Terve arv. Vähim levinud mitmik ja suurim ühine jagaja
1) Jagan kohe arvuga, kuna mõlemad arvud jaguvad 100% arvuga:
2) Jagan ülejäänud suurte arvudega, kuna need jagatakse ilma jäägita (samal ajal ma ei lagune - see on juba ühine jagaja):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) Ma lahkun ja hakkan üksi ning hakkan arvestama numbreid ja. Mõlemad arvud on täpselt jaguvad arvuga (lõpevad paarisnumbritega (sel juhul esitame kujul, kuid neid saab jagada)):
4) Töötame numbritega ja. Kas neil on ühiseid jagajaid? See on sama lihtne kui eelmistes sammudes ja te ei saa seda öelda, seega jagame need lihtsalt lihtsateks teguriteks:
5) Nagu näeme, oli meil õigus: ja neil pole ühiseid jagajaid ja nüüd tuleb korrutada.
GCD
Ülesanne number 2. Leidke numbrite 345 ja 324 GCD
Ma ei leia siit kiiresti vähemalt ühte ühist jagajat, seega jagan lihtsalt algteguriteks (võimalikult vähesteks):
Täpselt, GCD, ja ma ei kontrollinud algselt jagatavuskriteeriumit ja võib-olla ei peaks ma nii palju toiminguid tegema.
Aga sa kontrollisid, eks?
Nagu näete, on see üsna lihtne.
Least common multiple (LCM) – säästab aega, aitab lahendada probleeme väljaspool kasti
Oletame, et teil on kaks numbrit – ja. Mis on väikseim arv, millega jagub jäljetult(st täielikult)? Kas on raske ette kujutada? Siin on teile visuaalne vihje:
Kas mäletate, mida see kiri tähendab? See on õige, lihtsalt täisarvud. Mis on siis väikseim arv, mis sobib x-ga? :
Sel juhul.
Sellest lihtne näide järgib mitmeid reegleid.
Reeglid NOC kiireks leidmiseks
Reegel 1. Kui üks kahest naturaalarvust jagub teise arvuga, on nendest kahest arvust suurem nende vähim ühiskordne.
Leidke järgmised numbrid:
- NOC (7;21)
- NOC (6;12)
- NOC (5;15)
- NOC (3;33)
Muidugi tulite selle ülesandega hõlpsalt toime ja saite vastused - ja.
Pange tähele, et reeglis räägime KAHEST numbrist, kui numbreid on rohkem, siis reegel ei tööta.
Näiteks LCM (7;14;21) ei ole võrdne 21-ga, kuna seda ei saa ilma jäägita jagada.
Reegel 2. Kui kaks (või rohkem kui kaks) arvu on kaasalgarvud, siis vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.
leida NOC järgmistele numbritele:
- NOC (1; 3; 7)
- NOC (3; 7; 11)
- NOC (2; 3; 7)
- NOC (3;5;2)
Kas sa lugesid? Siin on vastused - , ; .
Nagu te mõistate, ei ole alati nii lihtne seda sama x-i võtta ja üles võtta, nii et veidi keerukamate arvude jaoks on järgmine algoritm:
Kas harjutame?
Leia vähim ühine kordne – LCM (345; 234)
Jaotame iga numbri:
Miks ma just kirjutasin?
Pidage meeles jaguvuse märke: jagub arvuga (viimane number on paaris) ja numbrite summa jagub arvuga.
Vastavalt sellele saame kohe jagada, kirjutades selle kui.
Nüüd kirjutame reale välja pikima laienduse - teise:
Lisame sellele esimese laienduse numbrid, mis ei sisaldu selles, mida me välja kirjutasime:
Märkus: kirjutasime välja kõik, välja arvatud, kuna meil on see juba olemas.
Nüüd peame kõik need arvud korrutama!
Leidke ise vähim ühiskordaja (LCM).
Milliseid vastuseid saite?
Minuga juhtus järgmine:
Kui kaua sul aega kulus, et leida NOC? Minu aeg on 2 minutit, ma tõesti tean üks trikk, mille soovitan sul kohe avada!
