X между 0 и 1, функцията на разпределение u = FX(x) = x2, а оттам и квантилната функция x = FX-1(u). Възможно е да се моделират независими наблюдения на разстоянието от центъра на стрелата, като същевременно се генерират еднакви случайни променливи U1, U2,. , Un. Функцията на разпределение и емпиричната функция се основават на 100 симулации на разпределението на дъска за дартс. За експоненциална случайна променлива, вероятно u = FX (x) = 1 - exp (- x), и следователно x = - 1 ln (1 - u). Понякога логиката се състои от еквивалентни твърдения. В този случай трябва да свържете двете части на аргумента. Идентичността на пресичане е подобна за всички 2 (S i i) S, вместо някаква стойност. Обединението Ci е равно на пространството на състоянията S и всяка двойка е взаимно изключваща се. Тъй като Bi - е разделена на три аксиоми. Всяка проверка се основава на съответната вероятност P. За всяко подмножество. Използване на идентичност, за да се уверите, че отговорът не зависи от това дали са включени крайните точки на интервала. За всеки резултат във всички събития в крайна сметка се използва второто свойство на непрекъснатостта на вероятностите, което се счита за аксиоматично. Законът за разпределение на функцията на случайна променлива тук показва, че всяка има свое собствено решение и отговор. Резултатът от всеки случаен експеримент може да бъде характеризиран качествено и количествено. Качественарезултат от случаен експеримент - случаен
събитие. Всякакви количествена характеристика, който в резултат на случаен експеримент може да приеме една от определен набор от стойности, - произволна стойност.Случайна стойност
е едно от централните понятия на теорията на вероятностите. Нека е произволно вероятностно пространство. Случайна величинае реална числова функция x \u003d x (w), w W , така че за всяко реално х . Събитие
обикновено се записва като x< х. По-нататък случайните променливи ще бъдат обозначени с малки гръцки букви x, h, z, …
Случайна променлива е броят точки, паднали при хвърляне на зарове, или височината на ученик, произволно избран от групата за обучение. В първия случай имаме работа с отделен случайна величина(взима стойности от дискретен набор от числа М=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; във втория случай, с непрекъснато случайна величина(взема стойности от непрекъснат набор от числа - от интервала на числовата линия аз=). Всяка случайна променлива се определя изцяло от нейната разпределителна функция. Ако x е случайна променлива, тогава функцията Е(х) = Fx(х)
= П(х< х) е наречен разпределителна функцияслучайна променлива x. Тук П(х<х) - вероятността случайната променлива x да приеме стойност, по-малка от х. Важно е да се разбере, че функцията на разпределение е "паспорт" на случайна променлива: тя съдържа цялата информация за случайната променлива и следователно изследването на случайна променлива се състои в изследване на нейната разпределителни функции,често се нарича просто разпространение. Функцията на разпределение на всяка случайна променлива има следните свойства: Ако x е дискретна случайна променлива, приемаща стойностите х 1
<х 2 < … <x i < … с
вероятностями стр 1 <стр 2 < … <пи < …, то таблица вида Наречен разпределение на дискретна случайна променлива. Функцията на разпределение на случайна променлива с такова разпределение има формата Дискретна случайна променлива има функция на стъпаловидно разпределение. Например, за произволен брой точки, паднали при едно хвърляне на зар, графиката на разпределението, функцията на разпределение и функцията на разпределение изглеждат така: Ако функцията на разпределение Fx(х) е непрекъсната, тогава се извиква случайната променлива x непрекъсната случайна променлива. Ако функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива диференцируеми, тогава дава по-визуално представяне на случайната променлива плътност на вероятността на случайна променлива p x(х),
което е свързано с разпределителната функция Fx(х) формули и . От това по-специално следва, че за всяка случайна променлива . При решаването на практически проблеми често е необходимо да се намери стойността х, при което функцията на разпределение Fx(х) случайната променлива x приема дадена стойност стр, т.е. трябва да решите уравнението Fx(х) = стр. Решения на такова уравнение (съответните стойности х) в теорията на вероятностите се наричат квантили. Квантил x p ( стр-квантил, квантил на ниво стр) случайна променлива с функция на разпределение Fx(х), се нарича решение xpуравнения Fx(х) = стр,
стр(0, 1). За някои струравнението Fx(х) = стрможе да има няколко решения, за някои - нито едно. Това означава, че за съответната случайна променлива някои квантили не са еднозначно дефинирани, а някои квантили не съществуват. Функцията на разпределение на случайна променлива X е функцията F(x), изразяваща за всяко x вероятността случайната променлива X да приеме стойността, по-малък х