Kui olete väga tähelepanelik, siis ilmselt märkasite, et antud numbrite jaoks oleme juba otsinud GCD ja võite võtta nende arvude faktoriseerimise sellest näitest, lihtsustades sellega oma ülesannet, kuid see pole kaugeltki kõik.
Vaata pilti, äkki tulevad sulle veel mõned mõtted:
Noh? Ma annan teile vihje: proovige korrutada NOC ja GCD omavahel ja pane kirja kõik tegurid, mis korrutamisel tulevad. Kas said hakkama? Peaksite saama sellise ahela:
Vaadake seda lähemalt: võrrelge tegureid sellega, kuidas ja need lagunevad.
Millise järelduse saate sellest teha? Õigesti! Kui korrutame väärtused NOC ja GCD omavahel, siis saame nende arvude korrutise.
Vastavalt sellele, omades numbreid ja tähendust GCD(või NOC), leiame NOC(või GCD) järgmisel viisil:
1. Leidke arvude korrutis:
2. Jagame saadud töö meie omaga GCD (6240; 6800) = 80:
See on kõik.
Kirjutame reegli üldkujul:
Proovige leida GCD kui on teada, et:
Kas said hakkama? .
Negatiivsed arvud - "valed numbrid" ja nende äratundmine inimkonna poolt.
Nagu te juba aru saite, on need arvud vastupidised loomulikele numbritele, see tähendab:
Tundub, et nad on nii erilised?
Kuid fakt on see, et negatiivsed arvud "võitsid" oma õige koha matemaatikas kuni 19. sajandini (kuni selle hetkeni oli see suur summa vaidleb selle üle, kas need on olemas või mitte).
Negatiivne arv ise tekkis sellise tehte tõttu naturaalarvudega nagu "lahutamine".
Tõepoolest, lahutage - see on negatiivne arv. Seetõttu nimetatakse sageli negatiivsete arvude hulka "naturaalarvude hulga laiendus".
Inimesed ei tundnud negatiivseid numbreid pikka aega ära.
Niisiis, Vana-Egiptus, Babülon ja Vana-Kreeka- oma aja tuled, ei tundnud ära negatiivseid numbreid ja võrrandis negatiivsete juurte saamise korral (näiteks nagu meil) lükati juured välja kui võimatud.
Esimest korda said negatiivsed arvud õiguse eksisteerida Hiinas ja seejärel 7. sajandil Indias.
Mida arvate sellest ülestunnistusest?
Täpselt nii, negatiivsed numbrid hakkasid tähistama võlad (muidu - puudus).
Usuti, et negatiivsed numbrid on ajutine väärtus, mis selle tulemusena muutub positiivseks (st raha tagastatakse ikkagi võlausaldajale). India matemaatik Brahmagupta pidas aga negatiivseid arve positiivsetega võrdseks.
Euroopas tuli negatiivsete arvude kasulikkus, aga ka asjaolu, et need võivad tähistada võlga, palju hiljem, see tähendab aastatuhandet.
Esimest korda mainiti 1202. aastal Leonard of Pisa "Abakuse raamatus" (ütlen kohe, et raamatu autoril pole Pisa torniga mingit pistmist, kuid Fibonacci numbrid on tema töö ( Pisa Leonardo hüüdnimi on Fibonacci)).
Nii uskus Pascal seda XVII sajandil.
Mis sa arvad, kuidas ta seda õigustas?
See on õige, "miski ei saa olla vähem kui MITTE MISKI".
Nende aegade kaja on tõsiasi, et negatiivset arvu ja lahutamise operatsiooni tähistatakse sama sümboliga - miinus "-". Ja tõsi:. Kas arv " " on positiivne, millest lahutatakse, või negatiivne, millele liidetakse? ... Midagi sarjast "Kumb on enne: kana või muna?" Siin on selline matemaatiline filosoofia.
Negatiivsed arvud kindlustasid oma õiguse eksisteerida analüütilise geomeetria tulekuga ehk siis, kui matemaatikud võtsid sellise asja kasutusele reaalteljena.
Sellest hetkest alates tuli võrdsus. Küsimusi oli siiski rohkem kui vastuseid, näiteks:
proportsioon
Seda osakaalu nimetatakse Arno paradoksiks. Mõelge sellele, mis on selles kaheldav?
Arutame koos " " rohkem kui " " eks? Seega loogika kohaselt peaks proportsiooni vasak pool olema suurem kui parem pool, kuid need on võrdsed ... Siin on see paradoks.
Selle tulemusena leppisid matemaatikud kokku, et Karl Gauss (jah, jah, see on see, kes arvestas arvude summaga (või)) tegi sellele 1831. aastal lõpu.
Ta ütles, et negatiivsetel arvudel on samad õigused kui positiivsetel ja see, et need ei kehti kõigi asjade kohta, ei tähenda midagi, kuna ka murded ei kehti paljude asjade kohta (ei juhtu, et kaevaja kaevab auku, te ei saa osta piletit kinosse jne).
Matemaatikud rahunesid alles 19. sajandil, mil negatiivsete arvude teooria lõid William Hamilton ja Hermann Grassmann.
Nii vastuolulised need negatiivsed numbrid ongi.
"Tühjuse" tekkimine ehk nulli elulugu.
Matemaatikas eriarv.
Esmapilgul pole see midagi: liitke, lahutage - midagi ei muutu, kuid peate selle lihtsalt omistama "" õigusele ja saadud arv on mitu korda suurem kui algne.
Nulliga korrutades muudame kõik eimiskiks, aga jagada "mittemillegiga" ei saa. Ühesõnaga maagiline number)
Nulli ajalugu on pikk ja keeruline.
Hiinlaste kirjutistest leitakse 2000. aastal pKr. ja isegi varem maias. Nullsümboli esimest korda, nagu see praegu on, nähti Kreeka astronoomide seas.
Selle kohta, miks valiti selline tähistus "mitte midagi", on palju versioone.
Mõned ajaloolased kalduvad arvama, et tegemist on omikroniga, s.o. Kreeka sõna tühiku esimene täht on ouden. Teise versiooni kohaselt andis sõna “obol” (peaaegu väärtusetu münt) nulli sümbolile elu.
Null (või null) kui matemaatiline sümbol ilmub esmakordselt indiaanlaste seas(pange tähele, et negatiivsed numbrid hakkasid seal "arenema").
Esimesed usaldusväärsed tõendid nulli kirjutamise kohta pärinevad aastast 876 ja neis on "" arvu komponent.
Ka null jõudis Euroopasse hilinemisega – alles 1600. aastal ja nagu negatiivsed numbrid, seisis seegi vastu (mis teha, nad on eurooplased).
"Zero oli sageli vihatud, kardeti pikka aega ja isegi keelatud"— kirjutab Ameerika matemaatik Charles Seif.
Niisiis, Türgi sultan Abdul-Hamid II 19. sajandi lõpus. käskis oma tsensoritel H2O vee valem kõigist keemiaõpikutest kustutada, võttes O-tähe nulliks ega tahtnud, et tema initsiaalid saaksid laimatud põlastusväärse nulli läheduse tõttu.
Internetist võib leida lause: “Null on universumi võimsaim jõud, see suudab kõike! Null loob matemaatikas korra ja see toob sinna ka kaose. Täiesti õige jutt :)
Lõigu kokkuvõte ja põhivalemid
Täisarvude komplekt koosneb kolmest osast:
- naturaalarvud (vaatleme neid allpool üksikasjalikumalt);
- loomulikele vastandlikud arvud;
- null - " "
Täisarvude hulk on tähistatud täht Z.
1. Naturaalarvud
Naturaalarvud on arvud, mida me kasutame objektide loendamiseks.
Naturaalarvude hulk on tähistatud täht N.
Täisarvudega tehtavates operatsioonides on teil vaja GCD ja LCM-i leidmise võimalust.
Suurim ühine jagaja (GCD)
NOD-i leidmiseks vajate:
- Lagundada arvud algteguriteks (arvudeks, mida ei saa jagada millegi muuga peale iseenda ega näiteks vms).
- Kirjutage üles tegurid, mis on osa mõlemast arvust.
- Korrutage need.
Least Common Multiple (LCM)
NOC leidmiseks vajate:
- Tegurige arvud algteguriteks (te juba teate, kuidas seda väga hästi teha).
- Kirjutage välja tegurid, mis sisalduvad ühe arvu laiendamisel (parem on võtta pikim ahel).