Пример 2.5. Дадена е серия от разпределение на случайна променлива Намерете и изобразете графично неговата функция на разпределение. Решение. Според дефиницията F(jc) = 0 за хх F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5. И така (вижте Фиг. 2.1): Свойства на функцията на разпределение: 1. Функцията на разпределение на случайна променлива е неотрицателна функция, затворена между нула и едно: 2. Функцията на разпределение на случайна променлива е ненамаляваща функция по цялата числова ос, т.е. при х 2
>x 3. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула, при плюс безкрайност е равна на единица, т.е. 4. Вероятност за попадение на случайна променлива хв интервалае равен на определения интеграл от неговата плътност на вероятността, варираща от апреди b(виж Фиг. 2.2), т.е. Ориз. 2.2 3. Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива (виж Фиг. 2.3) може да бъде изразена по отношение на плътността на вероятността, като се използва формулата: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Неправилен интеграл в безкрайни граници на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива е равен на единица: Геометрични свойства / и 4
плътностите на вероятността означават, че неговата графика е крива на разпределение - лежи не под оста x, и общата площ на фигурата, ограничена крива на разпределение и оста x, е равно на едно. За непрекъсната случайна променлива хочаквана стойност M(X)и дисперсия D(X)се определят по формулите: (ако интегралът се сближава абсолютно); или (ако редуцираните интеграли се събират). Заедно с цифровите характеристики, отбелязани по-горе, концепцията за квантили и процентни точки се използва за описание на случайна променлива. квантил на ниво q(или q-квантил) е такава стойностx qслучайна величина, при което неговата функция на разпределение приема стойност, равно на q,т.е. Според пример 2.6 намерете квантила xqj и 30% произволна променлива точка х.
Решение. По дефиниция (2.16) F(xo t3)= 0.3, т.е. ~Y~ = 0,3, откъдето е квантилът х 0 3 = 0,6. 30% случайна променлива точка х, или квантил Х)_о,з = xoj» се намира по подобен начин от уравнението ^ = 0,7. откъдето *, = 1.4. ? Сред числените характеристики на случайна променлива има начален v* и централен R* моменти от k-ти ред, определени за дискретни и непрекъснати случайни променливи по формулите: Функция на вероятностното разпределение и нейните свойства. Функцията на разпределение на вероятността F(x) на случайна променлива X в точка x е вероятността в резултат на експеримента случайната променлива да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x)=P(X< х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Наистина, по дефиниция F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, тъй като по дефиниция F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност от интервала [Α Β] е равна на увеличението на функцията на разпределение на вероятностите върху този интервал. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), ако x 2, > x 1, т.е. функцията на разпределение на вероятностите е ненамаляваща функция. 5. Функцията на вероятностното разпределение е непрекъсната отляво. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) за x→ x o Разликите между функциите на вероятностното разпределение на дискретни и непрекъснати случайни променливи са добре илюстрирани с графики. Нека, например, дискретна случайна променлива има n възможни стойности, вероятностите за които са P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Ако x ≤ x 1, тогава F(X)=0, тъй като няма възможни стойности на случайната променлива вляво от x. Ако x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Следователно, F(x)=P(X=x 1 )=p 1. Когато x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Помислете за вероятността случайна променлива да попадне в интервала, Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Ако F(x) има прекъсване в точка x, тогава вероятността P(X=x) ще бъде равна на скока на функцията в тази точка. По този начин вероятността за поява на всяка възможна стойност за непрекъснато количество е нула. Изразът P(X=x)=0 трябва да се разбира като границата на вероятността една случайна променлива да попадне в безкрайно малка околност на точката x за P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. За дискретни променливи тези вероятности не са еднакви в случай, че границите на интервала Α и (или) Β съвпадат с възможните стойности на случайните променливи. За дискретна случайна променлива е необходимо стриктно да се вземе предвид вида на неравенството във формулата P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).Техника за промяна на променливите
Обобщение за редукционната функция
Функции на разпределение
Случайни променливи и функции на разпределение
Групови функции
Независими случайни променливи
Симулация на случайни променливи
Илюстриране на вероятностна трансформация
Експоненциална функция и нейните променливи
х 1
х 2
…
x i
…
стр 1
стр 2
…
пи
…
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Разгледайте свойствата на функцията F(x).