- Lisage neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid.
- Leidke saadud tegurite korrutis.
2. Negatiivsed arvud
Need on arvud, mis on vastupidised naturaalarvudele, see tähendab:
Nüüd ma tahan sinust kuulda...
Loodan, et hindasite selle jaotise ülikasulikke "nippe" ja mõistsite, kuidas need teid eksamil aitavad.
Ja mis veelgi olulisem, elus. Ma ei räägi sellest, aga uskuge mind, see on nii. Kiire ja vigadeta loendamise oskus päästab paljudes elusituatsioonides.
Nüüd on sinu kord!
Kirjutage, kas kasutate arvutustes rühmitamismeetodeid, jagamiskriteeriume, GCD-d ja LCM-i?
Võib-olla olete neid varem kasutanud? Kus ja kuidas?
Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.
Kirjutage kommentaaridesse, kuidas teile artikkel meeldib.
Ja edu teile eksamitel!
Täisarvud - need on naturaalarvud, samuti nende vastandarvud ja null.
Täisarvud— naturaalarvude hulga laiendamine N, mis saadakse lisamisel N 0 ja negatiivsed arvud nagu − n. Täisarvude hulk tähistab Z.
Täisarvude summa, vahe ja korrutis annavad jällegi täisarvud, s.t. täisarvud moodustavad liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes rõnga.
Täisarvud arvureal:
Mitu täisarvu? Mitu täisarvu? Suurimat ega väikseimat täisarvu pole olemas. See sari on lõputu. Suurimat ja väikseimat täisarvu ei eksisteeri.
Nimetatakse ka naturaalarve positiivne täisarvud, st. fraas" naturaalarv" ja "positiivne täisarv" on samad.
Ei harilikud ega kümnendmurrud ei ole täisarvud. Kuid on ka täisarvudega murde.
Täisarvude näited: -8, 111, 0, 1285642, -20051 ja nii edasi.
Lihtsamalt öeldes on täisarvud (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) on täisarvude jada. See tähendab, et need, mille murdosa (()) on võrdne nulliga. Neil pole aktsiaid.
Naturaalarvud on positiivsed täisarvud. Terved numbrid, näiteid: (1,2,3,4...+ ∞).
Tehted täisarvudega.
1. Täisarvude summa.
Kahe sama märgiga täisarvu liitmiseks tuleb liita nende arvude moodulid ja panna lõppmärk summa ette.
Näide:
(+2) + (+5) = +7.
2. Täisarvude lahutamine.
Kahe täisarvu lisamiseks koos erinevad märgid, on vaja suurema arvu moodulist lahutada väiksema arvu moodul ja panna vastuse ette suurema moodularvu märk.
Näide:
(-2) + (+5) = +3.
3. Täisarvude korrutamine.
Kahe täisarvu korrutamiseks on vaja korrutada nende arvude moodulid ja panna korrutise ette plussmärk (+), kui algsed arvud olid sama märgiga, ja miinus (-), kui need olid erinevad.
Näide:
(+2) ∙ (-3) = -6.
Mitme arvu korrutamisel on korrutise märk positiivne, kui mittepositiivsete tegurite arv on paaris, ja negatiivne, kui see on paaritu.
Näide:
(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 mittepositiivset tegurit).
4. Täisarvude jagamine.
Täisarvude jagamiseks on vaja jagada ühe moodul teise mooduliga ja panna tulemuse ette "+" märk, kui arvude märgid on samad, ja miinus, kui need on erinevad.
Näide:
(-12) : (+6) = -2.
Täisarvude omadused.
Z ei ole suletud 2 täisarvu ( nt 1/2). Allolev tabel näitab mis tahes täisarvude liitmise ja korrutamise põhiomadusi. a, b ja c.
Kinnisvara |
lisamine |
korrutamine |
isolatsioon |
a + b- terve |
a × b- terve |
assotsiatiivsus |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a × ( b × c) = (a × b) × c |
kommutatiivsus |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
Olemasolu neutraalne element |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
Olemasolu vastandelement |
a + (−a) = 0 |
a ≠ ± 1 ⇒ 1/a ei ole terviklik |
jaotus korrutamine suhtes täiendused |
a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) |
Tabelist võib järeldada, et Z on kommutatiivne ring, mille liitmise ja korrutamise all on ühtsus.
Täisarvude hulgal standardjaotust ei eksisteeri, küll aga on olemas nn jäägiga jagamine: mis tahes täisarvude jaoks a ja b, b≠0, on üks täisarvude komplekt q ja r, mida a = bq + r ja 0≤r<|b| , kus |b| on arvu absoluutväärtus (moodul). b. Siin a- jagatav b- jagaja, q- privaatne, r- ülejäänu.
Esimest korda hakati negatiivseid arve kasutama Vana-Hiinas ja Indias, Euroopas võtsid need matemaatikas kasutusele Nicolas Shuquet (1484) ja Michael Stiefel (1544).
Algebralised omadused
ei ole suletud kahe täisarvu jagamisel (näiteks 1/2). Järgmine tabel illustreerib mis tahes täisarvude liitmise ja korrutamise põhiomadusi. a, b ja c.
lisamine | korrutamine | |
sulgemine: | a + b- terve | a × b- terve |
assotsiatiivsus: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × ( b × c) = (a × b) × c |
kommutatiivsus: | a + b = b + a | a × b = b × a |
neutraalse elemendi olemasolu: | a + 0 = a | a× 1 = a |
vastupidise elemendi olemasolu: | a + (−a) = 0 | a≠ ±1 ⇒ 1/ a ei ole terviklik |
korrutamise jaotus liitmise suhtes: | a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) |
numbrisüsteemid |pealkiri4= Arvude hierarhia |loend4=
|
|||||||||||||
Kompleksarvud |
numbrisüsteemid
|list5=Kardinaalnumbrid - Kindlasti tuleks voodisse ümber istuda, siin pole see võimalik ...
Haige mees oli arstidest, printsessidest ja teenijatest nii ümbritsetud, et Pierre ei näinud enam seda punakaskollast halli lakkaga pead, mis vaatamata sellele, et ta nägi teisi nägusid, ei kadunud hetkekski silmist kogu aja jooksul. teenus. Pierre aimas tooli ümbritsevate inimeste ettevaatlikust liikumisest, et surevat meest tõsteti ja kantakse.
"Hoia mu käest kinni, sa kukud selle nii maha," kuulis ta ühelt teenijalt ehmunud sosinat, "altpoolt... veel üks," kostis hääli ning inimeste raske hingamine ja sammud muutusid. kiirustavamad, nagu oleks nende koorem üle jõu käiv.
Kandjad, kelle hulgas oli ka Anna Mihhailovna, tõmbasid noormehega tasa ning hetkeks paistis inimeste selja ja selja tagant välja kõrge, paks, lahtine rind, haiged õlad olid paksud, rahva poolt üles tõstetud. hoides teda kaenla all, ja hallikarva lokkis juustega lõvipea. Seda ebatavaliselt laia lauba ja põsesarnadega pead, kauni sensuaalse suu ja majesteetliku külma ilmega pead ei moonutanud surma lähedus. Ta oli sama, keda Pierre tundis kolm kuud tagasi, kui krahv lasi tal Peterburi minna. Kuid see pea kõikus abitult kandjate ebatasastest sammudest ja külm, ükskõikne pilk ei teadnud, kus peatuda.
Kõrge voodi juures möödus mõni minut askeldamist; haiget kandnud inimesed läksid laiali. Anna Mihhailovna puudutas Pierre'i kätt ja ütles talle: "Venezi." [Mine.] Pierre läks koos temaga üles voodisse, millele haige mees pandi pidulikus poosis, mis oli ilmselt seotud just äsja peetud sakramendiga. Ta lamas, pea toetatud kõrgele patjadele. Tema käed olid sümmeetriliselt laotatud rohelisele siidtekile, peopesad allapoole. Kui Pierre lähenes, vaatas krahv talle otse otsa, kuid vaatas selle pilguga, mille tähendust ja tähendust inimene ei mõista. Kas see pilk ei öelnud absoluutselt mitte midagi, ainult seda, et seni, kuni on silmi, tuleb kuhugi vaadata, või ütles see liiga palju. Pierre peatus, teadmata, mida teha, ja vaatas küsivalt oma juhile Anna Mihhailovnale. Anna Mihhailovna tegi talle silmadega kiirustades žesti, osutas patsiendi käele ja suudles seda huultega. Pierre, püüdlikult kaela sirutades, et mitte teki külge kinni jääda, täitis tema nõuannet ja suudles tema suure kondiga ja lihakat kätt. Ei värisenud krahvi käsi, mitte ükski näolihas. Pierre vaatas uuesti küsivalt Anna Mihhailovna poole, küsides nüüd, mida ta peaks tegema. Anna Mihhailovna osutas silmadega voodi kõrval seisvale tugitoolile. Pierre asus kuulekalt tugitoolile istuma, uurides jätkuvalt silmadega, kas ta on teinud, mida vaja. Anna Mihhailovna noogutas tunnustavalt pead. Pierre asus taas Egiptuse kuju sümmeetriliselt naiivsele positsioonile, avaldades ilmselt kaasa, et tema kohmakas ja paks keha võttis nii suure ruumi, ning kasutas kogu oma vaimset jõudu, et näida võimalikult väike. Ta vaatas krahvile otsa. Krahv vaatas seistes kohta, kus oli Pierre'i nägu. Oma ametikohal Anna Mihhailovna mõistis isa ja poja kohtumise viimase minuti liigutavat tähtsust. See kestis kaks minutit, mis tundus Pierre'ile tund. Järsku tekkis krahvi suurtesse lihastesse ja kortsudesse värin. Värisemine tugevnes, ilus suu väändus (alles siis sai Pierre aru, mil määral on isa surma lähedal), väänatud suust kostis ebaselge kähe hääl. Anna Mihhailovna vaatas usinalt patsiendi silmadesse ja, püüdes arvata, mida ta vajab, osutas kas Pierre'ile, siis joogile, siis helistas ta sosinal küsivalt prints Vassilile, seejärel osutas tekile. Patsiendi silmad ja nägu näitasid kannatamatust. Ta püüdis vaadata sulast, kes seisis voodi peatsis lahkumata.
„Nad tahavad teisele poole ümber veereda,” sosistas sulane ja tõusis, et krahvi raske keha seina poole pöörata.
Pierre tõusis, et teenijat aidata.
Krahvi ümberpööramise ajal vajus üks tema käsi abitult tagasi ja ta pingutas asjatult, et seda lohistada. Kas krahv märkas seda õuduspilti, millega Pierre seda elutut kätt vaatas või mis muu mõte sel hetkel tema suremas peast läbi vilksatas, kuid ta vaatas sõnakuulmatut kätt, õuduslikku ilmet Pierre'i näol, jällegi tema näol oli nõrk, kannatav naeratus, mis ei sobinud hästi tema näojoontega, väljendades justkui pilkamist tema enda jõuetuse üle. Järsku tundis Pierre seda naeratust nähes värinat rinnus, nina pigistust ja pisarad tumestasid ta nägemist. Patsient pöörati külili vastu seina. Ta ohkas.
- Il est assoupi, [Ta uinus,] - ütles Anna Mihhailovna, märgates printsessi, kes tuli asendama. - Allons. [Lähme edasi.]
Pierre lahkus.
To täisarvud sisaldab naturaalarve, nulli ja naturaalarvudele vastandlikke numbreid.
Täisarvud on positiivsed täisarvud.
Näiteks: 1, 3, 7, 19, 23 jne. Loendamisel kasutame selliseid numbreid (laual on 5 õuna, autol 4 ratast jne)
Ladina täht \mathbb(N) - tähistatud naturaalarvude kogum.
Naturaalarvud ei saa sisaldada negatiivseid (toolil ei saa olla negatiivset jalgade arvu) ja murdarvu (Ivan ei suutnud müüa 3,5 jalgratast).
Naturaalarvudele vastupidised arvud on negatiivsed täisarvud: -8, -148, -981, ....
Aritmeetilised tehted täisarvudega
Mida saab täisarvudega teha? Neid saab üksteisest korrutada, liita ja lahutada. Analüüsime iga toimingut konkreetse näite põhjal.
Täisarvude liitmine
Kaks sama märgiga täisarvu liidetakse järgmiselt: nende arvude moodulid liidetakse ja saadud summale eelneb lõppmärk:
(+11) + (+9) = +20
Täisarvude lahutamine
Kaks erineva märgiga täisarvu liidetakse järgmiselt: suurema arvu moodulist lahutatakse väiksema arvu moodul ja vastuse ette pannakse suurema mooduliarvu märk:
(-7) + (+8) = +1
Täisarvu korrutamine
Ühe täisarvu korrutamiseks teisega peate korrutama nende arvude moodulid ja panema saadud vastuse ette märgi “+”, kui algsed numbrid olid samade märkidega, ja märgi “-”, kui algsed numbrid olid. erinevate märkidega:
(-5) \cdot (+3) = -15
(-3) \cdot (-4) = +12
Peaksite meeles pidama järgmist täisarvu korrutamise reegel:
+ \cdot + = +
+\cdot-=-
- \cdot += -
-\cdot-=+
Mitme täisarvu korrutamiseks on reegel. Meenutagem seda:
Korrutise märk on “+”, kui negatiivse märgiga tegurite arv on paaris ja “-”, kui negatiivse märgiga tegurite arv on paaritu.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
Täisarvude jagamine
Kahe täisarvu jagamine toimub järgmiselt: ühe arvu moodul jagatakse teise mooduliga ja kui numbrite märgid on samad, siis asetatakse saadud jagatise ette plussmärk. , ja kui algsete numbrite märgid on erinevad, siis pannakse märk “−”.
(-25) : (+5) = -5
Täisarvude liitmise ja korrutamise omadused
Analüüsime liitmise ja korrutamise põhiomadusi mis tahes täisarvude a , b ja c korral:
- a + b = b + a - liitmise kommutatiivne omadus;
- (a + b) + c \u003d a + (b + c) - liitmise assotsiatiivne omadus;
- a \cdot b = b \cdot a - korrutamise kommutatiivne omadus;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- korrutamise assotsiatiivsed omadused;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c on korrutamise jaotusomadus.
Selles artiklis määratleme täisarvude komplekti, kaalume, milliseid täisarve nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks. Samuti näitame, kuidas täisarve kasutatakse mõne suuruse muutuse kirjeldamiseks. Alustame täisarvude definitsiooni ja näidetega.
Täisarvud. Definitsioon, näited
Kõigepealt tuletame meelde naturaalarvud ℕ. Nimi ise viitab sellele, et tegemist on arvudega, mida on loomupäraselt kasutatud juba ammusest ajast. Täisarvude mõiste katmiseks peame naturaalarvude definitsiooni laiendama.
Definitsioon 1. Täisarvud
Täisarvud on naturaalarvud, nende vastandid ja arv null.
Täisarvude hulk on tähistatud tähega ℤ .
Naturaalarvude hulk ℕ on täisarvude ℤ alamhulk. Iga naturaalarv on täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.
Definitsioonist järeldub, et iga arv 1 , 2 , 3 on täisarv. . , arv 0, samuti numbrid -1, -2, -3,. .
Vastavalt sellele toome näiteid. Arvud 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 on täisarvud.
Koordinaatjoon tõmmatakse horisontaalselt ja suunatakse paremale. Vaatame seda, et visualiseerida täisarvude asukohta sirgel.
Koordinaadijoone võrdluspunkt vastab arvule 0 ja nulli mõlemal küljel asuvad punktid vastavad positiivsetele ja negatiivsetele täisarvudele. Iga punkt vastab ühele täisarvule.
Iga punkti sirgel, mille koordinaat on täisarv, saab jõuda, jättes lähtepunktist kõrvale teatud arvu ühikulisi segmente.
Positiivsed ja negatiivsed täisarvud
Kõigist täisarvudest on loogiline eristada positiivseid ja negatiivseid täisarvusid. Anname nende määratlused.
Definitsioon 2. Positiivsed täisarvud
Positiivsed täisarvud on plussmärgiga täisarvud.
Näiteks arv 7 on plussmärgiga täisarv, st positiivne täisarv. Koordinaatjoonel asub see number võrdluspunktist paremal, mille arv on 0. Teised positiivsete täisarvude näited: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .
Definitsioon 3. Negatiivsed täisarvud
Negatiivsed täisarvud on miinusmärgiga täisarvud.
Negatiivsete täisarvude näited: - 528 , - 2568 , - 1 .
Arv 0 eraldab positiivsed ja negatiivsed täisarvud ega ole ise positiivne ega negatiivne.
Iga arv, mis on positiivse täisarvu vastand, on definitsiooni järgi negatiivne täisarv. Tõsi on ka vastupidine. Iga negatiivse täisarvu pöördarvuks on positiivne täisarv.
Negatiivsete ja positiivsete täisarvude definitsioonide kohta on võimalik anda teisi formulatsioone, kasutades nende võrdlust nulliga.
Definitsioon 4. Positiivsed täisarvud
Positiivsed täisarvud on täisarvud, mis on suuremad kui null.
Definitsioon 5. Negatiivsed täisarvud
Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis on väiksemad kui null.
Sellest tulenevalt asuvad positiivsed arvud koordinaatjoone algpunktist paremal ja negatiivsed täisarvud nullist vasakul.
Varem ütlesime, et naturaalarvud on täisarvude alamhulk. Teeme selle punkti selgeks. Naturaalarvude hulk on positiivsed täisarvud. Negatiivsete täisarvude hulk on omakorda loomulikele vastandlike arvude hulk.
Tähtis!
Täisarvuks võib nimetada mis tahes naturaalarvu, kuid naturaalarvuks ei saa nimetada ühtegi täisarvu. Vastates küsimusele, kas negatiivsed arvud on loomulikud, tuleb julgelt öelda – ei, ei ole.
Mittepositiivsed ja mittenegatiivsed täisarvud
Anname definitsioonid.
Definitsioon 6. Mittenegatiivsed täisarvud
Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud ja arv null.
Definitsioon 7. Mittepositiivsed täisarvud
Mittepositiivsed täisarvud on negatiivsed täisarvud ja arv null.
Nagu näete, pole number null positiivne ega negatiivne.
Mittenegatiivsete täisarvude näited: 52 , 128 , 0 .
Mittepositiivsete täisarvude näited: - 52 , - 128 , 0 .
Mittenegatiivne arv on nullist suurem või sellega võrdne arv. Sellest lähtuvalt on mittepositiivne täisarv arv, mis on väiksem või võrdne nulliga.
Mõisteid "mittepositiivne arv" ja "mitte-negatiivne arv" kasutatakse lühiduse huvides. Näiteks selle asemel, et öelda, et arv a on nullist suurem või sellega võrdne täisarv, võite öelda: a on mittenegatiivne täisarv.
Täisarvude kasutamine väärtuste muutuste kirjeldamisel
Milleks kasutatakse täisarve? Esiteks on nende abiga mugav kirjeldada ja määrata mis tahes objektide arvu muutust. Võtame näite.
Laos olgu teatud arv väntvõlle hoiule pandud. Kui lattu tuuakse veel 500 väntvõlli, siis nende arv suureneb. Arv 500 lihtsalt väljendab osade arvu muutust (kasvu). Kui siis laost 200 osa ära viia, siis see number hakkab iseloomustama ka väntvõllide arvu muutust. Seekord siis vähendamise suunas.
Kui laost midagi ei võeta ja midagi ei tuua, siis number 0 näitab osade arvu muutumatust.
Täisarvude kasutamise ilmselge mugavus, erinevalt naturaalarvudest, seisneb selles, et nende märk näitab selgelt suurusjärgu muutumise (suuruse suurenemise või vähenemise) suunda.
Temperatuuri langust 30 kraadi võrra saab iseloomustada negatiivse arvuga – 30 ja tõusu 2 kraadi võrra – positiivse täisarvuga 2.
Siin on veel üks näide täisarvude kasutamisest. Seekord kujutame ette, et peame kellelegi 5 münti kinkima. Siis võime öelda, et meil on - 5 münti. Number 5 kirjeldab võla suurust ja miinusmärk näitab, et peame mündid tagasi andma.
Kui võlgneme ühele inimesele 2 ja teisele 3 münti, saab koguvõla (5 münti) arvutada negatiivsete arvude liitmise reegliga:
2 + (- 3) = - 5
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter